Mathématiques pour la Physique - Traitement Numérique

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1 Module A3.6SSI Mathématiques pour la Physique - Traitement Numérique Yassine Ariba Dpt GEI - Icam, Toulouse. version 2.2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 1 / 132

2 Informations pratiques Contact Tel : [email protected] Forum : Moodle. Favorise le partage, l auto-formation, la capitalisation d informations... Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 2 / 132

3 Informations pratiques Contact Tel : [email protected] Forum : Moodle. Favorise le partage, l auto-formation, la capitalisation d informations... Organisation du cours Pré-requis : Mathématiques depuis le CP, Mathématiques de l Ingénieur. 8h en amphi : cours. Présentation sur transparents. 14h de TD : exercices. 2 4h de TP. initiation à Scilab grille d évaluation (CR non-noté, pas de TP bilan). 1 examen final (1h30-2h). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 2 / 132

4 Informations pratiques Contact Tel : [email protected] Forum : Moodle. Favorise le partage, l auto-formation, la capitalisation d informations... Organisation du cours Pré-requis : Mathématiques depuis le CP, Mathématiques de l Ingénieur. 8h en amphi : cours. Présentation sur transparents. 14h de TD : exercices. 2 4h de TP. initiation à Scilab grille d évaluation (CR non-noté, pas de TP bilan). 1 examen final (1h30-2h). Sur Moodle Documents : transparent cours + exercices + sujets TP. Forum. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 2 / 132

5 Sommaire 1 Suites et séries Suites numériques Applications Séries numériques 2 Série de Fourier Définitions Représentation spectrale Exemples Transformée de Fourier Applications 3 Transformée de Laplace Définitions Fonctions types Applications 4 Calcul matriciel Rappels Inversion de matrices Système d équations linéaires Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 3 / 132

6 Sommaire Suites et séries 1 Suites et séries Suites numériques Applications Séries numériques 2 Série de Fourier Définitions Représentation spectrale Exemples Transformée de Fourier Applications 3 Transformée de Laplace Définitions Fonctions types Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 4 / 132

7 Suites et séries Suites numériques Suites numériques Une suite réelle est une succession d éléments de R : u 0, u 1, u 2,..., u n. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 5 / 132

8 Suites et séries Suites numériques Suites numériques Une suite réelle est une succession d éléments de R : u 0, u 1, u 2,..., u n. Une suite numérique réelle, notée ( u n ), est une application N R n u n u n u 1 u 2 u 3 u 0 0 u 4 u n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 5 / 132

9 Suites et séries Suites numériques Une suite numérique réelle peut être définie de 2 façons : définition explicite : u n = f(n), définition par récurrence : u n+1 = f(u n), le premier terme u 0 étant donné Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 6 / 132

10 Suites et séries Suites numériques Une suite numérique réelle peut être définie de 2 façons : définition explicite : u n = f(n), définition par récurrence : u n+1 = f(u n), le premier terme u 0 étant donné Exemples : Suite de nombres rationnels u n = 1 n (n N ) 1, 1 2, 1 3, Suite de nombres entiers (les carrés) u n = n 2 0, 1, 4, 9... Suite des nombres impairs u n = 2n + 1 1, 3, 5, 9... Suite récurrente { un+1 = 0.5u n 2 u 0 = 12 16, 6, 1, Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 6 / 132

11 Suites et séries Suites numériques Majoration, minoration La suite (u n) est majorée par M si, pour tout n N, u n M. La suite (u n) est minorée par m si, pour tout n N, u n m. Une suite à la fois majorée et minorée est bornée. Sens de variation, si pour tout n N u n+1 u n est croissante. u n+1 u n est décroissante. Une suite à termes strictement positifs est croissante si u n+1 u n 1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 7 / 132

12 Suites et séries Suites numériques Convergence d une suite numériques Une suite (u n) est convergente si elle admet une limite finie quand n. Une suite qui n est pas convergente est divergente. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 8 / 132

13 Suites et séries Suites numériques Convergence d une suite numériques Une suite (u n) est convergente si elle admet une limite finie quand n. Une suite qui n est pas convergente est divergente. Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse. Toute suite croissante majorée (décroissante minorée) est convergente. Soient (u n) une suite croissante et (v n) une suite décroissante. (u n) et (v n) sont dites adjacentes si u n < v n lim (vn un) = 0 n Deux suites adjacentes sont convergentes et admettent la même limite. Soient (v n) et (w n) des suites convergentes admettant la même limite l. w n u n v n lim n wn lim n un lim n vn lim n un = l Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 8 / 132

14 Suites et séries Suites numériques Suites arithmétiques Une suite arithmétique de raison r est une suite vérifiant la relation de récurrence u n+1 = u n + r On montre que u n = u 0 + nr (terme général). Si r = 0, la suite est constante et égale à u 0. Si r > 0, la suite est croissante et divergente vers +. Si r < 0, la suite est décroissante et divergente vers. Exemple 1, 3, 5, 7 est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u 0 = 1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 9 / 132

15 Suites et séries Suites numériques Suites géométriques Une suite géométrique de raison q est une suite vérifiant la relation de récurrence u n+1 = qu n On montre que u n = u 0 q n (terme général). Si q = 1, la suite est constante et égale à u 0. Si q > 1, la suite est croissante et divergente vers +. Si q < 1, la suite converge vers 0. Si q = 1, la suite n admet pas de limite et alterne entre u 0 et u 0. Si q < 1, la suite diverge et alterne valeurs négatives valeurs positives. Exemple 2, 6, 18, 54 est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u 0 = 2. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 10 / 132

16 Suites et séries Applications Applications La suite de Fibonacci Suite introduite par Leonardo Fibonacci en 1202 pour décrire la croissance d une population de lapins sous des hypothèses très simplifiées. un couple de lapins adultes procrée un nouveau couple de lapins chaque mois. un couple ne peut procréer qu à partir du troisième mois de son existence. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 11 / 132

17 Suites et séries Applications Applications La suite de Fibonacci Suite introduite par Leonardo Fibonacci en 1202 pour décrire la croissance d une population de lapins sous des hypothèses très simplifiées. un couple de lapins adultes procrée un nouveau couple de lapins chaque mois. un couple ne peut procréer qu à partir du troisième mois de son existence. Dans cette suite, chaque terme est en fait la somme des deux qui le précédent u n+2 = u n+1 + u n avec u 0 = 1 et u 1 = 1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 11 / 132

18 Remplissage d un récipient Suites et séries Applications Soit un récipient vide de contenance 2 litres. On verse dans celui-ci un litre d eau, puis un demi-litre, puis un quart, puis un huitième,... Est-ce que le récipient va déborder? Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 12 / 132

19 Remplissage d un récipient Suites et séries Applications Soit un récipient vide de contenance 2 litres. On verse dans celui-ci un litre d eau, puis un demi-litre, puis un quart, puis un huitième,... Est-ce que le récipient va déborder? On a : u 0 = 1; u 1 = 1 2 ; u 2 = 1 4 ; u 3 = 1 8 Il s agit d une suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison q = Somme des n premiers termes : S n = n = 2 n lim n Sn = = 2 Le récipient ne débordera pas. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 12 / 132

20 Évolution d une dette Suites et séries Applications A chaque mois n, on définit : y n : la dette r : l intérêt u n : remboursement mensuel Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 13 / 132

21 Évolution d une dette Suites et séries Applications A chaque mois n, on définit : y n : la dette r : l intérêt u n : remboursement mensuel Modèle de l évolution de la dette : y n+1 = y n + r y n u n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 13 / 132

22 Évolution d une dette Suites et séries Applications A chaque mois n, on définit : y n : la dette r : l intérêt u n : remboursement mensuel Modèle de l évolution de la dette : y n+1 = y n + r y n u n Evolution de la dette : r = 0.02 y 0 = u n = (emprunt initial) 400, n = 1,..., 5 150, n = 6,..., , n = 11,..., Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 13 / 132

23 Suites et séries Applications Dynamique des populations (modélisation basique) Population = ensemble d individus d une même espèce vivant dans un même territoire et pouvant se reproduire entre eux. N t+1 N t = naissances morts + migrations Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 14 / 132

24 Suites et séries Applications Dynamique des populations (modélisation basique) Population = ensemble d individus d une même espèce vivant dans un même territoire et pouvant se reproduire entre eux. N t+1 N t = naissances morts + migrations Modèle exponentiel population seule (isolée), pas de migrations, naissances et morts proportionnelles à la population courante. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 14 / 132

25 Suites et séries Applications Dynamique des populations (modélisation basique) Population = ensemble d individus d une même espèce vivant dans un même territoire et pouvant se reproduire entre eux. N t+1 N t = naissances morts + migrations Modèle exponentiel population seule (isolée), pas de migrations, naissances et morts proportionnelles à la population courante. r : taux intrinsèque d accroissement. N t+1 = N t + r N t Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 14 / 132

26 Suites et séries Applications Prédictions (dépend du taux intrinsèque d accroissement) Si (1 + r) > 1, croissance exponentielle de la population (div). Si 1 > (1 + r) > 0, extinction exponentielle de la population (cv 0). Si r = 0, équilibre démographique. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 15 / 132

27 Suites et séries Applications Prédictions (dépend du taux intrinsèque d accroissement) Si (1 + r) > 1, croissance exponentielle de la population (div). Si 1 > (1 + r) > 0, extinction exponentielle de la population (cv 0). Si r = 0, équilibre démographique. Considérons une population avec un nombre d individus initial de N 0 = 4 et un taux d accroissement de r = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 15 / 132

28 Suites et séries Applications Critique du modèle La population ne peut pas croître indéfiniment. Le milieu possède une capacité maximale (limitation des ressources, surpopulation...) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 16 / 132

29 Suites et séries Applications Critique du modèle La population ne peut pas croître indéfiniment. Le milieu possède une capacité maximale (limitation des ressources, surpopulation...) Modèle logistique population seule (isolée), pas de migrations, prise en compte de la limitation des ressources. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 16 / 132

30 Suites et séries Applications Critique du modèle La population ne peut pas croître indéfiniment. Le milieu possède une capacité maximale (limitation des ressources, surpopulation...) Modèle logistique population seule (isolée), pas de migrations, prise en compte de la limitation des ressources. r : taux intrinsèque d accroissement. k : capacité de charge du milieu. ( N t+1 = N t + r N t 1 Nt ) k Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 16 / 132

31 Prédictions (avec r > 0) Suites et séries Applications Si N t < k, la population croît. Si N t > k, la population décroît, la population est supérieure à la capacité du milieu. Si N t = k, stabilisation de la population. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 17 / 132

32 Prédictions (avec r > 0) Suites et séries Applications Si N t < k, la population croît. Si N t > k, la population décroît, la population est supérieure à la capacité du milieu. Si N t = k, stabilisation de la population. Considérons une population avec un taux d accroissement de r = 0.5 vivant dans un milieu de capacité maximale k = 300 et pour différentes conditions initiales (N 0 ) N 0 =4 N 0 =20 N 0 =150 N 0 = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 17 / 132

33 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

34 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. f(x) a b x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

35 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. f(α) f(x) a α b x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

36 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. f(α) f(x) u 1 a u 0 α b x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

37 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. f(α) f(x) u 1 a u 0 u 1 α b x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

38 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. f(α) u 2 f(x) u 1 a u 0 u 1 u 2 α b x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

39 Suites et séries Applications Méthode de Newton (cas particulier du théorème du point fixe) On cherche à résoudre une équation de la forme f(x) = 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 19 / 132

40 Suites et séries Applications Méthode de Newton (cas particulier du théorème du point fixe) On cherche à résoudre une équation de la forme f(x) = 0 A partir d une valeur x 0 assez proche de la racine ˆx, cherchons un incrément δx tel que f(x 1 ) 0 avec x 1 = x 0 + δx Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 19 / 132

41 Suites et séries Applications Méthode de Newton (cas particulier du théorème du point fixe) On cherche à résoudre une équation de la forme f(x) = 0 A partir d une valeur x 0 assez proche de la racine ˆx, cherchons un incrément δx tel que f(x 1 ) 0 avec x 1 = x 0 + δx Estimons l incrément nécessaire en linéarisant f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 0 ) + f (x 0 )δx = 0 δx = f(x 0) f (x 0 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 19 / 132

42 Suites et séries Applications Méthode de Newton (cas particulier du théorème du point fixe) On cherche à résoudre une équation de la forme f(x) = 0 A partir d une valeur x 0 assez proche de la racine ˆx, cherchons un incrément δx tel que f(x 1 ) 0 avec x 1 = x 0 + δx Estimons l incrément nécessaire en linéarisant f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 0 ) + f (x 0 )δx = 0 δx = f(x 0) f (x 0 ) A chaque itération, un nouveau point d abscisse x n est calculé x n+1 = x n f(xn) f (x n) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 19 / 132

43 Suites et séries Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 20 / 132

44 Suites et séries Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 20 / 132

45 Suites et séries Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 20 / 132

46 Suites et séries Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 20 / 132

47 Suites et séries Séries numériques Séries numériques Soit une suite numérique (u n) : u 0, u 1, u 2,..., u n On appelle série de terme général u n, la suite des sommes partielles n S n = u k k=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 21 / 132

48 Suites et séries Séries numériques Séries numériques Soit une suite numérique (u n) : u 0, u 1, u 2,..., u n On appelle série de terme général u n, la suite des sommes partielles n S n = u k k=0 S 0 = u 0 S 1 = u 0 +u 1 S 2 = u 0 +u 1 +u 2... S n = u 0 +u 1 +u u n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 21 / 132

49 Suites et séries Séries numériques Séries numériques Soit une suite numérique (u n) : u 0, u 1, u 2,..., u n On appelle série de terme général u n, la suite des sommes partielles n S n = u k k=0 S 0 = u 0 S 1 = u 0 +u 1 S 2 = u 0 +u 1 +u 2... S n = u 0 +u 1 +u u n Si la limite notée S existe et est finie S = lim n Sn la série est dite convergente et S est appelé la somme de la série. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 21 / 132

50 Suites et séries Séries numériques Exemples particuliers Somme des n premiers entiers (série de Gauss) : n(n + 1) n = 2 (terme général : suite arithmétique de raison 1 et de premier terme u 0 = 0) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 22 / 132

51 Suites et séries Séries numériques Exemples particuliers Somme des n premiers entiers (série de Gauss) : n(n + 1) n = 2 (terme général : suite arithmétique de raison 1 et de premier terme u 0 = 0) Série de terme général (u n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0 S n = u 0 +u u n = u 0 +(u 0 +r)+...+(u 0 +nr) = (n + 1)(un + u 0) 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 22 / 132

52 Exemples particuliers Suites et séries Séries numériques Somme des n premiers entiers (série de Gauss) : n(n + 1) n = 2 (terme général : suite arithmétique de raison 1 et de premier terme u 0 = 0) Série de terme général (u n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0 S n = u 0 +u u n = u 0 +(u 0 +r)+...+(u 0 +nr) = (n + 1)(un + u 0) 2 Série de terme général (u n) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 S n = u 0 + u u n = u 0 + u 0 q + u 0 q u 0 q n = u 0 1 q n+1 1 q Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 22 / 132

53 Suites et séries Séries numériques Convergence : La série converge si (S n) admet une limite finie. On note alors + S = u n. n=0 Si la série S n = n u k est convergente, alors lim n un = 0 k=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 23 / 132

