Athénée Royal D Uccle 1

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1 AVEC LES COMPLEXES, «RIEN» N EST COMPLEXE! Sean Ariel, Sébastien Dannau, Gaspard de Trazegnies, Olivier Hamende, Manon Maisonnier et Margaux Vanmol Athénée Royal D Uccle 1 UCL-EPL Congrés Dédra-MATH-isons 19 avril 2012

2 PLAN DE LA PRÉSENTATION Transformations du plan complexe associées à quelques fonctions complexes Les transformations conformes L ensemble de Mandelbrot Conclusions

3 APPLICATIONS PARTICULIÈRES DES TRANSFORMATIONS DU PLAN Rappel: le plan de Gauss et ses transformations Exemples de transformations: Inversion Carré Racine carré Transformation de Joukowski

4 PLAN DE GAUSS Soit un nombre complexe z = a + bi On peut définir le point image Z de ce nombre. Les coordonnées de Z dans le plan de Gauss sont: Z : ( a, b)

5 FORME TRIGONOMÉTRIQUE D UN NOMBRE COMPLEXE Si l on désigne par : on a: Donc: z = a + bi ρ = OZ θ = ( Re, Oz) a = ρ cosθ b = ρ sinθ z = ρ cosθ + iρ sinθ z = ρ ci sθ avec ci sθ = cosθ + i sinθ

6 FORMULES DE DE MOIVRE Effectuons le produit de deux complexes z et z z. z ' = ρ (cosθ + i sin θ ). ρ '(cos θ ' + i sin θ ') 2 = ρ. ρ ' cosθ cos θ ' + i cosθ sin θ ' + i sinθ cos θ ' + i sinθ sin θ ' = ρ. ρ ' (cosθ cos θ ' sinθ sin θ ') + (cosθ sin θ ' + sinθ cos θ ') [ i ] [ i ] = ρ. ρ ' cos( θ + θ ') + sin( θ + θ ') = ρ. ρ ' cis( θ + θ ') D où la généralisation z n n = ρ cis( nθ )

7 TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE

8 TRANSFORMATIONS DU PLAN COMPLEXE

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17 TRANSFORMATION DE JOUKOWSKI z ' = z + 1 z

18 TRANSFORMATION DE JOUKOWSKI

19 TRANSFORMATION DE JOUKOWSKI

20 TRANSFORMATION DE JOUKOWSKI

21 TRANSFORMATION DE JOUKOWSKI

22 INTÉRÊT DE LA TRANSFORMATION DE JOUKOWSKI

23 TRANSFORMATION CONFORME Le principe : transformation géométrique du plan qui conserve les angles de départ. Cela signifie que, localement, l'image déformée est similaire à l'image de départ. Outil: Le plan complexe. Exemple: transformation z =-z. On voit clairement que les angles ont été conservés puisqu'on a uniquement retourné l'image.

24 LES TRANSFORMATIONS DU PLAN Les transformations classiques du plan, décrites précédemment, sont: La translation La rotation L homothétie La composition de ces transformations donnent une similitude. Toutes ces transformations correspondent à des fonctions linéaires de z.

25 EXEMPLE Soit le carré PQRS. On cherche à trouver l'image de ce carré par la rotation de centre B(-1,1) et d'angle 130 et l'homothétie de centre A(-3,2) et de rapport 2. Cette transformation correspond à la fonction complexe: Z ' = r h ( Z) B,130 A,2 {[ ] } z z ' = 2 ( z b) cis(130 ) + b a + a = α z + β

26 EXEMPLE : GRAPHIQUEMENT

27 TRANSFORMATION NON LINÉAIRE L inversion est une transformation non linéaire. Soit O un point du plan (le centre de l inversion) et m un nombre réel positif (le rapport de l inversion). Le transformé d un point A du plan par une inversion de rapport m est le point B situé sur la demi droite OA tel que OA. OB =m. Si O est l origine du plan, l inversion correspond à une transformation complexe. Si l affixe de A est le point B sera l image d un nombre b de module et d argument θ puisque B est situé sur la demi-droite OA. a b = ρcisθ = m ρ

28 INVERSION (SUITE) On a b m = cisθ = ρ m z Si le centre de l inversion est C(c), l affixe de l image de A par l inversion est: b m = + c ( z c)

29 PROPRIÉTÉS DE L INVERSION On démontre en géométrie que: L inversion transforme des droites ne passant pas par le centre de l inversion en cercles. L inversion transforme des droites passant par le centre de l inversion en droites.

