Document de liaison Mathématiques Cours de base 9 e -10 e -11 e Spécificité cantonale Programme de 10 e LS profil S

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1 Document de liaison Mathématiques Cours de base 9 e -10 e -11 e Spécificité cantonale Programme de 10 e LS profil S Année scolaire AVERTISSEMENT Ce document place les repères pour une cohérence partagée entre les 20 écoles du cycle d orientation dans la mise en œuvre du PER. Il ne se substitue pas au Plan d études romand, il en facilite l application concrète dans les classes genevoises. REPUBLIQUE ET CANTON DE GENEVE Enseignement Département de secondaire l'instruction I publique, Cycle d orientation de la culture et du sport Direction Enseignement générale secondaire Service I - de Cycle l enseignement d'orientation DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 1

2 Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Préambule Les cantons romands disposent, dès la rentrée 2011, d un plan d études commun Plan d études romand (PER). Parallèlement, pour les mathématiques, un nouveau moyen d enseignement, la collection Mathématiques , élaboré et structuré en fonction des exigences du PER, est introduit dans les classes romandes. Ce document est destiné aux enseignant-e-s genevois-es appelé-e-s à enseigner en 9 e, 10 e ou 11 e en appliquant le PER. Il est constitué de trois parties : les précisions genevoises aux progressions du PER, la répartition genevoise des progressions d apprentissage PER pluriannuelles, une proposition intercantonale de cheminement sur la base du Plan d études romand. Ces trois parties reprennent les contenus du PER ainsi que la progression des apprentissages décrite en trois niveaux, Niv Elles adoptent aussi sa terminologie par exemple : s = sensibilisation, lorsqu un objectif d apprentissage ne demande pas d évaluation et sa typographie les exemples sont indiqués en italique, de la même façon que dans le PER. Cependant, ce document ne reproduit pas tous les détails du PER. Ce dernier reste la référence que chaque enseignant-e est invité-e à consulter pour compléter ou clarifier les informations données ici. Il est important de relever que les niveaux indiqués par le PER sont des repères pédagogiques qu il conviendra, lorsque cela est possible et souhaitable, de dépasser. Il semble indispensable, afin de garantir l acquisition des connaissances et savoir-faire de niveau 1, respectivement 2, de se placer dans une dynamique d atteinte de niveau 2, respectivement 3. Première partie : Précisions genevoises aux progressions du PER Certaines progressions de 11 e qui restent vagues dans le PER (y compris après lecture des attentes fondamentales) ont été précisées par les RD genevois. Deuxième partie : Répartition genevoise des progressions d apprentissage PER pluriannuelles Certaines progressions du PER n étant pas découpées par année, les RD genevois ont décidé en septembre 2011 de les répartir annuellement. Le document, entré en vigueur dès la rentrée 2011, est intégré au présent document de liaison. Troisième partie : Proposition intercantonale de cheminement sur la base du PER Les grilles horaires en vigueur dans les cantons ne sont pas uniformisées ; de ce fait, dans le cadre de ce document, le choix a été effectué de poser la «semaine» comme unité de temps et, en accord avec diverses expériences vécues dans les différents cantons romands, d adopter la durée de 32 semaines pour l année scolaire effective. Cette partie du document propose une progression des apprentissages, en séquences successives, par niveau et année, organisée sur trois fois 32 semaines et incluant le travail sur la résolution de problèmes et les évaluations diagnostiques, formatives et sommatives. Les thèmes, présentés ici successivement, peuvent être travaillés en parallèle avec les élèves, notamment dans Espace et Grandeurs et mesures. Il est précisé, pour chaque séquence : le thème, la durée en semaines, la progression des apprentissages. 2 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

3 Première partie : Précisions genevoises aux progressions du PER FONCTIONS ET ALGÈBRE 1) «Connaissance et utilisation d identités remarquables de degré 2» (PER, Cycle 3, Domaine MSN, p. 28) En LC seules les identités ( a + b )², ( a - b )² et ( a + b ) ( a - b ) seront étudiées. En LS l identité ( x + a ) ( x + b ) sera étudiée en plus. 2) «Décomposition de polynômes en produits de facteurs» (PER, Cycle 3, Domaine MSN, p. 28) En LC on s en tiendra à appliquer séparément la mise en évidence ou une identité remarquable. En LS on appliquera plusieurs factorisations successives. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 3

4 Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Deuxième partie : Répartition genevoise des progressions d apprentissage PER pluriannuelles Dans ce document sont recensées toutes les progressions d apprentissage du PER qui sont prévues sur deux ou trois ans. L assemblée des RD de mathématiques a décidé, pour chacune, de la manière dont elle doit être traitée. ESPACE Figures géométriques planes Reconnaissance, dénomination, description de figures planes selon leurs propriétés (symétrie-s interne-s, côtés, angles, somme des angles, diagonales) et construction de : triangles quadrilatères, cercles (9, 10) polygones réguliers (niv. 1s, 2, 3) (10, 11) X X Reconnaissance, dénomination, description des propriétés de construction de : (9, 10) droites parallèles, droites perpendiculaires hauteur, médiatrice, bissectrice cercles inscrits et circonscrits (niv. 1s, 2, 3) médiane, centre de gravité (niv. 2, 3) X X X X Représentation de figures planes par un croquis et/ou un dessin à l'échelle (y compris échelle 1 : 1) (9, 10, 11) La répartition de cette progression suit celle des figures étudiées. 4 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

5 Solides Reconnaissance, dénomination, description (attentes fondamentale niv. 3) des solides selon leurs propriétés (faces, sommets, arêtes, polyèdre ou non) (9, 10) cube, parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre, pyramide cube, parallélépipède rectangle prisme droit, cylindre, pyramide Réalisation de développements et constructions de solides cube, parallélépipède rectangle, prisme droit cube, parallélépipède rectangle prisme droit cylindre, pyramide Représentation de solides en perspective (9, 10, 11) La répartition de cette progression suit celle des solides étudiés. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Transformations géométriques Reconnaissance et dénomination des isométries : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale (9, 10) Description, identification des caractéristiques d'une isométrie (vecteur de translation, axe de symétrie, centre de rotation ou symétrie, conservation des grandeurs, ) (niv. 1 (9, 10, 11), niv. 2, 3 (9, 10)) Anticipation de la position d'une figure plane après une ou plusieurs isométries (9, 10, 11) Réalisation de frises ou de pavages à l'aide d'isométries (9, 10) A l'aide des instruments ou de logiciels appropriés, construction de l'image d'une figure plane par une isométrie : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale (9, 10) symétrie axiale et centrale rotation, translation Repérage dans le plan et dans l'espace Utilisation de systèmes de repérages pour communiquer des positions et des itinéraires, pour placer des points (plan et espace) (9, 10, 11) 2D 3D DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 5

6 Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES NOMBRES ET OPÉRATIONS Exploration de situations aléatoires (10, 11) X Nombres Comparaison, approximation, encadrement, représentation sur une droite et un ordre de grandeur de nombres écrits sous forme : fractionnaire (y compris simplification et amplification), de pourcentage dans lq (niv. 3) (9, 10) lq + lq de puissance a b (a lq, b IN) (niv. 3) (9, 10) X de la notation scientifique a 10 n, n IN (niv. 1s) n Z (niv. 2, 3) (10, 11) écriture propriétés de racine carrée et cubique dans IR + (10, 11) X Discernement des ensembles de nombre, découverte de quelques nombres irrationnels (9, 10, 11) La répartition de cette progression suit celle des nombres étudiés. Exploration de quelques systèmes de numération (Rome, Egypte, Babylone, binaire, ) (9, 10, 11) La répartition de cette progression se fait en fonction de la pertinence des liens avec les chapitres abordés. 6 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

7 Calculs Connaissance et utilisation des priorités des opérations (y compris parenthèses) (9, 10) La répartition de cette progression suit celle des opérations étudiées. Connaissance et utilisation des propriétés des opérations pour organiser et effectuer des calculs de manière efficace et pour donner des estimations : addition, soustraction, multiplication, division (9, 10, 11) X Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental avec des : nombres rationnels positifs sous forme de décimale (+,,, :) (9, 10, 11) X nombres rationnels sous forme décimale (+,,, :) (niv. 2, 3) (10, 11) Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement X nombres entiers relatifs de 100 à +100 (+,,, :) (niv. 2, 3) (9, 10) +,, : des carrés parfaits pour en extraire la racine (10, 11) X DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 7

8 Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES FONCTIONS ET ALGÈBRE Résolution des problèmes de proportionnalité (propriétés, facteur de la proportionnalité) : quantité - quantité (prix, poids, devises, ), agrandissement et réduction de figures (9, 10) échelle, pourcentage, pente (10, 11) X X Fonctions Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions (9, 10, 11) Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques (9, 10, 11) Représentation d'une relation où interviennent deux grandeurs variables par : (9, 10, 11) un tableau des valeurs une représentation graphique (à la main, à l'aide d'un tableur, d'un grapheur, ) à partir d'un tableau des valeurs un ou plusieurs opérateurs (sous forme de "machine" ou d'expression verbale) Passage d'une représentation à une autre : (9, 10, 11) de l'opérateur au tableau de valeurs et inversement du tableau de valeurs à la représentation graphique et inversement niv. 1 X niv. 2, 3 droites autres Diagrammes Lecture de données (horaires, statistiques, ) et interprétation des diagrammes (9, 10, 11) cartésien, colonne, circulaire, barre Réalisation de diagrammes circulaire, en barre (niv. 1s, 2, 3) (10, 11) X Utilisation d'outils appropriés (tableur, grapheur, ) (9, 10, 11) La répartition de cette progression suit celle des diagrammes étudiés. 8 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

9 Algèbre - calcul littéral Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale ( a 2 + b 2, 3x 2 7, (B+b)h 2, 1 a + 1 b, πr2 h, ) en substituant des nombres aux lettres (niv. 2, 3) (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des expressions étudiées. Elaboration d'expressions littérales à partir d'énoncés de problèmes, de figures géométriques ou d'expressions verbales (niv. 2, 3) (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des expressions étudiées. Interprétation d'expressions littérales et identification de celles qui sont équivalentes (niv. 2, 3) (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des expressions étudiées. Addition, soustraction et multiplication de polynômes (niv. 2, 3) (10, 11) Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement addition, soustraction produit Algèbre - équations Résolution de problèmes nécessitant le recours à l'algèbre (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des techniques algébriques étudiées. Traduction d'une situation par une équation du premier degré à une inconnue (niv. 2) (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des équations étudiées. Résolution d'équations du premier degré à une inconnue à l'aide des règles d'équivalences (niv. 2) (10, 11) X DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 9

10 Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES GRANDEURS ET MESURES Mesure de grandeurs et conversions d'unités Comparaison, classement et mesure de grandeurs (longueur, aire, volume, angle, masse) par manipulation de lignes, angles, surfaces, ou solides, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles (9, 10, 11) Estimation de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expressions d'une grandeur dans diverse unités : masse, aire (9, 10) volume, capacité (10, 11) temps (10, 11) masse, aire volume, capacité, temps Sensibilisation aux aspects culturels (degré Farenheit, mile, pouce, mille marin, nœud, ) et historiques (coudée, pied, arpent, ) de la mesure (9, 10, 11) La répartition de cette progression suit celle des grandeurs étudiées. 10 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

11 Calcul de grandeurs Mesure des dimensions adéquates et calcul : de la longueur d'un arc de cercle et de l'aire d'un secteur circulaire (niv. 2, 3) (10, 11) X de l'aire d'un polygone par décomposition en figures simples (9, 10) X du périmètre et de l'aire d'une surface par décomposition en figures simples (10, 11) X du volume (par décomposition et à l'aide d'une formule) et de l'aire de prismes droits (niv. 1) (10, 11) X (niv. 2, 3) (9, 10) X du volume d'un solide (en le décomposant au besoin en solides simples) (10, 11) Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement X Calcul d'une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues (hauteur d'un triangle à partir de sa base et de son aire, ) (10, 11) La répartition de cette progression suit celle des formules étudiées. Utilisation du théorème de Pythagore (niv. 2, 3) (10, 11) Pythagore direct réciproque et contraposée DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 11

12 Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Troisième partie : Proposition intercantonale de cheminement sur la base du Plan d études romand Mathématiques 3 e cycle Visées prioritaires et objectifs d apprentissage - Rappels «Se représenter, problématiser et modéliser des situations et résoudre des problèmes en construisant et en mobilisant des notions, des concepts, des démarches et des raisonnements propres aux Mathématiques et aux Sciences de la nature dans les champs des phénomènes naturels et techniques, du vivant et de l environnement, ainsi que des nombres et de l espace». NOMBRES ET OPÉRATIONS MSN 32 Poser et résoudre des problèmes pour construire et structurer des représentations des nombres réels Résolution de problèmes numériques en lien avec les ensembles de nombres travaillés, l écriture de ces nombres et les opérations étudiées. ESPACE MSN 31 Poser et résoudre des problèmes pour modéliser le plan et l espace MODÉLISATION Résolution de problèmes géométriques en lien avec les figures et les transformations étudiées. MSN 35 Modéliser des phénomènes naturels, techniques, sociaux ou des situations mathématiques FONCTIONS ET ALGÈBRE MSN 33 Résoudre des problèmes numériques et algébriques Résolution de problèmes en lien avec les notions étudiées (fonctions, diagrammes, expressions algébriques et équations). Résolution de problèmes de proportionnalité. GRANDEURS ET MESURES MSN 34 Mobiliser la mesure pour comparer des grandeurs Résolution de problèmes de mesurage en lien avec les grandeurs et les théorèmes étudiés. 12 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