54 Suites et séries Séries numériques Convergence : La série converge si (S n) admet une limite finie. On note alors + S = u n. n=0 Si la série S n = n u k est convergente, alors lim n un = 0 k=0 C est une condition nécessaire, si lim un 0, alors la série Sn diverge. n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 23 / 132

55 Suites et séries Séries numériques Convergence : La série converge si (S n) admet une limite finie. On note alors + S = u n. n=0 Si la série S n = n u k est convergente, alors lim n un = 0 k=0 C est une condition nécessaire, si lim un 0, alors la série Sn diverge. n Démonstration : Supposons que (S n) est une série convergente. On a S n = n k=0 n 1 u k et S n 1 = u k S n S n 1 = u n. k=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 23 / 132

56 Suites et séries Séries numériques Convergence : La série converge si (S n) admet une limite finie. On note alors + S = u n. n=0 Si la série S n = n u k est convergente, alors lim n un = 0 k=0 C est une condition nécessaire, si lim un 0, alors la série Sn diverge. n Démonstration : Supposons que (S n) est une série convergente. On a S n = n k=0 n 1 u k et S n 1 = u k S n S n 1 = u n. k=0 Puisque la série est convergente, on a également lim Sn = lim Sn 1 = S. n n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 23 / 132

57 Suites et séries Séries numériques Convergence : La série converge si (S n) admet une limite finie. On note alors + S = u n. n=0 Si la série S n = n u k est convergente, alors lim n un = 0 k=0 C est une condition nécessaire, si lim un 0, alors la série Sn diverge. n Démonstration : Supposons que (S n) est une série convergente. On a S n = n k=0 n 1 u k et S n 1 = u k S n S n 1 = u n. k=0 Puisque la série est convergente, on a également Donc lim Sn = lim Sn 1 = S. n n lim Sn lim Sn 1 = lim (Sn Sn+1) = lim un = S S = 0. n n n n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 23 / 132

58 Exemple 1 Suites et séries Séries numériques Reprenons la série dont le terme général est une suite géométrique (u n+1 = u nq) S n = u 0 + u u n = u 0 1 q n+1 1 q Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 24 / 132

59 Exemple 1 Suites et séries Séries numériques Reprenons la série dont le terme général est une suite géométrique (u n+1 = u nq) S n = u 0 + u u n = u 0 1 q n+1 1 q Nous pouvons conclure que si q < 1, la série converge (S = 1 ), et la suite géométrique (un) converge 1 q bien vers 0, si q 1, la suite et la série divergent. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 24 / 132

60 Exemple 1 Suites et séries Séries numériques Reprenons la série dont le terme général est une suite géométrique (u n+1 = u nq) S n = u 0 + u u n = u 0 1 q n+1 1 q Nous pouvons conclure que si q < 1, la série converge (S = 1 ), et la suite géométrique (un) converge 1 q bien vers 0, si q 1, la suite et la série divergent. Exemple 2 la convergence vers 0 du terme général n est qu une condition nécessaire. Soit la série de terme général (u n) u n = n n 1 avec u 0 = 0. La série s exprime simplement sous la forme S n = n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 24 / 132

61 Exemple 1 Suites et séries Séries numériques Reprenons la série dont le terme général est une suite géométrique (u n+1 = u nq) S n = u 0 + u u n = u 0 1 q n+1 1 q Nous pouvons conclure que si q < 1, la série converge (S = 1 ), et la suite géométrique (un) converge 1 q bien vers 0, si q 1, la suite et la série divergent. Exemple 2 la convergence vers 0 du terme général n est qu une condition nécessaire. Soit la série de terme général (u n) u n = n n 1 avec u 0 = 0. La série s exprime simplement sous la forme S n = n La série est donc divergente, tandis que la suite (u n) converge vers 0 : u n = n n 1 = 1 n + 0. n + n 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 24 / 132

62 Suites et séries Séries numériques Séries à termes positifs Une série S n = u n est à termes positifs si, n, u n 0. Théorème de comparaison Soit u n et v n deux séries à termes positifs tels que u n v n pour n n 0. Si v n converge, alors u n converge. Si u n diverge, alors v n diverge. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 25 / 132

63 Suites et séries Séries numériques Séries à termes positifs Une série S n = u n est à termes positifs si, n, u n 0. Théorème de comparaison Soit u n et v n deux séries à termes positifs tels que u n v n pour n n 0. Si v n converge, alors u n converge. Si u n diverge, alors v n diverge. Exemple : soit la série de terme général On a : u n = 2 + sin n 3 n+1 n, 0 < u n 3 3 n+1 = 1 3 n. Puisque la série 1 3 n converge (cf. critère de d Alembert), la série u n converge. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 25 / 132

64 Suites et séries Séries numériques L équivalence entre deux suite permet d évaluer la nature d une série à partir d une seconde plus facile à déterminer. Emploi des équivalents Soit u n et v n deux séries à termes positifs. Si u n v n (ou plus généralement si u n/v n a une limite finie non-nulle), alors les séries correspondantes sont de même nature. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 26 / 132

65 Suites et séries Séries numériques L équivalence entre deux suite permet d évaluer la nature d une série à partir d une seconde plus facile à déterminer. Emploi des équivalents Soit u n et v n deux séries à termes positifs. Si u n v n (ou plus généralement si u n/v n a une limite finie non-nulle), alors les séries correspondantes sont de même nature. Exemples : En n +, on a : sin 1 n 1 n et n 3 + 2n + 5 n + 2 n 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 26 / 132

66 Suites et séries Séries numériques Séries de Riemann C est une série de la forme n=1 1 n α converge si α > 1 diverge si α 1 Critère de Cauchy Soit u n une série à termes positifs. Supposons que si L < 1, u n converge si L > 1, u n diverge lim n un = L n Critère de d Alembert Soit u n une série à termes strictement positifs. Supposons que u n+1 lim = L n u n si L < 1, u n converge si L > 1, u n diverge Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 27 / 132

67 Suites et séries Séries numériques Séries à termes de signes quelconques Les règles de Riemann, Cauchy et d Alembert ne s appliquent qu aux séries à termes positifs. Lorsque le terme général u n d une série ne reste pas positif, ou est complexe, on doit appliquer ces règles à la série de terme général u n. Si la série un converge, le théorème de convergence absolue affirme que la série de terme général u n converge aussi. Attention, la réciproque est fausse. un converge un converge Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 28 / 132

68 Sommaire Série de Fourier 1 Suites et séries Suites numériques Applications Séries numériques 2 Série de Fourier Définitions Représentation spectrale Exemples Transformée de Fourier Applications 3 Transformée de Laplace Définitions Fonctions types Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 29 / 132

69 Série de Fourier Définitions Définitions Rappel : Une fonction f, définie sur R, est dite périodique de période T R si f(t + T ) = f(t), t R f(t) t Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 30 / 132

70 Série de Fourier Définitions Définitions Rappel : Une fonction f, définie sur R, est dite périodique de période T R si f(t + T ) = f(t), t R f(t) t Qu est-ce que sont les séries de Fourier? Décomposer un signal périodique en une somme de fonctions sinusoïdales simples. Caractériser les harmoniques des signaux périodiques. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 30 / 132

71 Série de Fourier Définitions Décomposition en série de Fourier : Soit x une fonction périodique de période T = 2π ω sur R. Sous certaines conditions de continuité et de dérivabilité, x(t) peut se décomposer sous la forme + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) n=1 avec a 0 = 1 T x(t)dt T 0 a n = 2 T x(t) cos(nωt)dt T 0 b n = 2 T x(t) sin(nωt)dt T 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 31 / 132

72 Série de Fourier Définitions Décomposition en série de Fourier : Soit x une fonction périodique de période T = 2π ω sur R. Sous certaines conditions de continuité et de dérivabilité, x(t) peut se décomposer sous la forme + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) n=1 avec a 0 = 1 T x(t)dt T 0 a n = 2 T x(t) cos(nωt)dt T 0 b n = 2 T x(t) sin(nωt)dt T 0 a 0 correspond à la valeur moyenne de la fonction x. Les termes de pulsation ω sont les composantes fondamentales de la fonction. Les termes de pulsation nω avec n > 1 sont les composantes harmoniques de la fonction. Les coefficients {a n, b n} traduisent la contribution de la n ième harmonique de fréquence n T dans le signal. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 31 / 132

73 Série de Fourier Définitions Exemple : considérons le signal carré périodique x(t) temps Période T = 4 s ; fréquence f = 0.25 Hz ; pulsation ω = π 2 = 1.57 rad/s Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 32 / 132

74 Série de Fourier Définitions Décomposons x(t) en série de Fourier. a 0 = 1 2 x(t) dt = dt = 0.5 T Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 33 / 132

75 Série de Fourier Définitions Décomposons x(t) en série de Fourier. a 0 = 1 2 x(t) dt = dt = 0.5 T a n = 2 2 x(t) cos(nωt) dt T 2 a n = 1 1 cos(nωt) dt 2 1 [ ] sin(nωt) 1 = 1 2 nω 1 = 2 nπ sin(n π 2 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 33 / 132

76 Série de Fourier Définitions Décomposons x(t) en série de Fourier. a 0 = 1 2 x(t) dt = dt = 0.5 T a n = 2 2 x(t) cos(nωt) dt T 2 a n = 1 1 cos(nωt) dt 2 1 [ ] sin(nωt) 1 = 1 2 nω 1 = 2 nπ sin(n π 2 ) b n = 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 33 / 132

77 Série de Fourier Définitions Nous avons donc pour x(t) l expression : + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) n=1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 34 / 132

78 Série de Fourier Définitions Nous avons donc pour x(t) l expression : + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) n=1 soit + x(t) = n=1 ( 2 nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 34 / 132

79 Série de Fourier Définitions Nous avons donc pour x(t) l expression : + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) n=1 soit + x(t) = n=1 ( 2 nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) soit x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 34 / 132

80 Série de Fourier Définitions x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... x(t) π cos( π 2 t) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 35 / 132

81 Série de Fourier Définitions x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... x(t) π cos( π 2 t) 2 3π cos(3 π 2 t) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 35 / 132

82 Série de Fourier Définitions x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... x(t) n=1 ( 2 nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 35 / 132

83 Série de Fourier Définitions x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... x(t) n=1 ( 2 nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 35 / 132

84 Série de Fourier Définitions Le principe réside dans le calcul des coefficients : a 0 = 1 T x(t)dt T 0 a n = 2 T x(t) cos(nωt)dt T 0 b n = 2 T x(t) sin(nωt)dt T 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 36 / 132

85 Série de Fourier Définitions Le principe réside dans le calcul des coefficients : a 0 = 1 T x(t)dt T 0 a n = 2 T x(t) cos(nωt)dt T 0 b n = 2 T x(t) sin(nωt)dt T 0 Propriétés : Le coefficient a 0 représente la valeur moyenne de la fonction x. Si la fonction est paire, x( t) = x(t), alors tous les coefficients b n sont nuls. Si la fonction est impaire, x( t) = x(t), alors tous les coefficients a n sont nuls. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 36 / 132

86 Série de Fourier Représentation spectrale Représentation spectrale Expression d un signal périodique x(t) avec les séries de Fourier : + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) n=1 x(t) est représenté par une somme de cos et de sin, les cos et sin ont une fréquence multiple de celle de x(t) : ω, 2ω, 3ω, 4ω,... les coefficients a 0, a n et b n sont des constantes Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 37 / 132

87 Série de Fourier Représentation spectrale Représentation spectrale Expression d un signal périodique x(t) avec les séries de Fourier : + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) n=1 x(t) est représenté par une somme de cos et de sin, les cos et sin ont une fréquence multiple de celle de x(t) : ω, 2ω, 3ω, 4ω,... les coefficients a 0, a n et b n sont des constantes Le signal x(t) est donc caractérisé par sa fréquence ω et les coefficients (a 0, a n et b n). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 37 / 132

88 Série de Fourier Représentation spectrale La représentation spectrale consiste à représenter les coefficients a n et b n par rapport à la pulsation correspondante nω : en abscisse : les pulsations nω. en ordonnée : le module des coefficients A n = a 2 n + b2 n. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 38 / 132

89 Série de Fourier Représentation spectrale La représentation spectrale consiste à représenter les coefficients a n et b n par rapport à la pulsation correspondante nω : en abscisse : les pulsations nω. en ordonnée : le module des coefficients A n = a 2 n + b2 n. A 1 a 0 A 3 A 2 A 4 A 5 0 ω 2ω 3ω 4ω 5ω Nous avons ainsi une représentation de la caractéristique fréquentielle du signal x(t). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 38 / 132

90 Série de Fourier Représentation spectrale Reprenons l exemple précédent : soit + ( 2 x(t) = }{{} nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) n=1 a 0 }{{} an x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 39 / 132

91 Série de Fourier Représentation spectrale Reprenons l exemple précédent : soit + ( 2 x(t) = }{{} nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) n=1 a 0 }{{} an x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 39 / 132

92 Série de Fourier Exemples Exemples 1 Exemple 1 : Soit le signal en escalier x(t) : 1 pour 0 t < pour 1 t < 2 0 pour 2 t < temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 40 / 132

93 Série de Fourier Exemples Exemples 1 Exemple 1 : Soit le signal en escalier x(t) : 1 pour 0 t < pour 1 t < 2 0 pour 2 t < temps Calculons les coefficients de Fourier correspondants a 0 = 0 a n = 1 ( sin(n 2π3 2nπ ) + sin(n 4π3 ) ) = 0 b n = 1 (2 cos(n 2π3 2nπ ) cos(n 4π3 ) ). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 40 / 132

94 Série de Fourier Exemples x(t) sin(ωt) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 41 / 132

95 Série de Fourier Exemples x(t) sin(ωt) sin(2ωt) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 41 / 132

96 Série de Fourier Exemples x(t) n=1 1 (2 cos(n 2π3 2nπ ) cos(n 4π3 ) ) sin(nωt) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 41 / 132

97 Série de Fourier Exemples x(t) n=1 1 (2 cos(n 2π3 2nπ ) cos(n 4π3 ) ) sin(nωt) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 41 / 132

98 Série de Fourier Exemples Représentation spectrale ici, ω = 2π 3 soit rad/s. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 42 / 132

99 Série de Fourier Exemples 0.8 Exemple 2 : Soit un signal en dents de scie x(t) de période T = 3s, de pente 1 3 d amplitude 1 et de valeur moyenne nulle. amplitude x(t) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 43 / 132

100 Série de Fourier Exemples 0.8 Exemple 2 : Soit un signal en dents de scie x(t) de période T = 3s, de pente 1 3 d amplitude 1 et de valeur moyenne nulle. amplitude x(t) temps (s) Calculons les coefficients de Fourier correspondants a 0 = 0 (prévisible). a n = 0 (le signal est impair). b n = 1 nπ (intégration par parties) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 43 / 132

101 Série de Fourier Exemples x(t) 1 π sin(ωt) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 44 / 132

102 Série de Fourier Exemples x(t) 1 π sin(ωt) 1 2π sin(2ωt) 1 3π sin(3ωt) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 44 / 132

