Mathématiques pour la Physique - Traitement Numérique

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1 Module A3.6SSI Mathématiques pour la Physique - Traitement Numérique Yassine Ariba Dpt GEI - Icam, Toulouse. version 2.2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 1 / 132

2 Informations pratiques Contact Tel : yassine.ariba@icam.fr Forum : Moodle. Favorise le partage, l auto-formation, la capitalisation d informations... Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 2 / 132

3 Informations pratiques Contact Tel : yassine.ariba@icam.fr Forum : Moodle. Favorise le partage, l auto-formation, la capitalisation d informations... Organisation du cours Pré-requis : Mathématiques depuis le CP, Mathématiques de l Ingénieur. 8h en amphi : cours. Présentation sur transparents. 14h de TD : exercices. 2 4h de TP. initiation à Scilab grille d évaluation (CR non-noté, pas de TP bilan). 1 examen final (1h30-2h). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 2 / 132

4 Informations pratiques Contact Tel : yassine.ariba@icam.fr Forum : Moodle. Favorise le partage, l auto-formation, la capitalisation d informations... Organisation du cours Pré-requis : Mathématiques depuis le CP, Mathématiques de l Ingénieur. 8h en amphi : cours. Présentation sur transparents. 14h de TD : exercices. 2 4h de TP. initiation à Scilab grille d évaluation (CR non-noté, pas de TP bilan). 1 examen final (1h30-2h). Sur Moodle Documents : transparent cours + exercices + sujets TP. Forum. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 2 / 132

5 Sommaire 1 Suites et séries Suites numériques Applications Séries numériques 2 Série de Fourier Définitions Représentation spectrale Exemples Transformée de Fourier Applications 3 Transformée de Laplace Définitions Fonctions types Applications 4 Calcul matriciel Rappels Inversion de matrices Système d équations linéaires Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 3 / 132

6 Sommaire Suites et séries 1 Suites et séries Suites numériques Applications Séries numériques 2 Série de Fourier Définitions Représentation spectrale Exemples Transformée de Fourier Applications 3 Transformée de Laplace Définitions Fonctions types Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 4 / 132

7 Suites et séries Suites numériques Suites numériques Une suite réelle est une succession d éléments de R : u 0, u 1, u 2,..., u n. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 5 / 132

8 Suites et séries Suites numériques Suites numériques Une suite réelle est une succession d éléments de R : u 0, u 1, u 2,..., u n. Une suite numérique réelle, notée ( u n ), est une application N R n u n u n u 1 u 2 u 3 u 0 0 u 4 u n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 5 / 132

9 Suites et séries Suites numériques Une suite numérique réelle peut être définie de 2 façons : définition explicite : u n = f(n), définition par récurrence : u n+1 = f(u n), le premier terme u 0 étant donné Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 6 / 132

10 Suites et séries Suites numériques Une suite numérique réelle peut être définie de 2 façons : définition explicite : u n = f(n), définition par récurrence : u n+1 = f(u n), le premier terme u 0 étant donné Exemples : Suite de nombres rationnels u n = 1 n (n N ) 1, 1 2, 1 3, Suite de nombres entiers (les carrés) u n = n 2 0, 1, 4, 9... Suite des nombres impairs u n = 2n + 1 1, 3, 5, 9... Suite récurrente { un+1 = 0.5u n 2 u 0 = 12 16, 6, 1, Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 6 / 132

11 Suites et séries Suites numériques Majoration, minoration La suite (u n) est majorée par M si, pour tout n N, u n M. La suite (u n) est minorée par m si, pour tout n N, u n m. Une suite à la fois majorée et minorée est bornée. Sens de variation, si pour tout n N u n+1 u n est croissante. u n+1 u n est décroissante. Une suite à termes strictement positifs est croissante si u n+1 u n 1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 7 / 132

12 Suites et séries Suites numériques Convergence d une suite numériques Une suite (u n) est convergente si elle admet une limite finie quand n. Une suite qui n est pas convergente est divergente. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 8 / 132

13 Suites et séries Suites numériques Convergence d une suite numériques Une suite (u n) est convergente si elle admet une limite finie quand n. Une suite qui n est pas convergente est divergente. Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse. Toute suite croissante majorée (décroissante minorée) est convergente. Soient (u n) une suite croissante et (v n) une suite décroissante. (u n) et (v n) sont dites adjacentes si u n < v n lim (vn un) = 0 n Deux suites adjacentes sont convergentes et admettent la même limite. Soient (v n) et (w n) des suites convergentes admettant la même limite l. w n u n v n lim n wn lim n un lim n vn lim n un = l Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 8 / 132

14 Suites et séries Suites numériques Suites arithmétiques Une suite arithmétique de raison r est une suite vérifiant la relation de récurrence u n+1 = u n + r On montre que u n = u 0 + nr (terme général). Si r = 0, la suite est constante et égale à u 0. Si r > 0, la suite est croissante et divergente vers +. Si r < 0, la suite est décroissante et divergente vers. Exemple 1, 3, 5, 7 est une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u 0 = 1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 9 / 132

15 Suites et séries Suites numériques Suites géométriques Une suite géométrique de raison q est une suite vérifiant la relation de récurrence u n+1 = qu n On montre que u n = u 0 q n (terme général). Si q = 1, la suite est constante et égale à u 0. Si q > 1, la suite est croissante et divergente vers +. Si q < 1, la suite converge vers 0. Si q = 1, la suite n admet pas de limite et alterne entre u 0 et u 0. Si q < 1, la suite diverge et alterne valeurs négatives valeurs positives. Exemple 2, 6, 18, 54 est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u 0 = 2. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 10 / 132

