EPREUVE ECRITE D ADMISSIBILITE N 1

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1 CONCOURS D ACCES AUX EMPLOIS DE PROFESSEUR DE LYCEE PROFESSIONNEL AGRICOLE ET 4 ème CATEGORIE DE L ENSEIGNEMENT TECHNIQUE AGRICOLE PRIVE P L P A SESSION 2016 Concours : EXTERNE Section : MATHEMATIQUES PHYSIQUE-CHIMIE EPREUVE ECRITE D ADMISSIBILITE N 1 Culture Disciplinaire Coefficient : 2 Durée : 5 heures Si au cours de l'épreuve le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale très lisiblement sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les initiatives que cela l amène à prendre. L usage des calculatrices de poche est autorisé, à condition qu elles soient à fonctionnement autonome et qu il ne soit pas fait usage d imprimante. Le sujet est constitué de quatre exercices indépendants et comporte sept pages y compris celle-ci, dont deux pages d annexes. PLPA MATHEMATIQUES PHYSIQUE-CHIMIE Page 1 sur 7

2 Exercice 1 Partie A Les quatre parties sont indépendantes Un laboratoire met au point un test pour détecter les individus malades d une population d une espèce animale. Avant d autoriser son utilisation à grande échelle, il importe de connaître son niveau de fiabilité On sait que 3% des individus d une population sont malades. Une étude a permis d établir que lorsqu un individu est malade, le test est positif avec une probabilité de 0,99 et que lorsqu un individu n est pas malade, le test est négatif avec une probabilité de 0,98. Partie B 1. Déterminer la probabilité pour que le test soit positif. 2. Déterminer la probabilité pour qu'un individu soit malade sachant que le test est positif. 3. Que pensez-vous de l'efficacité de ce test? 4. On dit que le test est contraire à la réalité quand le résultat est un «faux positif» (le test est positif mais l individu n'est pas malade), ou un «faux négatif» (le test est négatif alors que l individu est malade). Quelle est la probabilité pour que le test soit contraire à la réalité? On suppose dans cette partie que la probabilité qu un individu d une population soit malade est égale à 0,03. On prélève un échantillon de n individus, n étant un entier naturel non nul. On admet que la population est suffisamment importante pour assimiler ce choix à des tirages successifs indépendants avec remise. On note X la variable aléatoire, qui à chaque échantillon de n individus, associe le nombre d individus malades. 1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et ses paramètres. 2. A partir de quelle valeur de n est-on sûr à plus de 99,9% d avoir au moins une personne malade? 3. Pour n = 50, déterminer à 10-4 près la probabilité d'obtenir au moins 2 individus malades. 4. On suppose de nouveau n quelconque. a. Justifier que l on est sûr à plus de 99,9% qu au moins deux individus sont malades si et seulement si n vérifie l inéquation : 0,97 n + 0,03 n 0,97 n 1 0,001. ( ) n 1 est décroissante. b. Montrer que la suite 0,97 n + 0,03 n 0,97 n 1 c. Ecrire un algorithme en langage naturel permettant de déterminer la plus petite valeur non nulle de n, notée n 0, pour laquelle 0,97 n + 0,03 n 0,97 n 1 0,001. d. Déterminer n 0 et justifier que pour tout n n 0, 0,97 n + 0,03 n 0,97 n 1 0,001 Page 2 sur 7

3 Partie C On effectue un recensement des animaux malades selon leur couleur. On recense, chez 350 individus de couleur grise, 14 malades. On recense, chez 400 individus de couleur blanche, 13 malades. Les individus de couleur grise sont-ils significativement davantage malades que ceux de couleur blanche? Justifier. Partie D On note Z la variable aléatoire, qui à chaque individu malade prélevé au hasard dans la population, associe sa masse en grammes. On suppose que Z est distribué selon une loi normale d espérance µ et d écart type σ. 1. Quelle est la loi de la variable aléatoire? 2. Expérimentalement, on a constaté que P(Z < 34) = 0,7157 et que P(Z < 37) = 0,8413. À l'aide de la table fournie en annexe ci-dessous ou de votre calculatrice, justifier que vérifie le système 3. En déduire les paramètres de la loi de Z. Exercice 2 désigne l effectif d une population U et celui d une population V, pendant l année de rang n, où n est un entier naturel. Chaque année, 2% de la population U migre vers V et 1% de la population V migre vers U. Lors de l année n = 0, la population U compte individus et la population V en compte On pose. Justifier que pour tout IN, avec 2. Démontrer par récurrence que, pour tout IN, 3. On pose et a. Vérifier les propriétés suivantes :, et b. En déduire que pour tout IN,. 4. Que peut-on dire de l évolution des deux populations après un grand nombre d années? Page 3 sur 7

