Fonctions : étude (Dérivation, variations ) partie 1

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1 I Dérivation les ormules : Fonctions : étude (Dérivation, variations partie 1 Fonction déinie sur R Dérivée Eemples : k une constante ( ² ( n n n ( (non déinie en 0 (non déinie en ( Ces calculs (simples sont à maîtriser totalement Ce qui sera diicile c est d appliquer les deu ormules qui suivent : U U V UV ( U V U V + UV et V V U( U ( V( U( V ( Qu il audrait écrire : ( U( V( U( V( + U( V( et V ( ( V ( Eemples : Soit ( ( + 1( 3 alors ( ( 3 + ( en appliquant la ormule 1 3 Soit ( + 1 ormule alors ( + 1 ( 3( ( ( ( ( +1 en appliquant la La dérivée sert à indiquer les variations de la onction Si, sur un intervalle, la dérivée est positive, la onction est croissante, si la dérivée est négative, la onction est décroissante, si elle est nulle, la onction est constante II Les deu types de problèmes (au minimum de ce qu il aut connaître! : 1 Les onctions polynômes : Un objet est vendu 900 La recette journalière pour objet vendus est g(900 Le coût de abrication pour objets 3 est ( a Calculer ( b Montrer que ( s écrit ( 3( 30 c En déduire le sens de variation de sur l intervalle [0 ; 80] Faire un tableau de valeurs ( ;( par pas de 10 3 a Tracer et g dans un repère (unités : cm pour 10 objets et cm pour b En déduire entre quelles valeurs de l entreprise ait un bénéice Eléments de réponse : 1 a Calculer ( : Fonction polynôme simple, appliquer directement les règles de dérivation ( b Montrer que ( s écrit ( 3( 30 Partir de la deuième epression (c est habituel pour trouver la première 3( 30 3( ( CQFD c En déduire le sens de variation de sur l intervalle [0 ; 80] Il aut utiliser l epression donnée par l énoncé (et calculée à la question précédente 3( 30 est un carré toujours positi ou nul (pour 30 La dérivée est positive, donc la onction est croissante Fonctions Etude P1 p 1/9

2 C est le résumé de l étude précédente D habitude on trouve une partie croissante et une décroissante Pas cette ois Faire un tableau de valeurs ( ; ( par pas de 10 Il aut utiliser la calculatrice Les opérations à eectuer sont décrites ci-dessous Commencer par entrer la onction dans l écran! Utiliser ^ pour les puissances Régler les paramètres du tableau avec ç touches `@ D après l énoncé partir de 0 (TblStart0 et avancer par pas de 10 (ΔTbl On obtient alors les valeurs demandées par ê touches `% Il suit (! de recopier les valeurs Y1 Rem : j ai directement entré LES onctions du problème 3 a Tracer et g dans un repère (unités : cm pour 10 objets et cm pour Ici aussi la calculatrice est une aide précieuse b En déduire entre quelles valeurs de l entreprise ait un bénéice Régler les paramètres de la enêtre graphique : Régler comme indiqué, ce qui correspond au données de l énoncé ( min et ma et au valeurs trouvées dans le tableau (minimum 0 d où y min 0 et Maimum d où y ma car on prend toujours un petit peu plus La courbe représente le coût de abrication, la droite le pri de vente Si l objet est vendu moins cher que ce qu il coûte il y a perte pas bénéice Il aut donc que la droite soit au-dessus de la courbe C est la partie centrale La calculatrice peut ici aussi nous aider Menu è Touches `$ choi La calculatrice propose la première courbe (Y1 et d où il aut partir On ne voit pas très bien, il aut se placer (lèches <> un peu avant le point d intersection Touche e La calculatrice propose la seconde courbe Touche e Ne pas s occuper de cette étape Touche e Le résultat s aiche : 30 (Y7 000 Nous avons le premier point d intersection C est à partir de cette valeur que l on era du bénéice Passer à la deuième valeur Menu è Touches `$ choi Se placer un peu avant cette deuième valeur (lèche > Fonctions Etude P1 p /9