16 Suites et séries Applications Applications La suite de Fibonacci Suite introduite par Leonardo Fibonacci en 1202 pour décrire la croissance d une population de lapins sous des hypothèses très simplifiées. un couple de lapins adultes procrée un nouveau couple de lapins chaque mois. un couple ne peut procréer qu à partir du troisième mois de son existence. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 11 / 132

17 Suites et séries Applications Applications La suite de Fibonacci Suite introduite par Leonardo Fibonacci en 1202 pour décrire la croissance d une population de lapins sous des hypothèses très simplifiées. un couple de lapins adultes procrée un nouveau couple de lapins chaque mois. un couple ne peut procréer qu à partir du troisième mois de son existence. Dans cette suite, chaque terme est en fait la somme des deux qui le précédent u n+2 = u n+1 + u n avec u 0 = 1 et u 1 = 1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 11 / 132

18 Remplissage d un récipient Suites et séries Applications Soit un récipient vide de contenance 2 litres. On verse dans celui-ci un litre d eau, puis un demi-litre, puis un quart, puis un huitième,... Est-ce que le récipient va déborder? Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 12 / 132

19 Remplissage d un récipient Suites et séries Applications Soit un récipient vide de contenance 2 litres. On verse dans celui-ci un litre d eau, puis un demi-litre, puis un quart, puis un huitième,... Est-ce que le récipient va déborder? On a : u 0 = 1; u 1 = 1 2 ; u 2 = 1 4 ; u 3 = 1 8 Il s agit d une suite géométrique de premier terme u 0 = 1 et de raison q = Somme des n premiers termes : S n = n = 2 n lim n Sn = = 2 Le récipient ne débordera pas. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 12 / 132

20 Évolution d une dette Suites et séries Applications A chaque mois n, on définit : y n : la dette r : l intérêt u n : remboursement mensuel Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 13 / 132

21 Évolution d une dette Suites et séries Applications A chaque mois n, on définit : y n : la dette r : l intérêt u n : remboursement mensuel Modèle de l évolution de la dette : y n+1 = y n + r y n u n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 13 / 132

22 Évolution d une dette Suites et séries Applications A chaque mois n, on définit : y n : la dette r : l intérêt u n : remboursement mensuel Modèle de l évolution de la dette : y n+1 = y n + r y n u n Evolution de la dette : r = 0.02 y 0 = u n = (emprunt initial) 400, n = 1,..., 5 150, n = 6,..., , n = 11,..., Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 13 / 132

23 Suites et séries Applications Dynamique des populations (modélisation basique) Population = ensemble d individus d une même espèce vivant dans un même territoire et pouvant se reproduire entre eux. N t+1 N t = naissances morts + migrations Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 14 / 132

24 Suites et séries Applications Dynamique des populations (modélisation basique) Population = ensemble d individus d une même espèce vivant dans un même territoire et pouvant se reproduire entre eux. N t+1 N t = naissances morts + migrations Modèle exponentiel population seule (isolée), pas de migrations, naissances et morts proportionnelles à la population courante. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 14 / 132

25 Suites et séries Applications Dynamique des populations (modélisation basique) Population = ensemble d individus d une même espèce vivant dans un même territoire et pouvant se reproduire entre eux. N t+1 N t = naissances morts + migrations Modèle exponentiel population seule (isolée), pas de migrations, naissances et morts proportionnelles à la population courante. r : taux intrinsèque d accroissement. N t+1 = N t + r N t Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 14 / 132

26 Suites et séries Applications Prédictions (dépend du taux intrinsèque d accroissement) Si (1 + r) > 1, croissance exponentielle de la population (div). Si 1 > (1 + r) > 0, extinction exponentielle de la population (cv 0). Si r = 0, équilibre démographique. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 15 / 132

27 Suites et séries Applications Prédictions (dépend du taux intrinsèque d accroissement) Si (1 + r) > 1, croissance exponentielle de la population (div). Si 1 > (1 + r) > 0, extinction exponentielle de la population (cv 0). Si r = 0, équilibre démographique. Considérons une population avec un nombre d individus initial de N 0 = 4 et un taux d accroissement de r = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 15 / 132

28 Suites et séries Applications Critique du modèle La population ne peut pas croître indéfiniment. Le milieu possède une capacité maximale (limitation des ressources, surpopulation...) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 16 / 132

29 Suites et séries Applications Critique du modèle La population ne peut pas croître indéfiniment. Le milieu possède une capacité maximale (limitation des ressources, surpopulation...) Modèle logistique population seule (isolée), pas de migrations, prise en compte de la limitation des ressources. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 16 / 132

30 Suites et séries Applications Critique du modèle La population ne peut pas croître indéfiniment. Le milieu possède une capacité maximale (limitation des ressources, surpopulation...) Modèle logistique population seule (isolée), pas de migrations, prise en compte de la limitation des ressources. r : taux intrinsèque d accroissement. k : capacité de charge du milieu. ( N t+1 = N t + r N t 1 Nt ) k Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 16 / 132

31 Prédictions (avec r > 0) Suites et séries Applications Si N t < k, la population croît. Si N t > k, la population décroît, la population est supérieure à la capacité du milieu. Si N t = k, stabilisation de la population. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 17 / 132

32 Prédictions (avec r > 0) Suites et séries Applications Si N t < k, la population croît. Si N t > k, la population décroît, la population est supérieure à la capacité du milieu. Si N t = k, stabilisation de la population. Considérons une population avec un taux d accroissement de r = 0.5 vivant dans un milieu de capacité maximale k = 300 et pour différentes conditions initiales (N 0 ) N 0 =4 N 0 =20 N 0 =150 N 0 = Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 17 / 132