13 , la proposition de répartition donnée ci- après est issue du groupe inter cantonal des rédac- teurs des manuels La répartition de quelques progressions d'apprentissage ne correspond pas à la répartition genevoise présentée précédemment. Proposition de répartition des thèmes sur 32 semaines par année La progression des des apprentissages de du Niveau Niveau 1 permet 1 permet d atteindre, d atteindre, en fin en de fin cycle, de cycle, les attentes les attentes fondamentales fonda- ; mentales celles des Niveaux ; celles des 2 et Niveaux 3 permettent 2 et 3 d atteindre permettent des d atteindre attentes complémentaires. des attentes complémentaires. NIVEAU 1 NIVEAU 2 NIVEAU 3 une semaine 9 e 10 e 11 e 9 e 10 e 11 e 9 e 10 e 11 e Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement NOMBRES NATURELS ET DECIMAUX NOMBRES RELATIFS NOMBRES RATIONNELS ET REELS RECHERCHE ET STRATEGIES FIGURES GEOMETRIQUES PLANES!!! REPRESENTATIONS DE SOLIDES!!!!!! TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES LIGNES ET SURFACES!!! SOLIDES!!!!!! DIVERSES MESURES FONCTIONS ET DIAGRAMMES CALCUL LITTERAL EQUATIONS TOTAL!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$!"# $%&'()%$ # # # # # # # # #!"# $%&'()%$. DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 13

14 Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Mathématiques 9 e : proposition de répartition sur 32 semaines Semaines Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 NO9.1 NOMBRES NATURELS APPRENTISSAGES VISES 5 sem. 4 semaines - Reconnaissance et utilisation de propriétés des nombres naturels : critères de divisibilité, multiples et diviseurs communs ppmc, pgdc, nombres premiers, produit de facteurs Niv. 2 ı 3 - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre (y compris sous forme de puissances) - Connaissance et utilisation des priorités des opérations (y compris parenthèses) - Connaissance et utilisation des propriétés des opérations pour organiser et effectuer des calculs de manière efficace et pour donner des estimations : addition, soustraction, multiplication, division - Exploration de quelques systèmes de numération - Connaissance et utilisation de diverses fonctions de la calculatrice : quatre opérations de base, parenthèses, mise en mémoire et récupération de valeurs, puissance, racine,... - Prise en compte de l ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations ES9.1 FIGURES GEOMETRIQUES PLANES semaines Reconnaissance, dénomination, description de figures planes selon leurs propriétés (symétrie-s, interne-s, côtés, angles, somme des angles, diagonales) ; construction d angles, triangles, quadrilatères, cercles - Reconnaissance et dénomination des angles (aigu, obtus, droit, plat) - Estimation, comparaison, classement et mesure d angles en degrés - Reconnaissance, dénomination, description des propriétés et construction de : droites parallèles, droites perpendiculaires hauteur, médiatrice, bissectrice ; médiane Niv. 2 ı 3 cercles inscrit et circonscrit Niv. 1s ı 2 ı 3 - Représentation de figures planes par un croquis et/ou un dessin à l échelle (y compris 1:1) GM9.1 LIGNES ET SURFACES semaines Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de lignes, angles, surfaces, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles - Mesure des dimensions adéquates et calcul : du périmètre d'un polygone de l'aire d'un carré, d'un rectangle, d'un triangle, d'un parallélogramme, d'un losange, d'un trapèze (par décomposition et à l'aide d'une formule) de l'aire d'un polygone par décomposition en figures simples - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expression d'une grandeur dans des unités de longueur et aire NO9.2 NOMBRES RELATIFS ET DECIMAUX 2 sem. 4 sem. 3 sem. - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre relatif Comparaison, approximation, encadrement et représentation sur une droite de nombres relatifs - Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental avec des nombres relatifs de -100 à +100 (+,,, :) Niv. 2 ı 3 ES9.2 REPRESENTATIONS DE SOLIDES semaine - Reconnaissance, dénomination, description de solides selon leurs propriétés (faces, sommets, arêtes, polyèdre ou non) : cube, parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre, pyramide Réalisation de développements et construction de solides : cube, parallélépipède rectangle, prisme droit - Représentation de solides en perspective GM9.2 SOLIDES ET DIVERSES MESURES 3.5 sem. 2.5 semaines - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de solides, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles Mesure des dimensions adéquates et calcul du volume et de l'aire du cube et du parallélépipède rectangle du volume (par décomposition et à l'aide d'une formule) et de l'aire de prismes droits Niv. 2 ı Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expression d'une grandeur dans diverses unités : longueur, aire ; volume, capacité Niv. s ; masse ; temps Niv. s - Sensibilisation aux aspects culturels et historiques de la mesure 14 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

15 Semaines Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 NO9.3 NOMBRES RATIONNELS APPRENTISSAGES VISES 4 semaines 5 sem. - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre FA9.1 FONCTIONS ET DIAGRAMMES - Comparaison, approximation, encadrement, représentation sur une droite et ordre de grandeur de nombres écrits sous forme : décimale dans fractionnaire (y compris simplification et amplification) dans + Niv. 1 ı 2, dans Niv. 3 de pourcentage de puissance a b (a sous forme décimale dans + Niv. 1 ı 2, dans Niv. 3 et b dans IN) - Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental avec des nombres rationnels positifs : sous forme décimale (+,,, :) sous forme fractionnaire (+, ) Niv. 3 - Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de façon efficace avec des nombres rationnels positifs : sous forme décimale, inférieurs à , ayant au plus deux décimales (+,,, :) sous forme fractionnaire (+, ) Niv. 3 - Discernement des ensembles de nombres 5 sem. 4 sem. 4 sem. - Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques - Représentation d une relation où interviennent deux grandeurs variables par : un tableau de valeurs une représentation graphique (à la main, à l aide d un tableur, d un grapheur, ) un ou plusieurs opérateurs (sous forme de «machine» ou d expression verbale) - Passage d'une représentation à une autre : de l'opérateur au tableau de valeurs et inversement du tableau de valeurs à la représentation graphique et inversement - Résolution de problèmes de proportionnalité (propriétés, facteur de la proportionnalité) : quantité/ quantité (prix, poids, devises, ) agrandissement et réduction de figures - Lecture de données (horaires, statistiques, ) et interprétation de diagrammes - Réalisation de diagramme cartésien, en colonnes - Utilisation d'outils appropriés (tableur, grapheur, ) FA9.2 CALCUL LITTERAL NIV. 2 ı 3 2 semaines - Connaissance et utilisation des règles et conventions usuelles d'écriture algébrique Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale (4x + 5, abc, x 3,...) en substituant des nombres aux lettres - Élaboration d'expressions littérales à partir de figures géométriques ou d'expressions verbales ES9.3 TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES 3 sem. 2 semaines - Reconnaissance et dénomination des isométries : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale Description et identification des caractéristiques d'une isométrie (vecteur de translation, axe de symétrie, centre de rotation ou de symétrie, conservation des grandeurs, ) - Anticipation de la position d une figure plane après une isométrie - Réalisation de frises ou de pavages à l'aide d'isométries - Construction de l'image d'une figure plane par une isométrie (à l'aide des instruments ou de logiciels appropriés) : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale - Agrandissement et réduction de figures planes en utilisant la proportionnalité - Utilisation de systèmes de repérage pour communiquer des positions et des itinéraires, pour placer des points Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 15

16 Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Semaines Niv. 1 Niv. 2 ı 3 NO10.1 NOMBRES DECIMAUX ET RELATIFS APPRENTISSAGES VISES 4 sem. 3 sem. - Reconnaissance et utilisation de propriétés des nombres naturels : ppmc, pgdc, nombres premiers, produit de facteurs Niv. 1 - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre - Connaissance et utilisation des priorités des opérations (y compris parenthèses) - Connaissance et utilisation des propriétés des opérations pour organiser et effectuer des calculs de manière efficace et pour donner des estimations : addition, soustraction, multiplication, division puissances (a, b, m et n dans IN) : a m a n = a m+n, a m : a n = a m-n, (a m ) n = a mn, a m b m = (a b) m Niv. 2 ı 3 extraction de racine de carrés parfaits - Connaissance et utilisation de diverses fonctions de la calculatrice : quatre opérations de base, parenthèses, mise en mémoire et récupération de valeurs, puissance, racine,... - Prise en compte de l ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre relatif - Comparaison, approximation, encadrement et représentation sur une droite de nombres relatifs - Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental avec des nombres relatifs : de 100 à +100 (+) Niv. 1 de 100 à +100 (+,,, :) Niv. 2 ı 3 ES10.1 FIGURES GEOMETRIQUES PLANES 7 Mathématiques 10 e : proposition de répartition sur 32 semaines 2.5 semaines - Reconnaissance, dénomination, description de figures planes selon leurs propriétés (symétrie-s, interne-s, côtés, angles, somme des angles, diagonales) et construction de : triangles, quadrilatères, cercles polygones réguliers Niv. 1s ı 2 ı Reconnaissance, dénomination, description des propriétés et construction de : droites parallèles, droites perpendiculaires hauteur, médiatrice, bissectrice, cercles inscrit et circonscrit médiane, centre de gravité Niv. 2 ı 3 - Représentation de figures planes par un croquis et/ou un dessin à l échelle (y compris l échelle 1:1) GM 10.1 LIGNES ET SURFACES 3.5 semaines Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de lignes, angles, surfaces, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles Estimation, comparaison, classement et mesure des dimensions adéquates et calcul : du périmètre et de l aire d un disque de la longueur d un arc de cercle et de l aire d un secteur circulaire Niv. 2 ı 3 du périmètre et de l'aire d'un polygone et d une surface par décomposition en figures simples - Calcul d une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues (hauteur d un triangle à partir de sa base et de son aire,...) - Utilisation du théorème de Pythagore Niv. 2 ı 3 - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expression d'une grandeur dans diverses unités de longueur et aire 16 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

17 Semaines Niv. 1 Niv. 2 ı 3 FA10.1 CALCUL LITTERAL APPRENTISSAGES VISES 4 semaines - Connaissance et utilisation des règles et conventions d'écriture algébrique Niv. 1s ı 2 ı Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale : en substituant des nombres aux lettres ( bh, 4x + 5, abc, x 3...) Niv en substituant des nombres aux lettres ( a 2 + b 2, 3x 2 (B +b) h ,, 1 2 a + 1 b, πr2 h...) Niv. 2 ı Élaboration d'expressions littérales à partir d énoncés de problèmes, de figures géométriques ou d expressions verbales Niv. 2 ı 3 - Interprétation d expressions littérales et identification de celles qui sont équivalentes Niv. 2 ı 3 - Connaissance de la terminologie, écriture réduite et ordonnée de monômes à coefficients entiers, au plus trois indéterminées : degré 3 Niv. 2 degré 6 Niv. 3 - Opérations : addition, soustraction et multiplication de monômes et polynômes Niv. 2 ı 3 NO10.2 NOMBRES REELS 5 sem. 4 sem. - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre Comparaison, approximation, encadrement, représentation sur une droite et ordre de grandeur de nombres écrits sous forme : fractionnaire (y compris simplification et amplification) dans de pourcentage de puissance a b, (a sous forme décimale dans + Niv. 1, dans Niv. 2 ı 3 ; b dans IN) de la notation scientifique a 10 n (n dans IN Niv. 1s, n dans Niv. 2 ı 3) de racine carrée et cubique dans IR + - Discernement des ensembles de nombres, découverte de quelques nombres irrationnels - Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental, pour obtenir un résultat exact ou une estimation, avec nombres rationnels (positifs Niv. 1) sous forme décimale (+,,, :) et sous forme fractionnaire (+, ) Niv. 1 ı 2; (+,,, :) Niv. 3 - Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de façon efficace avec des nombres rationnels : positifs sous forme fractionnaire (+, ) Niv. 1 ı 2 sous forme fractionnaire (+,,, :) Niv. 3 - Exploration de situations aléatoires - Exploration de quelques systèmes de numération - Connaissance et utilisation de diverses fonctions de la calculatrice : quatre opérations de base, parenthèses, mise en mémoire et récupération de valeurs, puissance, racine,... - Prise en compte de l ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations ES10.2 REPRESENTATIONS DE SOLIDES 1.5 semaine - Reconnaissance, dénomination, description de solides selon leurs propriétés (faces, sommets, arêtes, polyèdre ou non) : cube, parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre, pyramide - Réalisation de développements et construction de solides : cube, parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre - Représentation de solides en perspective GM10.2 SOLIDES ET DIVERSES MESURES 3.5 semaines Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de solides, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles Mesure des dimensions adéquates et calcul : du volume (par décomposition et à l'aide d'une formule) et de l'aire de prismes droits du volume et de l'aire du cylindre Niv. 2 ı 3 du volume d un solide (en le décomposant au besoin en solides simples) - Calcul d une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement - Estimation, comparaison, classement et mesure de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expression d'une grandeur dans diverses unités : longueur, aire, volume, capacité masse, temps vitesse Niv. s - Sensibilisation aux aspects culturels et historiques de la mesure DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 17