4 Exercice 3 Partie A. Série harmonique. 1 On considère la série, définie pour tout entier naturel non nul par S n =. k 1. Justifier que est croissante. 2. Démontrer que : IN \ { 0 },. 3. En déduire la limite de la suite. 4. Démontrer que : IN \ { 0 },. 5. En déduire que : IN \ { 0 }, ln(n +1) S n 1+ ln n. 6. Déterminer alors un équivalent de en +. n k=1 Partie B. Constante d'euler On considère maintenant la suite, définie pour tout entier naturel non nul par. 1. Démontrer la relation suivante : IN \ { 0 }. 2. En déduire les variations de la suite. 3. Démontrer que : IN \ { 0 }. 4. En déduire que la suite converge. On appelle constante d'euler, que l on note γ, la limite de la suite. 5. Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul par. a. Démontrer que pour tout réel x positif,. b. En déduire que les suites et sont adjacentes. c. Démontrer que : IN \ { 0 }. d. Déterminer un entier n 0 tel que :. e. Soit γ une valeur approchée de à près, démontrer que : f. En déduire une valeur approchée de la constante d'euler à près. Page 4 sur 7

5 Exercice 4 Préciser pour chacune des propositions indépendantes qui suivent si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse. Proposition 1 On considère la suite définie par IR et IN. La suite diverge quelle que soit la valeur de. Proposition 2 Il existe deux nombres réels a et b tels que. Proposition 3 La suite définie par et pour tout entier naturel n,, a pour terme général :. Proposition 4 est une suite géométrique de raison q. Si q > 0, alors est croissante. Proposition 5 Un restaurateur possède 50 places dans son établissement. La probabilité pour qu une personne ayant réservé une table ne vienne pas est de 0,2. Un jour, il a pris 52 réservations. La probabilité qu il se trouve dans une situation embarrassante (à savoir que plus de 50 personnes viennent) arrondie au centième est de 0,04. Proposition 6 Le plus grand réel a > 0 tel que pour tout réel x, e x a x est e. Proposition 7 Les cercles cartésienne dans un repère orthonormé, sont tangents. et (C 2 ) : x 2 + y 2 24 x 18y = 0, définis par leur équation Proposition 8 Etant donnés trois réels non nuls, il en existe au moins deux dont le produit est positif. Proposition 9 La limite quand x tend vers 0 de la fonction est égale à 0. Proposition 10 L équation possède deux solutions réelles. FIN DU SUJET Page 5 sur 7

6 Annexes : Tables de loi Loi normale centrée réduite U est une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. Le tableau donne des valeurs de la fonction de répartition Φ de U : Φ(u) = P(U ()< u) : u 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0, ,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 Page 6 sur 7

7 Loi du Khi deux T est une variable aléatoire de loi de Khi-2 à k degrés de liberté. Pour chaque valeur de p et chaque valeur de k, le tableau donne la valeur de u telle que P(T < u ) = p. p 0,005 k 0,01 0,025 0,5 0,9 0,95 0,975 0,99 0, ,000 0,000 0,001 0,455 2,706 3,841 5,024 6,635 7, ,010 0,020 0,051 1,386 4,605 5,991 7,378 9,210 10, ,072 0,115 0,216 2,366 6,251 7,815 9,348 11,345 12, ,207 0,297 0,484 3,357 7,779 9,488 11,143 13,277 14, ,412 0,554 0,831 4,351 9,236 11,070 12,833 15,086 16, ,676 0,872 1,237 5,348 10,645 12,592 14,449 16,812 18, ,989 1,239 1,690 6,346 12,017 14,067 16,013 18,475 20, ,344 1,646 2,180 7,344 13,362 15,507 17,535 20,090 21, ,735 2,088 2,700 8,343 14,684 16,919 19,023 21,666 23, ,156 2,558 3,247 9,342 15,987 18,307 20,483 23,209 25, ,603 3,053 3,816 10,341 17,275 19,675 21,920 24,725 26, ,074 3,571 4,404 11,340 18,549 21,026 23,337 26,217 28, ,565 4,107 5,009 12,340 19,812 22,362 24,736 27,688 29, ,075 4,660 5,629 13,339 21,064 23,685 26,119 29,141 31, ,601 5,229 6,262 14,339 22,307 24,996 27,488 30,578 32, ,142 5,812 6,908 15,338 23,542 26,296 28,845 32,000 34, ,697 6,408 7,564 16,338 24,769 27,587 30,191 33,409 35, ,265 7,015 8,231 17,338 25,989 28,869 31,526 34,805 37, ,844 7,633 8,907 18,338 27,204 30,144 32,852 36,191 38, ,434 8,260 9,591 19,337 28,412 31,410 34,170 37,566 39, ,034 8,897 10,283 20,337 29,615 32,671 35,479 38,932 41, ,643 9,542 10,982 21,337 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 Page 7 sur 7