BAREME SUR 20 POINTS 4 exercices à 5 points 1 question bonus à 2 points

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Félix Corriveau
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1 BAREME SUR 0 POINTS 4 exercices à 5 points question bonus à points LS3 MASS Microéconomie r.foudi CORRIGE Examen 04/5 Session Janvier 5 - Page sur 7

2 Exercice : Consommateur courbe de prix consommation (5 points) Un consommateur dispose d un revenu R qu il consacre intégralement à l achat de deux biens X et Y, en quantités x et y, au prix respectif px et py. Sa fonction d utilité est U = ( x + 0 ) ( y + 6 ) (x et y > 0 et divisibles) Question : Déterminer la combinaison optimale des biens (x*,y*) lorsque R = 0, px=0 et py=5. (Méthode du remplacement) Le programme du consommateur s écrit : Max U= U(x,y) = (x+0)(y+6) Sc R xpx ypy = 0 0x 5y = 0 y = -x (px/py) + (R/py) = -x (0/5) + (0/5) = - 0,4 x + 8,4 Par remplacement de la contrainte dans U=U(x,y) U = (x+0)(y+6) = (x+0)( - 0,4 x + 8,4 + 6 ) = (x+0)( - 0,4 x + 4,4) = -0,4x² + 4,4x 4x + 44 = -0,4x² + 0,4x + 44 Cette fonction admet un optimum si elle vérifie les deux conditions du premier et du second ordre. U 0,4 Soit = 0-0,8x +0,4 = 0 x = = donc le premier point candidat à l optimum est x*= 3 x 0,8 On en déduit le second : soit la contrainte y = - 0,4 x + 8,4 alors y* = (-0,4 3) + 8,4 = 3, Le couplet de candidats à l optimum permet au consommateur d atteindre un maximum de satisfaction égal à : U* = U*(x*,y*) = (x*+0)(y*+6) = (3+0) (3,+6) = 3 9, =,6 ² U Soit la condition du second ordre : < 0 0,4 < 0 L extremum est bien un optimum, soit x² E = (x* ;y* ;U*) = (3 ; 3, ;,6) Question : Donner une représentation graphique intuitive du résultat de la question. (NB : cette représentation graphique contient la réponse à la question 3 ci-après) LS3 MASS Microéconomie r.foudi CORRIGE Examen 04/5 Session Janvier 5 - Page sur 7

3 Question 3 : On considère le prix du bien X comme une variable et égal à px. Donner l équation générale de la contrainte budgétaire lorsque R = 0 et py = 5. Donner sa signification géométrique, et l illustrer dans le graph lorsque px est décroissant. L équation de la contrainte s écrit : y = - x (px/5) + 8,4 Donner sa signification géométrique de cette équation, et l illustrer par deux droites (en pointillés) dans le graph lorsque px est croissant. L équation est celle d un faisceau de droites de budget dont la pente varie suivant px, et de même ordonnée à l origine = 8,4. Lorsque px croît, la valeur d abscisse (R/px) décroît (voir graph ci-dessus) Question 4 : Ecrire la relation vérifiée par tous les points optimaux, résultant de cette situation de prix relatif variable et de revenu fixe. Cette relation est l égalité toujours vérifiée à l optimum : TMSy/x = px/py avec px variable et py donné Soit TMS = (y+6)/(x+0) = px/5 (puisque py = 5) Question 5 : Déduire de cette relation l équation de la courbe de prix-consommation (CPC) -dont le résultat est donné ci-dessous-, après avoir rappelé sa définition. (Rappel pour la démonstration du résultat : une fonction rationnelle, quotient de deux P( x) b polynomes, du type : f ( x) = peut s écrire sous la forme f ( x) = a + ), a et b étant des Q( x) x paramètres à déterminer. Le résultat à prouver est : équation de la CPC Définition de la CPC : Lieu géométrique des optimum correspondant à un effet prix, dans le plan d optimisation (y0x). Détermination de l équation de la CPC : LS3 MASS Microéconomie r.foudi CORRIGE Examen 04/5 Session Janvier 5 - Page 3 sur 7