18 Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Semaines Niv. 1 Niv. 2 ı 3 FA10.2 EQUATIONS NIV. 2 ı 3 4 sem APPRENTISSAGES VISES - Résolution de problèmes nécessitant le recours à l algèbre - Traduction d une situation par une équation du premier degré à une inconnue - Résolution d équations du premier degré à une inconnue à l aide des règles d équivalence FA10.3 FONCTIONS ET DIAGRAMMES 6 sem sem Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions - Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques - Représentation d une relation où interviennent deux grandeurs variables par : un tableau de valeurs une représentation graphique (à la main, à l aide d un tableur, d un grapheur, ) un ou plusieurs opérateurs (sous forme de «machine» ou d expression verbale) - Passage d'une représentation à une autre : de l'opérateur au tableau de valeurs et inversement du tableau de valeurs à la représentation graphique et inversement de l expression fonctionnelle au tableau de valeurs et à la représentation graphique : x ab, x aax, x aax + b x aax 2 (a et b dans ) Niv. 2 ı 3 - Résolution de problèmes de proportionnalité (propriétés, facteur de proportionnalité) : quantité / quantité (prix, poids, devises, ) agrandissement et réduction de figures échelle, pourcentage, pente - Lecture de données (horaires, statistiques, ) et interprétation de diagrammes - Réalisation de diagramme (cartésien, en colonnes, circulaire, en barre) - Utilisation d'outils appropriés (tableur, grapheur, ) ES10.3 TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES 2 semaines - Reconnaissance et dénomination des isométries : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale Description et identification des caractéristiques d'une isométrie (vecteur de translation, axe de symétrie, centre de rotation ou de symétrie, conservation des grandeurs, ) - Anticipation de la position d une figure plane après une ou plusieurs isométries - Réalisation de frises ou de pavages à l'aide d'isométries - Construction de l'image d'une figure plane par une isométrie (à l'aide des instruments ou de logiciels appropriés) : translation, symétrie axiale, rotation, symétrie centrale - Utilisation de systèmes de repérage pour communiquer des positions et des itinéraires, pour placer des points - Agrandissement et réduction de figures planes en utilisant la proportionnalité 18 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

19 Mathématiques 11 e : proposition de répartition sur 32 semaines Semaines Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 NO11.1 NOMBRES REELS APPRENTISSAGES VISES 5 sem. 4 sem. 3 sem. - Connaissance et utilisation de différentes écritures d'un même nombre Comparaison, approximation, encadrement, représentation sur une droite et ordre de grandeur de nombres écrits sous forme : de la notation scientifique a 10 n (n dans IN, Niv. 1, n dans Niv. 2 ı 3) de racine carrée et cubique dans IIR + - Discernement des ensembles de nombres, découverte de quelques nombres irrationnels - Connaissance et utilisation des propriétés des opérations pour organiser et effectuer des calculs de manière efficace et pour donner des estimations : addition, soustraction, multiplication, division racines carrées (cubiques), y compris extraction d entiers (a et b dans IN) Niv. 3 : a b = a b, a b = a b, a2 b = a b - Utilisation de procédures de calcul réfléchi ou de calcul mental avec des nombres entiers relatifs de 100 à +100 (+,,, :) Niv. 1 nombres rationnels positifs sous forme décimale (+,,, :) Niv. 1 nombres rationnels sous forme décimale (+,,, :) Niv. 2 ı 3 nombres rationnels positifs sous forme fractionnaire (+,,, :) Niv. 2 - Utilisation des algorithmes pour effectuer des calculs de façon efficace avec des nombres rationnels positifs sous forme fractionnaire (+,,, :) Niv. 1 ı 2 - Connaissance et utilisation de diverses fonctions de la calculatrice : quatre opérations de base, parenthèses, mise en mémoire et récupération de valeurs, puissance, racine,... - Prise en compte de l ordre dans lequel la calculatrice effectue les opérations ES11.1 FIGURES GEOMETRIQUES PLANES 1 sem. 2 semaines - Reconnaissance, dénomination, description de figures planes selon leurs propriétés (symétrie-s interne-s, côtés, angles, somme des angles, diagonales) et construction de polygones réguliers - Reconnaissance, dénomination, description des propriétés et construction de : tangente, angle au centre d un cercle, angle inscrit dans un cercle, angles isométriques (opposés par le sommet, alternes-internes,...) Niv. 2s ı 3 cercle de Thalès Niv. 3 - Représentation de figures planes par un croquis et/ou un dessin à l échelle (y compris l échelle 1:1) GM11.1 LIGNES ET SURFACES semaines Comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de lignes, angles, surfaces, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles. - Mesure des dimensions adéquates et calcul : de la longueur d un arc de cercle et de l aire d un secteur circulaire Niv. 2 ı 3 du périmètre et de l aire d une surface par décomposition en figures simples - Calcul d une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues (hauteur d un triangle à partir de sa base et de son aire,...) - Utilisation du théorème de Pythagore - Utilisation de la proportionnalité des figures semblables et du théorème de Thalès Niv. 2 ı 3 NO11.2 NOMBRES REELS semaines Exploration et traitement de situations aléatoires à l aide de notions de probabilités Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 19

20 Document de liaison Mathématiques MATHÉMATIQUES Semaines Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 FA11.1 CALCUL LITTERAL APPRENTISSAGES VISES 4 semaines - Connaissance et utilisation des règles et conventions usuelles d'écriture algébrique Connaissance de la terminologie, écriture réduite et ordonnée de polynômes de degré 3 au plus trois indéterminées à coefficients entiers Niv. 2, rationnels Niv Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale en substituant des nombres aux lettres : a 2 +b 2, 4(x + y + z), πr 2 h... Niv.1, 3x 2 (B +b) h 7,, 1 2 a Niv. 2 ı 3 b - Élaboration d'expressions littérales à partir d énoncés de problèmes, de figures géométriques ou d expressions verbales - Interprétation d expressions littérales et identification de celles qui sont équivalentes Niv. 2 ı 3 - Opérations sur les polynômes : addition, réduction de monômes et polynômes du premier degré à une indéterminée et à coefficients entiers Niv. 1 addition, soustraction et multiplication de polynômes Niv. 2 ı 3 connaissance et utilisation d identités remarquables de degré 2 Niv. 2 ı 3 décomposition de polynômes en produit de facteurs Niv. 2 ı 3 - Utilisation du calcul littéral comme outil de preuve dans des cas simples Niv. 3 ES11.2 REPRESENTATIONS DE SOLIDES semaines Reconnaissance, dénomination, description de solides selon leurs propriétés (faces, sommets, arêtes, polyèdre ou non) : cône, sphère - Réalisation de développements et construction de solides : cylindre Niv. 1 pyramide régulière Niv. 2 ı 3 - Représentation de solides en perspective GM11.2 SOLIDES ET DIVERSES MESURES semaines Comparaison, classement et mesure de grandeurs par manipulation de solides, en utilisant des unités conventionnelles et non conventionnelles. - Mesure des dimensions adéquates et calcul : du volume (par décomposition et à l'aide d'une formule) et de l'aire de prismes droits Niv. 1 du volume et de l'aire du cylindre Niv. 1 ; d une pyramide Niv. 2 ı 3 ; d une sphère Niv. 3 du volume d un cône Niv. 2 ı 3 du volume d un solide (en le décomposant au besoin en solides simples) - Calcul d une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues - Estimation de grandeurs, choix d'une unité adéquate, prise de mesure à l'aide d'un instrument adapté et expression d'une grandeur dans diverses unités : volume, capacité, temps vitesse autres grandeurs (débit, masse volumique, ) Niv. 1s ı 2 ı 3 - Calcul d une grandeur manquante à partir de celles qui sont connues - Sensibilisation aux aspects culturels et historiques de la mesure 20 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

21 Semaines Niv. 1 Niv. 2 Niv. 3 FA11.2 EQUATIONS APPRENTISSAGES VISES 4 sem. 5 sem. 6 sem. - Résolution de problèmes nécessitant le recours à l algèbre Traduction d une situation par : une équation du premier degré à une inconnue un système d équations du premier degré à deux inconnues Niv. 3 une équation du deuxième degré à une inconnue Niv. 3 - Résolution : d une équation du premier degré à une inconnue à l aide des règles d équivalence d un système d équations du premier degré à deux inconnues à l aide des méthodes de combinaison linéaire et de substitution Niv. 3 d une équation du deuxième degré à une inconnue par factorisation ou à l aide de la formule de Viète Niv. 3 - Expression de chacune des variables d une formule connue en fonction des autres : d = vt ; A = bh 2 ; A = πr2, Niv. 2 ı 3 p = 2(a + b) ; A = (B +b) h 2 FA11.3 FONCTIONS ET DIAGRAMMES ; V = πr2 h 3 Niv. 3 5 sem. 4 semaines - Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques - Représentation d une relation où interviennent deux grandeurs variables par : un tableau de valeurs une représentation graphique (à la main, à l aide d un tableur, d un grapheur, ) un ou plusieurs opérateurs (sous forme de «machine» ou d expression verbale) - Passage d'une représentation à une autre : de l opérateur au tableau de valeurs et inversement du tableau de valeurs à la représentation graphique et inversement de l expression fonctionnelle au tableau de valeurs et à la représentation graphique : x ab, x aax, x aax + b, x aax 2 (a et b dans ) Niv. 1 x ab, x aax, x aax + b, x aax 2, x aa/x, x ax 3 (a et b dans ) Niv. 2 ı 3 x aax 2 + bx + c, x a x (a, b et c dans ) Niv. 3s de la représentation graphique à l expression fonctionnelle x ab, x aax, x aax + b (a et b dans ) Niv. 2 ı 3 - Résolution de problèmes de proportionnalité (propriétés, facteur de proportionnalité) : échelle, pourcentage, pente, vitesse moyenne masse volumique Niv. 1s ı 2 ı 3 débit Niv. 2 ı 3 Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement - Lecture de données (horaires, statistiques, ) et interprétation de diagrammes - Réalisation de diagramme (cartésien, en colonnes, circulaire, en barre) - Utilisation d'outils appropriés (tableur, grapheur, ) ES11.3 TRANSFORMATIONS GEOMETRIQUES semaines Description et identification des caractéristiques d'une : isométrie (vecteur de translation, axe de symétrie, centre de rotation ou de symétrie, conservation des grandeurs, ) homothétie (centre, rapport,...) Niv. 2 ı 3 similitude Niv. 3 - Anticipation de la position d une figure plane après une ou plusieurs isométries - Réalisation de frises ou de pavages à l'aide d'isométries - Construction de l image d une figure plane : par une homothétie Niv. 2 ı 3 par une similitude Niv. 3 - Utilisation de systèmes de repérage pour communiquer positions et itinéraires, pour placer des points DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON 21

22 MATHÉMATIQUES 22 DIP GENÈVE DOCUMENT DE LIAISON

23 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Programme et activités Année scolaire REPUBLIQUE ET CANTON DE GENEVE Enseignement Département de secondaire l'instruction I publique, Cycle d orientation de la culture et du sport Direction Enseignement générale secondaire Service I - de Cycle l enseignement d'orientation 23

24 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S MATHÉMATIQUES Profil Scientifique 10 e LS Développements en mathématiques : programme Modalités La période hebdomadaire de 10 e pour les élèves de section LS, profil S, intitulée «développements en mathématiques», ne doit pas reprendre des contenus des progressions qui concernent l ensemble des élèves de 10 e, section LS - ni anticiper sur ceux de 11 e. Ainsi, il serait opportun d aborder dans cette période des activités provenant d un domaine différent de celui étudié en même temps dans le cours de base. Elle est destinée à un enseignement qui contribue au renforcement et au développement des capacités et des compétences des élèves dans les stratégies de résolution de problèmes et les activités de situations mathématiques. Elle est donnée en effectif complet. Evaluation La période «développements en mathématiques» est évaluée au trimestre et sa note est combinée 50/50 avec celle du cours de «physique» profil pour constituer la note de profil S. La note trimestrielle doit résulter d au moins deux travaux notés. L évaluation annuelle portera au moins pour 2/3 sur la recherche et sa restitution - et donc pour au plus 1/3 sur les contenus. Programme Les activités proposées proviennent des trois domaines PER : - Nombres et opérations (NO) - Espace, et Grandeurs et mesures (ES & GM) - Fonctions et algèbre (FA) Les stratégies de résolution relèvent, dans chaque domaine, de : - L analogie (A) [cf. Aide-mémoire, p. 138] - Le tâtonnement essais, exemples, contre-exemples (T) [cf. Aide-mémoire, p. 138] - Le chaînage avant, respectivement arrière (CAv, CAr) [cf. Aide-mémoire, p. 139] - L étude systématique des cas et l exhaustivité des solutions (ES) [cf. Aide-mémoire, p. 140] - L initiation à la démonstration (ID) Les stratégies de résolution contribuent à la mise en place de : - La démarche scientifique - Les règles du débat scientifique La réserve d activités en annexe est disponible en ligne sur le portail des maths, un certain nombre d entre elles étant accompagnées d une proposition de grille d évaluation. D autres activités sont également disponibles en ligne : celles élaborées au cours des demi-journées d étude du groupe de mathématiques et celles proposées par des enseignants-e-s dans l espace d échange qui leur est réservé sur le site. 24