33 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

34 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. f(x) a b x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

35 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. f(α) f(x) a α b x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

36 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. f(α) f(x) u 1 a u 0 α b x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

37 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. f(α) f(x) u 1 a u 0 u 1 α b x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

38 Point fixe d une fonction Suites et séries Applications Théorème du point fixe Soit une fonction f continue et dérivable sur un intervalle [a, b], telle que les valeurs de f sont dans [a, b], c est-à-dire f([a, b]) [a, b] et f (x) < 1, alors l équation f(x) = x admet une solution unique α et la suite u n+1 = f(u n) converge vers α. f(α) u 2 f(x) u 1 a u 0 u 1 u 2 α b x Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 18 / 132

39 Suites et séries Applications Méthode de Newton (cas particulier du théorème du point fixe) On cherche à résoudre une équation de la forme f(x) = 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 19 / 132

40 Suites et séries Applications Méthode de Newton (cas particulier du théorème du point fixe) On cherche à résoudre une équation de la forme f(x) = 0 A partir d une valeur x 0 assez proche de la racine ˆx, cherchons un incrément δx tel que f(x 1 ) 0 avec x 1 = x 0 + δx Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 19 / 132

41 Suites et séries Applications Méthode de Newton (cas particulier du théorème du point fixe) On cherche à résoudre une équation de la forme f(x) = 0 A partir d une valeur x 0 assez proche de la racine ˆx, cherchons un incrément δx tel que f(x 1 ) 0 avec x 1 = x 0 + δx Estimons l incrément nécessaire en linéarisant f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 0 ) + f (x 0 )δx = 0 δx = f(x 0) f (x 0 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 19 / 132

42 Suites et séries Applications Méthode de Newton (cas particulier du théorème du point fixe) On cherche à résoudre une équation de la forme f(x) = 0 A partir d une valeur x 0 assez proche de la racine ˆx, cherchons un incrément δx tel que f(x 1 ) 0 avec x 1 = x 0 + δx Estimons l incrément nécessaire en linéarisant f(x 1 ) f(x 1 ) f(x 0 ) + f (x 0 )δx = 0 δx = f(x 0) f (x 0 ) A chaque itération, un nouveau point d abscisse x n est calculé x n+1 = x n f(xn) f (x n) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 19 / 132

43 Suites et séries Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 20 / 132

44 Suites et séries Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 20 / 132

45 Suites et séries Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 20 / 132

46 Suites et séries Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 20 / 132

47 Suites et séries Séries numériques Séries numériques Soit une suite numérique (u n) : u 0, u 1, u 2,..., u n On appelle série de terme général u n, la suite des sommes partielles n S n = u k k=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 21 / 132

48 Suites et séries Séries numériques Séries numériques Soit une suite numérique (u n) : u 0, u 1, u 2,..., u n On appelle série de terme général u n, la suite des sommes partielles n S n = u k k=0 S 0 = u 0 S 1 = u 0 +u 1 S 2 = u 0 +u 1 +u 2... S n = u 0 +u 1 +u u n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 21 / 132

49 Suites et séries Séries numériques Séries numériques Soit une suite numérique (u n) : u 0, u 1, u 2,..., u n On appelle série de terme général u n, la suite des sommes partielles n S n = u k k=0 S 0 = u 0 S 1 = u 0 +u 1 S 2 = u 0 +u 1 +u 2... S n = u 0 +u 1 +u u n Si la limite notée S existe et est finie S = lim n Sn la série est dite convergente et S est appelé la somme de la série. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 21 / 132

50 Suites et séries Séries numériques Exemples particuliers Somme des n premiers entiers (série de Gauss) : n(n + 1) n = 2 (terme général : suite arithmétique de raison 1 et de premier terme u 0 = 0) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 22 / 132

51 Suites et séries Séries numériques Exemples particuliers Somme des n premiers entiers (série de Gauss) : n(n + 1) n = 2 (terme général : suite arithmétique de raison 1 et de premier terme u 0 = 0) Série de terme général (u n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0 S n = u 0 +u u n = u 0 +(u 0 +r)+...+(u 0 +nr) = (n + 1)(un + u 0) 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 22 / 132

52 Exemples particuliers Suites et séries Séries numériques Somme des n premiers entiers (série de Gauss) : n(n + 1) n = 2 (terme général : suite arithmétique de raison 1 et de premier terme u 0 = 0) Série de terme général (u n) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0 S n = u 0 +u u n = u 0 +(u 0 +r)+...+(u 0 +nr) = (n + 1)(un + u 0) 2 Série de terme général (u n) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 S n = u 0 + u u n = u 0 + u 0 q + u 0 q u 0 q n = u 0 1 q n+1 1 q Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 22 / 132

53 Suites et séries Séries numériques Convergence : La série converge si (S n) admet une limite finie. On note alors + S = u n. n=0 Si la série S n = n u k est convergente, alors lim n un = 0 k=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 23 / 132

54 Suites et séries Séries numériques Convergence : La série converge si (S n) admet une limite finie. On note alors + S = u n. n=0 Si la série S n = n u k est convergente, alors lim n un = 0 k=0 C est une condition nécessaire, si lim un 0, alors la série Sn diverge. n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 23 / 132

55 Suites et séries Séries numériques Convergence : La série converge si (S n) admet une limite finie. On note alors + S = u n. n=0 Si la série S n = n u k est convergente, alors lim n un = 0 k=0 C est une condition nécessaire, si lim un 0, alors la série Sn diverge. n Démonstration : Supposons que (S n) est une série convergente. On a S n = n k=0 n 1 u k et S n 1 = u k S n S n 1 = u n. k=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 23 / 132