3 Le résultat 60 Rem : je n ai pas mis l image de l étape qui ne nous intéresse pas Réponse : l entreprise ait un bénéice pour une vente d objets comprise entre 30 et 60 Les onctions rationnelles (dénominateur : Une imprimante coûte 60 TTC Elle est munie d une cartouche d encre permettant d imprimer 1 00 pages Chaque nouvelle cartouche est achetée 46 Un paquet de 00 euilles coûte 8,0 1 Calculer le coût d impression de pages en considérant que l imprimante atteint alors sa limite de onctionnement Calculer le coût unitaire par page pour pages imprimées 3 On imprime une quantité de pages avec (en considérant que l imprimante atteint alors sa limite de onctionnement pour ces pages Calculer le pri total de ces impressions, puis le pri unitaire par pages en onction de Etudier la onction obtenue sur l intervalle [1 ; 0 000] (on calculera tout de même les limites en O et en l inini Variations et représentation graphique Combien aut-il imprimer de pages au minimum pour obtenir un coût unitaire inérieur à 0,07? Remarque : il audrait normalement tenir compte du nombre (entier de paquets de pages à acheter et non du nombre de euilles, de même pour le nombre de cartouches achetées en eet, pour 0 pages il aut acheter obligatoirement paquets de euilles (donc 8, 17 alors que notre calcul donnera un pri d achat de 0 8, 8,34 00 L utilisation d un programme ou d un tableur permettrait de résoudre acilement ce problème On pourrait aussi utiliser la onction partie entière (int sur les calculatrices qui n est pratiquement plus utilisée en classe Eléments de réponse : 1 Calculer le coût d impression de pages en considérant que l imprimante atteint alors sa limite de onctionnement Le coût est représenté par : l imprimante 60, le papier /000 paquets à 8,0 l un soit 170 et les cartouches une cartouche se trouve déjà dans l imprimante! /1 008,33 il aut un total de 9 cartouches, donc 8 achetées Dépense : Coût d impression de pages :798 Calculer le coût unitaire par page pour pages imprimées Pour pages on dépense 798 Pour une page 798/ ,0798 soit (arrondi 0,08 3 On imprime une quantité de pages avec Calculer le pri total de ces impressions, puis le pri unitaire par pages en onction de C est la généralisation du problème On remplace par le nombre de pages inconnu Petite remarque il n est pas possible de connaître le véritable nombre de cartouches, il audrait utiliser la onction «partie entière» qui n est pas à votre programme 3 Donc : 60 pour l imprimante, 8, pour le papier et 46 pour les cartouches Soit au total : , avec mise au même dénominateur et simpliications Coût de revient de pages : 1 00 Rem : pour pages on trouve 813,33 Il aut 8,33 cartouches ce qui en aisait 9 car ils ne vendent pas un morceau de cartouche Comme une était déjà ournie cela en aisait 8 à acheter Alors 0,33 461,33 et 813,33-1,33798 ce qui avait été trouvé Donc ce devrait être ça Fonctions Etude P1 p 3/9

4 Coût de revient unitaire : ( (C est une onction rationnelle qui n est pas déinie pour Etudier la onction obtenue sur l intervalle [1 ; 0 000] (on calculera tout de même les limites en 0 et en l inini pour ceu qui l ont au programme Variations et représentation graphique Etudier veut dire limites (ceu qui l ont au programme, dérivée, signe de la dérivée d où tableau de variations Limites : N Lim ( + car Asymptote verticale 0 (limite en un point particulier, on détaille 0 + D 0 > Lim ( Lim Lim 0,0 (limite en + donc mise en acteur des termes de plus ( haut degré Rem : cette limite veut dire qu il ne sera pas possible de aire baisser le pri en dessous de 0,0 /page Dérivée : U U V-UV U ( U ( 83 De la orme avec V V V ( 1 00 V ( ( ( Elle est donc toujours négative, la onction est strictement ( 100 décroissante Variations : Regrouper les résultats obtenus précédemment Premier tableau pour ceu qui n ont pas les limites à chercher(* L autre (* Il aut calculer les valeurs de la onction pour 1 et C est un peu plus loin Pour tracer la courbe, il aut une idée des variations : elle descend tout le temps, MAIS entre quelles valeurs? Comme pour l eo précédent, entrer la onction, aicher un tableau de valeurs (une bonne dizaine, j ai donc choisi un pas de 000 On peut déinir les paramètres de la enêtre d aichage et aicher la courbe Ci-dessous, comment obtenir la valeur de (1? Menu v puis lèche > puis e et compléter puis e Combien aut-il imprimer de pages au minimum pour obtenir un coût unitaire inérieur à 0,07? Fonctions Etude P1 p 4/9