4 Question 6 : Déduire de la CPC, la courbe de demande normale du bien X. Exercice : Consommateur courbe d Engel (5 points) La fonction d'utilité d'un consommateur s'écrit : U(x,y)=log(x ) + 4log(x ) Soient p et p les prix respectifs des biens X et X. R est le revenu du consommateur. Question : Donner l'équation de la courbe de consommation revenu (CRC), après avoir rappelé sa définition Définition de la CRC : Lieu géométrique des optimums correspondant à un effet de revenu, dans le plan d optimisation (y0x). Détermination de l équation de la CRC : La règle : tous les points situés sur la CRC vérifient l égalité : TMS / = (U x /U x ) = rapport des prix = p /p avec U x = /x et U x = 4/x (en vertu du théorème d(logx)/dx = /x) Exercice 3 : Elasticités (5 points) Soit deux biens X et Y, dont la fonction de demande s écrit respectivement ( avec R, le revenu, et p les prix) : 3R x = et 4 p x = R 4 p LS3 MASS Microéconomie r.foudi CORRIGE Examen 04/5 Session Janvier 5 - Page 4 sur 7

5 Question : Calculer pour chacun des biens l élastité prix directe de la demande Pour le bien x Pour le bien x Question : Donner la signification du résultat obtenu. Pour les deux biens, lorsque le prix croît de %, la demande diminue de % Question 3 : De quelle nature sont les biens x et x? L élasticité de la demande par rapport au prix étant -, les biens sont dits «biens normaux». Exercice 4 : Producteur (5 points) Soit la fonction de production à deux facteurs Q = K 0.5. L 0.5 (K et L >0) Question : Etudier les rendements d échelle de cette fonction Les rendements dépendent du degrès d homogénéité (k) de la fonction Soit : Q(tK 0.5,tL 0.5 ) = t k (K 0.5 L 0.5 ) Or Q(tK 0.5,tL 0.5 )= tk 0.5 tl 0.5 = t 0.5 K 0.5.t 0.5 L 0.5 =t 0.5 t 0.5 K 0.5 L 0.5 = t K 0.5 L 0.5 = t 0.75 K 0.5 L 0.5 Par conséquent le degrés d homogénéité k=0,75<. Les rendements sont décroissants. La croissance des quantités de facteurs entraîne une croissance moins que proportionnelle de la production. LS3 MASS Microéconomie r.foudi CORRIGE Examen 04/5 Session Janvier 5 - Page 5 sur 7

Un choix de points en nombre suffisant pour faire a pparaître la convexité est par exemple : Les 5 points joints à la règle suffisent pour donner sa forme convexe à la courbe Question 4 : Déterminer

6 Question : Déterminer l équation de l isoquant : Q* = 00 Q* = K 0.5. L 0.5 = 00 D où l isoquant K 0.5 = 00/L 0.5 représentée en question 3 (NB) Question 3 : Représenter l isoquant Q* = 00 en choisissant un nombre de points suffisants. Un choix de points en nombre suffisant pour faire a pparaître la convexité est par exemple : Les 5 points joints à la règle suffisent pour donner sa forme convexe à la courbe Question 4 : Déterminer le taux marginal de susbstitution technique : TMST K/L, après avoir rappelé sa définition littérale. Définition du TMST K/L Le TMST K/L est le taux auquel le producteur doit substituer du Capital (K) au travail (L) pour conserver le même niveau de production Q*. Calcul Partant de la fonction de production le TMST K/L est égal au rapport des productivités marginales des facteurs, soit : (en simplifiant par et en permutant les exposants négatifs) (NB) on peut aussi élever au carré la fonction Q = Q*=00 et représenter l isoquant (00)² K = L 0.5 LS3 MASS Microéconomie r.foudi CORRIGE Examen 04/5 Session Janvier 5 - Page 6 sur 7

7 Question de cours : (bonus = points) Démontrer la formule algébrique du TMS y/x dans le cas d une fonction d utilité à deux biens X et Y, consommés en quantité x et y. Deux démonstrations sont admises Fin du document Ж LS3 MASS Microéconomie r.foudi CORRIGE Examen 04/5 Session Janvier 5 - Page 7 sur 7

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