56 Suites et séries Séries numériques Convergence : La série converge si (S n) admet une limite finie. On note alors + S = u n. n=0 Si la série S n = n u k est convergente, alors lim n un = 0 k=0 C est une condition nécessaire, si lim un 0, alors la série Sn diverge. n Démonstration : Supposons que (S n) est une série convergente. On a S n = n k=0 n 1 u k et S n 1 = u k S n S n 1 = u n. k=0 Puisque la série est convergente, on a également lim Sn = lim Sn 1 = S. n n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 23 / 132

57 Suites et séries Séries numériques Convergence : La série converge si (S n) admet une limite finie. On note alors + S = u n. n=0 Si la série S n = n u k est convergente, alors lim n un = 0 k=0 C est une condition nécessaire, si lim un 0, alors la série Sn diverge. n Démonstration : Supposons que (S n) est une série convergente. On a S n = n k=0 n 1 u k et S n 1 = u k S n S n 1 = u n. k=0 Puisque la série est convergente, on a également Donc lim Sn = lim Sn 1 = S. n n lim Sn lim Sn 1 = lim (Sn Sn+1) = lim un = S S = 0. n n n n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 23 / 132

58 Exemple 1 Suites et séries Séries numériques Reprenons la série dont le terme général est une suite géométrique (u n+1 = u nq) S n = u 0 + u u n = u 0 1 q n+1 1 q Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 24 / 132

59 Exemple 1 Suites et séries Séries numériques Reprenons la série dont le terme général est une suite géométrique (u n+1 = u nq) S n = u 0 + u u n = u 0 1 q n+1 1 q Nous pouvons conclure que si q < 1, la série converge (S = 1 ), et la suite géométrique (un) converge 1 q bien vers 0, si q 1, la suite et la série divergent. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 24 / 132

60 Exemple 1 Suites et séries Séries numériques Reprenons la série dont le terme général est une suite géométrique (u n+1 = u nq) S n = u 0 + u u n = u 0 1 q n+1 1 q Nous pouvons conclure que si q < 1, la série converge (S = 1 ), et la suite géométrique (un) converge 1 q bien vers 0, si q 1, la suite et la série divergent. Exemple 2 la convergence vers 0 du terme général n est qu une condition nécessaire. Soit la série de terme général (u n) u n = n n 1 avec u 0 = 0. La série s exprime simplement sous la forme S n = n Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 24 / 132

61 Exemple 1 Suites et séries Séries numériques Reprenons la série dont le terme général est une suite géométrique (u n+1 = u nq) S n = u 0 + u u n = u 0 1 q n+1 1 q Nous pouvons conclure que si q < 1, la série converge (S = 1 ), et la suite géométrique (un) converge 1 q bien vers 0, si q 1, la suite et la série divergent. Exemple 2 la convergence vers 0 du terme général n est qu une condition nécessaire. Soit la série de terme général (u n) u n = n n 1 avec u 0 = 0. La série s exprime simplement sous la forme S n = n La série est donc divergente, tandis que la suite (u n) converge vers 0 : u n = n n 1 = 1 n + 0. n + n 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 24 / 132

62 Suites et séries Séries numériques Séries à termes positifs Une série S n = u n est à termes positifs si, n, u n 0. Théorème de comparaison Soit u n et v n deux séries à termes positifs tels que u n v n pour n n 0. Si v n converge, alors u n converge. Si u n diverge, alors v n diverge. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 25 / 132

63 Suites et séries Séries numériques Séries à termes positifs Une série S n = u n est à termes positifs si, n, u n 0. Théorème de comparaison Soit u n et v n deux séries à termes positifs tels que u n v n pour n n 0. Si v n converge, alors u n converge. Si u n diverge, alors v n diverge. Exemple : soit la série de terme général On a : u n = 2 + sin n 3 n+1 n, 0 < u n 3 3 n+1 = 1 3 n. Puisque la série 1 3 n converge (cf. critère de d Alembert), la série u n converge. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 25 / 132

64 Suites et séries Séries numériques L équivalence entre deux suite permet d évaluer la nature d une série à partir d une seconde plus facile à déterminer. Emploi des équivalents Soit u n et v n deux séries à termes positifs. Si u n v n (ou plus généralement si u n/v n a une limite finie non-nulle), alors les séries correspondantes sont de même nature. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 26 / 132

65 Suites et séries Séries numériques L équivalence entre deux suite permet d évaluer la nature d une série à partir d une seconde plus facile à déterminer. Emploi des équivalents Soit u n et v n deux séries à termes positifs. Si u n v n (ou plus généralement si u n/v n a une limite finie non-nulle), alors les séries correspondantes sont de même nature. Exemples : En n +, on a : sin 1 n 1 n et n 3 + 2n + 5 n + 2 n 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 26 / 132

66 Suites et séries Séries numériques Séries de Riemann C est une série de la forme n=1 1 n α converge si α > 1 diverge si α 1 Critère de Cauchy Soit u n une série à termes positifs. Supposons que si L < 1, u n converge si L > 1, u n diverge lim n un = L n Critère de d Alembert Soit u n une série à termes strictement positifs. Supposons que u n+1 lim = L n u n si L < 1, u n converge si L > 1, u n diverge Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 27 / 132