103 Série de Fourier Exemples x(t) 9 n=1 1 nπ sin(nωt) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 44 / 132

104 Série de Fourier Exemples x(t) 99 n=1 1 nπ sin(nωt) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 44 / 132

105 Série de Fourier Exemples Représentation spectrale ici, ω = 2π 3 soit rad/s. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 45 / 132

106 Série de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Nous avons considéré des signaux périodiques représentation temporelle représentation fréquentielle temps le spectre représente les composantes fréquentielles qui caractérisent le signal x(t), ces composantes sont des multiples de la fréquence de x(t) : nω, Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 46 / 132

107 Série de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Nous avons considéré des signaux périodiques représentation temporelle représentation fréquentielle temps le spectre représente les composantes fréquentielles qui caractérisent le signal x(t), ces composantes sont des multiples de la fréquence de x(t) : nω, extension au cas des signaux non-périodiques? Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 46 / 132

108 Série de Fourier Transformée de Fourier La transformée de Fourier permet de déterminer la représentation fréquentielle d un signal à énergie finie. exemple du signal x(t) = e t pour t 0 : représentation temporelle représentation fréquentielle temps fréquence Hz le spectre dépend continument de la fréquence f, le signal x(t) n est plus caractérisé par un ensemble de fréquences particulières mais par une plage de fréquences. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 47 / 132

109 Série de Fourier Transformée de Fourier Soit x(t) une fonction à énergie finie. La transformée de Fourier de la fonction x(t) est la fonction complexe X(f), de la variable f réelle, définie par : + X(f) = x(t)e j2πft dt. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 48 / 132

110 Série de Fourier Transformée de Fourier Soit x(t) une fonction à énergie finie. La transformée de Fourier de la fonction x(t) est la fonction complexe X(f), de la variable f réelle, définie par : + X(f) = x(t)e j2πft dt. La transformée de Fourier inverse est définie par (si X(f) est également intégrable) + x(t) = X(f)e j2πft df. Dans l exemple, le spectre correspond au tracé de X(f) en fonction de f. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 48 / 132

111 Série de Fourier Applications Applications Une note de musique Le diapason donne la note-repère conventionnelle, le la. Play Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 49 / 132

112 Série de Fourier Applications Applications Une note de musique Le diapason donne la note-repère conventionnelle, le la. Play représentation temporelle temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 49 / 132

113 Série de Fourier Applications Applications Une note de musique Le diapason donne la note-repère conventionnelle, le la. Play représentation temporelle représentation fréquentielle temps fréquence Hz La fréquence du la 3 est 440 Hz. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 49 / 132

114 Série de Fourier Applications Radar de contrôle routier Effet Doppler : La fréquence d une onde perçue par un observateur varie en fonction de la vitesse de la source émettrice par rapport à l observateur. Le radar émet une onde qui est ensuite réfléchie par la cible. Si cette cible se déplace, la fréquence du signal de retour sera différente du signal émis. Radar Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 50 / 132

115 Série de Fourier Applications Radar de contrôle routier Effet Doppler : La fréquence d une onde perçue par un observateur varie en fonction de la vitesse de la source émettrice par rapport à l observateur. Le radar émet une onde qui est ensuite réfléchie par la cible. Si cette cible se déplace, la fréquence du signal de retour sera différente du signal émis. Radar L analyse de l écart entre la fréquence du signal transmis et celle du signal reçu permet de mesurer la vitesse instantanée de la cible. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 50 / 132

116 Série de Fourier Applications Analyse modale de structures excitation impulsionnelle accéléromètre acquisition + traitement TF représentation temporelle représentation fréquentielle Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 51 / 132

117 Série de Fourier Applications Analyse modale de structures excitation impulsionnelle accéléromètre acquisition + traitement TF représentation temporelle représentation fréquentielle Les vibrations mesurées sont analysées dans le domaine fréquentiel. Objectif : estimer les fréquences de résonance d une structure mécanique. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 51 / 132

118 Série de Fourier Applications Égaliseur audio Un égaliseur 1 est composé de filtres électroniques qui permettent d atténuer ou augmenter le signal sur différentes bandes de fréquence donnée. Passe bas (graves) Adaptation d'impédance Entrée Adaptation d'impédance Passe bande (médium) Adaptation d'impédance Sommateur Sortie Passe haut (aigus) Adaptation d'impédance 1. Exemple d un égaliseur 3 bandes proposé dans Électronique Pratique n 276. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 52 / 132

119 Série de Fourier Applications Égaliseur audio Un égaliseur 1 est composé de filtres électroniques qui permettent d atténuer ou augmenter le signal sur différentes bandes de fréquence donnée. Passe bas (graves) Adaptation d'impédance Entrée Adaptation d'impédance Passe bande (médium) Adaptation d'impédance Sommateur Sortie Passe haut (aigus) Adaptation d'impédance Gain Pos. maxi Pos. normale graves médium aigus Pos. mini 10 Hz 100 Hz 1 khz 10 khz 100 khz Fréquence 1. Exemple d un égaliseur 3 bandes proposé dans Électronique Pratique n 276. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 52 / 132

120 Série de Fourier Applications Schéma électronique de l égaliseur 2 : Entrée C6 220nF R12 47k R2 2.2k + - U1B TL084 U1A TL084 R1 C1 1.2k 100nF + - C nF - R2 8.2k C3 1µF U1C TL084 P1 10k R5 100 P2 10k R R8 1k R U2 TL071 C5 1µF Sortie C4 10nF R4 3.9k + - U1D TL084 P3 10k R Exemple d un égaliseur 3 bandes proposé dans Électronique Pratique n 276. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 53 / 132

121 Sommaire Transformée de Laplace 1 Suites et séries Suites numériques Applications Séries numériques 2 Série de Fourier Définitions Représentation spectrale Exemples Transformée de Fourier Applications 3 Transformée de Laplace Définitions Fonctions types Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 54 / 132

122 Transformée de Laplace Définitions Définitions La transformée de Laplace d une fonction f(t), définie pour t 0, est la fonction du nombre complexe s : + ˆf(s) = e st f(t)dt 0 - On note : ˆf(s) { } = L f(t) et f(t) = L 1{ ˆf(s) }. - La fonction ˆf(s) n est pas forcément définie dans tout le plan complexe ( s C). Seulement dans une région où l intégrale converge. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 55 / 132

123 Transformée de Laplace Définitions Définitions La transformée de Laplace d une fonction f(t), définie pour t 0, est la fonction du nombre complexe s : + ˆf(s) = e st f(t)dt 0 - On note : ˆf(s) { } = L f(t) et f(t) = L 1{ ˆf(s) }. - La fonction ˆf(s) n est pas forcément définie dans tout le plan complexe ( s C). Seulement dans une région où l intégrale converge. La transformée de Laplace inverse d une fonction ˆf(s) est la fonction temporelle : f(t) = 1 a+i ˆf(s)e st ds 2πi a i Mais en pratique, on utilisera la table et les propriétés de la transformée. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 55 / 132

124 Transformée de Laplace Définitions Propriétés : { } Linéarité : L af(t) + bg(t) = a ˆf(s) + bĝ(s), a et b constants. { } d Dérivation : L dt f(t) = s ˆf(s) f(0). { t } Intégration : L f(θ)dθ = 1 ˆf(s). 0 s { } Retard : L f(t τ) = e sτ ˆf(s), τ > 0 et f(t) = 0 t < 0. Valeur finale : lim f(t) = lim s ˆf(s). t s 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 56 / 132

125 Transformée de Laplace Fonctions types Fonctions types Exemple 1 : Transformée de Laplace de la fonction échelon f(t) = 1, t 0 et 0 sinon : Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 57 / 132

126 Transformée de Laplace Fonctions types Fonctions types Exemple 1 : Transformée de Laplace de la fonction échelon f(t) = 1, t 0 et 0 sinon : ˆf(s) = + e st dt 0 [ = 1s ] + e st 0 = 1 s. Notons que cette transformée est définie pour tout s C tel que Re[s] > 0. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 57 / 132

127 Transformée de Laplace Fonctions types Exemple 2 : Transformée de Laplace de la fonction rampe g(t) = 2t, t 0 et 0 sinon. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 58 / 132

128 Transformée de Laplace Fonctions types Exemple 2 : Transformée de Laplace de la fonction rampe g(t) = 2t, t 0 et 0 sinon. t t Notons que g(t) = 2 1 dt = 2 f(t) dt, 0 0 alors { ĝ(s) = L 2 t 0 = 2 1 ˆf(s) s } f(t) dt = 2 s 2. Là encore cette transformée est définie pour tout s C tel que Re[s] > 0. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 58 / 132

129 Transformée de Laplace Fonctions types Exemple 3 : Transformée de Laplace de la fonction exponentielle h(t) = e at, t 0 et 0 sinon : Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 59 / 132

130 Transformée de Laplace Fonctions types Exemple 3 : Transformée de Laplace de la fonction exponentielle h(t) = e at, t 0 et 0 sinon : ĥ(s) = = + e at e st dt 0 + e (s+a)t dt 0 [ ] + = e (s+a)t s + a 0 = 1 s + a. Notons que cette transformée est définie pour tout s C tel que Re[s] > Re[a]. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 59 / 132

131 Transformée de Laplace Fonctions types Table des transformées Rappelons que les fonctions temporelles f(t) ci-dessous ne sont définies que pour t 0. Fonction Dom. temporel f(t) Trans. de Laplace ˆf(s) échelon 1 1 s rampe t 1 s 2 puissance n-ième t n n! 1 s n+1 exponentielle décroissante e at 1 s + a Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 60 / 132

132 Transformée de Laplace Fonctions types Table des transformées Rappelons que les fonctions temporelles f(t) ci-dessous ne sont définies que pour t 0. Fonction Dom. temporel f(t) Trans. de Laplace ˆf(s) sinus cosinus sin ωt cos ωt ω s 2 + ω 2 s s 2 + ω 2 décroissance exponentielle d un sinus décroissance exponentielle d un cosinus e at sin(bt) e at cos(bt) b (s + a) 2 + b 2 s + a (s + a) 2 + b 2 décroissance exponentielle d une puissance n-ième t n n! e at 1 (s + a) n+1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 61 / 132

133 Transformée de Laplace Applications Application pour la résolution d équations différentielles linéaires Considérons une équation différentielle linéaire et appliquons la TL (pour des raisons de simplicité, les C.I. sont supposées nulles) a ny (n) + + a 1ẏ + a 0y = b mu (m) + + b 1 u + b 0u Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 62 / 132

134 Transformée de Laplace Applications Application pour la résolution d équations différentielles linéaires Considérons une équation différentielle linéaire et appliquons la TL (pour des raisons de simplicité, les C.I. sont supposées nulles) a ny (n) + + a 1ẏ + a 0y = b mu (m) + + b 1 u + b 0u L a ns n ŷ(s) + + a 1sŷ(s) + a 0ŷ(s) = b ms m û(s) + + b 1sû(s) + b 0û(s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 62 / 132

135 Transformée de Laplace Applications Application pour la résolution d équations différentielles linéaires Considérons une équation différentielle linéaire et appliquons la TL (pour des raisons de simplicité, les C.I. sont supposées nulles) a ny (n) + + a 1ẏ + a 0y = b mu (m) + + b 1 u + b 0u a ns n ŷ(s) + + a 1sŷ(s) + a 0ŷ(s) = b ms m û(s) + + b 1sû(s) + b 0û(s) La réponse s exprime donc ŷ(s) = bmsm + + b 1s + b 0 a ns n + + a 1s + a 0 û(s) L Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 62 / 132

136 Transformée de Laplace Applications Application pour la résolution d équations différentielles linéaires Considérons une équation différentielle linéaire et appliquons la TL (pour des raisons de simplicité, les C.I. sont supposées nulles) a ny (n) + + a 1ẏ + a 0y = b mu (m) + + b 1 u + b 0u a ns n ŷ(s) + + a 1sŷ(s) + a 0ŷ(s) = b ms m û(s) + + b 1sû(s) + b 0û(s) La réponse s exprime donc ŷ(s) = bmsm + + b 1s + b 0 a ns n + + a 1s + a 0 û(s) L A partir de l expression de ŷ(s) : effectuer une décomposition en éléments simple, appliquer la transformée de Laplace inverse à chaque éléments, à l aide de la table des transformées. ŷ(s) L 1 y(t), Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 62 / 132

137 Transformée de Laplace Applications Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle 3ẏ(t) + y(t) = 5u(t), u(t) = 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 63 / 132

138 Transformée de Laplace Applications Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle 3ẏ(t) + y(t) = 5u(t), u(t) = 2 La réponse se décompose en : avec ŷ(s) = 5 (3s + 1) û(s) = 5 (3s + 1) 2 s = A 3s B s 10 A = (3s + 1) (3s + 1)s = 30, s= 1/3 10 B = s (3s + 1)s = 10. s=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 63 / 132

139 Transformée de Laplace Applications Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle 3ẏ(t) + y(t) = 5u(t), u(t) = 2 La réponse se décompose en : avec ŷ(s) = 5 (3s + 1) û(s) = 5 (3s + 1) 2 s = A 3s B s 10 A = (3s + 1) (3s + 1)s = 30, s= 1/3 10 B = s (3s + 1)s = 10. s=0 A l aide de la table, la réponse temporelle est : y(t) = 30 3 e 1 3 t + 10 = 10(1 e 1 3 t ). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 63 / 132

140 Transformée de Laplace Applications Exemple 2 : Résoudre l équation différentielle 2ÿ(t) + 24ẏ(t) + 18y(t) = 9u(t), u(t) = 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 64 / 132

141 Transformée de Laplace Applications Exemple 2 : Résoudre l équation différentielle 2ÿ(t) + 24ẏ(t) + 18y(t) = 9u(t), u(t) = 1 La réponse se décompose en : avec 9/2 ŷ(s) = s s + 9 û(s) = A s B s C s 9/2 A = (s ) (s )(s )s = 0.039, s= /2 B = (s ) (s )(s )s = 0.539, s= /2 C = s (s )(s )s = 0.5. s=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 64 / 132

142 Transformée de Laplace Applications Exemple 2 : Résoudre l équation différentielle 2ÿ(t) + 24ẏ(t) + 18y(t) = 9u(t), u(t) = 1 La réponse se décompose en : avec 9/2 ŷ(s) = s s + 9 û(s) = A s B s C s 9/2 A = (s ) (s )(s )s = 0.039, s= /2 B = (s ) (s )(s )s = 0.539, s= /2 C = s (s )(s )s = 0.5. s=0 A l aide de la table, la réponse temporelle est : y(t) = 0.039e t 0.539e 0.804t Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 64 / 132

143 Transformée de Laplace Exemple 3 : Datation au carbone 14 Applications La proportion de C 14, par rapport au carbone total (C 12, C 13 et C 14 ), est à peu près constante chez un organisme vivant. A sa mort (t 0), les échanges avec l extérieur cessent, et la quantité de C 14 décroit en se désintégrant. Soit N(t) le nombre d atome de C 14 à l instant t (en années) présent dans un échantillon de matière organique. On montre que la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre d atome présents : N (t) = N(t). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 65 / 132