25 Proposition de cheminement 2 e trimestre 1 er trimestre Problèmes simples - Mise en place de la narration de recherche Commentaire L évaluation porte plus sur la forme que sur le fond Initiation à la démarche et aux règles du débat scientifique Domaines Surtout NO - ES & GM Stratégies Surtout A - T - ES Problèmes plus complexes Commentaire L évaluation porte sur la forme et sur le fond La démarche scientifique et le respect des règles du débat scientifique sont également pris en compte Domaines NO et ES & GM / FA dès que le domaine a été repris dans le cours Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Stratégies A - T - ES / Progressivement CAv, CAr & ID 3 e trimestre Commentaire Domaines Problèmes complexes L évaluation porte sur tous les aspects de la recherche. NO - ES & GM - FA Stratégies A - T - ES - CAv, CAr - ID / Accent sur CAv, CAr - ID Répartition des activités proposées (voir annexe 1 : Activités) NO ES & GM FA Initiation à la démonstration NO1 - NO2 - NO2bis NO5 - NO6 - NO7 N9 - NO10 - NO11 NO12 - NO14- NO16 NO18 - NO22 - NO23 ES2 - ES4 - ES5 ES6 - ES12 - ES13 ES16 FA1 - FA2 FA4 FA5 - FA7 - FA8 FA9 - FA10 Chaînage avant / arrière ES1 - ES3 - ES7 ES8 - ES9 - ES10 ES11 - ES14 - ES15 ES17 - ES18 FA3 - FA12 Exemples / contreexemples NO1 - NO2 - NO2bis NO3 FA1 - FA2 - FA8 FA10 Exhaustivité NO4 - NO4bis - NO8 NO13 - NO15 - NO17 NO19 - NO20 - NO21 FA6 - FA11 25

26 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S MATHÉMATIQUES «Une réponse à un problème est un peu comme le but convenu d une promenade : il en faut bien un, mais le véritable intérêt réside dans la promenade elle-même.» Profil Scientifique 10 e LS Développements en mathématiques : introduction Jean-Yves Girard Les «visées prioritaires» du domaine Mathématiques et Sciences de la nature mettent la démarche d investigation et la résolution de problèmes au cœur de l activité mathématique. Mais : «Faire des mathématiques, c est se poser et résoudre des problèmes. La résolution de problèmes nécessite - condition nécessaire mais pas suffisante - l acquisition d automatismes. Ainsi, apprendre des mathématiques, ce n est pas seulement résoudre des problèmes, mais c est également passer par des exercices réguliers d entraînement et de consolidation afin d automatiser certains savoirs et savoir-faire.» Michel Mante Compte tenu d un plan d études chargé, la partie «appropriation, entraînement et consolidation des concepts, des savoirs et savoir-faire», occupe l essentiel des heures régulièrement attribuées aux mathématiques. Malgré la bonne volonté des enseignant-e-s, la partie «résolution de problèmes», notamment l activité de recherche reste bien souvent le parent pauvre de l enseignement des mathématiques. L attribution d une période supplémentaire dans le cursus des élèves de 10 e, section Littéraire et Scientifique (LS), profil Scientifique (S), a pour vocation de permettre à ces élèves d apprendre et de se familiariser avec cette partie importante de l activité mathématique. L objectif n est pas simplement de résoudre des problèmes «un par un», mais aussi de découvrir et systématiser des méthodes de recherche de problème. En particulier, le but est de placer l élève dans une situation d apprentissage où il ou elle devra mettre en œuvre une «démarche scientifique», c est-à-dire qui l amène à : essayer - conjecturer - tester - prouver Ce pan de l activité mathématique consiste donc en la pratique du problème ouvert*. Il s agit d une situation d enseignement qui place l élève dans la situation la plus typique de l activité mathématique, celle d affronter un problème dont l énoncé le ou la place, toutes proportions gardées, dans la position d un-e mathématicien-ne confronté-e à un problème dont il ou elle ne connaît pas la solution. L accent peut alors être porté : soit sur l activité de résolution elle-même, ce qui conduit au problème ouvert, soit sur la construction de connaissances - ou de stratégies - nécessaires à la résolution d une catégorie de problèmes, ce qui conduit à la situation-problème. Philippe Dubath et Rami Mouhssine, juin 2012 * NB : nous entendons «problème ouvert» dans son sens didactique et pas forcément au sens mathématique de «problème qui n a pas de solution connue dans la communauté scientifique». 26

27 Le problème ouvert Tout-e enseignant-e propose des activités à ses élèves : des exercices d application pour les entraîner à faire fonctionner une notion mathématique, des activités pour leur faire découvrir des notions mathématiques nouvelles, des tests pour les évaluer,... A priori, la plupart de ces activités ne sont pas des problèmes au sens de ce qui est entendu ici. L objectif des exercices d application est d entraîner les élèves à appliquer une procédure et non à l élaborer ou à la choisir. La plupart des activités destinées à permettre aux élèves de découvrir une notion nouvelle sont souvent constituées d une suite de questions qui guident l élève vers la notion - sauf dans le cas des situations-problèmes. Et les tests sont essentiellement constitués d exercices, non de problèmes. Selon une définition proposée par un groupe de l IREM de Lyon, un «problème ouvert» possède les caractéristiques suivantes : l énoncé est court. l énoncé n induit ni la méthode, ni la solution ; la solution ne doit pas se réduire à l utilisation ou l application immédiate des derniers résultats présentés en cours... le problème doit se trouver dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité ; ils et elles peuvent ainsi prendre facilement «possession» de la situation et s engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contre-exemples. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement La résolution d un problème procède d une série d étapes explicitées dans l Aide-mémoire des élèves (partie RS) : 1. Appropriation de l énoncé : «comprendre le problème pour en identifier le but» Lors de cette étape, l enseignant-e doit s assurer que tou-te-s les élèves sont entré-e-s dans la problématique, c est-à-dire qu ils et elles sont capables de se construire une représentation correcte des données, des contraintes et du but à atteindre. Le cas échéant, il ou elle répond aux questions, reformule - ou fait reformuler - l énoncé. 2. Traitement des données : «concevoir un plan», puis «mettre le plan à exécution» et «revenir sur la solution» Cette étape correspond au travail de recherche et de résolution proprement dit. Elle peut être partagée en un temps - relativement court - de recherche individuelle, suivi d un deuxième temps de travail en groupe. Pendant la phase de recherche individuelle, l enseignant-e peut vérifier que chaque élève a réellement lu l énoncé, l a au moins en partie assimilé, et que, pendant le travail de groupe, il ou elle ne se contentera pas de suivre les seules idées de celui ou celle qui parle en premier. Le travail en groupe permet d éviter le découragement de certain-e-s élèves, de stimuler la confrontation d idées entre élèves, et d apprendre aux élèves à collaborer, à s écouter, à défendre leur point de vue, à respecter l avis de l autre. 3. Communication des recherches et du résultat : «mettre en forme les résultats pour que quiconque puisse comprendre le travail effectué» Lors de cette étape, l élève doit rendre compte de toute la résolution du problème, aussi bien de la phase individuelle que du travail de groupe. Si l enseignant-e demande à chaque élève un tel compte-rendu, il ou elle peut l évaluer et disposer ainsi d un premier élément d évaluation du travail de recherche de l élève. 27

28 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S MATHÉMATIQUES La rédaction de ce compte-rendu représente une base de l évaluation ; elle constitue donc une compétence importante pour l élève. C est pourquoi la pratique de la «narration de recherche» a été choisie comme fil conducteur du travail pour la période de mathématiques de 10 e LS profil S. Selon l Aide-mémoire, une narration de recherche constitue «un compte-rendu complet de la recherche, y compris les mauvaises pistes, les essais qui n ont rien donné ou encore les fausses conjectures ainsi que les raisons qui ont conduit à les abandonner.» La narration de recherche 1. Présentation de la narration de recherche L observation individuelle des élèves en situation de recherche des solutions de problèmes, étape faite d essais, de tâtonnements et d intuition, nous révèle qu ils et elles peuvent faire preuve d une grande ingéniosité. Ils et elles sont très actifs et actives et mettent en œuvre de nombreuses stratégies. Cette première phase de recherche plaît en général aux élèves, mais lors de travaux traditionnels ce moment de recherche est suivi par la phase rédactionnelle, la mise en forme de la solution et l élève se heurte alors à la mise en ordre et à l articulation de ses argumentations, à des difficultés de vocabulaire et de syntaxe. Il ou elle peut ne rien écrire malgré une recherche importante, si elle ou il juge ses résultats non présentables, sa solution non conforme au modèle attendu ; ainsi il ou elle s autocensure et il ne reste aucune trace de sa véritable recherche. L enseignant-e se trouve alors très démuni-e pour apprécier le véritable travail de l élève. Voici comment est née l idée de proposer aux élèves un nouveau type de travaux : la narration de recherche. Il s agit de faire raconter par l élève lui / elle-même la suite des actions qu il ou elle a réalisées au cours de sa recherche. Un nouveau contrat est passé avec l enseignant-e : l élève s engage à raconter du mieux possible toutes les étapes de sa recherche, à décrire ses erreurs, comment lui sont venues de nouvelles idées ; en échange, l enseignant-e s engage à faire porter son évaluation sur ces points précis sans privilégier la solution. Les objectifs de cette pratique pédagogique peuvent évoluer tout au long de l année. Il peut s agir dans un premier temps de : développer la curiosité et l esprit critique des élèves, les mettre dans des situations de recherche motivantes, qui leur donne le goût de faire des mathématiques. donner un outil de communication, qui facilite le passage à l écrit des élèves. Dans une narration de recherche l élève est obligé-e de rédiger des phrases correctes, elle ou il prend ainsi conscience de l importance de la rédaction d un texte pour communiquer ses pensées à l enseignant-e. Il ou elle acquiert progressivement une certaine aisance et une rigueur dans ses écrits qui se retrouvent ensuite dans des exercices plus classiques. mettre en place les règles du débat mathématique, plus particulièrement les règles suivantes : un contreexemple suffit pour invalider un énoncé, des exemples qui vérifient un énoncé ne suffisent pas à montrer qu il est vrai ; une constatation sur un dessin ne suffit pas à prouver qu un énoncé est vrai. Ces règles ne sont pas naturelles pour les élèves car elles diffèrent souvent des méthodes de raisonnement de la vie courante. Les élèves doivent se les approprier à travers des situations où elles et ils sentiront leur nécessité. permettre à l enseignant-e une bien meilleure connaissance des procédures de ses élèves : les notions acquises et non acquises, les situations obstacles, les sources d erreurs... 28

29 2. Description de la méthode Comme toute nouvelle activité, elle demande une phase d apprentissage et ce n est qu après deux ou trois travaux de ce type que leur rédaction peut devenir satisfaisante. Dans un premier temps, l accent est mis sur cet aspect narratif, car l élève ne rédige pas un travail de mathématiques traditionnel. Il ou elle raconte plutôt une histoire : l histoire de sa recherche, elle ou il s implique personnellement, montrant ses hésitations, ses doutes. Ce travail est un espace de liberté pour l élève qui ne doit pas se sentir jugé sur ses capacités mathématiques mais sur son ingéniosité et sa persévérance dans la recherche d un problème. Dans un second temps, lorsque les élèves ont compris quel nouveau type de travail leur était demandé et surtout quelle nouvelle forme d expression, les diverses méthodes de recherche de l argumentation des résultats sont plus particulièrement travaillées, car la narration de recherche est assurément une activité essentielle pour l approche de la démonstration. La mise en place de cette pratique repose sur plusieurs éléments concernant essentiellement : le choix des énoncés, les consignes données aux élèves, la correction et l évaluation des copies, le compte-rendu en classe. Une étude successive de chaque point va être proposée et on retrouvera dans chacun cet aspect évolutif de l activité insistant d abord sur le côté narratif lors des premiers travaux puis sur le côté recherche lorsque la qualité du récit est satisfaisante. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement 2.1 Les énoncés Le choix et la rédaction des énoncés jouent un rôle déterminant. L énoncé doit piquer la curiosité de l élève et motiver sa recherche. Ses principales caractéristiques pourraient être : La concision : l énoncé doit être assez bref et exprimé simplement pour être le plus accessible possible aux élèves. La solution ne doit pas être évidente et n est surtout pas donnée par l énoncé : ce qui élimine en principe les énoncés du type «démontrer que...». Par ailleurs, si l on veut laisser le champ libre aux élèves quant au choix des stratégies mises en œuvres, il faut également éliminer les énoncés dans lesquels des sous-questions induisent une progression bien définie. Tout-e élève doit pouvoir démarrer sa recherche par tâtonnement, par des dessins ou par des essais numériques. Il est important aussi que l élève dispose d un moyen de vérification de la solution qu il ou elle propose : dans le cas contraire, elle ou il risque de s arrêter à la première solution proposée, qu elle soit correcte ou non. Le problème se situe dans un champ de connaissances où l élève peut prouver la validité de ses conjectures. Les problèmes dont la solution est accessible par plusieurs modes de raisonnement (algébrique, géométrique) sont particulièrement intéressants. 2.2 Les consignes données aux élèves En début d année, il est important de présenter oralement le contrat très particulier entre enseignant-e et élèves, sur lequel repose ce type d exercice. Ce contrat engage les élèves à raconter du mieux possible toutes les étapes de leur recherche, joindre éventuellement leurs brouillons, préciser les aides éventuelles, expliquer comment leur sont venues de nouvelles idées. En échange, l enseignant-e s engage à faire porter son évaluation sur les points évoqués ci-dessus, sans privilégier la solution. 29