30 PROPRIÉTÉS DE L INVERSION L inversion transforme des cercles ne passant pas par le centre de l inversion en cercles. L inversion transforme des cercles passant par le centre de l inversion en droites. L inversion est une transformation conforme.

31 COMPOSITION DE DEUX INVERSIONS La composition de deux inversions de même centre est une homothétie. En effet: z ' = m z et z '' m' m' m' = = = z ' m m z z Si les centres sont différents, la composition est une transformation plus générale: z ' m = + c z c et m' m' m' z '' = = + c ' = + c ' z ' m m + c c ' + c c ' z c z c

32 CAS GÉNÉRAL Développons cette dernière expression ( ) '( ) ( ) + + ( ) '( ) m' m' z c m' z c c ' m c c ' z c z '' = + c ' = + c ' = m + c c ' m + c c z c m + c c z c z c En regroupant les termes en z et les termes indépendants, on obtient une expression du type: z '' α z + β = γ z + δ qui est une transformation homographique.

33 TRANSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES Un transformation homographique est une transformation du type La matrice est la matrice de la transformation. α z + β z γ z + δ M α β = γ δ

34 TRANSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES La composition de deux transformations homographiques α z + β z ' = γ z + δ et α ' z z" = γ ' z + β ' + δ ' donne, après développement: z" = ( αα ' + β ' γ ) z + ( α ' β + β ' δ ) ( αγ ' + γδ ') z + ( γ ' β + δ ' δ ) La matrice de la transformation est le produit des matrices associées à chacune des transformations: α β α ' β ' M '' =. γ δ γ ' δ '

35 TRANSFORMATIONS ET TRANSFORMATIONS HOMOGRAPHIQUES Les transformations du plan rappelées précédemment sont des cas particuliers des transformations homographiques. La matrice de la translation est 1 a MT = 0 1 La matrice de la rotation de centre O et d angle θ est cisθ 0 = 0 1 La matrice de l homothétie de centre O et de rapport r est M R M H r 0 = 0 1 L inversion n est pas une transformation homographique car elle est une fonction du conjugué de z.

36 GÉOMÉTRIE ANALLAGMATIQUE En géométrie euclidienne, les propriétés sont invariantes par translation et rotation. La géométrie (non-euclidienne) où les propriétés sont invariantes par les transformations homographiques est appelée géométrie anallagmatique. Dans cette géométrie, on ne distingue pas les cercles des droites. De même la notion de distance n existe pas. Par contre, vu que les transformations homographiques sont conformes, la notion d angle existe dans cette géométrie.

37 EXEMPLES DE TRANSFORMATIONS PARTICULIÈRES z ' = z² + 1 z

38 EXEMPLES DE TRANSFORMATIONS PARTICULIÈRES z ' = z² + 1 z

39 EXEMPLES DE TRANSFORMATIONS PARTICULIÈRES z ' = z + 1 z

40 EXEMPLES DE TRANSFORMATIONS PARTICULIÈRES z ' = z + 1 z

41 EXEMPLES DE TRANSFORMATIONS PARTICULIÈRES z ' = z + 1 z

42 EXEMPLES DE TRANSFORMATIONS PARTICULIÈRES z ' = z + 1 z

43 EXEMPLES DE TRANSFORMATIONS PARTICULIÈRES z 2z ' = z + 3

44 L ENSEMBLE DE MANDELBROT Sommaire : - Benoit Mandelbrot - Petit Rappel des suites numériques - Introduction à l ensemble - La découverte - En pratique - Les fractales - Application des Complexes - Conclusion

45 BENOIT MANDELBROT Benoit P. Mandelbrot est un mathématicien né en 1924 à Varsovie. Dès 1936, il quitte la Pologne pour Paris, où il fait de brillantes études et finit par intégrer l'ecole Polytechnique. Il part ensuite aux U.S.A., où il a travaillé pour la firme I.B.M. Il était également professeur de mathématiques à l'université d'harvard. Il est décédé en 2010.

