Transferts thermiques avec changement d état liquide-solide

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1 Transferts thermiques avec changement d état liquide-solide Aspects fondamentau

2 Thermodynamique Equilibre de phases Variance et règle des phases w C r 2 C nombre de constituants, r nombre de réactions chimiques, nombre de phases Corps pur Solution w = 1 w = 2 Température d équilibre liquide-solide T fie Température d équilibre liquide-solide T variant avec la concentration 2

3 Thermodynamique Equilibre de phases Solution Eutectique w = 1 Température d équilibre liquide-solide T fie Eemple : il suffit de 23 % en masse (8,5 % en moles) de NaCl dans l eau pour obtenir un MCP fondant à T E = 21 C 3

4 Thermodynamique Equilibre de phases Solution Si différent de E usion progressive 4

5 Thermodynamique Equilibre de phases Solution Si différent de E Thermogramme typique d une solution usion progressive 5

6 Thermodynamique Equilibre de phases Evaluation de l énergie mise en cause à l eutectique E T 1 T T H T E E,eau E E diss E dil E,eau T T c c T T E,eau l,eau s,eau E Eemple : à 21 C, pour l eutectique eau-nacl, la chaleur latente de la glace n est plus que de J/kg soit 81,11 kwh/m 3 au lieu de J/kg soit 92,8 kwh/m 3 à 0 C. Sachant que pour ce sel l diss (T E )= 238 kj/kg et E =0.23, on obtient l E (T E )= J/kg. 6

7 Thermodynamique Cristallisation et surfusion T Liquide T T C Liquide métastable Solide temps Degré de surfusion : T = T T C Phénomène stochastique 7

8 Thermodynamique Surfusion Le degré de surfusion dépend de plusieurs paramètres : du volume de l échantillon : V Eemples : ΔT 0,3 l mm 3 m 3 Eau 8 K 20 K 36 K Paraffines * < 0,5 K K de l histoire thermique (cycles antérieurs cristallisation-fusion ), de la pression : P ΔT de la concentration : (solutions). Utilisation d un agent nucléant 8

9 Thermodynamique Théorie de la nucléation 1 J(T ) B A(T )ep T(T 2 T ) Nucléation 0,9 0,8 Petits agrégats Cristallisation 0,7 Nucléation Nucléation homogène hétérogène * A hom A Barrière d énergie * * het A hom A A Caractère aléatoire A * het Barrière d énergie J(T) /heure 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, T ( C) Probabilité bili de cristallisation i d un échantillon (cm 3 ) par unité de temps 9

10 Thermodynamique Cas des solutions 10

11 Thermodynamique Cas des solutions 11

12 Cinétique du changement de phase Représentation schématique des processus de fusion et de solidification 12

13 Transfert purement conductif Mise en équations Equation de la chaleur dans les phases liquide et solide c p,i T T i i T k it t Bilan à l interface liquide et solide k s T s k l T l t s h ls d dt avec abscisse du front de fusion, k conductivité thermique, masse volumique h ls enthalpie hli massique de fusion ou chaleur hl latente massique de fusion, les indices l et s étant respectivement relatifs au phases liquide et solide. Conditions au limites 13

14 Transfert purement conductif Cas de la fusion en géométrie plane par eemple : On impose une température de paroi T P, la phase initiale étant solide à la température T. Bilan à l interface liquide ide et solide k l T T d p s h ls dt Solution t 2Ste l t l k l l c pl Ste c pl h T ls r Nombre de Stefan 14

15 Transfert purement conductif Ste c T pl T r h ls Nombre de Stefan 15

16 Transfert purement conductif Méthodes analytiques Problème de Stefan Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température uniforme t t 0, 0, 0,T 0,T l,0 T s0,t Tp T Position de l interface Solution de Neumann 1 t C t 2 s avec S diffusivité thermique du solide, C facteur de proportionnalité fonction du nombre de Stefan. 16

17 Transfert purement conductif Solutions approchées Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température de fusion t t 0, 0, 0,T l 0,T s,0 T T 0,t Tp Champ de température dans la phase en formation de type polynomiale Position de l interface (paroi à température imposée) t 4Ste Ste 2 s t degré 1 Karman et Polhausen t 2 1 2Ste 1 t s degré 2 Goodman 17