30 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S MATHÉMATIQUES 2.3 La correction et l évaluation des copies De nouveaux critères sont à prendre en compte, car il ne s agit pas de mesurer une acquisition de connaissance ou un savoir-faire technique, comme c est très souvent le cas dans des travaux classiques. L évaluation porte plutôt sur l ingéniosité et la persévérance de l activité de recherche et non sur la validité de la solution proposée. Mais la connaissance de cette activité de recherche dépend essentiellement de la qualité de la narration que l élève en fait, les qualités du récit sont donc essentielles. Pour évaluer une narration de recherche, deux aspects sont à retenir : la recherche de la solution et la narration, c est-à-dire le récit qui est le moyen de comprendre la recherche. Les paramètres de cette évaluation évoluent dans le temps et selon les objectifs de chaque narration, mais il paraît intéressant d en relever quelques-uns dans le but d améliorer progressivement la qualité des travaux. Critères pour une bonne narration Le travail doit présenter toutes les qualités d un bon récit sans toutefois que les difficultés de syntaxe ou d orthographe ne constituent un obstacle à son expression et à sa spontanéité. L action de narrer n est pas une activité facile, mais on peut retenir quelques éléments qui sont à souligner et à encourager par le correcteur ou la correctrice sur les copies. Le style d écriture : les phrases s enchaînent, sont faciles à lire, la rédaction n est pas faite dans un style télégraphique. La présentation des copies est claire et soignée. La précision du récit : toutes les idées, tous les essais sont décrits minutieusement ; chaque action, chaque changement de piste doivent être commentés. La sincérité du récit : l élève s implique personnellement, fait part de ses doutes, de ses hésitations, décrit ses erreurs. Il ou elle emploie le «je», mentionne si elle ou il a reçu des aides extérieures. C est que la relation élève - enseignant-e joue un rôle déterminant ; l élève doit être mis-e en confiance pour raconter ses échecs, tout ce qui lui passe par la tête, il ou elle ne doit plus s autocensurer. Critères pour une bonne recherche Le choix des énoncés est très important pour que la recherche soit motivante. La solution n est pas évidente, l élève se trouve dans une véritable situation de recherche et les qualités d une démarche scientifique doivent être repérables dans son travail. On pourra mettre en place différents procédés d évaluation intermédiaires qui permettront aux élèves de mieux cerner le travail qui leur est demandé. Une évaluation de l analyse d un problème par la formulation et l explication de conjectures Les élèves doivent conjecturer une règle sur la base d exemples donnés, puis rédiger un compte-rendu qui doit leur permettre de présenter le problème à la classe. Chaque élève ou groupe peut avoir un problème différent, ce qui permet d aborder plusieurs formes de conjectures. L évaluation ne porte pas sur la résolution du problème proposé, mais sur une analyse a priori de celui-ci ainsi que sur son exposé. Une évaluation de la phase «recherche» : identifier et comparer des stratégies Il s agit d évaluer la capacité de l élève à utiliser différentes stratégies de recherche, de juger de leur pertinence et de développer un esprit critique face aux stratégies qu il ou elle applique. Il ou elle doit se poser le plus de «pourquoi?» possibles lorsqu il ou elle émet des conjectures, toujours s interroger sur la validité de ses résultats. On peut mesurer ici sa conscience de l existence de plusieurs stratégies, sa capacité à les appliquer, sa capacité à choisir une stratégie adaptée au problème traité ainsi que sa capacité à changer de stratégie si nécessaire. Une autre évaluation de la phase «recherche» : utiliser des indices Les élèves travaillent sur un problème à leur portée : tou-te-s les élèves sont sensé-e-s y arriver avec un peu d aide. L enseignant-e a étudié les différentes stratégies à l avance et préparé une liste d indices. Les élèves peuvent demander un indice quand elles ou ils en ressentent le besoin. L évaluation peut tenir compte du nombre d indices demandés par l élève. 30

31 Une évaluation de l attitude générale Il s agit d apprécier l attitude de l élève pendant sa recherche : sa persévérance, son autonomie, son respect du travail des autres, son ingéniosité. Chaque correction doit être un encouragement à progresser car une des sources indéniables de la motivation des élèves pour ce type de travail est la qualité de l attention manifestée par l enseignant-e pour les démarches de recherche de chacun d eux et chacune d elles. Le plus grand respect doit être réservé à l originalité présentée par les pensées les plus personnelles de chacun-e. Une évaluation d une présentation orale Il s agit, en plus ou à la place de la présentation écrite, d évaluer un exposé fait devant la classe de la recherche entreprise. Tous les critères énoncés ci-dessus constituent un point de départ pour juger une narration de recherche. Ce sont des éléments assez objectifs mais d autres paramètres, peut-être plus subjectifs, peuvent aussi intervenir dans cette évaluation. 2.4 Le compte-rendu en classe Les copies corrigées, évaluées (de manière sommative ou formative), l enseignant-e va rendre compte à la classe entière des différentes recherches de chacun-e, mais il ne s agit en aucun cas d élaborer une narration modèle car ces travaux doivent garder leur caractère personnel. Toutefois, grâce à ces comptes-rendus, les élèves pourront s imprégner des qualités d une bonne narration. En début d année, ces premières séances sont d une importance capitale pour l amélioration des narrations. Il est donc conseillé d y consacrer du temps. Pour mener ces séances, on retiendra les objectifs et pistes de travail suivants : motiver les corrections par le fait qu elles permettent de se dire les un-e-s aux autres quelles sont les différentes façons de chercher : c est un enrichissement pour les futures narrations ; valoriser les élèves en difficulté en ne perdant aucune occasion de citer telle procédure intéressante, telle question pertinente trouvées dans leurs copies. En leur montrant qu ils ou elles ont des capacités de recherche, ils ou elles prennent confiance en eux / elles et leur attitude vis-à-vis des mathématiques se modifie ; valoriser la recherche personnelle, une discussion en classe sur les aides de parents ou d ami-e-s est inévitable afin de montrer que les copies en deviennent pauvres puisqu ils et elles n ont plus rien à raconter ; citer toutes les stratégies recensées, puis élaborer collectivement une solution qui émane ainsi du travail personnel de chacun-e ; éviter de donner trop d importance à la solution du problème cherché. Cette solution peut évidemment être donnée aux élèves car elle est le moteur de la recherche, tout en insistant sur le fait que cette solution n a pas été trouvée dans certaines «bonnes narrations de recherche» ; personnaliser le compte-rendu en nommant précisément les élèves dont on cite les démarches intéressantes ; relire quelques «bons passages» de différentes narrations. Les séances de compte-rendu peuvent être des moments de grande écoute : les élèves sont curieux et curieuses de connaître les différentes stratégies trouvées par leurs camarades. Un débat peut s instaurer, terrain propice à l apprentissage de la démonstration. De nouvelles consignes peuvent être alors données car les objectifs évoluent dans le temps, une fois le côté narratif satisfaisant, l enseignant-e peut être plus exigeant-e sur les démarches de recherche, les procédures d argumentation ou les démonstrations. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement 31

32 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S MATHÉMATIQUES Bibliographie [1] Gilbert Arsac, Michel Mante (IREM de Lyon) Les pratiques du problème ouvert (Ed. CRDP Lyon, Collection Repères pour agir, septembre 2007) [2] Gilbert Arsac et al. (IREM de Lyon) Initiation au raisonnement déductif au collège (Presses Universitaires, Lyon, 1992) [3] Gilbert Arsac, Gilles Germain, Michel Mante (IREM de Lyon) Problème ouvert et situation-problème (IREM de Lyon, 1988) [4] Roland Charnay (IUFM de Lyon) Problème ouvert, problème pour chercher (Grand N n 51, 1992) [5] Mireille Sauter (IREM de Montpellier) Narration de recherche : une nouvelle pratique mathématique (Repères IREM, 1998) [6] Arlette Chevalier (IREM de Montpellier) Narration de recherche : un nouveau type d exercice scolaire (Petit x n 33, 1993) 32

33 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexes 1. Activités 2. Activités développées 3. Fiches d évaluation Répartition des activités proposées NO ES & GM FA Initiation à la démonstration NO1 - NO2 - NO2bis NO5 - NO6 - NO7 N9 - NO10 - NO11 NO12 - NO14- NO16 NO18 - NO22 - NO23 ES2 - ES4 - ES5 ES6 - ES12 - ES13 ES16 FA1 - FA2 FA4 FA5 - FA7 - FA8 FA9 - FA10 Chaînage avant / arrière ES1 - ES3 - ES7 ES8 - ES9 - ES10 ES11 - ES14 - ES15 ES17 - ES18 FA3 - FA12 Exemples / contreexemples NO1 - NO2 - NO2bis NO3 FA1 - FA2 - FA8 FA10 Exhaustivité NO4 - NO4bis - NO8 NO13 - NO15 - NO17 NO19 - NO20 - NO21 FA6 - FA11 REPUBLIQUE ET CANTON DE GENEVE Enseignement Département de secondaire l'instruction I publique, Cycle d orientation de la culture et du sport Direction Enseignement générale secondaire Service I - de Cycle l enseignement d'orientation 33

34 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 1 : Activités Domaine NO MATHÉMATIQUES 1. Toujours premier? Dans l expression n 2 n + 1, si on remplace n par n importe quel entier naturel, obtienton toujours un nombre premier? 2. Le carré d un nombre pair Si n est un nombre pair, n 2 est-il toujours un nombre pair? Justifie ta réponse. 2-BIS Le carré impair Soit n un entier. Enoncer et démontrer la contraposée de l implication suivante : «Si n 2 est impair, alors n est impair.» 3. Plus petit que son carré? Un nombre est toujours plus petit que son carré. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse? 4. Fractions égyptiennes a) Peut-on trouver deux entiers a et b tels que + = 1? b) Peut-on trouver trois entiers a, b et c tels que + + = 1? c) Continue 4-BIS Fractions égyptiennes a) On sait que + = 1 b) Est-il possible de trouver deux entiers naturels distincts a et b tels que + = 1? c) Trouver deux entiers naturels distincts a et b tels que + =. d) Trouver trois entiers naturels distincts a, b et c tels que + + = 1. e) Trouver quatre entiers naturels distincts a, b, c et d tels que = 1. f) Comment peut-on choisir 10 entiers naturels, tous distincts, tels que la somme de leurs inverses soit 1? g) Même question si on veut choisir 2007 entiers naturels distincts. 5. Principe des tiroirs Démontrer que si vous rangez ( n + 1 ) paires de chaussettes dans une commode qui possède n tiroirs distincts, alors il y a au moins un tiroir contenant au moins deux paires de chaussettes. 6. Divisibilité par 8 Le but de cet exercice est de démontrer par contraposition la propriété : «Pour n N*, si l entier ( n 2 1 ) n est pas divisible par 8, alors l entier n est pair.» a) Ecrire la contraposée de la proposition précédente. b) En remarquant qu un entier impair n s écrit sous la forme n = 4k + r avec k N et r = 1, 2 ou 3 (à justifier), prouver la contraposée. c) A-t-on démontré la propriété de l énoncé? 34

35 7. Vous avez dit «hypoténuse»? Démontrer que pour tous nombres positifs a, b et c, on a : a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + a 2 + c 2! 2"(a + b + c) 8. Sommes et produits On s intéresse aux diverses façons d écrire un nombre entier naturel comme somme d autres nombres entiers naturels (pour éviter les répétitions, ils sont écrits dans l ordre croissant). Par exemple : 5= , 5= , 5=1+1+3, 5=1+2+2, 5=1+4, 5=2+3 sont les six décompositions possibles du nombre 5. A chacune des sommes ainsi écrites, on associe le produit de ses termes. Les résultats obtenus pour 5 sont 1, 2, 3, 4 et 6. a) Quelles sont les décompositions possibles du nombre 7? Quels sont les produits correspondants? Lequel est le plus grand? b) On s intéresse à présent aux décompositions du nombre 28, qu on ne cherchera pas à écrire, et aux produits correspondants. - On considère une décomposition quelconque du nombre 28 où apparaît le nombre 1. On appelle P le produit associé. Trouver une décomposition dont le produit associé est supérieur à P. - On considère une décomposition quelconque du nombre 28 où apparaît le nombre 5. On appelle R le produit associé. Trouver une décomposition dont le produit associé est supérieur à R. - Quelles décompositions de 28 donnent le plus grand produit associé? Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement 9. Deux mille six = 2006 a) Quel est le nombre de chiffres du nombre N = ? b) Quelle est la somme des chiffres de N? 10. Deux mille sept = 2007 On considère le nombre N = écrit en copiant 2007 fois les chiffres 2, 0, 0, 7 (N est un nombre de 8028 chiffres). a) N est-il divisible par 9? b) N est-il divisible par 81? 11. Ils courent, ils courent... Dans une course de 2000 m, A finit 200 m avant B et 290 m avant C. Si B et C continuent à la même vitesse, où sera C quand B passera la ligne d arrivée? 35