67 Suites et séries Séries numériques Séries à termes de signes quelconques Les règles de Riemann, Cauchy et d Alembert ne s appliquent qu aux séries à termes positifs. Lorsque le terme général u n d une série ne reste pas positif, ou est complexe, on doit appliquer ces règles à la série de terme général u n. Si la série un converge, le théorème de convergence absolue affirme que la série de terme général u n converge aussi. Attention, la réciproque est fausse. un converge un converge Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 28 / 132

68 Sommaire Série de Fourier 1 Suites et séries Suites numériques Applications Séries numériques 2 Série de Fourier Définitions Représentation spectrale Exemples Transformée de Fourier Applications 3 Transformée de Laplace Définitions Fonctions types Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 29 / 132

69 Série de Fourier Définitions Définitions Rappel : Une fonction f, définie sur R, est dite périodique de période T R si f(t + T ) = f(t), t R f(t) t Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 30 / 132

70 Série de Fourier Définitions Définitions Rappel : Une fonction f, définie sur R, est dite périodique de période T R si f(t + T ) = f(t), t R f(t) t Qu est-ce que sont les séries de Fourier? Décomposer un signal périodique en une somme de fonctions sinusoïdales simples. Caractériser les harmoniques des signaux périodiques. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 30 / 132

71 Série de Fourier Définitions Décomposition en série de Fourier : Soit x une fonction périodique de période T = 2π ω sur R. Sous certaines conditions de continuité et de dérivabilité, x(t) peut se décomposer sous la forme + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) n=1 avec a 0 = 1 T x(t)dt T 0 a n = 2 T x(t) cos(nωt)dt T 0 b n = 2 T x(t) sin(nωt)dt T 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 31 / 132

72 Série de Fourier Définitions Décomposition en série de Fourier : Soit x une fonction périodique de période T = 2π ω sur R. Sous certaines conditions de continuité et de dérivabilité, x(t) peut se décomposer sous la forme + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) n=1 avec a 0 = 1 T x(t)dt T 0 a n = 2 T x(t) cos(nωt)dt T 0 b n = 2 T x(t) sin(nωt)dt T 0 a 0 correspond à la valeur moyenne de la fonction x. Les termes de pulsation ω sont les composantes fondamentales de la fonction. Les termes de pulsation nω avec n > 1 sont les composantes harmoniques de la fonction. Les coefficients {a n, b n} traduisent la contribution de la n ième harmonique de fréquence n T dans le signal. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 31 / 132

73 Série de Fourier Définitions Exemple : considérons le signal carré périodique x(t) temps Période T = 4 s ; fréquence f = 0.25 Hz ; pulsation ω = π 2 = 1.57 rad/s Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 32 / 132

74 Série de Fourier Définitions Décomposons x(t) en série de Fourier. a 0 = 1 2 x(t) dt = dt = 0.5 T Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 33 / 132

75 Série de Fourier Définitions Décomposons x(t) en série de Fourier. a 0 = 1 2 x(t) dt = dt = 0.5 T a n = 2 2 x(t) cos(nωt) dt T 2 a n = 1 1 cos(nωt) dt 2 1 [ ] sin(nωt) 1 = 1 2 nω 1 = 2 nπ sin(n π 2 ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 33 / 132

76 Série de Fourier Définitions Décomposons x(t) en série de Fourier. a 0 = 1 2 x(t) dt = dt = 0.5 T a n = 2 2 x(t) cos(nωt) dt T 2 a n = 1 1 cos(nωt) dt 2 1 [ ] sin(nωt) 1 = 1 2 nω 1 = 2 nπ sin(n π 2 ) b n = 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 33 / 132

77 Série de Fourier Définitions Nous avons donc pour x(t) l expression : + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) n=1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 34 / 132

78 Série de Fourier Définitions Nous avons donc pour x(t) l expression : + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) n=1 soit + x(t) = n=1 ( 2 nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 34 / 132

79 Série de Fourier Définitions Nous avons donc pour x(t) l expression : + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) n=1 soit + x(t) = n=1 ( 2 nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) soit x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 34 / 132

80 Série de Fourier Définitions x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... x(t) π cos( π 2 t) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 35 / 132

81 Série de Fourier Définitions x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... x(t) π cos( π 2 t) 2 3π cos(3 π 2 t) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 35 / 132

82 Série de Fourier Définitions x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... x(t) n=1 ( 2 nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 35 / 132

83 Série de Fourier Définitions x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... x(t) n=1 ( 2 nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 35 / 132

84 Série de Fourier Définitions Le principe réside dans le calcul des coefficients : a 0 = 1 T x(t)dt T 0 a n = 2 T x(t) cos(nωt)dt T 0 b n = 2 T x(t) sin(nωt)dt T 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 36 / 132

85 Série de Fourier Définitions Le principe réside dans le calcul des coefficients : a 0 = 1 T x(t)dt T 0 a n = 2 T x(t) cos(nωt)dt T 0 b n = 2 T x(t) sin(nωt)dt T 0 Propriétés : Le coefficient a 0 représente la valeur moyenne de la fonction x. Si la fonction est paire, x( t) = x(t), alors tous les coefficients b n sont nuls. Si la fonction est impaire, x( t) = x(t), alors tous les coefficients a n sont nuls. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 36 / 132

86 Série de Fourier Représentation spectrale Représentation spectrale Expression d un signal périodique x(t) avec les séries de Fourier : + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) n=1 x(t) est représenté par une somme de cos et de sin, les cos et sin ont une fréquence multiple de celle de x(t) : ω, 2ω, 3ω, 4ω,... les coefficients a 0, a n et b n sont des constantes Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 37 / 132