46 PETIT RAPPEL DES SUITES NUMÉRIQUES Une suite arithmétique est une suite de nombres réels tels que chacun d'eux à partir du deuxième est égal au précédent augmenté d'un même nombre r appelé raison arithmétique. a n = a n 1 + r Une suite géométrique est une suite de nombres réels tels que chacun d'eux à partir du deuxième est égal au précédent multiplié par un même nombre q appelé raison géométrique. a n = a n 1.q

47 INTRODUCTION À L ENSEMBLE En 1979, Benoit B. Mandelbrot s'amusa avec une équation de récurrence toute simple. z n+1 = z n2 + C z 0 = 0. dont le développement est z 0, z 02 + C, (z 02 + C) 2 + C,...

48 LA DÉCOUVERTE La valeur de C est une constante de l'ensemble des nombres complexes qu'il associa à un point de l'écran de son ordinateur. Pour chaque nombre complexe C associé à un pixel de son écran, il obtint une suite de nombres complexes. Il calcula le module de chacun des termes de la suite. z 0, z 1, z 2, z 3, z 4,... Pour Rappel : Le module est la racine carré de la somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire du nombre complexe.

49 LA DÉCOUVERTE Lorsque la suite des modules ne tendait pas vers l'infini, le point C était considéré comme appartenant à l'espace recherché et était noirci. L'ensemble de Mandelbrot venait de naître.

50 EN PRATIQUE Pour reproduire l'ensemble de Mandelbrot, on associe à C des valeurs du plan complexe. On considère la portion du plan complexe ayant comme partie réelle, les valeurs entre -2.5 et 1.5 et comme partie imaginaire, les valeurs entre -1.5 et 1.5. Cette portion du plan complexe est subdivisée de façon à former une grille dont les éléments seront associés à des valeurs de C. Pour chaque valeur de C, on obtient une suite de modules. En pratique, on considère que la suite des modules ne tendra pas vers l'infini si les 30 premiers modules sont inférieurs à 2, on colorie alors en noir le point de la grille. Après avoir considéré tous les points de la grille, on obtient un ensemble de points noircis : l'ensemble de Mandelbrot. Nous accepterons ces caractéristiques mathématiques, les démonstrations de celles-ci étant trop longues.

51 EXEMPLE Donnons à C la valeur i correspondant au point (-0.1, 1) de notre grille. z n+1 = z n2 + ( i) Et z 0 = 0.

52 EXEMPLE Pour cette valeur de C, on obtient une suite de nombres complexes. Nous observons que le Neuvième module est supérieur à deux. Ce point est donc à rejeter de l ensemble. z 0 = i z 0 = 0 z 5 = i z 1 = i z 1 = z 6 = i z 2 = i z 2 = z 7 = i z 5 = z 6 = z 7 = z 3 = i z 4 = i z 3 = z 8 = i z 4 = z 9 = i z 8 = z 9 = 2.514

53 L ENSEMBLE DE MANDELBROT Il a donc trouvé un algorithme permettant de visualiser sur l'écran de son ordinateur (les calculs à la main lui auraient pris plusieurs siècles!) les points d'affixe C du plan complexe vérifiant la relation.

54 L ENSEMBLE DE MANDELBROT On peut colorer les points à l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot en utilisant des couleurs qui dépendent du nombre de termes calculés avant d'obtenir un module supérieur ou égal à 2. Les points d'une même couleur peuvent être interprétés comme étant des points s'éloignant à la même vitesse de l'ensemble de Mandelbrot.

55 Voici ce que nous obtenons, sur base d un logiciel informatique :

56 LES FRACTALES L'ensemble de Mandelbrot présente une propriété intéressante d'autosimilarité. Sa structure se reproduit d'une façon identique à toutes les échelles d'observation. Les formes qui présentent cette propriété d'autosimilarité s'appellent des fractales. Les fractales ont la particularité que n'importe quelle région lorsqu'elle est agrandie se révèle tout aussi finement structurée que la figure plus grande dont elle est extraite. Autrement dit, il y a une régression infinie de détails, un emboîtement infini de structures.

57 APERÇU DE L INFINITÉ DE L ENSEMBLE Source : You Tube