36 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 1 : Activités MATHÉMATIQUES 12. Le bon motif Si on effectue le quotient de 1 par certains entiers, on fait apparaître des suites de décimales dans lesquelles des motifs se répètent. Par exemple : = 0, (le motif 3 se répète) ; = 0, (le motif se répète) ; = 0, (le motif 027 se répète). a) Ces motifs sont plus ou moins longs. Quel motif obtient-on pour? et pour? b) Le motif obtenu pour le nombre possède 96 chiffres ; on ne demande pas de le calculer. Ce motif commence par Quels sont ses trois derniers chiffres? 13. Et à la fin, que reste-t-il? On écrit la liste des cent nombres : 1,,,,,,,, à laquelle on applique le procédé suivant : On choisit des nombres a et b dans la liste et on les remplace par le seul a + b + ab, puis on continue de même. A chaque étape, l effectif perd une unité. A la fin, on ne peut plus continuer, il n y a qu un nombre. a) Si on procède systématiquement et en commençant par la gauche : - Quelle liste obtient-on après la première étape? Après la deuxième? - Quel nombre obtient-on après les 99 étapes? b) Et si on commence par la droite? c) Si on procède au hasard, quels résultats peut-on obtenir? 14. Des un avec des neuf a) Calculer les sommes : a = et b = b) On considère le nombre N défini comme la somme : N = Le premier terme de cette somme s écrit avec deux chiffres 9 ; on ajoute les nombres s écrivant avec trois, puis quatre chiffres 9, etc. Le dernier terme de la somme s écrit avec cent chiffres 9. On effectue la somme et on écrit N en écriture décimale ordinaire. Combien de fois le chiffre 1 apparaît-il dans cette écriture? 15. L escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. a) De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche? de deux marches? de trois marches? de quatre marches? de cinq marches? b) De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de 20 marches? 36

37 16. Des heures carrées Pierre est un passionné des nombres. Il a dans sa voiture une horloge digitale à quatre chiffres qui indique l heure de 00:00 à 23:59. Au moment de partir pour un long déplacement, Pierre observe son horloge et constate que les deux nombres indiqués, celui des minutes et celui des heures, sont des carrés de nombres entiers (qui, sur une horloge digitale, s écrivent sous la forme : 00, 01, 04, 09, 16, 25,...). Au retour de son voyage, Pierre constate que son horloge affiche de nouveau des carrés de deux nombres entiers. Son ordinateur de bord lui indique qu il a parcouru 352 km en 4 heures et 20 minutes. Quand Pierre peut-il être rentré de son voyage? 17. Partie de fléchettes On joue aux fléchettes sur une cible comportant trois zones : une à 5 points, une à 7 points et une à 11 points. On s intéresse aux différents scores possibles, le nombre de fléchettes n étant pas limité. Par exemple 30 est un score possible puisque 30 = ou 30 = a) Vérifier que 26, 43, sont des scores possibles. b) On dit que deux jeux sont identiques si, pour chacun d entre eux, chaque zone de la cible comporte le même nombre de fléchettes. Par exemple les jeux correspondant aux scores : et sont identiques. - Trouver quatre jeux différents donnant le score Démontrer qu il existe deux jeux différents et deux seulement correspondant au score 34. c) On dit que deux jeux sont identiques si, pour chacun d entre eux, chaque zone de la cible comporte le même nombre de fléchettes. Par exemple les jeux correspondant aux scores : et sont identiques. Trouver tous les scores que l on peut obtenir avec un lancer de trois fléchettes ayant toutes atteint la cible. Présenter les résultats de manière organisée. d) Démontrer que 14 et les quatre entiers suivants sont des scores possibles. e) Déterminer la liste des entiers positifs non nuls qui ne correspondent à aucun score. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement 18. Sommes télescopiques Préambule : Considérons cinq nombres A, B, C, D, E, donnés dans cet ordre. En faisant la somme de toutes les différences de deux de ces nombres consécutifs de cette liste, on obtient : ( A B ) + ( B C ) + ( C D ) + ( D E ) Cette somme, qualifiée de «télescopique», est égale à A E. Remarque : On peut étendre cette propriété à toute liste de 3, 4, 6, 7,, n nombres. Application Calculer Trois pour 484 Etant donné trois chiffres distincts a, b et c, il est possible en choisissant deux chiffres à la fois de former six nombres de deux chiffres. Déterminer a, b et c pour que la somme de ces six nombres soit égale à Des 0 et des 1 Déterminer tous les nombres entiers positifs de 7 chiffres au plus, divisibles par 6 et dont les chiffres sont des 0 ou des 1. 37

38 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 1 : Activités MATHÉMATIQUES de moyenne Soient a, b, c et d, quatre entiers tels que 0 a < b < c < d. Sachant que la moyenne de ces quatre entiers est 8, quelle est la plus grande valeur pour d? 22. La grille infernale On place des nombres dans des grilles 3 sur 3 selon le principe suivant : trois nombres placés sur une même ligne horizontale, sur une même colonne verticale ou sur une même diagonale sont tels que celui du milieu est la moyenne des deux autres. a) En appliquant ce principe, déterminer les nombres manquant dans la grille suivante : b) Déterminer la somme des neuf nombres de la grille suivante (dans laquelle a désigne un nombre donné) si on la remplit suivant le même principe : a 5 23 c) Déterminer les nombres x et y si la grille est complétée en appliquant toujours le même principe : x 7 9 y Billes en sacs a) On place 25 billes dans un sac, 16 billes dans un autre. On dispose par ailleurs d un nombre suffisant de billes pour réaliser les opérations suivantes, seules autorisées : - Oter le même nombre de billes de chaque sac ; - Doubler le nombre des billes se trouvant dans un des deux sacs. Avec une succession de telles opérations, est-il possible de vider simultanément les deux sacs? b) On place deux billes dans un sac et une bille dans l autre. Les opérations suivantes sont les seules autorisées : - Oter le même nombre de billes de chaque sac ; - Tripler le nombre des billes se trouvant dans un des deux sacs. Avec une succession de telles opérations, est-il possible de vider simultanément les deux sacs? 38

39 24. Sommes d entiers (cette activité est développée dans l annexe 2) a) On raconte que pour calculer la somme des entiers de 1 à 100, le jeune Gauss, alors qu il était encore écolier, eut l idée d écrire cette somme en rangeant les termes par ordre croissant puis décroissant. S 100 = S 100 = Puis il ajouta membre à membre les termes des deux égalités. Démontrer ainsi que S 100 = b) Soit n un entier naturel non nul. Quelle formule obtient-on en faisant la somme des entiers consécutifs de 1 à n? c) En déduire la somme des n premiers nombres pairs non nuls n, puis la somme des n premiers nombres impairs ( 2n + 1 ). d) Calculer S = Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement 39

40 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 1 : Activités Domaine ES&GM MATHÉMATIQUES 1. Deux angles et le périmètre Construire un triangle ayant un angle de 30, un angle de 40 et un périmètre de 12 cm. 2. La bonne mesure Soit ABC un triangle rectangle en A. Les bissectrices de ce triangle issues de B et C coupent respectivement [AC] en P et [AB] en Q. Les perpendiculaires abaissées de P et Q sur [BC] coupent [BC] respectivement en M et N. Quelle est la nature du triangle MAN? 3. Cercles et triangle équilatéral On considère trois cercles concentriques C 1, C 2 et C 3, avec R 3 < R 1 + R 2. Construire, à la règle et au compas, un triangle ABC équilatéral tel que A soit sur C 1, B sur C 2 et C sur C 3. Discuter du nombre de solution(s). Pourquoi la condition sur les rayons est-elle nécessaire? 4. Aire et longueur On considère un rectangle ABCD de longueur 10 cm et de largeur 4 cm. On appelle E le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABD et F le pied de la hauteur issue de C dans le triangle DBC. Calculer la longueur EF. 5. Triangle rectangle et cercles Soit ABC un triangle rectangle en A. Soit P un point de son hypoténuse. Le cercle circonscrit au triangle ABP recoupe la droite (AC) en M et le cercle circonscrit au triangle ACP recoupe la droite (AB) en N. 6. Dans un carré On place 51 points au hasard dans un carré de côté 1. Montrer qu on peut en trouver au moins trois à l intérieur d un cercle de rayon ce cercle peut déborder les côtés du carré. 7. Géométrie minimaliste Soient d 1 et d 2 deux demi-droites de même origine O et soit P un point contenu dans le secteur angulaire défini par ces deux demi-droites. Construire le triangle de plus petit périmètre, de sommet P et dont les deux autres sommets sont respectivement sur chacune des demi-droites. 8. Le milieu du segment Soient d 1 et d 2 deux demi-droites de même origine O et soit P un point contenu dans le secteur angulaire défini par ces deux demi-droites. Déterminer deux points M et N respectivement sur d 1 et d 2 tels que P soit le milieu du segment [MN]. 40

41 9. Un cercle et une droite On considère un cercle de centre O, un point A à l intérieur du cercle et un point B à l extérieur (la droite (AB) ne contenant pas le point O). En utilisant uniquement le compas, déterminer les points d intersection du cercle et de la droite (AB). 10. Un point dans un cercle On considère un cercle de centre O et A un point distinct de O situé à l intérieur de ce cercle. En n utilisant que la règle, construire l image de A par la symétrie de centre O. 11. Le point perdu On considère deux droites d 1 et d 2, non parallèles, mais dont le point d intersection n est pas connu (il est à l extérieur de la feuille par exemple). Soit A un point contenu dans le secteur angulaire défini par ces deux droites. Tracer la droite passant par A et par le point d intersection de ces deux droites. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement 12. L aire de l image On considère un triangle quelconque ABC. Soit E l image de A par rapport à B, F l image de B par rapport à C et G l image de C par rapport à A. Exprimer l aire du triangle EFG en fonction de celle du triangle ABC. 13. Le rectangle d Euclide On considère un rectangle ABCD. Soit E un point de la diagonale [AC]. La parallèle à (AB) passant par E coupe [AD] en M et [BC] en K. La parallèle à (AD) passant par E coupe [AB] en L et [DC] en N. Comparer les aires des rectangles MEND et BLEK. 14. A la règle seulement On considère un cercle de diamètre [AB] et un point M situé à l intérieur de ce cercle. Construire à la règle (non graduée) seulement, la perpendiculaire à (AB) passant par M. 15. Les trois médianes Soient trois droites concourantes. Construire un triangle dont ces trois droites sont les médianes. 41

42 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 1 : Activités MATHÉMATIQUES 16. Spirale de triangles rectangles (cette activité est développée dans l annexe 2) Tous les triangles de la figure ci-dessous sont rectangles. a) Continue la construction de cette «spirale» jusqu au huitième triangle. b) Quelle sera la longueur de l hypoténuse du huitième triangle (h 8 )? - Mesure-la sur ton dessin, puis détermine-la par des calculs. - c) Quelle sera la longueur de l hypoténuse du 2013 e (h 2013 )? h 2 h h 1 h Petits et gros cubes (cette activité est développée dans l annexe 2) Je dispose de deux boîtes cubiques entièrement remplies, à elles deux, de 280 petits cubes identiques. Lorsque je place les deux boîtes l une sur l autre, la hauteur est de 30 cm. Quel est le volume d un petit cube? Croquis 18. Centre de gravité (cette activité est développée dans l annexe 2) Un triangle ABC est dessiné ci-dessous mais une partie a été partiellement cachée. Construire le centre de gravité du triangle sans utiliser de tracés en dehors du cadre. A B 42

43 Domaine FA 1. Vous avez dit «inéquation»? Quels sont les nombres réels qui satisfont l inégalité suivante : ( 3x + 2 )! ( 2x 5 ) < 0 2. Fonction inversible Préambule : On considère les deux ensembles suivants : A = ensemble des élèves de la 100N B = ensemble des communes du canton de Genève Et la fonction de A dans B définie par : «La commune y est l image de l élève x si x habite à y» a) Question : La relation inverse est-elle une fonction? C est-à-dire : La relation de B dans A définie par : «L élève x est l image de la commune y si x habite à y» est-elle une fonction? b) Sous quelle(s) condition(s) une fonction mathématique est-elle inversible? 3. Le lapin et la tortue Le lapin et la tortue s affrontent sur une course de 5 km. Le jeu se joue avec deux dés ordinaires selon les règles suivantes. - La tortue part en premier. - Le premier dé donne le temps (en minutes) pendant lequel l animal court. - Le deuxième dé donne la vitesse de course de l animal (en km/h) pendant le temps donné par le premier dé. - Le vainqueur est celui qui arrive le premier au bout des 5 km. - Au besoin, on arrondira au dixième les résultats (distances parcourues) trouvés. Exemple : - La tortue obtient un 5 avec le premier dé et un 3 avec le deuxième dé.! De quelle distance avance-t-elle? - Le lapin obtient un 6 avec le premier dé et un 2 avec le deuxième dé.! Va-t-il dépasser la tortue? Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Questions : - Quelle distance maximale, respectivement minimale, peut-on parcourir avec un lancer des deux dés? - Préparer un tableau - éventuellement avec un tableur - permettant d obtenir directement la distance parcourue (en km) à partir de n importe quel lancer des dés. Par groupe de deux élèves, jouer une partie. 4. Optimisation Soit ABC un triangle rectangle isocèle en A tel que AB = 10 cm. Sur AB, on place un point M et on désigne par x la distance AM. On trace une parallèle au côté AC passant par M. Cette droite coupe le côté BC en N. On trace une parallèle au côté AB passant par N. Cette droite coupe le côté AC en P. Questions : - Quelle est la nature du quadrilatère AMNP? - Démontrer que les triangles CPN et MNB sont isocèles. - Quelles valeurs peut prendre la variable x? - Exprimer la longueur AP en fonction de x, puis l aire du quadrilatère AMNP en fonction de x - Représenter graphiquement l aire du quadrilatère AMNP en fonction de x. - Pour quelle valeur de x l aire de AMNP est-elle maximale? 43