87 Série de Fourier Représentation spectrale Représentation spectrale Expression d un signal périodique x(t) avec les séries de Fourier : + x(t) = a 0 + a n cos(nωt) + b n sin(nωt) n=1 x(t) est représenté par une somme de cos et de sin, les cos et sin ont une fréquence multiple de celle de x(t) : ω, 2ω, 3ω, 4ω,... les coefficients a 0, a n et b n sont des constantes Le signal x(t) est donc caractérisé par sa fréquence ω et les coefficients (a 0, a n et b n). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 37 / 132

88 Série de Fourier Représentation spectrale La représentation spectrale consiste à représenter les coefficients a n et b n par rapport à la pulsation correspondante nω : en abscisse : les pulsations nω. en ordonnée : le module des coefficients A n = a 2 n + b2 n. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 38 / 132

89 Série de Fourier Représentation spectrale La représentation spectrale consiste à représenter les coefficients a n et b n par rapport à la pulsation correspondante nω : en abscisse : les pulsations nω. en ordonnée : le module des coefficients A n = a 2 n + b2 n. A 1 a 0 A 3 A 2 A 4 A 5 0 ω 2ω 3ω 4ω 5ω Nous avons ainsi une représentation de la caractéristique fréquentielle du signal x(t). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 38 / 132

90 Série de Fourier Représentation spectrale Reprenons l exemple précédent : soit + ( 2 x(t) = }{{} nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) n=1 a 0 }{{} an x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 39 / 132

91 Série de Fourier Représentation spectrale Reprenons l exemple précédent : soit + ( 2 x(t) = }{{} nπ sin(n π ) 2 ) cos(n π 2 t) n=1 a 0 }{{} an x(t) = π cos(ωt) 2 3π cos(3ωt) + 2 5π cos(5ωt) +... Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 39 / 132

92 Série de Fourier Exemples Exemples 1 Exemple 1 : Soit le signal en escalier x(t) : 1 pour 0 t < pour 1 t < 2 0 pour 2 t < temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 40 / 132

93 Série de Fourier Exemples Exemples 1 Exemple 1 : Soit le signal en escalier x(t) : 1 pour 0 t < pour 1 t < 2 0 pour 2 t < temps Calculons les coefficients de Fourier correspondants a 0 = 0 a n = 1 ( sin(n 2π3 2nπ ) + sin(n 4π3 ) ) = 0 b n = 1 (2 cos(n 2π3 2nπ ) cos(n 4π3 ) ). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 40 / 132

94 Série de Fourier Exemples x(t) sin(ωt) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 41 / 132

95 Série de Fourier Exemples x(t) sin(ωt) sin(2ωt) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 41 / 132

96 Série de Fourier Exemples x(t) n=1 1 (2 cos(n 2π3 2nπ ) cos(n 4π3 ) ) sin(nωt) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 41 / 132

97 Série de Fourier Exemples x(t) n=1 1 (2 cos(n 2π3 2nπ ) cos(n 4π3 ) ) sin(nωt) temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 41 / 132

98 Série de Fourier Exemples Représentation spectrale ici, ω = 2π 3 soit rad/s. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 42 / 132

99 Série de Fourier Exemples 0.8 Exemple 2 : Soit un signal en dents de scie x(t) de période T = 3s, de pente 1 3 d amplitude 1 et de valeur moyenne nulle. amplitude x(t) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 43 / 132

100 Série de Fourier Exemples 0.8 Exemple 2 : Soit un signal en dents de scie x(t) de période T = 3s, de pente 1 3 d amplitude 1 et de valeur moyenne nulle. amplitude x(t) temps (s) Calculons les coefficients de Fourier correspondants a 0 = 0 (prévisible). a n = 0 (le signal est impair). b n = 1 nπ (intégration par parties) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 43 / 132

101 Série de Fourier Exemples x(t) 1 π sin(ωt) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 44 / 132

102 Série de Fourier Exemples x(t) 1 π sin(ωt) 1 2π sin(2ωt) 1 3π sin(3ωt) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 44 / 132

103 Série de Fourier Exemples x(t) 9 n=1 1 nπ sin(nωt) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 44 / 132

104 Série de Fourier Exemples x(t) 99 n=1 1 nπ sin(nωt) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 44 / 132

105 Série de Fourier Exemples Représentation spectrale ici, ω = 2π 3 soit rad/s. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 45 / 132

106 Série de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Nous avons considéré des signaux périodiques représentation temporelle représentation fréquentielle temps le spectre représente les composantes fréquentielles qui caractérisent le signal x(t), ces composantes sont des multiples de la fréquence de x(t) : nω, Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 46 / 132

107 Série de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Nous avons considéré des signaux périodiques représentation temporelle représentation fréquentielle temps le spectre représente les composantes fréquentielles qui caractérisent le signal x(t), ces composantes sont des multiples de la fréquence de x(t) : nω, extension au cas des signaux non-périodiques? Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 46 / 132

108 Série de Fourier Transformée de Fourier La transformée de Fourier permet de déterminer la représentation fréquentielle d un signal à énergie finie. exemple du signal x(t) = e t pour t 0 : représentation temporelle représentation fréquentielle temps fréquence Hz le spectre dépend continument de la fréquence f, le signal x(t) n est plus caractérisé par un ensemble de fréquences particulières mais par une plage de fréquences. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 47 / 132

109 Série de Fourier Transformée de Fourier Soit x(t) une fonction à énergie finie. La transformée de Fourier de la fonction x(t) est la fonction complexe X(f), de la variable f réelle, définie par : + X(f) = x(t)e j2πft dt. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 48 / 132

