Composite unidirectionnel. Contraintes, déformations, modules élastiques D. Rouby

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1 Microécanique des coposites août 005 µa Coposite unidirectionnel. Contraintes, déorations, odules élastiques D. Roub "The essence o coposite aterials technolog is the abilit to put strong sti ibres in the right place, in the right orientation with the right volue raction". Derek HULL 98.. Rappels d'élasticité anisotrope E : odule d Young longitudinal E : odule d Young transversal E s : odule de cisailleent dans le plan : Coeicient de Poisson longitudinal La loi de Hooke s'écrit alors coe suit, dans l'hpothèse des contraintes planes : (A) ε ε ε s E E 0 E E s E s. olue éléentaire représentati (ER) z (A) i : volue (i : ibres, i : atrice) A i : aire de la section norale à v i : raction voluique A v ; v A Par la suite, on négligera la porosité, on a alors: (A) v v A A. Contrainte et déoration oennes La contrainte oenne dans le ER s'écrit : (A4) dv dv dv et dans les ibres et la atrice respectiveent : (A5) dv et dv

2 Coposite unidirectionnel. Contraintes, déorations, odules élastiques A Il vient donc: (A6) v v Il est à noter que cette relation est valable pour toutes les directions (indices :,, s et,, 6). Et dans la direction qui nous intéressera par la suite, elle s'écrit : (A7) v v Pour sipliier l'écriture, on oettra des indices et l'équ. A4 s'écrit inaleent : (A8) v v Cette epression est aussi valable dans le cas où ibres ou atrice sont ropue et que le ER présente une discontinuité, aisant intervenir des rechargeents au interaces. En ce qui concerne les déorations, le êe raisonneent conduit à : (A9) ou bien : (A0) ε v ε v ε v ε v Dans le cas de l'unidirectionnel, la déoration longitudinale est uniore : (A) ε ε ε ε ε qui s'écrit aussi, pour sipliier : ε ε ε 4. Modules d'élasticité Constituants Les constituants, ibre et atrice sont supposés isotropes. Ceci n'est pas vrai pour les ibres de carbone et de Kevlar. Modules d'young Fibre : E ; atrice : E Coe. de Poisson Fibre : ; atrice : Modules de cisailleent ou de Coulob (A) G E pour les ibres, et ( ) (A) G E pour la atrice. ( ) Modules de copressibilité hdrostatique (A4) Ei ki i ou ( i ) Modules de copression latérale (sans déoration longitudinale) (A5) Ei Ki i ou ( i ) ( i )

3 Coposite unidirectionnel. Contraintes, déorations, odules élastiques A Coposite unidirectionnel Module d'young longitudinal On applique ( et z 0), il vient alors : (A6) E v v ε ε ε et coe: (A7) E et E ε ε on obtient inaleent la loi des élanges des odules d'young : (A8) E v E v E Cette epression est une approiation car il a été supposé que les contraintes transversales et z sont nulles, ce qui n'est pas le cas car les coeicients de Poisson respectis des ibres et de la atrice ne sont pas égau a priori. La solution eacte s'écrit : (A9) E v E v E ξ avec le tere correcti donné par : 4 v v ( ) (A9a) ξ v v K G K Coeicient de Poisson longitudinal Un raisonneent analogue au précédent conduit à l'epression suivante : (A0) v v ξ avec : (A0a) ξ v v ( ) K K v v K G K Nuériqueent, les teres ξ et ξ sont tout à ait négligeables dans la plupart des cas. En ce qui concerne les coeicients de Poisson, rappelons que (à partir de l'équ. A.) : (A) E E Attention, dans certains ouvrages, les indices, ou L, T sont inversés dans les coeicients de Poisson. Se réérer à leur déinition. Module de cisailleent dans le plan Il est donné par l'epression suivante : (A) Es G G ( v ) Gv G G ( v ) G v