5 On cherche ( 0,07 soit , 07 qui sécrit aire passer ce qu il aut pour 1 00 obtenir : ou 17 77,7 soit inalement La calculatrice peut vériier cette valeur : Ajouter dans! la valeur cherchée Puis aicher la courbe Menu è touches `$ puis Vous connaissez (ou revoir première étude e 3 ois et la valeur d intersection s aiche C est celle calculée Nous avons ait juste III Eo(s de synthèse, onction rationnelle (c est ce que l on donne en in de première, en début de terminale tant que l on n a pas les logarithmes ou les epos à étudier : 1 Eo corrigé avec une calculatrice TI-Nspire (posé en STL : ² I Soit la onction déinie par 1 Domaine de déinition (non demandé au bac Limites et asymptotes éventuelles 3 Montrer que la droite y + est asymptote oblique à la courbe représentative de Montrer que la dérivée de sur I peut s écrire ( ( Etude du signe de, tableau de variations 6 Equation de la tangente à C courbe représentative de au point d abscisse o 6 (on pourra trouver y Faire un tableau de valeurs (quelques unes, puis tracer C la courbe représentative de dans un bon repère ainsi que la tangente (et les asymptotes CORRECTION avec utilisation de la TI-NSpire CAS ² I Soit la onction déinie par 8 Domaine de déinition (non demandé au bac Récitation : c est une onction rationnelle dont le dénominateur ne doit pas être nul 0 d où D \{} ] ;[ ]; + [ 9 Limites et asymptotes éventuelles D après le domaine de déinition nous avons 4 limites à chercher (au bac ils ne donnent que l un des intervalles, il n y aurait que deu limites ( ² ( 1 ² 3+ 6 ² lim ( lim lim lim Vous n oubliez pas de actoriser, puis de dire que tout ce qui a du en dénominateur tend vers zéro (on enlève, on barre et on simpliie ce qui reste (le carré avec le en déno N 16 lim ( car (ne pas oublier de justiier le signe du dénominateur D < On indique : asymptote verticale Fonctions Etude P1 p /9

6 lim ( + > car N 16 D 0 On indique : asymptote verticale + (le signe du déno est justiié dans la réponse précédente ( ² ( 1 ² 3+ 6 ² lim ( lim lim lim Montrer que la droite y + est asymptote oblique à la courbe représentative de La droite y + est asymptote oblique à la courbe représentative de ssi lim ( y 0 Nous avons : ² 3+ 6 ² 3+ 6 ( ( + ² lim ( y lim ( + lim lim lim 0 ± ± ± ( 1 / ± ± CQFD, dont la droite y + est asymptote oblique à la courbe représentative de (ne pas oublier la conclusion! Montrer que la dérivée de sur I peut s écrire ( ( Vous avez un programme sur calculatrice qui vous donne les étapes à recopier je ais comme s il n eistait pas, alors que je l ai sous les yeu!, U UV UV est de la orme avec U( ² 3+ 6 donc U ( 3 et V( donc V V V ( 1 ALORS, ± ( 3( ( 3+ 6 ( ( ( ( ( Sur la calculatrice : Je suppose que vous l avez allumée puis entré la onction comme déjà indiqué [1( ] Puis, ouvrir le catalogue (touche du côté des symboles d opération +, - etc Appuyer sur la touche 6 qui permet de trouver les programmes stockés dans le répertoire «MyLib» qui sont partagés avec tous les classeurs Développer «aderiv» Choisir derivquo, appuyer sur «entrée» Dans la parenthèse entrer le numérateur, puis une virgule, puis le dénominateur et ermer la parenthèse C est chouette, car ça dit tout! Etude du signe de, tableau de variations Vous devez étudier le signe de la dérivée, puis aire le tableau Pour la dérivée, c est un polynôme du second degré, il aut calculer le discriminant (delta, qui est positi puis les racines (1 et 9 Pour voir un joli tableau de variations sur votre calculatrice, ouvrir l application «TabVar» (cherchez, ça y est En page 1 taper : metude( ( ² 3+ 6 /(,, {, } Vous obtenez des résultats dans la page Aller en 14 pour y admirer LE tableau tout ait Fonctions Etude P1 p 6/9