110 Série de Fourier Transformée de Fourier Soit x(t) une fonction à énergie finie. La transformée de Fourier de la fonction x(t) est la fonction complexe X(f), de la variable f réelle, définie par : + X(f) = x(t)e j2πft dt. La transformée de Fourier inverse est définie par (si X(f) est également intégrable) + x(t) = X(f)e j2πft df. Dans l exemple, le spectre correspond au tracé de X(f) en fonction de f. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 48 / 132

111 Série de Fourier Applications Applications Une note de musique Le diapason donne la note-repère conventionnelle, le la. Play Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 49 / 132

112 Série de Fourier Applications Applications Une note de musique Le diapason donne la note-repère conventionnelle, le la. Play représentation temporelle temps Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 49 / 132

113 Série de Fourier Applications Applications Une note de musique Le diapason donne la note-repère conventionnelle, le la. Play représentation temporelle représentation fréquentielle temps fréquence Hz La fréquence du la 3 est 440 Hz. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 49 / 132

114 Série de Fourier Applications Radar de contrôle routier Effet Doppler : La fréquence d une onde perçue par un observateur varie en fonction de la vitesse de la source émettrice par rapport à l observateur. Le radar émet une onde qui est ensuite réfléchie par la cible. Si cette cible se déplace, la fréquence du signal de retour sera différente du signal émis. Radar Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 50 / 132

115 Série de Fourier Applications Radar de contrôle routier Effet Doppler : La fréquence d une onde perçue par un observateur varie en fonction de la vitesse de la source émettrice par rapport à l observateur. Le radar émet une onde qui est ensuite réfléchie par la cible. Si cette cible se déplace, la fréquence du signal de retour sera différente du signal émis. Radar L analyse de l écart entre la fréquence du signal transmis et celle du signal reçu permet de mesurer la vitesse instantanée de la cible. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 50 / 132

116 Série de Fourier Applications Analyse modale de structures excitation impulsionnelle accéléromètre acquisition + traitement TF représentation temporelle représentation fréquentielle Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 51 / 132

117 Série de Fourier Applications Analyse modale de structures excitation impulsionnelle accéléromètre acquisition + traitement TF représentation temporelle représentation fréquentielle Les vibrations mesurées sont analysées dans le domaine fréquentiel. Objectif : estimer les fréquences de résonance d une structure mécanique. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 51 / 132

118 Série de Fourier Applications Égaliseur audio Un égaliseur 1 est composé de filtres électroniques qui permettent d atténuer ou augmenter le signal sur différentes bandes de fréquence donnée. Passe bas (graves) Adaptation d'impédance Entrée Adaptation d'impédance Passe bande (médium) Adaptation d'impédance Sommateur Sortie Passe haut (aigus) Adaptation d'impédance 1. Exemple d un égaliseur 3 bandes proposé dans Électronique Pratique n 276. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 52 / 132

119 Série de Fourier Applications Égaliseur audio Un égaliseur 1 est composé de filtres électroniques qui permettent d atténuer ou augmenter le signal sur différentes bandes de fréquence donnée. Passe bas (graves) Adaptation d'impédance Entrée Adaptation d'impédance Passe bande (médium) Adaptation d'impédance Sommateur Sortie Passe haut (aigus) Adaptation d'impédance Gain Pos. maxi Pos. normale graves médium aigus Pos. mini 10 Hz 100 Hz 1 khz 10 khz 100 khz Fréquence 1. Exemple d un égaliseur 3 bandes proposé dans Électronique Pratique n 276. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 52 / 132

120 Série de Fourier Applications Schéma électronique de l égaliseur 2 : Entrée C6 220nF R12 47k R2 2.2k + - U1B TL084 U1A TL084 R1 C1 1.2k 100nF + - C nF - R2 8.2k C3 1µF U1C TL084 P1 10k R5 100 P2 10k R R8 1k R U2 TL071 C5 1µF Sortie C4 10nF R4 3.9k + - U1D TL084 P3 10k R Exemple d un égaliseur 3 bandes proposé dans Électronique Pratique n 276. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 53 / 132

121 Sommaire Transformée de Laplace 1 Suites et séries Suites numériques Applications Séries numériques 2 Série de Fourier Définitions Représentation spectrale Exemples Transformée de Fourier Applications 3 Transformée de Laplace Définitions Fonctions types Applications Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 54 / 132

122 Transformée de Laplace Définitions Définitions La transformée de Laplace d une fonction f(t), définie pour t 0, est la fonction du nombre complexe s : + ˆf(s) = e st f(t)dt 0 - On note : ˆf(s) { } = L f(t) et f(t) = L 1{ ˆf(s) }. - La fonction ˆf(s) n est pas forcément définie dans tout le plan complexe ( s C). Seulement dans une région où l intégrale converge. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 55 / 132

123 Transformée de Laplace Définitions Définitions La transformée de Laplace d une fonction f(t), définie pour t 0, est la fonction du nombre complexe s : + ˆf(s) = e st f(t)dt 0 - On note : ˆf(s) { } = L f(t) et f(t) = L 1{ ˆf(s) }. - La fonction ˆf(s) n est pas forcément définie dans tout le plan complexe ( s C). Seulement dans une région où l intégrale converge. La transformée de Laplace inverse d une fonction ˆf(s) est la fonction temporelle : f(t) = 1 a+i ˆf(s)e st ds 2πi a i Mais en pratique, on utilisera la table et les propriétés de la transformée. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 55 / 132