44 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 1 : Activités MATHÉMATIQUES 5. Plateaux et pignons! a) Première situation On s intéresse à l engrenage ci-dessous, composé d un pignon et d un plateau : o Si le plateau fait un tour, combien de tours le pignon fait-il? o Si le pignon fait sept tours, combien de tours le plateau fait-il? o Est-on dans une situation de proportionnalité? b) Deuxième situation On s intéresse maintenant à un engrenage composé d un plateau de 8 cm de rayon et d un pignon de 3 cm de rayon. o Si le plateau fait un tour, combien de tours le pignon fait-il? o Si le pignon fait neuf tours, combien de tours le plateau fait-il? o Quel est le coefficient qui permet de passer du nombre de tours du plateau au nombre de tours du pignon? c) Troisième situation On s intéresse à présent au vélo de Mathman qui possède un plateau de 20 cm de rayon et un pignon de 8 cm de rayon, reliés par une chaîne. 6. Les citrouilles o Combien de tours le plateau fait-il lorsque Mathman donne un tour de pédales? o Combien de tours le pignon fait-il lorsque Mathman donne un tour de pédales? o Sachant que le diamètre de la roue du vélo de Mathman mesure 60 cm, réaliser un tableau qui donne la distance parcourue en fonction du nombre de tours de pédales. Les masses, en kilogrammes, de cinq citrouilles sont des entiers naturels tous différents. On place ces citrouilles deux par deux sur une balance. Les plus petites masses ainsi obtenues sont 16 kg et 18 kg, tandis que les plus grandes sont 26 kg et 27 kg. a) Ces informations permettent-elles de déterminer la masse de chacune des citrouilles? b) Si non, combien de cas en tout sont cohérents avec ces informations? Donner les cinq masses dans chacun des cas. 44

45 7. Le ballon de la coupe du monde Trois amis ont acheté ensemble le ballon officiel de la coupe du monde de football pour 135, qu ils ont payé à eux trois. Le premier a déboursé une somme inférieure ou égale à celle payée par ses deux amis ensemble. Le deuxième a déboursé une somme inférieure ou égale à la moitié de celle payée par ses deux amis ensemble. Quant au troisième, il a déboursé une somme inférieure ou égale au cinquième de celle payée par ses deux amis ensemble. Combien chacun a-t-il payé? 8. Les nombres glissants Un nombre glissant est un nombre qui peut se décomposer en la somme de deux entiers naturels non nuls, pas nécessairement distincts, tels que la somme de leurs inverses s écrive avec les chiffres du nombre de départ, dans le même ordre et précédés de 0 et d une virgule. Exemple : 20 = et + = 0,20! 20 est donc un nombre glissant. Quels sont les nombres glissants à deux chiffres? 9. Ordre croissant Soient a, b et c quatre nombres réels tels que a < b < c. On pose : x = ( a + b )! ( c + d ), y = ( a + c )! ( b + d ) et z = ( a + d )! ( b + c ). Classe x, y et z dans l ordre croissant Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Nicolas a additionné les entiers successifs, de 1 à p, avec sa calculatrice. Il a trouvé Son professeur lui déclare : «Tu en as oublié un!». Lequel? Déterminer tous les couples d entiers ( x ; y ) tels que + = 12. Le nombre perdu (cette activité est développée dans l annexe 2) Je tape sur ma calculatrice la séquence suivante : 6? 3 2? + 7 Enter = Même nombre Sachant que les deux cases grisées cachent le même nombre (entier, décimal, fraction, ), peux-tu trouver ce nombre si la calculatrice donne comme résultat 24? Même chose si la calculatrice affiche 592? Même chose si la calculatrice affiche 1,2? Même chose si la calculatrice affiche 69,2? Même chose si la calculatrice affiche 163,6? Même chose si la calculatrice affiche 88 9? 45

46 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 2 : Activités développées MATHÉMATIQUES NO24 - SOMMES D ENTIERS Fiche élève (a) On raconte que pour calculer la somme des entiers de 1 à 100, le jeune Gauss, alors qu il était encore écolier, eut l idée d écrire cette somme en rangeant les termes par ordre croissant puis décroissant. S 100 = S 100 = Puis il ajouta membre à membre les termes des deux égalités. Démontrer ainsi que S 100 = (b) Soit n un entier naturel non nul. Quelle formule obtient-on en faisant la somme des entiers consécutifs de 1 à n? (c) En déduire la somme des n premiers nombres pairs non nuls n, puis la somme des n premiers nombres impairs (2n + 1). (d) Calculer S = NO24 - SOMMES D ENTIERS Fiche professeur "#$%&'#(! <9=$ ; 6566 <5 566= <; DD= <S D@= 888 <566 5= 8$ ;6566 $"#1$.9$#())"$:"$566$1"+)"#$2U9-&$B$ $:/(T$ ! ; <*=$ && 5 6& M$ ; <3=$ ;? 888 ; & ; 6 & && < 5= $ 5 S 888 <; & 5= <5 ; S 888 ; & 5 ; & = <;? 888 ; & 8$ ;& ; & 5 ; V('3$.9$#())"$:"#$&$0+")%"+#$'()*+"#$%)09%+#$"#1$2U9."$B$ && < 5= & 8$ ; <:=$ ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; I(%1$ DD D@ DF 888 E C? S ; 5 1 <566 DD=<566 DD= <D@ DF=<D@ DF= 888 <E C=<E C= <? S=<? S= <; 5=<; 5= $ DD D@ DF 888 S ; 58$ 1 $:/(T$ 1 C6C6 8$ ; 5 46

47 NO24 - SOMMES D ENTIERS Critères de correction Critères Observables Points Résultats 1 points (b) S n = ( ) 0,25 (c) n = 2 S n = ( + 1) 0,25 et (2n + 1) = n 2 0,25 (d) S = ,25 (a) A observé qu il y a 100 couples de termes dont la somme vaut 101. (c) A observé que n = 2 S n A observé que (2n + 1) = S 2n+1 2 S n A substitué S 2n+1 2 S n = ( ) ( + 1) A développé et réduit ( ) ( + 1) = = n 2 0,5 0,75 Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Stratégie / Procédure 2 points (d) A observé qu on peut regrouper les termes 2 par 2 ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + ( ) A utilisé l identité remarquable (a + b) (a b) = a 2 b 2 et l a substitué pour chaque terme de la somme. 0,75 A observé qu on obtient S 100 = et a fait ce calcul. Autre procédure aboutissant à un résultat correct - à l appréciation du maître 2 Utilisation correcte des outils mathématiques 0,5 point 0,5 Communication du résultat 1 point Soin, structuration : mise en page, titre, chronologie respectée (haut/bas, gauche/droite), Présence de toutes les informations nécessaires à la bonne compréhension de la résolution (explicitation de chaque étape, calculs posés, unités, justifications, essais fructueux ou non, ) 1 47

48 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 2 : Activités développées MATHÉMATIQUES ES&GM16 - SPIRALE DE TRIANGLES RECTANGLES Fiche élève Tous les triangles de la figure ci-dessous sont rectangles. (a) Continue la construction de cette «spirale» jusqu au huitième triangle. (b) Quelle sera la longueur de l hypoténuse du huitième triangle (h 8 )? - Mesure-la sur ton dessin, puis détermine-la par des calculs. - (c) Quelle sera la longueur de l hypoténuse du 2013 e (h 2013 )? h 2 h h 1 h

49 ES&GM16 - SPIRALE DE TRIANGLES RECTANGLES Critères de correction Critères Observables Points Résultats 1 point (a) A construit des hypoténuses h 5 à h 8. Précision : mesure de h 8 = 9 cm ± 0,1 cm (b) A mesuré h 1 et h 8 et converti h 8 = 3 (0,25) A calculé h 8 = = 3 (0,5) 0,25 (c) A trouvé h 2013 = ,88 0,25 A appliqué le théorème de Pythagore et trouvé h 1. 0,25 0,5 Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Stratégie / Procédure 2 points A constaté que h 1 est l hypoténuse du premier triangle et une cathète du deuxième triangle et donc appliqué le théorème de Pythagore et trouvé h 2. A continué i.e. appliqué le théorème de Pythagore et trouvé h 3 - et éventuellement h 4, h 5, (sans constatation, cf. ci-dessous). A comparé h 1, h 2, h 3 (et éventuellement d autres), et constaté que h n = + 1 0,25 0,5 0,5 En a déduit h 8 = = 3 (0,25) et h 2013 = ,88 (0,25) Autre procédure aboutissant à un résultat correct. - A l appréciation du maître. 0,5 2 Utilisation correcte des outils mathématiques 0,5 point Application du théorème de Pythagore 0,5 Communication du résultat 1 point Soin, structuration : mise en page, titre, chronologie respectée (haut/bas, gauche/droite), Présence de toutes les informations nécessaires à la bonne compréhension de la résolution (explicitation de chaque étape, calculs posés, unités, justifications, essais fructueux ou non, ) 1 49

50 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 2 : Activités développées MATHÉMATIQUES Enoncé ES&GM17 - PETITS ET GROS CUBES Je dispose de deux boîtes cubiques entièrement remplies, à elles deux, de 280 petits cubes identiques. Lorsque je place les deux boîtes l'une sur l'autre, la hauteur est de 30 cm. Quel est le volume d'un petit cube? Croquis Eléments de solution Le nombre de peits cubes dans chacune des deux boîtes est un nombre cube. La somme de ces deux nombres cubes est 280. Les nombres cubes inférieurs à 380 sont : 0 ; 1 ; 8 ; 27 ; 64 ; 125 et 216. Les deux nombres cherchés sont : 64 et 216. L arête de la petite boîte comporte 4 petit cubes et celle de la grande boîte comporte 6 petits cubes. La hauteur de deux boîtes empilées représente 10 petits cubes. L arête d un petit cube mesure 30 : 10 = 3 cm et le volume d un petit cube est de 27 cm 3. Compétences visées Mettre en œuvre une démarche de type scientifique (essai, conjecture, justification, vérification). Estimer et calculer le volume d objets géométriques. Communiquer par écrit, en utilisant terminologie, conventions d écriture, croquis ou dessins. Justifier une démarche sur la base de propriétés géométriques. 50

51 ES&GM17 - PETITS ET GROS CUBES Critères de correction Réponse finale du problème : A trouvé V = 27 cm 3 0,5 NON-EVALUABLE INSUFFISANT SUFFISANT BIEN TRES BIEN MAXIMUM Observations Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Présentation 1 0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,0 générale Mise en forme accessible à autrui 0-0,25-0,5 0,5 Pertinence des procédures mises 0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,0 en place 2 Utilisation correcte des outils 0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,0 mathématiques 3 Vérification de la réponse 0-0,25-0,5 0,5 Total 4,5 1 Soin, mise en page 2 Exemples de procédures : repérage de figures de base, application des formules 3 Vocabulaire, formules, calculs, unités, représentation à l échelle 51

52 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 2 : Activités développées MATHÉMATIQUES ES&GM18 - LE CENTRE DE GRAVITÉ Fiche élève Un triangle ABC est dessiné ci-dessous mais une partie a été partiellement cachée. Construire le centre de gravité du triangle sans utiliser de tracés en dehors du cadre. A B 52

53 Compétences visées Objectifs pédagogiques ES&GM18 - LE CENTRE DE GRAVITÉ Fiche professeur Connaître et utiliser les théorèmes relatifs aux milieux de deux côtés d un triangle. Construire les bissectrices, les hauteurs, les médianes, les médiatrices d un triangle ; en connaître une définition et savoir qu elles sont concourantes. Recherche du centre de gravité d un triangle. Utilisation des propriétés du parallélogramme. Réinvestissement du théorème des milieux. Utilisation d un logiciel de géométrie dynamique. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Pré-requis Définition du centre de gravité d un triangle. Propriétés du parallélogramme. Propriétés de la symétrie centrale. Intérêt Réinvestissement de théorèmes et propriétés. Description de l activité La recherche du centre de gravité d un triangle est chose facile. Le but de l activité est de trouver le centre de gravité d un triangle partiellement caché. 53

54 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 2 : Activités développées MATHÉMATIQUES ES&GM18 - LE CENTRE DE GRAVITÉ Utilisation du logiciel Cabri Géomètre Nous montrons ici l utilisations possible d un logiciel de géométrie dynamique dans le cadre de cette activité. Nous illustrons ce travail avec le logiciel Cabri Géomètre. Les trois médianes ainsi que le centre de gravité du triangle ABC sont construits. En utilisant les ascenseurs verticaux et horizontaux, on peut faire disparaître le sommet C de l écran et supprimer les droites et points qu il ne serait alors plus possible de construire 54

55 ES&GM18 - LE CENTRE DE GRAVITÉ Critères de correction Critères Observables Points Résultats 1,5 point Construction du point C tel que AC BC soit un parallélogramme. Construction de G, centre de gravité du triangle ABC. Construction de G, centre de gravité du triangle ABC. Le fait que les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles permet la construction du point C. 0,5 0, ,25 Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Stratégie / Procédure 1,5 point Le triangle ABC est l image du triangle ABC par la symétrie de centre I, milieu du segment [AB]. Les propriétés de conservation de la symétrie centrale (alignement, propriétés générales d une figure) permettent d affirmer qu il suffit de construire G pour obtenir G par symétrie. 0,25 1 Utilisation correcte des outils mathématiques 0,5 point Communication du résultat 1 point Autre procédure aboutissant à un résultat correct. - A l appréciation du maître. Propriétés du parallélogramme et de la symétrie centrale. Soin : précision de la construction. Présence de toutes les informations nécessaires à la bonne compréhension de la résolution. 1,5 0,5 1 55