144 Transformée de Laplace Exemple 3 : Datation au carbone 14 Applications La proportion de C 14, par rapport au carbone total (C 12, C 13 et C 14 ), est à peu près constante chez un organisme vivant. A sa mort (t 0), les échanges avec l extérieur cessent, et la quantité de C 14 décroit en se désintégrant. Soit N(t) le nombre d atome de C 14 à l instant t (en années) présent dans un échantillon de matière organique. On montre que la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre d atome présents : N (t) = N(t). Soit à t 0 = 0, la quantité initiale présente N(0) = N 0. TL : s ˆN(s) N 0 = 1 ˆN(s) 8033 ˆN(s) = N 0 s N(t) N 0 = e t t (années) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 65 / 132

145 Transformée de Laplace Exemple 3 : Datation au carbone 14 Applications La proportion de C 14, par rapport au carbone total (C 12, C 13 et C 14 ), est à peu près constante chez un organisme vivant. A sa mort (t 0), les échanges avec l extérieur cessent, et la quantité de C 14 décroit en se désintégrant. Soit N(t) le nombre d atome de C 14 à l instant t (en années) présent dans un échantillon de matière organique. On montre que la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre d atome présents : N (t) = N(t). Soit à t 0 = 0, la quantité initiale présente N(0) = N 0. TL : s ˆN(s) N 0 = 1 ˆN(s) 8033 Expression temporelle : ˆN(s) = N 0 s N(t) N 0 = e t 8033 N(t) = N 0 e t t (années) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 65 / 132

146 Exemple 4 : Circuit RC Transformée de Laplace Applications R Filtre passe-bas du 1 er ordre : loi des mailles : e(t) = Ri(t) + s(t), courant du condensateur : i(t) = C ds(t) dt. e(t) C s(t) Nous avons donc la relation entrée-sortie : i(t) RCṡ(t) + s(t) = e(t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 66 / 132

147 Exemple 4 : Circuit RC Transformée de Laplace Applications R Filtre passe-bas du 1 er ordre : loi des mailles : e(t) = Ri(t) + s(t), courant du condensateur : i(t) = C ds(t) dt. e(t) C s(t) Nous avons donc la relation entrée-sortie : i(t) RCṡ(t) + s(t) = e(t) Pour une tension d entrée de type échelon, e(t) = 5V : TL : RC sŝ(s) + ŝ(s) = ê(s) ŝ(s) = 1 5 RCs + 1 s = 5 s 5 s + 1 RC Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 66 / 132

148 Exemple 4 : Circuit RC Transformée de Laplace Applications R Filtre passe-bas du 1 er ordre : loi des mailles : e(t) = Ri(t) + s(t), courant du condensateur : i(t) = C ds(t) dt. e(t) C s(t) Nous avons donc la relation entrée-sortie : i(t) RCṡ(t) + s(t) = e(t) Pour une tension d entrée de type échelon, e(t) = 5V : TL : RC sŝ(s) + ŝ(s) = ê(s) ŝ(s) = 1 5 RCs + 1 s Expression temporelle = 5 s 5 s + 1 RC s(t) = 5 ( 1 e 1 RC t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 66 / 132

149 Exemple 4 : Circuit RC Transformée de Laplace Applications R Filtre passe-bas du 1 er ordre : loi des mailles : e(t) = Ri(t) + s(t), courant du condensateur : i(t) = C ds(t) dt. e(t) C s(t) Nous avons donc la relation entrée-sortie : i(t) RCṡ(t) + s(t) = e(t) Pour une tension d entrée de type échelon, e(t) = 5V : 5 TL : RC sŝ(s) + ŝ(s) = ê(s) ŝ(s) = Expression temporelle 1 5 RCs + 1 s = 5 s 5 s + 1 RC Amplitude s(t) % de 5V s(t) = 5 ( 1 e RC 1 Time (sec) x RC=0.6e 4ms (R = 3MΩ, C = 0.2µF ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 66 / 132

150 Transformée de Laplace Exemple 5 : Système masse-ressort Applications Application du PFD : mẍ(t) + kx(t) = 0 ou encore ẍ(t) + ω 2 0 x(t) = 0 avec ω 0 = k/m. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 67 / 132

151 Transformée de Laplace Exemple 5 : Système masse-ressort Applications Application du PFD : mẍ(t) + kx(t) = 0 ou encore ẍ(t) + ω 2 0 x(t) = 0 avec ω 0 = k/m. Conditions initiales : position x(0) = 0.01 m, vitesse ẋ(0) = 0 m/s. TL : s 2 ˆx(s) sx(0) + ω 2 0 ˆx(s) = 0 ˆx(s) = s s 2 + ω0 2 x 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 67 / 132

152 Transformée de Laplace Exemple 5 : Système masse-ressort Applications Application du PFD : mẍ(t) + kx(t) = 0 ou encore ẍ(t) + ω 2 0 x(t) = 0 avec ω 0 = k/m. Conditions initiales : position x(0) = 0.01 m, vitesse ẋ(0) = 0 m/s. TL : s 2 ˆx(s) sx(0) + ω 2 0 ˆx(s) = 0 ˆx(s) = s s 2 + ω0 2 x 0 Expression temporelle x(t) = x 0 cos(ω 0t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 67 / 132

153 Transformée de Laplace Exemple 5 : Système masse-ressort Applications Application du PFD : mẍ(t) + kx(t) = 0 ou encore ẍ(t) + ω 2 0 x(t) = 0 avec ω 0 = k/m. Conditions initiales : position x(0) = 0.01 m, vitesse ẋ(0) = 0 m/s TL : s 2 ˆx(s) sx(0) + ω 2 0 ˆx(s) = 0 x(t) (m) ˆx(s) = s s 2 + ω0 2 x Expression temporelle x(t) = x 0 cos(ω 0t) temps (s) (m = 0.1 kg, k = 2 N/m) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 67 / 132

154 Sommaire Calcul matriciel 4 Calcul matriciel Rappels Inversion de matrices Système d équations linéaires Applications 5 Intégration numérique Position du problème Méthode des rectangles Méthode des trapèzes Méthode de Simpson Applications 6 Équations différentielles ordinaires Position du problème Méthode d Euler Méthode de Taylor Méthodes de Runge-Kutta Exemples Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 68 / 132

155 Calcul matriciel Rappels Définition Pour tous entiers positifs n et p, une matrice n p à coefficients dans R est un tableau d éléments de R à n lignes et à p colonnes : a 11 a a 1p. a A = 21 a a n a np Le coefficient a ij représente le coefficient situé à l intersection de la i-ième ligne et la j-ième colonne du tableau. On note A R n p Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 69 / 132

156 Calcul matriciel Rappels Définition Pour tous entiers positifs n et p, une matrice n p à coefficients dans R est un tableau d éléments de R à n lignes et à p colonnes : a 11 a a 1p. a A = 21 a a n a np Le coefficient a ij représente le coefficient situé à l intersection de la i-ième ligne et la j-ième colonne du tableau. On note A R n p Exemples : matrice rectangle [ ] matrice carrée n et p représentent les dimensions de la matrice. vecteur colonne Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 69 / 132

157 Calcul matriciel Rappels Matrices particulières Matrice nulle : matrice n p dont tous les éléments sont nuls, on la note 0 n p. Matrice diagonale : matrice telle que a ij = 0 si i j. [ 0 0 ] Matrice triangulaire : matrice telle que a ij = 0 si i > j (triangulaire supérieure), matrice telle que a ij = 0 si i < j (triangulaire inférieure). [ ] Matrice identité : matrice carrée diagonale dont les éléments valent 1, on la note 1 n. Matrice symétrique : matrice carrée telle que a ij = a ji, i et j Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 70 / 132

158 Calcul matriciel Rappels Opérations élémentaires Transposition Soit A R n p, la transposée de A est une matrice p n dont le coefficient à l intersection de la ligne i et la colonne j est a ji. Exemple : A = A T = 1 3 [ 1 2 ] Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 71 / 132

159 Calcul matriciel Rappels Opérations élémentaires Transposition Soit A R n p, la transposée de A est une matrice p n dont le coefficient à l intersection de la ligne i et la colonne j est a ji. Exemple : A = A T = 1 3 [ 1 2 ] Multiplication par un nombre réel Soit A R n p et λ R. Le résultat de λ A est une matrice dont le coefficient à l intersection de la ligne i et la colonne j est λa ij. Exemple : A = [ 1 2 ] λ = 3 λ A = [ 3 6 ] Propriétés : ( A T ) T = A et ( λ A ) T = λ A T Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 71 / 132

160 Calcul matriciel Rappels Addition matricielle Soit deux matrices A et B R n p. La somme de A et B C = A + B est une matrice n p dont le coefficient à l intersection de la ligne i et la colonne j est c ij = a ij + b ij. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 72 / 132

161 Calcul matriciel Rappels Addition matricielle Soit deux matrices A et B R n p. La somme de A et B C = A + B est une matrice n p dont le coefficient à l intersection de la ligne i et la colonne j est c ij = a ij + b ij. Cette opération n est définie que pour des matrices de mêmes dimensions. Exemples : Propriété : A = B = A + B = A B = ( ) T A + B = A T + B T Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 72 / 132

162 Calcul matriciel Rappels Multiplication matricielle Soit deux matrices A R n p et B R p q. Le produit de A et B est une matrice n q C = A B dont le coefficient c ij est la somme des produits termes à termes de la i-ième ligne de A par la j-ième colonne de B : c ij = p a ik b kj. k=1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 73 / 132

163 Calcul matriciel Rappels Multiplication matricielle Soit deux matrices A R n p et B R p q. Le produit de A et B est une matrice n q C = A B dont le coefficient c ij est la somme des produits termes à termes de la i-ième ligne de A par la j-ième colonne de B : c ij = p a ik b kj. k=1 Opération définie que si le nb de colonnes de A est égal au nb de lignes de B. Opération non commutative A B B A. Exemples : } {{ } A B {}}{ } {{ } C } {{ } A { [ 1 B }} ] { } {{ } C ( ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. T T T SSI-MPHY 73 / 132

164 Calcul matriciel Inversion de matrices Inversion de matrices Définition Soit A R n n une matrice carrée. On dit que la matrice A est inversible s il existe une matrice B R n n telle que A B = B A = 1 n. Cette matrice B s appelle l inverse de A, elle est unique et se note A 1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 74 / 132

165 Calcul matriciel Inversion de matrices Inversion de matrices Définition Soit A R n n une matrice carrée. On dit que la matrice A est inversible s il existe une matrice B R n n telle que A B = B A = 1 n. Cette matrice B s appelle l inverse de A, elle est unique et se note A 1. Exemple : A = [ ] A 1 = [ 3 ] Propriétés : Si A inversible, la matrice A 1 est aussi inversible ( A 1 ) 1 = A. Si A et B sont inversibles, alors A B est inversible et ( A B ) 1 = B 1 A 1 Si A est inversible, alors A T est inversible et ( A T ) 1 = ( A 1 )T. Comment savoir si une matrice est inversible et comment calculer A 1? Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 74 / 132

166 Calcul matriciel Inversion de matrices Déterminant d une matrice Définition Soit A R n n une matrice carrée. Le déterminant de A, noté det A est un nombre réel que l on définit par récurrence par : det A = a a ( 1) n+1 a 1n 1n où 1i est le déterminant de la matrice carrée de taille n 1 obtenue à partir de A en rayant la première ligne et la i-ième colonne. Pour n 2, le déterminant est calculé à partir de n déterminants de matrices (n 1) (n 1). Pour une matrice 2 2 : [ ] a b A = c d det A = a c b d = a d b c Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 75 / 132

167 Calcul matriciel Inversion de matrices Déterminant d une matrice Définition Soit A R n n une matrice carrée. Le déterminant de A, noté det A est un nombre réel que l on définit par récurrence par : det A = a a ( 1) n+1 a 1n 1n où 1i est le déterminant de la matrice carrée de taille n 1 obtenue à partir de A en rayant la première ligne et la i-ième colonne. Pour n 2, le déterminant est calculé à partir de n déterminants de matrices (n 1) (n 1). Pour une matrice 2 2 : [ ] a b A = c d det A = a c b d = a d b c Exemple : A = det A = = 1 ( 1) 2 ( 3) + 1 ( 10) = 5 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 75 / 132

168 Exemple : B = Calcul matriciel Inversion de matrices Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 76 / 132

169 Exemple : B = Calcul matriciel Inversion de matrices det B = ( 1) = = 3 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 76 / 132

170 Exemple : B = Calcul matriciel Inversion de matrices det B = ( 1) = = 3 Propriétés : Le déterminant d une matrice triangulaire est égal au produit des coefficients diagonaux. Si une ligne (ou colonne) de A est une combinaison linéaire des autres lignes (colonnes), alors det A = 0. Si une ligne (ou colonne) de A est nulle, alors det A = 0. det ( λa ) = λ n det A, det ( A B ) = det A det B et det ( A T ) = det A. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 76 / 132

171 Calcul matriciel Inversion de matrices Théorème Une matrice carrée A R n n est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Le cas échéant, det ( A 1) = 1/det A. Une matrice dont le déterminant est nul est dite singulière. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 77 / 132

172 Calcul matriciel Inversion de matrices Théorème Une matrice carrée A R n n est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Le cas échéant, det ( A 1) = 1/det A. Une matrice dont le déterminant est nul est dite singulière. Définition Soit une matrice carrée A R n n. On appelle cofacteur de a ij le nombre ( 1) i+j ij où ij est le déterminant de la matrice de dimension (n 1) obtenue à partir de A en rayant la ligne i et la colonne j. On appelle comatrice de A la matrice de dimension n, noté Com A dont le coefficient à l intersection de la ligne i et de la colonne j est ( 1) i+j ij. Exemple : A = Com A = = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 77 / 132

173 Calcul matriciel Inversion de matrices Théorème Une matrice carrée A R n n est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Le cas échéant, det ( A 1) = 1/det A. Une matrice dont le déterminant est nul est dite singulière. Définition Soit une matrice carrée A R n n. On appelle cofacteur de a ij le nombre ( 1) i+j ij où ij est le déterminant de la matrice de dimension (n 1) obtenue à partir de A en rayant la ligne i et la colonne j. On appelle comatrice de A la matrice de dimension n, noté Com A dont le coefficient à l intersection de la ligne i et de la colonne j est ( 1) i+j ij. Exemple : A = Com A = = Théorème Soit A R n n. Si A est une matrice inversible, alors on a A 1 1 ( ) T = Com A. det A Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 77 / 132

174 Calcul matriciel Inversion de matrices Exemples : A = A 1 = B = [ ] a b c d B 1 = 1 ad bc [ d ] b c a C = C 1 = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 78 / 132

175 Calcul matriciel Système d équations linéaires Système d équations linéaires Soit le système d équations linéaires suivant : a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = b 2 système de n équations... et p inconnues a n1 x 1 + a n2 x a np x p = b n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 79 / 132

176 Calcul matriciel Système d équations linéaires Système d équations linéaires Soit le système d équations linéaires suivant : a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = b 2 système de n équations... et p inconnues a n1 x 1 + a n2 x a np x p = b n que l on peut réécrire sous la forme : a a 1p.. a n1... a np x 1. x p = b 1.. b n A X = B Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 79 / 132

177 Calcul matriciel Système d équations linéaires Définition Un système linéaire est appelé système de Cramer s il comporte autant d équations que d inconnues (c est-à-dire n = p) et si det A 0. Exemple : 2 x x 2 = 5 4 x 1 3 x x 3 = 0 x x 2 x 3 = x 1 x 2 = x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 80 / 132