7 Rappel : pas d eplications, pas de calculs et justiications c est aussi pas de points Tout cela vous est oert par votre gentille calculatrice 13 Equation de la tangente à C courbe représentative de au point d abscisse o 6 (on pourra trouver y Réciter «y ( 0 (- 0 +( 0» ou «y de la orme y a + b avec (voir image calculatrice! Faire les diérents calculs (qui sont donnés par la calculatrice avec le programme «tangente» Nous avons (6 1 et (6 4 D où y 1( soit inalement y CQFD et même pas dur C est aisable SANS calculatrice, pourtant, un petit programme sympa ça s utilise toujours! Ouvrir le catalogue Vous devriez être sur l onglet 6 Dans «aderiv» aller sur «tangente» Valider, puis entrer les instructions (images 14 Faire un tableau de valeurs (quelques unes, puis tracer C la courbe représentative de dans un bon repère ainsi que la tangente (et les asymptotes Ca, je vous laisse aire, c est le plus acile Attention, il aut Yma 0 pour voir la partie de la courbe en haut à droite Eo corrigé avec une calculatrice TI-Nspire (lui aussi posé en contrôle STL : Soit sur I -1 ; ( et C sa courbe représentative Limites au bornes du domaine de déinition, asymptotes éventuelles b Montrer que sur I peut s écrire ( a+ où a et b sont deu réels a déterminer + 1 remarques : I Étude de onction 11 points : ] [ Fonctions Etude P1 p 7/9

8 b * développer (mettre même dénominateur a + pour retrouver (égaler (, + 1 * on peut déduire de cette question que y est asymptote oblique à C 3 Montrer que ( dérivée de ( sur I s écrit ( + 3 Déterminer son signe sur I et le tableau de ( + 1 variations de 0 4 Équation de la tangente T à la courbe représentative de la onction, en 0 (on pourra trouver y + si 9 9 je ne me suis pas trompé! Dans un repère tracer C et sa tangente T en 0 (et son asymptote en + si l on veut CORRECTION (succincte avec utilisation de la TI-NSpire CAS I Étude de onction 11 points : ] [ 6 Limites au bornes du domaine de déinition, asymptotes éventuelles 7 Montrer que sur I peut s écrire b ( a+ où a et b sont + 1 deu réels a déterminer remarques : * développer (mettre même b dénominateur a + pour + 1 retrouver (égaler (, * on peut déduire de cette question que y est asymptote oblique à C On peut utiliser mon programme de calcul de la dérivée d un quotient (il devrait donner tout ce dont vous avez besoin, ainsi que le programme TANGENTE! Comme vous le savez, les limites, la dérivée à la calculatrice sont des INDICATIONS VOUS DEVEZ écrire certaines choses que VOUS CONNAISSEZ PAR CŒUR! Soit sur I -1 ; + ( et C sa courbe représentative Fonctions Etude P1 p 8/9

9 8 Montrer que ( dérivée de ( sur I s écrit ( + 3 Déterminer ( + 1 son signe sur I et le tableau de variations de Voir écran précédent 9 Équation de la tangente T à la courbe représentative de la onction, en 0 (on pourra 0 trouver y + si je ne 9 9 me suis pas trompé! Tableau de variations (utiliser TABVAR Un tableau de valeurs pour avoir une idée de la enêtre de la courbe 10 Dans un repère tracer C et sa tangente T en 0 (et son asymptote en + si l on veut Fonctions Etude P1 p 9/9