4 Coposite unidirectionnel. Contraintes, déorations, odules élastiques A4 Module de copression latérale (ε 0) v (A) K K v k k ( G G ) k G 4 Module de cisailleent transversal Il s'agit du cisailleent dans un plan noral à l'ae : G z. (A4) G z G Module d'young transversal v 7 k G G v G G 8 k G A partir de l'équ. A0 et en supposant que la contrainte est uniore dans la direction transversale ( ), on obtient l'epression sipliiée suivante: (A5) v v E E E Cette epression conduit à des résultats nuériques qui sont un peu diérents des valeurs eactes. Celles-ci peuvent être obtenues avec l'epression suivante : (A6) E K Gz E 5. Coposite unidirectionnel en traction On a : v v, et ε ε, on constate donc que les contraintes dans ibres et atrice sont dans le rapport des odules : (A7) E E Par ailleurs, il est aisé de ontrer que les contraintes dans les deu constituants sont proportionnelles à la contrainte appliquée : (A8) E et E E E Ces contraintes sont, bien entendu, constantes le long de l'ae longitudinal si aucune discontinuité n'est présente dans le coposite. Pour en savoir plus J.M. BERTHELOT, Matériau coposites. Coporteent écanique et analse des structures. Masson. 996.

5 6. Eeples nuériques Coposite unidirectionnel. Contraintes, déorations, odules élastiques A5 Nous donnons ici quelques eeples tpiques de caractéristiques élastiques des ibres et atrices les plus courantes et de quelques coposites unidirectionnels. Fibres erre E erre R Kevlar 49* HT* HM* UHM* Aluine Netel E (GPa) epérience µ estié 0, 0,0 0,5 0,0 0,5 0,5 0,0 0,0 0,0 G (GPa) (Équ. A) 9,9 5,4 48,5 88,46 45,9 59,6 58, 8, 66,67 k (GPa) (Équ. A4) 4,45 47, 44,44 9,67 45,56 777,78,,, K (GPa) (Équ. A5) 5,4 59,0 60,49,5 48,95 864,0 6,89 8,89 77,78 *Fibres anisotropes, ais supposées isotropes pour les calculs suivants. Tableau A : Modules d'élasticité de ibres courantes. Matrices Polester Epo Titane TA6 Aluiniu 606 CD E (GPa) epérience,45 4, itrocéraique estié 0,0 0,40 0,0 0,5 0,0 0,5 G (GPa) (Équ. A),,6 40,8 8,00 87,50 k (GPa) (Équ. A4),88 7,50 87,50 46,67 50,00 5, K (GPa) (Équ. A5), 8,04 00,96 56,00,50 64,00 Coposites unidirectionnels tpiques v tpique E (GPa) (Equ. A8) (Equ. A0) (Équ. A) K (GPa) (Équ. A) E s (GPa) (Équ. A) E (GPa) (Équ. A5) E (GPa) (Équ. A6) ξ /E (%) (Équ. A9a) erre E Polester Tableau A : Modules d'élasticité de atrices tpiques. Kevlar 49 Epo C HT Epo C UHM Epo SCS6 40 µ Titane Aluine Netel Alu SIC CD vitrocéra 0,60 0,60 0,60 0,60 0,50 0,50 0,40 0,40 45,8 79,80 9,80 4,80 5,50 5,00 50,00 8,00 0,5 0,70 0,40 0,70 0,50 0,5 0,00 0,0 0,060 0,075 0,04 0,06 0,86 0,6 0,84 0,00 8,97 0,5,0,0 55,5 0,46 4,78 84,40 4,56 5,7 6,0 6,8 75,8 58, 7,50 45,86 8,05 0,69 0,9,4 66,4 8, 00,00 05,6 0,80 6,5 7,0 7,85 87,44 6,4,59, 0,04 0,004 0,0 0,0008 0,5 0,0 0 0,045 Tableau A : Modules d'élasticité de coposites unidirectionnels tpiques.