178 Calcul matriciel Système d équations linéaires Définition Un système linéaire est appelé système de Cramer s il comporte autant d équations que d inconnues (c est-à-dire n = p) et si det A 0. Exemple : 2 x x 2 = 5 4 x 1 3 x x 3 = 0 x x 2 x 3 = x 1 x 2 = x Si det A 0, le système d équations admet une solution unique. Si det A = 0, deux cas de figure : le système admet une infinité de solutions, le système n admet aucune solution. Comment résoudre le système lorsque c est un système de Cramer? Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 80 / 132

179 Calcul matriciel Système d équations linéaires Si l on considère un système de Cramer, la matrice A est inversible. La solution du système est donnée par : X = A 1 B Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 81 / 132

180 Calcul matriciel Système d équations linéaires Si l on considère un système de Cramer, la matrice A est inversible. La solution du système est donnée par : X = A 1 B Exemple précédent : A = det A = Calcul de l inverse : A 1 = 1 T Résolution : X = A 1 B = = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 81 / 132

181 Calcul matriciel Système d équations linéaires Si l on considère un système de Cramer, la matrice A est inversible. La solution du système est donnée par : X = A 1 B Exemple précédent : A = det A = Calcul de l inverse : A 1 = 1 T Résolution : X = A 1 B = = Méthodes trop lourdes en calculs... Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 81 / 132

182 Calcul matriciel Système d équations linéaires Méthode de Gauss Cette méthode consiste à transformer un système quelconque en un système triangulaire. Cette transformation s effectue en modifiant certaines lignes de la matrice par combinaison linéaire d autres lignes. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 82 / 132

183 Calcul matriciel Système d équations linéaires Méthode de Gauss Cette méthode consiste à transformer un système quelconque en un système triangulaire. Cette transformation s effectue en modifiant certaines lignes de la matrice par combinaison linéaire d autres lignes. Explication sur un exemple : x1 x 2 = x 3 1 L1 L 2 L 3 Cherchons à éliminer x 1 dans les équations 2 et 3 : Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 82 / 132

184 Calcul matriciel Système d équations linéaires Méthode de Gauss Cette méthode consiste à transformer un système quelconque en un système triangulaire. Cette transformation s effectue en modifiant certaines lignes de la matrice par combinaison linéaire d autres lignes. Explication sur un exemple : x1 x 2 = x 3 1 L1 L 2 L 3 Cherchons à éliminer x 1 dans les équations 2 et 3 : On multiplie la 1 ière équation par 2 et on l ajoute à la 2 nde qui devient 0 x 1 5 x x 3 = 10 (L 2 2 L 1 + L 2) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 82 / 132

185 Calcul matriciel Système d équations linéaires Méthode de Gauss Cette méthode consiste à transformer un système quelconque en un système triangulaire. Cette transformation s effectue en modifiant certaines lignes de la matrice par combinaison linéaire d autres lignes. Explication sur un exemple : x1 x 2 = x 3 1 L1 L 2 L 3 Cherchons à éliminer x 1 dans les équations 2 et 3 : On multiplie la 1 ière équation par 2 et on l ajoute à la 2 nde qui devient 0 x 1 5 x x 3 = 10 (L 2 2 L 1 + L 2) On multiplie la 3 ième équation par 2, on lui retranche la 1 ière et devient 0 x x 2 2 x 3 = 7 (L 3 2 L 3 L 1) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 82 / 132

186 Calcul matriciel Système d équations linéaires Méthode de Gauss Cette méthode consiste à transformer un système quelconque en un système triangulaire. Cette transformation s effectue en modifiant certaines lignes de la matrice par combinaison linéaire d autres lignes. Explication sur un exemple : x1 x 2 = x 3 1 L1 L 2 L 3 Cherchons à éliminer x 1 dans les équations 2 et 3 : On multiplie la 1 ière équation par 2 et on l ajoute à la 2 nde qui devient 0 x 1 5 x x 3 = 10 (L 2 2 L 1 + L 2) On multiplie la 3 ième équation par 2, on lui retranche la 1 ière et devient 0 x x 2 2 x 3 = 7 (L 3 2 L 3 L 1) Le système devient : x1 x 2 = x 3 7 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 82 / 132

187 Calcul matriciel Système d équations linéaires Cherchons à éliminer x 2 dans l équations 3 : On multiplie la 2 nde équation par 3/5 et on l ajoute à la 3 ième qui devient 0 x x x3 = 13 (L3 3 L2 + L3) 5 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 83 / 132

188 Calcul matriciel Système d équations linéaires Cherchons à éliminer x 2 dans l équations 3 : On multiplie la 2 nde équation par 3/5 et on l ajoute à la 3 ième qui devient 0 x x x3 = 13 (L3 3 L2 + L3) 5 Le système devient : x1 x 2 = x La matrice du système est maintenant triangulaire supérieure. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 83 / 132

189 Calcul matriciel Système d équations linéaires Cherchons à éliminer x 2 dans l équations 3 : On multiplie la 2 nde équation par 3/5 et on l ajoute à la 3 ième qui devient 0 x x x3 = 13 (L3 3 L2 + L3) 5 Le système devient : x1 x 2 = x La matrice du système est maintenant triangulaire supérieure. On peut résoudre facilement les équations en remontant : x 3 = = 65 4 x 2 = 1 ( ) = 17 2 x 1 = 1 ( ) = 7 4 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 83 / 132

190 Calcul matriciel Système d équations linéaires Algorithme : transformer en n 1 étapes le système A X = B en un système équivalent U X = C, où U est une matrice triangulaire supérieure. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 84 / 132

191 Calcul matriciel Système d équations linéaires Algorithme : transformer en n 1 étapes le système A X = B en un système équivalent U X = C, où U est une matrice triangulaire supérieure. 1 Dans la k ième étape, on cherche à éliminer x k dans les équations allant de (k + 1) à n. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 84 / 132

192 Calcul matriciel Système d équations linéaires Algorithme : transformer en n 1 étapes le système A X = B en un système équivalent U X = C, où U est une matrice triangulaire supérieure. 1 Dans la k ième étape, on cherche à éliminer x k dans les équations allant de (k + 1) à n. 2 Les k premières lignes restent inchangées. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 84 / 132

193 Calcul matriciel Système d équations linéaires Algorithme : transformer en n 1 étapes le système A X = B en un système équivalent U X = C, où U est une matrice triangulaire supérieure. 1 Dans la k ième étape, on cherche à éliminer x k dans les équations allant de (k + 1) à n. 2 Les k premières lignes restent inchangées. 3 On retranche à la i-ième ligne, la k-ième ligne multipliée par a [k] ik, k + 1 i n a [k] kk a [k] ij représentent les coefficients de la matrice A à l étape k (après les précédentes modif.). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 84 / 132

194 Calcul matriciel Système d équations linéaires Algorithme : transformer en n 1 étapes le système A X = B en un système équivalent U X = C, où U est une matrice triangulaire supérieure. 1 Dans la k ième étape, on cherche à éliminer x k dans les équations allant de (k + 1) à n. 2 Les k premières lignes restent inchangées. 3 On retranche à la i-ième ligne, la k-ième ligne multipliée par a [k] ik, k + 1 i n a [k] kk a [k] ij représentent les coefficients de la matrice A à l étape k (après les précédentes modif.). 4 Si le coefficient a [k] kk est nul, il faut permuter la ligne k avec une des lignes suivantes dont le coefficient du terme x k est non nul. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 84 / 132

195 Calcul matriciel Système d équations linéaires Algorithme : transformer en n 1 étapes le système A X = B en un système équivalent U X = C, où U est une matrice triangulaire supérieure. 1 Dans la k ième étape, on cherche à éliminer x k dans les équations allant de (k + 1) à n. 2 Les k premières lignes restent inchangées. 3 On retranche à la i-ième ligne, la k-ième ligne multipliée par a [k] ik, k + 1 i n a [k] kk a [k] ij représentent les coefficients de la matrice A à l étape k (après les précédentes modif.). 4 Si le coefficient a [k] kk est nul, il faut permuter la ligne k avec une des lignes suivantes dont le coefficient du terme x k est non nul. Résoudre le système U X = C à partir de la dernière équation x n = c n/u nn x i = 1 ( n ) ci u ijx j, i = n 1, n 2,..., 1 u ii j=i+1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 84 / 132

196 Calcul matriciel Système d équations linéaires Exemple : 2 x 1 + x x 4 = 2 4 x 1 2 x x 3 7 x 4 = 9 4 x 1 + x 2 2 x x 4 = 2 3 x 2 12 x 3 x 4 = 2 L 1 L 2 L 3 L 4 Système sous forme matricielle : A X = B x x A = X = 2 x B = x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 85 / 132

197 Calcul matriciel Système d équations linéaires Exemple : 2 x 1 + x x 4 = 2 4 x 1 2 x x 3 7 x 4 = 9 4 x 1 + x 2 2 x x 4 = 2 3 x 2 12 x 3 x 4 = 2 L 1 L 2 L 3 L 4 Système sous forme matricielle : A X = B x x A = X = 2 x B = x Etape 1 : élimination de x 1 dans les équations 2, 3 et 4 : L 2 2 L 1 + L 2 : L 3 2 L 1 + L 3 : 0 x x x x 4 = 5 0 x 1 1 x 2 2 x x 4 = 2 pas de modification nécessaire pour la dernière équation. Le système devient : x x x = x 4 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 85 / 132

198 Calcul matriciel Système d équations linéaires Etape 2 : élimination de x 2 dans les équations 3 et 4 : On permute les équations 2 et 3. La 3 ième (L 3) n a plus besoin de modification. L 4 3 L 2 + L 4 : 0 x x 2 6 x 3 1 x 4 = 8 Le système devient : x x x = x 4 8 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 86 / 132

199 Calcul matriciel Système d équations linéaires Etape 2 : élimination de x 2 dans les équations 3 et 4 : On permute les équations 2 et 3. La 3 ième (L 3) n a plus besoin de modification. L 4 3 L 2 + L 4 : 0 x x 2 6 x 3 1 x 4 = 8 Le système devient : x x x = x 4 8 Etape 3 : élimination de x 3 dans l équations 4 : L 4 2 L 3 + L 4 : 0 x x x x 4 = x x Le système devient : x = x 4 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 86 / 132

200 Calcul matriciel Système d équations linéaires Etape 2 : élimination de x 2 dans les équations 3 et 4 : On permute les équations 2 et 3. La 3 ième (L 3) n a plus besoin de modification. L 4 3 L 2 + L 4 : 0 x x 2 6 x 3 1 x 4 = 8 Le système devient : x x x = x 4 8 Etape 3 : élimination de x 3 dans l équations 4 : L 4 2 L 3 + L 4 : 0 x x x x 4 = x x Le système devient : x = x 4 2 La résolution donne : x 4 = 2 x 3 = 1 x 2 = 4 x 1 = 3 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 86 / 132

201 Calcul matriciel Applications Application 1 : approximation polynomiale On dispose de données expérimentales : N couples de points (x i, y i ). On cherche à en déduire une loi approchée y = f(x) de la forme y = a m x m + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 87 / 132

202 Calcul matriciel Applications Application 1 : approximation polynomiale On dispose de données expérimentales : N couples de points (x i, y i ). On cherche à en déduire une loi approchée y = f(x) de la forme y = a m x m + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Idéalement, chaque couple (x i, y i ) vérifierait cette relation : y i = a m x m i + + a 2 x 2 i + a 1 x i + a 0, i = 1, 2,..., N. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 87 / 132

203 Calcul matriciel Applications Application 1 : approximation polynomiale On dispose de données expérimentales : N couples de points (x i, y i ). On cherche à en déduire une loi approchée y = f(x) de la forme y = a m x m + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Idéalement, chaque couple (x i, y i ) vérifierait cette relation : y i = a m x m i + + a 2 x 2 i + a 1 x i + a 0, i = 1, 2,..., N. Soit sous forme matricielle : y 1 x m 1... x 2 1 x 1 1 a ṃ y N 2 = x m N 2... x 2 N 2 x N 2 1 a 2 y N 1 x m N 1... x 2 N 1 x N 1 1 a 1 y N x m N... x 2 N x N 1 Pb : quelles valeurs données aux coefficients a i? Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 87 / 132 a 0

204 Calcul matriciel Applications Exemple : N = 7 couples de points (x i, y i) ont été mesurés. i x i y i données exp y Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 88 / 132 x

205 Calcul matriciel Applications Exemple : N = 7 couples de points (x i, y i) ont été mesurés. i x i y i On cherche à approcher la relation y = f(x) par un polynôme d ordre m = 6 : y = a 6 x 6 + a 5 x a 2 x 2 + a 1 x + a 0 Résolution du système : a 0 = a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6 = y données exp. modèle poly. y=f(x) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 88 / 132 x

206 Calcul matriciel Applications Application 2 : analyse d un réseaux électriques Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 89 / 132

207 Calcul matriciel Applications Application 2 : analyse d un réseaux électriques En prenant un sens arbitraire pour les courants et en appliquant la seconde loi de Kirchhoff aux boucles fermées abef et acdf, on a les équations : 4 i i 3 = U 1 et 4 i 1 8 i 2 = U 1 U 2 Puis, en appliquant la première loi au noeud b : i 1 + i 2 = i 3 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 89 / 132

208 Calcul matriciel Applications Application 2 : analyse d un réseaux électriques En prenant un sens arbitraire pour les courants et en appliquant la seconde loi de Kirchhoff aux boucles fermées abef et acdf, on a les équations : 4 i i 3 = U 1 et 4 i 1 8 i 2 = U 1 U 2 Puis, en appliquant la première loi au noeud b : i 1 + i 2 = i 3 Nous pouvons reformuler ce problème sous forme matricielle i1 i 2 = U1 U 1 U i 3 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 89 / 132

209 Calcul matriciel Applications Application 3 : réactions sous une poutre soutenue Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 90 / 132

210 Calcul matriciel Applications Application 3 : réactions sous une poutre soutenue En appliquant le principe fondamental de la statique, nous avons : R 1 + R 2 F 1 F 2 = 0 Puis, en exprimant la somme des moments au point d application de la force F 1, nous avons : 700 R R F 2 = 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 90 / 132

211 Calcul matriciel Applications Application 3 : réactions sous une poutre soutenue En appliquant le principe fondamental de la statique, nous avons : R 1 + R 2 F 1 F 2 = 0 Puis, en exprimant la somme des moments au point d application de la force F 1, nous avons : 700 R R F 2 = 0 Nous pouvons reformuler ce problème sous forme matricielle [ ] [ ] [ ] 1 1 R1 F1 + F = R 2 800F 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 90 / 132

212 Calcul matriciel Applications Application 4 : matrice de rotation Effectuons une rotation d angle θ sur le point M Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 91 / 132

213 Calcul matriciel Applications Application 4 : matrice de rotation Effectuons une rotation d angle θ sur le point M Les coordonnées des points M et M s écrivent : { x = d cos α et y = d sin α { x = d cos(θ + α) y = d sin(θ + α) A l aide de formules trigonométriques appropriées, nous avons : { x = d cos(θ + α) = d(cos θ cos α sin θ sin α) y = d sin(θ + α) = d(sin θ cos α + cos θ sin α) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 91 / 132