18 Transfert purement conductif Comparaison des solutions Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température de fusion 18

19 Transfert purement conductif Méthodes approchées pratiques Enthalpie sensible négligeable par rapport à la chaleur latente (Ste faible) Milieu initialement iti t liquide id à température t uniforme + échange convectif sur la paroi avec fluide caloporteur * * - dans le cas plan : 1 Bi - dans le cas cylindrique : avec * X 0 2Bi * 0 * * * 1 1 Bi ln 2Bi 2 1 longueur réduite. symbole de Kronecker ( = 1 si etraction eterne, + 1 si etraction interne), X 0 longueur de référence (l épaisseur de la plaque dans le cas plan et le rayon de la paroi d etraction dans le cas cylindrique ou sphérique), h X Bi nombre de Biot : Bi c 0 k Après intégration entre * = 1 et * = 0, on obtient pour les trois géométries (plane, cylindrique et sphérique) : Bi 1 m 1 L erreur commise sur est négligeable si ibi < 0,1 ou pour Ste < 2/3. En dehors de ce domaine, la vitesse de solidification estimée par l étude simplifiée est trop 19 importante.

20 Transfert purement conductif Méthodes numériques Méthodes à suivi de l interface Méthodes traitant le problème à 2 phases : les équations de transfert sont résolues séparément dans le liquide et dans le solide, et la position de l interface est obtenue par la résolution de l équation de bilan à l interface interface. Cette approche est adaptée en particulier au cas où l on considère la fusion ou la solidification d un matériau pur, pour lequel le changement d état se produit à une température bien déterminée T. Le problème central est alors le calcul de la position de l interface, qui donne lieu à deu approches différentes: Maillage fie Maillage mobile 20

21 Transfert purement conductif Méthodes numériques Méthodes enthalpiques Domaine d étude une seule phase dont les propriétés thermophysiques dépendent fortement de la température. On se ramène alors à la résolution d une seule équation de la chaleur, non linéaire, dont le traitement peut être abordé par des schémas classiques de différences finies ou d éléments finis. Cette méthode, qui revient le plus souvent à eprimer l équation de la conservation de l énergie sous forme enthalpique, est particulièrement bien adaptée au problèmes qui concernent l emploi de matériau à changement de phase non purs pour lesquels le changement d état se produit sur une plage de température (paraffines industrielles, par eemple). On eprime l enthalpie du matériau à changement de phase entre une température de référence é et la température e du point considéré é par : h fcpl 1 f c ps T f c ps cpl T fhls avec f fraction volumique de liquide. La variation d enthalpie causée par la conduction de la chaleur entraîne une variation de température suivant une loi bien définie h= f (T) pour le matériau. L équation de conservation s écrit alors sous la forme : h t 1 k et s applique à l ensemble des deu phases. m T m T 21

22 Méthodes enthalpiques Transfert purement conductif Méthodes numériques Trois approches principales : - Définition d un terme source : l enthalpie est remplacée par son epression en fonction de la température : c p dt terme de diffusion h dt le terme source intervenant dans les volumes de contrôle où se produit le changement de phase. - Définition d un intervalle de température 2T arbitrairement petit sur lequel se produit le changement d état et linéarisation de la fonction enthalpie sur cet intervalle : T 1 m T cp T kt t m avec < c p > = c ps pour T < T T, < c p > = c pl pour T > T + T, h cps T cpl T ls c pour T T < T < T + T c p 2T 2 - Définition d une capacité thermique massique apparente : on représente la variation de l enthalpie avec la température comme une variation finie de la capacité thermique massique: dh dt capp dt dt 22 ls df dt

23 Transfert sous écoulement forcé Dans le cas ou le fluide circule à T, et si l on suppose que le régime d écoulement reste en laminaire i établi lorsque le fluide arrive au contact de la zone de la paroi maintenue à une température constante inférieure à T, on aboutit alors à une résolution analytique permettant d obtenir l évolution radiale et aiale de l interface liquide-solide, et de la perte de pression. Pénétration du liquide à la température de fusion dans un tube de diamètre D initialement vide maintenu en dessous de T. La profondeur maimale aiale de pénétration X p est alors donnée par : X p D X p D Re Pr l s 16B 7 11 pour A<< Pr 0.155Re l s pour A>>1 B 1 avec B 1 2c T T h 2 1 et p,s p ls 3 Re 4 Pr A l s, Re B 2p / où le nombre de Reynolds de l écoulement est basé sur la perte de pression et le diamètre 4 5 D du conduit, les essais couvrant l intervalle de nombre de Reynolds 10 4 à D 23