56 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 2 : Activités développées MATHÉMATIQUES FA12 - LE NOMBRE PERDU Fiche élève Je tape sur ma calculatrice la séquence suivante : 6? 3 2? + 7 Enter = Même nombre Sachant que les deux cases grisées cachent le même nombre (entier, décimal, fraction, ), peux-tu trouver ce nombre si la calculatrice donne comme résultat 24? Même chose si la calculatrice affiche 592? Même chose si la calculatrice affiche 1,2? Même chose si la calculatrice affiche 69,2? Même chose si la calculatrice affiche 163,6? Même chose si la calculatrice affiche 88 9? FA12 - LE NOMBRE PERDU Fiche élève - bis Je tape sur ma calculatrice la séquence suivante : 7? ? 20 Enter = Même nombre Sachant que les deux cases grisées cachent le même nombre (entier, décimal, fraction, ), peux-tu trouver ce nombre si la calculatrice donne comme résultat 17? Même chose si la calculatrice affiche 8,2? Même chose si la calculatrice affiche 1 2? 56

57 Compétences visées FA12 - LE NOMBRE PERDU Fiche professeur Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue. Réduire une expression littérale à une variable. Commentaires Comme les années précédentes, la démarche suivie dans l'enseignement des mathématiques renforce la formation intellectuelle des élèves, et concourt à celle du citoyen, en développant leur aptitude à chercher, Dans le domaine numérique, l objectif est la maîtrise des calculs sur les nombres décimaux relatifs et les nombres en écriture fractionnaire, une initiation au calcul littéral (priorités opératoires, développement), à la résolution d une équation. L apprentissage du calcul littéral doit être conduit très progressivement en recherchant des situations qui permettent aux élèves de donner du sens à l introduction de ce type de calcul. On pourra s appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées les années précédentes, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres. Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Objectifs pédagogiques Modélisation d une situation mathématique. Rappels sur les équations. Mise en défaut de l utilisation systématique de la calculatrice. Pré-requis Opérations sur les fractions. Opérations sur les nombres relatifs. Calculs avec racines carrées. Intérêt Description de l activité Montrer aux élèves l efficacité du simple remplacement d un nombre inconnu par une lettre et ainsi prouver l utilité des équations et du calcul littéral. Cette activité est basée sur un constat : trop d élèves utilisent de façon trop systématique la calculatrice. Le but est ici d introduire les équations et le calcul littéral en mettant en défaut l utilisation de la calculatrice. Une séquence de touches est proposée aux élèves, mais un nombre a été caché. Le but est de retrouver ce nombre, connaissant le résultat donné par la calculatrice. 57

58 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 2 : Activités développées MATHÉMATIQUES Analyse des résultats Cette activité a été proposée à deux classes de troisième (équivalent 10 e -11 e ). Les deux méthodes utilisées sont : «essais successifs» et «résolution d une équation» : Méthode Classe A Classe B Essais successifs 4 groupes 3 groupes Résolution d une équation 1 groupe 2 groupes Sur l ensemble des deux classes, un groupe a utilisé la programmation de la calculatrice afin d accélérer les calculs répétitifs. Seuls les groupes ayant utilisé la méthode «résolution d une équation» ont trouvé tous les nombres cachés. Activité de réinvestissement Suite à l exposé des méthodes employées et au débat qui a suivi à propos de l efficacité de chaque méthode, une activité de réinvestissement a été proposée : le travail a été individuel. Les comptes-rendus des élèves montrent que la totalité des élèves des deux classes a été convaincue par l efficacité des équations : chaque élève a essayé de résoudre une équation. Le taux de réussite est le suivant : Classe A Classe B 30 % 55 % Les erreurs sont recensées dans le tableau ci-dessous : Erreurs Classe A Classe B ax + b = c ax = c + b 7 % 67 % ax = b x = a b 0 % 22 % ax + b (a + b) x 20 % 0 % ax + bx (a b) x 7 % 0 % mise en équation erronée 0 % 11 % addition de relatifs 7 % 11 % abandon 45 % 11 % Conclusion Cette activité montre que l utilisation des équations n est pas spontanée mais l efficacité de cet outil a convaincu tous les élèves, et c était l objectif principal de l activité Les explications données par les groupes ayant travaillé par essais successifs montrent que le résultat affiché par la calculatrice a une forte influence quant au type de nombre recherché : si le résultat est décimal, les élèves cherchent un nombre décimal, si le résultat est négatif, les élèves cherchent un nombre négatif, Il serait donc intéressant de rajouter dans la liste 1,2 (solution 0,7) et 33 (solution 29 4 ). De plus, si le nombre testé donne un résultat plus grand que prévu, les élèves choisissent un nombre inférieur. Il serait peut être bon de proposer une séquence de touches correspondant à une fonction affine décroissante, comme par exemple : 5 + 2? + 7 9? EXE Même nombre 58

59 Proposition de scénario Phase Acteur Description de la tâche Situation 1 Professeur et élèves Dévolution du problème Collective 2 Elèves Recherche Individuelle 3 Elèves Recherche Collective Outils et supports Transparent (cf. fiche élève) Papier, crayon, calculatrice Papier, crayon, calculatrice Durée 1 5 min 10 min 20 min 4 Elèves Narration de recherche Individuelle Papier, crayon 10 min 5 Professeur Analyse des travaux des élèves et mise en évidence des différentes méthodes employées Individuelle Travaux des élèves Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement 6 Elèves Exposé de la méthode utilisée par chaque groupe Collective Tableau 20 min 7 Elèves et professeur Débat Avantages et inconvénients de chaque méthode Collective 15 min 8 Elèves Réinvestissement Individuelle Transparent (cf. fiche élève bis) Papier, crayon, calculatrice 10 min 1 Cette durée est donnée à titre indicatif et prévisionnel 59

60 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 2 : Activités développées MATHÉMATIQUES FA12 - LE NOMBRE PERDU Critères de correction Critères Observables Points Pour 24! le nombre perdu est 5. 0,25 Pour 592! le nombre perdu est ,25 Résultats 1,5 points Pour 1,2! le nombre perdu est 0,7. 0,25 Pour 69,2! le nombre perdu est 16,3. 0,25 Pour 163,6! le nombre perdu est 14,9. 0,25 Pour 88 9! le nombre perdu est ,25 Essais successifs Substitution des valeurs dans l expression. Addition, multiplication de relatifs. Addition, multiplication de rationnels. 2 Stratégie / Procédure Utilisation correcte des outils mathématiques 2 points Communication du résultat 1 point Stratégie réfléchie. Cohérence des essais successifs. Résolution d une équation Pose d une équation juste. Réduction du membre de gauche. Passage du terme constant dans le membre de droite. Division par le coefficient de x. Addition, multiplication de relatifs. Addition, multiplication de rationnels. Autre procédure aboutissant à un résultat correct. - A l appréciation du maître. Soin, structuration : mise en page, titre, chronologie respectée (haut/bas, gauche/droite), Présence de toutes les informations nécessaires à la bonne compréhension de la résolution (explicitation de chaque étape, calculs posés, unités, justifications, essais fructueux ou non, )

61 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 3 : Fiches d évaluation Procédé d'évaluation : INDICES Description Les élèves travaillent sur un problème qui est à leur portée : tous les élèves sont sensés y arriver avec un peu d'aide. L'enseignant a étudié les différentes stratégies des élèves à l'avance et préparé une liste d'indices. Les élèves peuvent demander un indice quand ils en ressentent le besoin. Les indices peuvent être de différents types, p. ex. : une étape de raisonnement, un objet, une idée de modélisation du problème, une idée de démarche. Critères Nombre d'indices demandés (les indices peuvent avoir des niveaux différents) Mise au travail entre les indices Restitution de la solution Dans le cas d'un travail en groupe : efficacité de la discussion qui mène à demander un indice +/- + tous les élèves résolvent le problème + critères objectifs + côté ludique autour des indices - problème «pas trop» ouverts (pour permettre la préparation des indices) - difficile gestion de classe pour éviter l'échange d'indices - gros travail de préparation pour l'enseignant Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Procédé d'évaluation : ATTITUDE GÉNÉRALE Description L'enseignant observe l'attitude des élèves en cours de recherche. Le contrat d'évaluation doit être clair. Critères 1. seul abnégation et persévérance autonomie respect du reste de la classe 2. en groupe (viennent s'ajouter aux critères ci-dessus) entraide respect de l'avis de chacun si des rôles ont été attribués (par l'enseignant ou à l'interne) : le respect de ces rôles +/- + tous les élèves sont sur un pied d'égalité sur le plan des connaissances + motive l'élève + peu de travail pour l'enseignant + facile à mettre en place - difficulté à évaluer équitablement - difficulté à observer de grands effectifs - n'évalue pas l'aspect mathématique - difficulté à gérer une éventuelle contestation d'un élève 61

62 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 3 : Fiches d évaluation MATHÉMATIQUES Procédé d'évaluation : FORMULATION ET EXPLICATION DE CONJECTURE Description Les élèves doivent conjecturer une règle sur la base d'exemples donnés puis rédiger un dossier explicatif de leur démarche et de leur conjecture, enfin présenter le problème à la classe (chaque élève/groupe a un problème différent). Critères 1. 1 re version du dossier mesures, calculs,... découverte d'un point commun formulation claire de la conjecture formulation mathématique de la conjecture 2. 2 e version du dossier (informatique, après commentaires de l'enseignant) style mise en page clarté soin prise en compte des commentaires 3. durant la présentation des autres élèves attitude pertinence des questions posées +/- + simple à appliquer + utilisation de l'informatique + réalisable pour l'élève - difficulté à trouver suffisamment de problèmes - gros travail de correction pour l'enseignant 62

63 Procédé d'évaluation : IDENTIFIER LES STRATÉGIES DE RECHERCHE Description Il s'agit, à travers différents types de problèmes, de vérifier si l'élève est capable d'utiliser différentes stratégies de recherche, de juger de leur pertinence et de prendre du recul face aux stratégies qu'il applique. Critères conscience de l'existence de différentes stratégies capacité à appliquer différentes stratégies capacité à choisir une stratégie adaptée à un problème capacité à changer de stratégie si nécessaire +/- + évalue la prise d'initiative + incite les élèves à réfléchir sur leur démarche + critères faciles à intégrer dans différents types d'évaluation (exposés, dossiers, narration de recherche,...) - difficile de baser une évaluation sur ce seul procédé Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement Procédé d'évaluation : NARRATION DE RECHERCHE Description L'élève est évalué sur sa capacité à analyser sa démarche au cours de la recherche. L'évaluation se fait sur la base d'une rédaction qui raconte la démarche. Le contrat d'évaluation doit être clair. Critères forme de la rédaction (présentation, style, orthographe,...) précision du récit (essais, idées, erreurs, voies sans issues,...) chronologie du récit sincérité du récit +/- + approche inhabituelle + donne à l'enseignant et à l'élève une connaissance en profondeur des procédures de ce dernier - n'évalue pas l'aspect mathématique - gros travail de rédaction pour l'élève, gros travail de correction pour l'enseignant 63

64 Spécificité cantonale Mathématiques 10 e LS profil S Annexe 3 : Fiches d évaluation MATHÉMATIQUES Procédé d'évaluation : DESCRIPTION DU PROBLÈME EN MOTS Description L'élève n'est pas évalué sur la résolution du problème mais sur une analyse «à-priori» du problème (par oral ou par écrit). Critères: repérage des variables/données, reformulation explicitation des liens variables-données-problème utilisation du langage mathématique présentation conclusion +/- + permet de travailler en groupe de 2 + évaluation de la compréhension du problème - durée Mathématiques 10 LS profil S Fiches d évaluation Procédé d'évaluation : PROCÉDURE DE RECHERCHE EXEMPLES-CONJECTURE-DÉMONSTRATION Description Sur un problème adéquat, les élèves travaillent d'abord en groupe avant de passer à une phase de rédaction individuelle (selon le canevas exemples-généralisation-démonstration). Après une première correction, chaque élève peaufine sa réflexion et sa rédaction. Critères: présentation choix des exemples traduction en langage mathématique cohérence de la conjecture par rapport aux exemples en cas d'échec de la généralisation : explication de cet échec utilisation des commentaires (p. ex. indices) de la première correction qualité de la démonstration +/- + évalue l'aspect mathématique + allie le travail en groupe et l'évaluation individuelle - adapté qu'à des problèmes adéquats 64

65 Procédé d'évaluation : EXPOSÉ Description Chaque groupe présente son travail à la classe oralement et rend un rapport écrit (chaque groupe travaille sur un problème différent). L'évaluation est faite par le maître et les autres élèves (pondération à fixer). Le contrat d'évaluation doit être clair. Critères: * 1. Fond compréhension, appropriation du sujet profondeur de la présentation gestion des questions 2. Forme structure de l'exposé expression orale expression corporelle qualité des supports (papier, tableau, informatique) +/- + travail en groupe + utilisation de l'informatique + travail de l'exposé + travail sur l'évaluation - beaucoup d'exposés en grand effectif (durée) - difficulté pour trouver différents problèmes semblables - difficulté de l'évaluation individuelle Enseignement secondaire I Cycle d orientation Direction générale Service de l enseignement * Exemple de tableau d'évaluation : Sujet indiqué /1 Plan de l'exposé présenté /1 Pas de hors-sujet /2 Pas d'oubli grave /2 Plan cohérent /2 Apports personnels /2 Langage compréhensible /2 Liberté face aux notes /3 Voix audible /2 Durée respectée /1 Motivation /2 65