214 Calcul matriciel Applications Application 4 : matrice de rotation Effectuons une rotation d angle θ sur le point M Les coordonnées des points M et M s écrivent : { x = d cos α et y = d sin α { x = d cos(θ + α) y = d sin(θ + α) A l aide de formules trigonométriques appropriées, nous avons : { x = d cos(θ + α) = d(cos θ cos α sin θ sin α) y = d sin(θ + α) = d(sin θ cos α + cos θ sin α) Nous en déduisons donc une formulation matricielle avec la matrice de rotation (cas 2D) : [ ] [ ] [ ] [ ] [ x cos θ sin θ cos α cos θ sin θ x y = d = sin θ cos θ sin α sin θ cos θ y] Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 91 / 132

215 Calcul matriciel Applications Application 4 : matrice de rotation Effectuons une rotation d angle θ sur le point M Les coordonnées des points M et M s écrivent : { x = d cos α et y = d sin α { x = d cos(θ + α) y = d sin(θ + α) A l aide de formules trigonométriques appropriées, nous avons : { x = d cos(θ + α) = d(cos θ cos α sin θ sin α) y = d sin(θ + α) = d(sin θ cos α + cos θ sin α) Nous en déduisons donc une formulation matricielle avec la matrice de rotation (cas 2D) : [ ] [ ] [ ] [ ] [ x cos θ sin θ cos α cos θ sin θ x y = d = sin θ cos θ sin α sin θ cos θ y] Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 91 / 132

216 Sommaire Intégration numérique 4 Calcul matriciel Rappels Inversion de matrices Système d équations linéaires Applications 5 Intégration numérique Position du problème Méthode des rectangles Méthode des trapèzes Méthode de Simpson Applications 6 Équations différentielles ordinaires Position du problème Méthode d Euler Méthode de Taylor Méthodes de Runge-Kutta Exemples Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 92 / 132

217 Intégration numérique Position du problème Position du problème Objectif : évaluer numériquement la valeur d une intégrale b I(f) = f(x)dx a où f(x) est une fonction continue sur l intervalle [a, b]. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 93 / 132

218 Intégration numérique Position du problème Position du problème Objectif : évaluer numériquement la valeur d une intégrale b I(f) = f(x)dx a où f(x) est une fonction continue sur l intervalle [a, b]. A partir d un ordinateur, on ne peut manipuler qu un nombre fini de points considérons (n + 1) points de l intervalle [a, b] : x 0, x 1, x 2,..., x n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 93 / 132

219 Intégration numérique Méthode des rectangles Méthode des rectangles Principe : évaluer l aire à partir d une somme de rectangles Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 94 / 132

220 Intégration numérique Méthode des rectangles Méthode des rectangles Principe : évaluer l aire à partir d une somme de rectangles Le sommet haut gauche d un rectangle coïncide avec la courbe. A partir de (n + 1) points équidistants, on a n rectangles et h = b a n b f(x)dx h f(a) + h f(a + h) + h f(a + 2h) + + h f(a + (n 1)h) a n 1 h f(a + ih) i=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 94 / 132

221 Intégration numérique Méthode des rectangles Exemple : considérons la fonction f(x) = sin x sur l intervalle [0, π] Par calcul (ici c est facile!) : π I = 0 [ ] π sin x dx = cos x = 2 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 95 / 132

222 Intégration numérique Méthode des rectangles Exemple : considérons la fonction f(x) = sin x sur l intervalle [0, π] Par calcul (ici c est facile!) : π I = 0 [ ] π sin x dx = cos x = 2 0 Posons n = 7, soit 8 points, on a h = π 7 I π π 7 sin π 7 + π 7 sin 2 π 7 + π 7 sin 3 π 7 + π 7 sin 4 π 7 + π 7 sin 5 π 7 + π 7 sin 6 π Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 95 / 132

223 Intégration numérique Méthode des rectangles Exemple : considérons la fonction f(x) = sin x sur l intervalle [0, π] Par calcul (ici c est facile!) : π I = 0 [ ] π sin x dx = cos x = 2 0 Posons n = 13, soit 14 points, on a h = π 13 I Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 95 / 132

224 Intégration numérique Méthode des trapèzes Méthode des trapèzes Principe : évaluer l aire à partir d une somme de trapèzes Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 96 / 132

225 Intégration numérique Méthode des trapèzes Méthode des trapèzes Principe : évaluer l aire à partir d une somme de trapèzes Les points successifs sont maintenant relié par une droite. A partir de (n + 1) points équidistants, on a n trapèzes et h = b a n b f(x)dx a n 1 i=0 f(a + (i + 1)h) f(a + ih) h f(a + ih) + h 2 n 1 h i=0 f(a + ih) + f(a + (i + 1)h) 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 96 / 132

226 Intégration numérique Méthode des trapèzes Exemple : considérons la fonction f(x) = 1 e x sur l intervalle [0, 5] Par calcul, (ici aussi c est facile!) : 5 I = 1 e x dx = [x + e x] 5 = e Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 97 / 132

227 Intégration numérique Méthode des trapèzes Exemple : considérons la fonction f(x) = 1 e x sur l intervalle [0, 5] Par calcul, (ici aussi c est facile!) : 5 I = 1 e x dx = [x + e x] 5 = e Posons n = 4, soit 5 points, on a h = 5 4 I h 2 (f(0) + f(h)) + h 2 (f(h) + f(2h)) + h 2 (f(2h) + f(3h)) + h (f(3h) + f(4h)) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 97 / 132

228 Intégration numérique Méthode des trapèzes Exemple : considérons la fonction f(x) = 1 e x sur l intervalle [0, 5] Par calcul, (ici aussi c est facile!) : 5 I = 1 e x dx = [x + e x] 5 = e Posons n = 10, soit 11 points, on a h = 1 2 I Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 97 / 132

229 Intégration numérique Méthode de Simpson Méthode de Simpson Principe : chaque intervalle est approximée par une parabole Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 98 / 132

230 Intégration numérique Méthode de Simpson Méthode de Simpson Principe : chaque intervalle est approximée par une parabole On divise [a, b] en 2n sous-intervalles de longueur h = b a 2n Un polynôme de degré 2 est construit à partir de 3 points sur 2 sous-intervalles. Polynôme de Newton : p(x) = f(x i ) + f[x i, x i+1 ](x x i ) + f[x i, x i+1, x i+2 ](x x i )(x x i+1 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 98 / 132

231 Intégration numérique Méthode de Simpson Sur chaque intervalle, nous utiliserons donc l approximation : xi+2 x i f(x)dx xi+2 x i p(x)dx xi+2 x i f(x i ) + f[x i, x i+1 ](x x i ) + f[x i, x i+1, x i+2 ](x x i )(x x i+1 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 99 / 132

232 Intégration numérique Méthode de Simpson Sur chaque intervalle, nous utiliserons donc l approximation : xi+2 x i f(x)dx xi+2 x i p(x)dx xi+2 x i f(x i ) + f[x i, x i+1 ](x x i ) + f[x i, x i+1, x i+2 ](x x i )(x x i+1 ) Effectuons le changement de variable suivant : s = x x i h soit (x x i ) = s h et dx = h ds Ce qui entraîne xi+2 i+2 [ ] p(x)dx = f(x i ) + f[x i, x i+1 ]hs + f[x i, x i+1, x i+2 ]h 2 s(s 1) h ds x i i Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 99 / 132

233 Intégration numérique Méthode de Simpson En remplaçant les différences divisées par leur valeur respective : f[x i, x i+1 ] = f(x i+1) f(x i ) h f[x i, x i+1, x i+2 ] = f(x i+2) 2f(x i+1 ) + f(x i ) 2h 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 100 / 132

234 Intégration numérique Méthode de Simpson En remplaçant les différences divisées par leur valeur respective : f[x i, x i+1 ] = f(x i+1) f(x i ) h f[x i, x i+1, x i+2 ] = f(x i+2) 2f(x i+1 ) + f(x i ) 2h 2 Nous obtenons après intégration : xi+2 x i p(x)dx = h 3 ( ) f(x i ) + 4f(x i+1 ) + f(x i+2 ) c est-à-dire xi+2 x i f(x)dx h 3 ( ) f(x i ) + 4f(x i+1 ) + f(x i+2 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 100 / 132

235 Intégration numérique Méthode de Simpson Nous avons approché le calcul de l intégrale sur un seul intervalle [x i, x i+2 ]. Il faut donc sommer la formule sur les n intervalles. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 101 / 132

236 Intégration numérique Méthode de Simpson Nous avons approché le calcul de l intégrale sur un seul intervalle [x i, x i+2 ]. Il faut donc sommer la formule sur les n intervalles. b f(x)dx h ( ) f(x 0 ) + 4f(x 1 ) + f(x 2 ) + h ( ) f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) a h 3 ( ) f(x 4 ) + 4f(x 5 ) + f(x 6 ) + + h ( ) f(x 2n 2 ) + 4f(x 2n 1 ) + f(x 2n ) 3 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 101 / 132

237 Intégration numérique Méthode de Simpson Nous avons approché le calcul de l intégrale sur un seul intervalle [x i, x i+2 ]. Il faut donc sommer la formule sur les n intervalles. b f(x)dx h ( ) f(x 0 ) + 4f(x 1 ) + f(x 2 ) + h ( ) f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) a h 3 ( ) f(x 4 ) + 4f(x 5 ) + f(x 6 ) + + h ( ) f(x 2n 2 ) + 4f(x 2n 1 ) + f(x 2n ) 3 n 1 h ( ) f(x 2i ) + 4f(x 2i+1 ) + f(x 2i+2 ) 3 i=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 101 / 132

238 Intégration numérique Méthode de Simpson Exemple : Reprenons la fonction f(x) = sin x sur l intervalle [0, π] π Par calcul : I = sin x dx = 2 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 102 / 132

239 Intégration numérique Méthode de Simpson Exemple : Reprenons la fonction f(x) = sin x sur l intervalle [0, π] π Par calcul : I = sin x dx = 2 0 Posons n = 1, soit 2 sous-intervalles de longueur h = π 2 I π 6 ( sin sin π 2 + sin π ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 102 / 132

240 Intégration numérique Méthode de Simpson Exemple : Reprenons la fonction f(x) = sin x sur l intervalle [0, π] π Par calcul : I = sin x dx = 2 0 Posons n = 1, soit 2 sous-intervalles de longueur h = π 2 I π 6 ( sin sin π 2 + sin π ) Posons n = 2, soit 4 sous-intervalles de longueur h = π 4 I π ( sin sin π 4 + sin π ) + π ( sin π sin 3π ) 4 + sin π Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 102 / 132

241 Intégration numérique Applications Exemples Application 1 : calcul approché de π Signification géométrique de la constante π : surface du disque unité. x 2 + y 2 = 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 103 / 132

242 Intégration numérique Applications Exemples Application 1 : calcul approché de π Signification géométrique de la constante π : surface du disque unité. x 2 + y 2 = 1 Sachant que l aire du disque est égal à 4 fois celle du quart de disque, calculons l intégrale du premier quadrant. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 103 / 132

243 Intégration numérique Applications Aire du disque unité : 1 I = 4 1 x 2 dx 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 104 / 132

244 Intégration numérique Applications Aire du disque unité : 1 I = 4 1 x 2 dx 0 Méthode des trapèzes avec 5 points (donc h = 0.25) I = 0.5( ) + 0.5( ) +0.5( ) + 0.5( ) = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 104 / 132

245 Intégration numérique Applications Aire du disque unité : 1 I = 4 1 x 2 dx 0 Méthode des trapèzes avec 5 points (donc h = 0.25) I = 0.5( ) + 0.5( ) +0.5( ) + 0.5( ) = avec 21 points, soit h = 0.05, on trouve : I = , avec 101 points, soit h = 0.01, on trouve : I = , avec 1001 points, soit h = 0.001, on trouve : I = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 104 / 132

246 Intégration numérique Applications Exemple 2 : profil de vitesse d un robot mobile Considérons une base mobile en mouvement suivant une trajectoire rectiligne. Un accéléromètre mesure l accélération γ(t) du robot suivant cet axe. t (s) γ (m/s 2 ) t (s) γ (m/s 2 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 105 / 132

247 Intégration numérique Applications Exemple 2 : profil de vitesse d un robot mobile Considérons une base mobile en mouvement suivant une trajectoire rectiligne. Un accéléromètre mesure l accélération γ(t) du robot suivant cet axe. t (s) γ (m/s 2 ) t (s) γ (m/s 2 ) On cherche à estimer la vitesse instantanée du robot : t v(t) = γ(u) du 0 Il faut intégrer les valeurs de γ jusqu à l instant t i pour calculer v(t i ) = v i. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 105 / 132

248 Intégration numérique Applications accélération (m/s 2 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. temps (s) SSI-MPHY 106 / 132

249 Intégration numérique Appliquons la méthode des trapèzes Applications v(0.3) = h ( ) 2 v(0.6) = h 2 ( ) + h ( ) 2 v(0.9) = h 2 ( ) + h 2 ( ) + h ( ) 2 v(1.2) = h 2 ( ) + h 2 ( ) + h 2 ( ) + h ( ) 2 V (1.5) = accélération (m/s 2 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. temps (s) SSI-MPHY 106 / 132

250 Intégration numérique Appliquons la méthode des trapèzes Applications v(0.3) = h ( ) 2 v(0.6) = h 2 ( ) + h ( ) 2 v(0.9) = h 2 ( ) + h 2 ( ) + h ( ) 2 v(1.2) = h 2 ( ) + h 2 ( ) + h 2 ( ) + h ( ) 2 V (1.5) = accélération (m/s 2 ) vitesse (m/s) temps (s) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 106 / 132

251 Sommaire Équations différentielles ordinaires 4 Calcul matriciel Rappels Inversion de matrices Système d équations linéaires Applications 5 Intégration numérique Position du problème Méthode des rectangles Méthode des trapèzes Méthode de Simpson Applications 6 Équations différentielles ordinaires Position du problème Méthode d Euler Méthode de Taylor Méthodes de Runge-Kutta Exemples Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 107 / 132

252 Équations différentielles ordinaires Position du problème Position du problème Objectif : résoudre numériquement des équations différentielles ordinaires (EDO) d ordre 1 : { y = f(t, y) y(t 0 ) = y 0 c est-à-dire trouver une approximation de la fonction y(t) solution de l équation ci-dessus. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 108 / 132

253 Équations différentielles ordinaires Position du problème Position du problème Objectif : résoudre numériquement des équations différentielles ordinaires (EDO) d ordre 1 : { y = f(t, y) y(t 0 ) = y 0 c est-à-dire trouver une approximation de la fonction y(t) solution de l équation ci-dessus. y(t 0 ) = y 0 est la condition initiale. Notre équation dépend de la variable t le temps, mais ce n est pas toujours le cas. Avec les outils numériques, il n est pas possible d obtenir toutes les valeurs de y(t) quelque soit t. On obtient en fait une approximation de la solution seulement en certaines valeurs de t, notées t i. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 108 / 132