24 Transfert avec couplage conduction-convection Mise en évidence de la convection naturelle Evolution de la fusion de la stéarine dans une géométrie cylindrique 24

25 Transfert avec couplage conduction-convectionconvection Mise en évidence de la convection naturelle Résultats de simulation : fraction fondue en fonction du temps t. Influence de la convection naturelle dans le liquide et de la conduction dans le solide (Ste = 0,2) 25

26 Transfert avec couplage conduction-convection Mise en équations Convection naturelle en régime laminaire. Processus bidimensionnel (cavité rectangulaire). - convection naturelle dans la phase liquide : équation de conservation de la masse : div V = 0 avec V vitesse, équation de conservation de l énergie : T l cp VgradT l div k l gradt l = l t 0 équation de conservation de la quantité de mouvement : V 1 V V 2 V p gtl T z tt - conduction dans le solide : T c s p divksgradts s t - équations d interface : T T d k s k l h s l s ls n n int dt avec T l ( ) =T s ( ) =T, n direction normale à la surface. L adimensionnement i de ces équations par le choi de grandeurs de référence appropriées fait apparaître, outre le nombre de Stefan, les nombres sans dimension classiques de la convection naturelle : - nombre de Prandtl de la phase liquide (Pr = / l ) ; - nombre de Rayleigh (Ra H =g T H 3 / L ) ; - rapport de forme de la cavité liquide id (A=H/L), avec g accélération de la pesanteur, coefficient de dilatation volumique, T écart entre la température de la paroi chaude et la température de fusion ; H et L respectivement la hauteur et la largeur de la cavité. 26

27 Transfert avec couplage conduction-convection Corrélations pour le transfert de chaleur Nu = CRa n où le coefficient C dépend de la géométrie, du nombre de Prandtl de la phase fluide et, selon certains auteurs, du nombre de Stefan. Une des dimensions fies de l enceinte est utilisée pour définir Nu et Ra. Il faut noter que ces corrélations ont été établies pour un régime de convection laminaire et pour des matériau à changement de phase dont la phase liquide est caractérisée par un nombre de Prandtl élevé (Pr» 50). Leur domaine de validité est limité par ailleurs au nombres de Stefan faibles (Ste < 0,20). Les études portant sur une gamme de paramètres couvrant celle des métau et alliages (faibles nombres de Prandtl, de l ordre de 10 2 ) 27 ne fournissent pas d epressions similaires.

28 Solidification des mélanges multicomposants Modélisation basée sur une formulation enthalpique à domaine unique sur un maillage fie, la zone de changement de phase étant représentée par un milieu poreu, où la porosité (fraction liquide) varie continûment de 1 à 0. Dans la zone diphasique, les équations sont alors écrites en terme de la valeur moyenne des vitesses ou des grandeurs scalaires. On écrit par ailleurs une équationdeconservationsupplémentairepourlesoluté supplémentaire pour le soluté. Cette formulation permet de prendre en compte les couplages dans la zone de croissance dendritique. Ceci se traduit par l ajout d un terme source respectivement dans les équations de conservation de l énergie et de la quantité de mouvement : T T S uvh t u S Au L enthalpie de changement d état h varie de 0 à l enthalpie de changement d état h ls : 0 pour T Ts h fhls pour Ts T Tl hls pour T Tl et la vitesse u varie de la vitesse relative du liquide id u l à 0 dans la phase solide : ul u ful 0 en fonction de la fraction liquide f, qui désigne le volume de liquide interdendritique à une température donnée, En dépit de la structure anisotrope et non homogène de la zone de croissance, l écoulement dans le milieu diphasique est modélisé par une loi de type Darcy utilisant une relation porosité-perméabilité de type Kozeny- Carman : 1 f A C 3 f 2 28