254 Équations différentielles ordinaires Position du problème Position du problème Objectif : résoudre numériquement des équations différentielles ordinaires (EDO) d ordre 1 : { y = f(t, y) y(t 0 ) = y 0 c est-à-dire trouver une approximation de la fonction y(t) solution de l équation ci-dessus. y(t 0 ) = y 0 est la condition initiale. Notre équation dépend de la variable t le temps, mais ce n est pas toujours le cas. Avec les outils numériques, il n est pas possible d obtenir toutes les valeurs de y(t) quelque soit t. On obtient en fait une approximation de la solution seulement en certaines valeurs de t, notées t i. Notation : On note y(t i ) la solution analytique de l équation en t = t i. On note y i la solution approchée au même instant. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 108 / 132

255 Équations différentielles ordinaires Position du problème (exemples d équations différentielles et résolution analytique) Exemple 1 : { y = 4y + 3 y(0) = 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 109 / 132

256 Équations différentielles ordinaires Position du problème (exemples d équations différentielles et résolution analytique) Exemple 1 : { y = 4y + 3 y(0) = 2 Solution de l équation sans second membre : y(t) = C e 4t Solution particulière : y(t) = 3 4 La solution générale s écrit donc : y(t) = C e 4t Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 109 / 132

257 Équations différentielles ordinaires Position du problème (exemples d équations différentielles et résolution analytique) Exemple 1 : { y = 4y + 3 y(0) = 2 Solution de l équation sans second membre : y(t) = C e 4t Solution particulière : y(t) = 3 4 La solution générale s écrit donc : y(t) = C e 4t A partir de la condition initiale (en t = 0, y(0) = 2), nous pouvons déterminer la solution y(t) = 5 4 e 4t Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 109 / 132

258 Exemple 2 : Équations différentielles ordinaires Position du problème { y = t y y(1) = 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 110 / 132

259 Exemple 2 : Équations différentielles ordinaires Position du problème { y = t y y(1) = 2 Effectuons une séparation des variables dy dt = t y dy y = t dt Intégrons l égalité ln y = t2 2 + C Nous obtenons donc la solution générale y(t) = C e t2 /2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 110 / 132

260 Exemple 2 : Équations différentielles ordinaires Position du problème { y = t y y(1) = 2 Effectuons une séparation des variables dy dt = t y dy y = t dt Intégrons l égalité ln y = t2 2 + C Nous obtenons donc la solution générale y(t) = C e t2 /2 A partir de la condition initiale (en t = 1, y(1) = 2), nous pouvons déterminer la solution y(t) = 2 e 1 2 (t2 1) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 110 / 132

261 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Méthode d Euler Nous connaissons le point de départ : ( ) t 0, y(t 0 ) Comment déterminer les points suivants? tout d abord en t 1, approximation de y(t 1 )? Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 111 / 132

262 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Nous connaissons la pente en t 0 y (t 0 ) = f(t 0, y 0 ) Méthode d Euler Nous connaissons le point de départ : ( ) t 0, y(t 0 ) Comment déterminer les points suivants? tout d abord en t 1, approximation de y(t 1 )? Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 111 / 132

263 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Nous connaissons la pente en t 0 y (t 0 ) = f(t 0, y 0 ) Méthode d Euler Nous connaissons le point de départ : ( ) t 0, y(t 0 ) Comment déterminer les points suivants? tout d abord en t 1, approximation de y(t 1 )? Le point suivant peut donc être approché en suivant la droite passant par (t 0, y 0 ) et de pente f(t 0, y 0 ) y(t 1 ) y 0 + f(t 0, y 0 )(t 1 t 0 ) = y 0 + h f(t 0, y 0 ) = y 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 111 / 132

264 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Nous connaissons la pente en t 0 y (t 0 ) = f(t 0, y 0 ) Méthode d Euler Nous connaissons le point de départ : ( ) t 0, y(t 0 ) Comment déterminer les points suivants? tout d abord en t 1, approximation de y(t 1 )? Le point suivant peut donc être approché en suivant la droite passant par (t 0, y 0 ) et de pente f(t 0, y 0 ) y(t 1 ) y 0 + f(t 0, y 0 )(t 1 t 0 ) = y 0 + h f(t 0, y 0 ) = y 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 111 / 132

265 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler ) Nous connaissons maintenant le point : (t 1, y 1... approximant La méthode peut être répétée pour déterminer les valeurs suivantes. ( ) t 1, y(t 1 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 112 / 132

266 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler ) Nous connaissons maintenant le point : (t 1, y 1... approximant La méthode peut être répétée pour déterminer les valeurs suivantes. ( ) t 1, y(t 1 ) Ainsi, à la 2 ième itération : y 2 = y 1 + f(t 1, y 1 )(t 2 t 1 ) = y 1 + h f(t 1, y 1 ) y(t 2 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 112 / 132

267 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler ) Nous connaissons maintenant le point : (t 1, y 1... approximant La méthode peut être répétée pour déterminer les valeurs suivantes. ( ) t 1, y(t 1 ) Ainsi, à la 2 ième itération : y 2 = y 1 + f(t 1, y 1 )(t 2 t 1 ) = y 1 + h f(t 1, y 1 ) y(t 2 ) Étant donné un pas de temps h, une condition initiale (t 0, y 0 ) et un nombre maximal d itérations N, les valeurs approchées successives de la fonction y(t) sont calculées par la formule y n+1 = y n + h f(t n, y n) avec t n+1 = t n + h Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 112 / 132

268 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler ) Nous connaissons maintenant le point : (t 1, y 1... approximant La méthode peut être répétée pour déterminer les valeurs suivantes. ( ) t 1, y(t 1 ) Ainsi, à la 2 ième itération : y 2 = y 1 + f(t 1, y 1 )(t 2 t 1 ) = y 1 + h f(t 1, y 1 ) y(t 2 ) Étant donné un pas de temps h, une condition initiale (t 0, y 0 ) et un nombre maximal d itérations N, les valeurs approchées successives de la fonction y(t) sont calculées par la formule y n+1 = y n + h f(t n, y n) avec t n+1 = t n + h Il est important de noter que l erreur introduite sur le premier calcul a des répercussions sur les suivants. Il y a propagation de l erreur. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 112 / 132

269 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 113 / 132

270 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 113 / 132

271 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 113 / 132

272 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 113 / 132

273 Exemple 1 : Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Soit l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 114 / 132

274 Exemple 1 : Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Soit l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 On montre que la solution analytique s écrit : y(t) = e t + t Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 114 / 132

275 Exemple 1 : Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Soit l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 On montre que la solution analytique s écrit : y(t) = e t + t Résolvons numériquement cette équation par la méthode d Euler avec un pas de h = 0.1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 114 / 132

276 Exemple 1 : Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Soit l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 On montre que la solution analytique s écrit : y(t) = e t + t Résolvons numériquement cette équation par la méthode d Euler avec un pas de h = 0.1. y 1 = y 0 + hf(t 0, y 0 ) = f(0, 1) = 1 y 2 = y 1 + hf(t 1, y 1 ) = f(0.1, 1) = 1.01 y 3 = y 2 + hf(t 2, y 2 ) = f(0.2, 1.01) = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 114 / 132

277 Exemple 1 : Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Soit l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 On montre que la solution analytique s écrit : y(t) = e t + t Résolvons numériquement cette équation par la méthode d Euler avec un pas de h = 0.1. y 1 = y 0 + hf(t 0, y 0 ) = f(0, 1) = 1 y 2 = y 1 + hf(t 1, y 1 ) = f(0.1, 1) = 1.01 y 3 = y 2 + hf(t 2, y 2 ) = f(0.2, 1.01) = t i y(t i ) y i e La dernière ligne e correspond à l erreur : y(t i ) y i avec un coefficient de Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 114 / 132

278 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Solution analytique (exacte) Solution numérique (h=0.1) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 115 / 132

279 Équations différentielles ordinaires Méthode d Euler Solution analytique (exacte) Solution numérique (h=0.1) Solution numérique (h=0.05) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 115 / 132

280 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Méthode de Taylor Se base sur le développement en série de Taylor. On cherche au temps t = t n une approximation de la solution en t n+1 = t n + h : y(t n+1 ) = y(t n + h) = y(t n) + y (t n) h + y (t n) h2 2 + O(h3 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 116 / 132

281 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Méthode de Taylor Se base sur le développement en série de Taylor. On cherche au temps t = t n une approximation de la solution en t n+1 = t n + h : y(t n+1 ) = y(t n + h) = y(t n) + y (t n) h + y (t n) h2 2 + O(h3 ) y(t n+1 ) = y(t n) + f(t n, y(t n)) h + f (t n, y(t n)) h2 2 + O(h3 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 116 / 132

282 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Méthode de Taylor Se base sur le développement en série de Taylor. On cherche au temps t = t n une approximation de la solution en t n+1 = t n + h : y(t n+1 ) = y(t n + h) = y(t n) + y (t n) h + y (t n) h2 2 + O(h3 ) y(t n+1 ) = y(t n) + f(t n, y(t n)) h + f (t n, y(t n)) h2 2 + O(h3 ) Exprimons y (t) : y (t) = f (t, y(t)) = f(t, y(t)) t + f(t, y(t)) y (t) y Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 116 / 132

283 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Méthode de Taylor Se base sur le développement en série de Taylor. On cherche au temps t = t n une approximation de la solution en t n+1 = t n + h : y(t n+1 ) = y(t n + h) = y(t n) + y (t n) h + y (t n) h2 2 + O(h3 ) y(t n+1 ) = y(t n) + f(t n, y(t n)) h + f (t n, y(t n)) h2 2 + O(h3 ) Exprimons y (t) : y (t) = f (t, y(t)) = f(t, y(t)) t + f(t, y(t)) y (t) y Finalement, en négligeant les termes d ordre supérieure ou égale à 3, nous avons : [ y(t n+1 ) y(t n) + h f(t n, y(t n)) + h2 f(tn, y(t n)) + 2 t ] f(tn, y(tn)) f(t n, y(t n)) y Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 116 / 132

284 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Méthode de Taylor Se base sur le développement en série de Taylor. On cherche au temps t = t n une approximation de la solution en t n+1 = t n + h : y(t n+1 ) = y(t n + h) = y(t n) + y (t n) h + y (t n) h2 2 + O(h3 ) y(t n+1 ) = y(t n) + f(t n, y(t n)) h + f (t n, y(t n)) h2 2 + O(h3 ) Exprimons y (t) : y (t) = f (t, y(t)) = f(t, y(t)) t + f(t, y(t)) y (t) y Finalement, en négligeant les termes d ordre supérieure ou égale à 3, nous avons : [ y(t n+1 ) y(t n) + h f(t n, y(t n)) + h2 f(tn, y(t n)) + 2 t ] f(tn, y(tn)) f(t n, y(t n)) y Nota : Nous nous limitons ici à la méthode de Taylor d ordre 2. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 116 / 132

285 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Cette formule peut donc être exploitée pour calculer une solution approchée y n, n = {1, 2, 3,...}, - en remplaçant y(t n) par y n, - en remplaçant f(t n, y(t n)) par f(t n, y n), - en calculant préalablement f(tn,y(tn)) t et f(tn,y(tn)) y. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 117 / 132

286 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Cette formule peut donc être exploitée pour calculer une solution approchée y n, n = {1, 2, 3,...}, - en remplaçant y(t n) par y n, - en remplaçant f(t n, y(t n)) par f(t n, y n), - en calculant préalablement f(tn,y(tn)) t et f(tn,y(tn)) y. Étant donné un pas de temps h, une condition initiale (t 0, y 0 ) et un nombre maximal d itérations N, les valeurs approchées successives de la fonction y(t) sont calculées par la formule [ y n+1 = y n + h f(t n, y n) + h2 f(tn, y n) + 2 t avec t n+1 = t n + h. ] f(tn, yn) f(t n, y n) y Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 117 / 132

287 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Cette formule peut donc être exploitée pour calculer une solution approchée y n, n = {1, 2, 3,...}, - en remplaçant y(t n) par y n, - en remplaçant f(t n, y(t n)) par f(t n, y n), - en calculant préalablement f(tn,y(tn)) t et f(tn,y(tn)) y. Étant donné un pas de temps h, une condition initiale (t 0, y 0 ) et un nombre maximal d itérations N, les valeurs approchées successives de la fonction y(t) sont calculées par la formule [ y n+1 = y n + h f(t n, y n) + h2 f(tn, y n) + 2 t avec t n+1 = t n + h. ] f(tn, yn) f(t n, y n) y Nota : Si l on ne tient pas compte du dernier terme (lié à la dérivée seconde de y), nous retrouvons la formule d Euler. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 117 / 132

288 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Exemple 1 : Reprenons l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 118 / 132

289 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Exemple 1 : Reprenons l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 On a f(t, y(t)) = y + t + 1, f t = 1, f y = 1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 118 / 132

290 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Exemple 1 : Reprenons l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 On a f(t, y(t)) = y + t + 1, f t = 1, f y = 1. La formule de l algorithme devient : y n+1 = y n + h( y n + t n + 1) + h2 (1 ( yn + tn + 1)) 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 118 / 132

291 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Prenons un pas de temps de h = 0.1. Résolvons sur 10 itérations l équation différentielle : Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 119 / 132

292 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Prenons un pas de temps de h = 0.1. Résolvons sur 10 itérations l équation différentielle : t i y(t i ) y i y(t i ) y i Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 119 / 132

293 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Solution analytique (exacte) Méthode d Euler (h=0.1) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 120 / 132

294 Équations différentielles ordinaires Méthode de Taylor Solution analytique (exacte) Méthode d Euler (h=0.1) Méthode de Taylor (h=0.1) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 120 / 132

295 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Méthodes de Runge-Kutta Objectif : Pouvoir disposer de méthodes d ordre élevé tout en évitant le calcul des dérivées de f. Les méthodes de Runge-Kutta se basent sur la formulation de la méthode de Taylor. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 121 / 132

296 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Méthodes de Runge-Kutta Objectif : Pouvoir disposer de méthodes d ordre élevé tout en évitant le calcul des dérivées de f. Les méthodes de Runge-Kutta se basent sur la formulation de la méthode de Taylor. Nous avons : [ ] y(t n+1 ) = y(t n)+h f(t n, y(t n))+ h2 f(tn, y(t n)) f(tn, y(tn)) + f(t n, y(t n)) +O(h 3 ). 2 t y Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 121 / 132

297 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Méthodes de Runge-Kutta Objectif : Pouvoir disposer de méthodes d ordre élevé tout en évitant le calcul des dérivées de f. Les méthodes de Runge-Kutta se basent sur la formulation de la méthode de Taylor. Nous avons : [ ] y(t n+1 ) = y(t n)+h f(t n, y(t n))+ h2 f(tn, y(t n)) f(tn, y(tn)) + f(t n, y(t n)) +O(h 3 ). 2 t y La méthode de Runge-Kutta d ordre 2 cherche une approximation de la solution en t n+1 de la forme : y(t n+1 ) = y(t n) + a 1 h f(t n, y(t n)) + a 2 h f(t n + a 3 h, y(t n) + a 4 h). Il s agit de déterminer les paramètres a 1, a 2, a 3 et a 4 tels que l erreur commise soit du même ordre que la méthode de Taylor d ordre 2. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 121 / 132

298 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Pour cela, nous partons du développement de Taylor en deux variables de f : f(t n+a 3 h, y(t n)+a 4 h) = f(t n, y(t n))+a 3 h f(tn, y(tn)) f(tn, y(tn)) +a 4 h +O(h 2 ) t y Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 122 / 132

299 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Pour cela, nous partons du développement de Taylor en deux variables de f : f(t n+a 3 h, y(t n)+a 4 h) = f(t n, y(t n))+a 3 h f(tn, y(tn)) f(tn, y(tn)) +a 4 h +O(h 2 ) t y La formule devient 2 f(tn, y(tn)) 2 f(tn, y(tn)) y(t n+1 ) = y(t n)+(a 1 +a 2 )h f(t n, y(t n))+a 2 a 3 h +a 2 a 4 h +O(h 3 t y Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 122 / 132

300 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Pour cela, nous partons du développement de Taylor en deux variables de f : f(t n+a 3 h, y(t n)+a 4 h) = f(t n, y(t n))+a 3 h f(tn, y(tn)) f(tn, y(tn)) +a 4 h +O(h 2 ) t y La formule devient 2 f(tn, y(tn)) 2 f(tn, y(tn)) y(t n+1 ) = y(t n)+(a 1 +a 2 )h f(t n, y(t n))+a 2 a 3 h +a 2 a 4 h +O(h 3 t y (rappel formulation de Taylor) [ ] y(t n+1 ) = y(t n)+h f(t n, y(t n))+ h2 f(tn, y(t n)) f(tn, y(tn)) + f(t n, y(t n)) +O(h 3 ). 2 t y Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 122 / 132

301 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Pour cela, nous partons du développement de Taylor en deux variables de f : f(t n+a 3 h, y(t n)+a 4 h) = f(t n, y(t n))+a 3 h f(tn, y(tn)) f(tn, y(tn)) +a 4 h +O(h 2 ) t y La formule devient 2 f(tn, y(tn)) 2 f(tn, y(tn)) y(t n+1 ) = y(t n)+(a 1 +a 2 )h f(t n, y(t n))+a 2 a 3 h +a 2 a 4 h +O(h 3 t y (rappel formulation de Taylor) [ ] y(t n+1 ) = y(t n)+h f(t n, y(t n))+ h2 f(tn, y(t n)) f(tn, y(tn)) + f(t n, y(t n)) +O(h 3 ). 2 t y Nous pouvons constater que cette formulation est du même ordre que celle de Taylor. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 122 / 132

302 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Pour cela, nous partons du développement de Taylor en deux variables de f : f(t n+a 3 h, y(t n)+a 4 h) = f(t n, y(t n))+a 3 h f(tn, y(tn)) f(tn, y(tn)) +a 4 h +O(h 2 ) t y La formule devient 2 f(tn, y(tn)) 2 f(tn, y(tn)) y(t n+1 ) = y(t n)+(a 1 + a 2 )h f(t n, y(t n))+a 2 a 3 h +a 2 a 4 h +O(h t y (rappel formulation de Taylor) [ ] y(t n+1 ) = y(t n)+h f(t n, y(t n))+ h2 f(tn, y(t n)) f(tn, y(tn)) + f(t n, y(t n)) +O(h 3 ). 2 t y Nous pouvons constater que cette formulation est du même ordre que celle de Taylor. Déterminons par identification les paramètres a i. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 122 / 132

303 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Nous obtenons ainsi un système non linéaire de 3 équations à 4 inconnues : a 1 + a 2 = 1 a 2 a 3 = 1 2 a 2 a 4 = 1 f(tn, y(tn)) 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 123 / 132

304 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Nous obtenons ainsi un système non linéaire de 3 équations à 4 inconnues : a 1 + a 2 = 1 a 2 a 3 = 1 2 a 2 a 4 = 1 f(tn, y(tn)) 2 Le système étant sous-contraint, il n y a pas de solution unique. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 123 / 132

305 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Nous obtenons ainsi un système non linéaire de 3 équations à 4 inconnues : a 1 + a 2 = 1 a 2 a 3 = 1 2 a 2 a 4 = 1 f(tn, y(tn)) 2 Le système étant sous-contraint, il n y a pas de solution unique. Cela offre plusieurs variantes de la méthode. En voici une particulière, appelée également la méthode d Euler modifiée : Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 123 / 132

306 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Nous obtenons ainsi un système non linéaire de 3 équations à 4 inconnues : a 1 + a 2 = 1 a 2 a 3 = 1 2 a 2 a 4 = 1 f(tn, y(tn)) 2 Le système étant sous-contraint, il n y a pas de solution unique. Cela offre plusieurs variantes de la méthode. En voici une particulière, appelée également la méthode d Euler modifiée : a 1 = a 2 = 1 2, a 3 = 1 et a 4 = f(t n, y(t n)). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 123 / 132

307 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Nous obtenons ainsi un système non linéaire de 3 équations à 4 inconnues : a 1 + a 2 = 1 a 2 a 3 = 1 2 a 2 a 4 = 1 f(tn, y(tn)) 2 Le système étant sous-contraint, il n y a pas de solution unique. Cela offre plusieurs variantes de la méthode. En voici une particulière, appelée également la méthode d Euler modifiée : a 1 = a 2 = 1 2, a 3 = 1 et a 4 = f(t n, y(t n)). Étant donné un pas de temps h, une condition initiale (t 0, y 0 ) et un nombre maximal d itérations N, les valeurs approchées successives de la fonction y(t) sont calculées par la formule ȳ = y n + h f(t n, y n) ( ) y n+1 = y n + h f(t 2 n, y n) + f(t n + h, ȳ) t n+1 = t n + h Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 123 / 132

308 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Exemple 1 : Reprenons l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 La méthode de Runge-Kutta d ordre 2 (la version Euler modifiée) est appliquée avec le même pas h = 0.1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 124 / 132

309 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Exemple 1 : Reprenons l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 La méthode de Runge-Kutta d ordre 2 (la version Euler modifiée) est appliquée avec le même pas h = 0.1. t i y(t i ) y i y(t i ) y i Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 124 / 132

310 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Exemple 1 : Reprenons l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 La méthode de Runge-Kutta d ordre 2 (la version Euler modifiée) est appliquée avec le même pas h = 0.1. t i y(t i ) y i y(t i ) y i On retrouve les mêmes résultats que la méthode de Taylor d ordre 2. Toutefois, cette parfaite similitude est exceptionnelle, cette EDO est un cas particulier. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 124 / 132

311 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Méthode de Runge-Kutta d ordre 4 En reprenant le développement de Taylor de la fonction f jusqu à l ordre 5, et en suivant un raisonnement similaire, un système de 8 équations non linéaires à 10 inconnues est obtenu. Le résultat final est une méthode de Runge-Kutta d ordre 4. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 125 / 132

312 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Méthode de Runge-Kutta d ordre 4 En reprenant le développement de Taylor de la fonction f jusqu à l ordre 5, et en suivant un raisonnement similaire, un système de 8 équations non linéaires à 10 inconnues est obtenu. Le résultat final est une méthode de Runge-Kutta d ordre 4. Étant donné un pas de temps h, une condition initiale (t 0, y 0 ) et un nombre maximal d itérations N, les valeurs approchées successives de la fonction y(t) sont calculées par la formule k 1 = h f(t n, y n) k 2 = h f(t n + h 2, yn + k 1 2 ) k 3 = h f(t n + h 2, yn + k 2 2 ) k 4 = h f(t n + h, y n + k 3 ) y n+1 = y n (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) t n+1 = t n + h Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 125 / 132

313 Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Méthode de Runge-Kutta d ordre 4 En reprenant le développement de Taylor de la fonction f jusqu à l ordre 5, et en suivant un raisonnement similaire, un système de 8 équations non linéaires à 10 inconnues est obtenu. Le résultat final est une méthode de Runge-Kutta d ordre 4. Étant donné un pas de temps h, une condition initiale (t 0, y 0 ) et un nombre maximal d itérations N, les valeurs approchées successives de la fonction y(t) sont calculées par la formule k 1 = h f(t n, y n) k 2 = h f(t n + h 2, yn + k 1 2 ) k 3 = h f(t n + h 2, yn + k 2 2 ) k 4 = h f(t n + h, y n + k 3 ) y n+1 = y n (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) t n+1 = t n + h Cette méthode est très utilisée en raison de sa grande précision. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 125 / 132

314 Exemple 1 : Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Reprenons l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 La méthode de Runge-Kutta d ordre 4 est appliquée avec le même pas h = 0.1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 126 / 132

315 Exemple 1 : Équations différentielles ordinaires Méthodes de Runge-Kutta Reprenons l équation différentielle { y = y + t + 1 y(0) = 1 La méthode de Runge-Kutta d ordre 4 est appliquée avec le même pas h = 0.1. t i y(t i ) y i y(t i ) y i Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 126 / 132

316 Équations différentielles ordinaires Exemples Exemples Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle suivante { y + y 2 = 0 y(0) = 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 127 / 132

317 Équations différentielles ordinaires Exemples Exemples Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle suivante { y + y 2 = 0 y(0) = 1 Dans cet exemple, on peut calculer facilement la solution analytique : sol. générale y(t) = 1 t + C et sol. passant par la CI y(t) = 1 t + 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 127 / 132

318 Équations différentielles ordinaires Exemples Exemples Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle suivante { y + y 2 = 0 y(0) = 1 Dans cet exemple, on peut calculer facilement la solution analytique : sol. générale y(t) = 1 t + C et sol. passant par la CI y(t) = 1 t + 1 Résolvons numériquement cette EDO sur l intervalle [0, 1] en utilisant un pas de 0.2. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 127 / 132

319 Équations différentielles ordinaires Exemples Exemples Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle suivante { y + y 2 = 0 y(0) = 1 Dans cet exemple, on peut calculer facilement la solution analytique : sol. générale y(t) = 1 t + C et sol. passant par la CI y(t) = 1 t + 1 Résolvons numériquement cette EDO sur l intervalle [0, 1] en utilisant un pas de 0.2. t i y(t i ) y i (Euler) y i (R-K 2) y i (R-K 4) Y. Ariba - Icam, Toulouse SSI-MPHY 127 / 132

320 Équations différentielles ordinaires Exemples Solution analytique Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 128 / 132

321 Équations différentielles ordinaires Exemples Solution analytique Euler (h=0.2) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 128 / 132

322 Équations différentielles ordinaires Exemples Solution analytique Euler (h=0.2) Runge Kutta 2 (h=0.2) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 128 / 132

323 Équations différentielles ordinaires Exemples Solution analytique Euler (h=0.2) Runge Kutta 2 (h=0.2) Runge Kutta 4 (h=0.2) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 128 / 132

324 Équations différentielles ordinaires Exemples Solution analytique Euler (h=0.2) Runge Kutta 2 (h=0.2) Runge Kutta 4 (h=0.2) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 128 / 132

325 Équations différentielles ordinaires Exemples Exemples Exemple 2 : Considérons le mouvement d une masse m suspendue à une corde de longueur l. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 129 / 132

326 Équations différentielles ordinaires Exemples Exemples Exemple 2 : Considérons le mouvement d une masse m suspendue à une corde de longueur l. L évolution de l angle θ(t) est décrite par l équation différentielle suivante. A t = 0, on suppose que la masse est à l arrêt et forme un angle θ 0 = 30 avec la verticale. ml θ (t) = mg sin θ(t) c f l θ (t) θ(0) = π 6 θ (0) = 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 129 / 132

327 Équations différentielles ordinaires Exemples Transformons notre équation différentielle d ordre 2 en 2 équations d ordre 1. Posons : x 1 (t) = θ(t) et x 2 (t) = θ (t). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 130 / 132

328 Équations différentielles ordinaires Exemples Transformons notre équation différentielle d ordre 2 en 2 équations d ordre 1. Posons : x 1 (t) = θ(t) et x 2 (t) = θ (t). Nous obtenons le système ml x 2 = mg sin x 1 c f l x 2 x 1 = x 2 θ(0) = π 6 θ (0) = 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 130 / 132

329 Équations différentielles ordinaires Exemples Transformons notre équation différentielle d ordre 2 en 2 équations d ordre 1. Posons : x 1 (t) = θ(t) et x 2 (t) = θ (t). Nous obtenons le système ml x 2 = mg sin x 1 c f l x 2 x 1 = x 2 ou encore x 2 = g l sin x 1 c f m x 2 x 1 = x 2 θ(0) = π 6 θ (0) = 0 x 1 (0) = π 6 x 2 (0) = 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 130 / 132

330 Équations différentielles ordinaires Exemples Transformons notre équation différentielle d ordre 2 en 2 équations d ordre 1. Posons : x 1 (t) = θ(t) et x 2 (t) = θ (t). Nous obtenons le système ml x 2 = mg sin x 1 c f l x 2 x 1 = x 2 ou encore x 2 = g l sin x 1 c f m x 2 x 1 = x 2 θ(0) = π 6 θ (0) = 0 x 1 (0) = π 6 x 2 (0) = 0 [ ] x1 En définissant y =, on retrouve la forme étudiée précédemment x 2 [ ] [ ] x y = 1 θ x = 2 θ = f(t, y) [ π ] y(0) = 6 0 où f est une fonction vectorielle de la forme [ ] x 2 f(t, y) = g l sin x 1 c f m x 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 130 / 132

331 Équations différentielles ordinaires Exemples Résolvons numériquement l équation dans le cas d un pendule de masse et de longueur unitaire, et analysons l impact du coefficient de frottement c f. Appliquons la méthode de Runge-Kutta d ordre 4 afin d estimer la solution θ(t) sur l horizon temporel : 0 20 s. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 131 / 132

332 Équations différentielles ordinaires Exemples Résolvons numériquement l équation dans le cas d un pendule de masse et de longueur unitaire, et analysons l impact du coefficient de frottement c f. Appliquons la méthode de Runge-Kutta d ordre 4 afin d estimer la solution θ(t) sur l horizon temporel : 0 20 s. Prenons un pas de temps h = 0.001, la condition initiale (t 0, y 0 ) et un nombre maximal d itérations N = 20000, les valeurs approchées successives de la fonction y(t) sont calculées par la formule k 1,1 = h x 2n ( ) g sin x 1n c f x 2n k 2,1 = h k 1,2 = h x 2n + h k 2,1 2 k 2,2 = h k 1,3 = h x 2n + h k 2,1 2 k 2,3 = h ( g sin(x 1n + k 1,1 2 ) c f (x 2n + k 2,1 2 ) ) ( g sin(x 1n + k 1,2 2 ) c f (x 2n + k 2,2 2 ) ) k 1,4 = h x 2n + hk 2,3 ( ) k 2,4 = h g sin(x 1n + k 1,3 ) c f (x 2n + k 2,3 ) { x1n+1 = x 1n (k 1,1 + 2k 1,2 + 2k 1,3 + k 1,4 ) y 2n+1 = x 2n ,1 + 2k 2,2 + 2k 2,3 + k 2,4 ) t n+1 = t n + h Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 131 / 132

333 Équations différentielles ordinaires Exemples 0.6 θ(t) pour c f = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 132 / 132

334 Équations différentielles ordinaires Exemples θ(t) pour c f =0.2 θ(t) pour c f = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 132 / 132

335 Équations différentielles ordinaires Exemples θ(t) pour c f =0.2 θ(t) pour c f =0.0 θ(t) pour c f = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 132 / 132