124 Transformée de Laplace Définitions Propriétés : { } Linéarité : L af(t) + bg(t) = a ˆf(s) + bĝ(s), a et b constants. { } d Dérivation : L dt f(t) = s ˆf(s) f(0). { t } Intégration : L f(θ)dθ = 1 ˆf(s). 0 s { } Retard : L f(t τ) = e sτ ˆf(s), τ > 0 et f(t) = 0 t < 0. Valeur finale : lim f(t) = lim s ˆf(s). t s 0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 56 / 132

125 Transformée de Laplace Fonctions types Fonctions types Exemple 1 : Transformée de Laplace de la fonction échelon f(t) = 1, t 0 et 0 sinon : Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 57 / 132

126 Transformée de Laplace Fonctions types Fonctions types Exemple 1 : Transformée de Laplace de la fonction échelon f(t) = 1, t 0 et 0 sinon : ˆf(s) = + e st dt 0 [ = 1s ] + e st 0 = 1 s. Notons que cette transformée est définie pour tout s C tel que Re[s] > 0. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 57 / 132

127 Transformée de Laplace Fonctions types Exemple 2 : Transformée de Laplace de la fonction rampe g(t) = 2t, t 0 et 0 sinon. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 58 / 132

128 Transformée de Laplace Fonctions types Exemple 2 : Transformée de Laplace de la fonction rampe g(t) = 2t, t 0 et 0 sinon. t t Notons que g(t) = 2 1 dt = 2 f(t) dt, 0 0 alors { ĝ(s) = L 2 t 0 = 2 1 ˆf(s) s } f(t) dt = 2 s 2. Là encore cette transformée est définie pour tout s C tel que Re[s] > 0. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 58 / 132

129 Transformée de Laplace Fonctions types Exemple 3 : Transformée de Laplace de la fonction exponentielle h(t) = e at, t 0 et 0 sinon : Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 59 / 132

130 Transformée de Laplace Fonctions types Exemple 3 : Transformée de Laplace de la fonction exponentielle h(t) = e at, t 0 et 0 sinon : ĥ(s) = = + e at e st dt 0 + e (s+a)t dt 0 [ ] + = e (s+a)t s + a 0 = 1 s + a. Notons que cette transformée est définie pour tout s C tel que Re[s] > Re[a]. Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 59 / 132

131 Transformée de Laplace Fonctions types Table des transformées Rappelons que les fonctions temporelles f(t) ci-dessous ne sont définies que pour t 0. Fonction Dom. temporel f(t) Trans. de Laplace ˆf(s) échelon 1 1 s rampe t 1 s 2 puissance n-ième t n n! 1 s n+1 exponentielle décroissante e at 1 s + a Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 60 / 132

132 Transformée de Laplace Fonctions types Table des transformées Rappelons que les fonctions temporelles f(t) ci-dessous ne sont définies que pour t 0. Fonction Dom. temporel f(t) Trans. de Laplace ˆf(s) sinus cosinus sin ωt cos ωt ω s 2 + ω 2 s s 2 + ω 2 décroissance exponentielle d un sinus décroissance exponentielle d un cosinus e at sin(bt) e at cos(bt) b (s + a) 2 + b 2 s + a (s + a) 2 + b 2 décroissance exponentielle d une puissance n-ième t n n! e at 1 (s + a) n+1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 61 / 132

133 Transformée de Laplace Applications Application pour la résolution d équations différentielles linéaires Considérons une équation différentielle linéaire et appliquons la TL (pour des raisons de simplicité, les C.I. sont supposées nulles) a ny (n) + + a 1ẏ + a 0y = b mu (m) + + b 1 u + b 0u Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 62 / 132

134 Transformée de Laplace Applications Application pour la résolution d équations différentielles linéaires Considérons une équation différentielle linéaire et appliquons la TL (pour des raisons de simplicité, les C.I. sont supposées nulles) a ny (n) + + a 1ẏ + a 0y = b mu (m) + + b 1 u + b 0u L a ns n ŷ(s) + + a 1sŷ(s) + a 0ŷ(s) = b ms m û(s) + + b 1sû(s) + b 0û(s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 62 / 132

135 Transformée de Laplace Applications Application pour la résolution d équations différentielles linéaires Considérons une équation différentielle linéaire et appliquons la TL (pour des raisons de simplicité, les C.I. sont supposées nulles) a ny (n) + + a 1ẏ + a 0y = b mu (m) + + b 1 u + b 0u a ns n ŷ(s) + + a 1sŷ(s) + a 0ŷ(s) = b ms m û(s) + + b 1sû(s) + b 0û(s) La réponse s exprime donc ŷ(s) = bmsm + + b 1s + b 0 a ns n + + a 1s + a 0 û(s) L Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 62 / 132

136 Transformée de Laplace Applications Application pour la résolution d équations différentielles linéaires Considérons une équation différentielle linéaire et appliquons la TL (pour des raisons de simplicité, les C.I. sont supposées nulles) a ny (n) + + a 1ẏ + a 0y = b mu (m) + + b 1 u + b 0u a ns n ŷ(s) + + a 1sŷ(s) + a 0ŷ(s) = b ms m û(s) + + b 1sû(s) + b 0û(s) La réponse s exprime donc ŷ(s) = bmsm + + b 1s + b 0 a ns n + + a 1s + a 0 û(s) L A partir de l expression de ŷ(s) : effectuer une décomposition en éléments simple, appliquer la transformée de Laplace inverse à chaque éléments, à l aide de la table des transformées. ŷ(s) L 1 y(t), Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 62 / 132

137 Transformée de Laplace Applications Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle 3ẏ(t) + y(t) = 5u(t), u(t) = 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 63 / 132

138 Transformée de Laplace Applications Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle 3ẏ(t) + y(t) = 5u(t), u(t) = 2 La réponse se décompose en : avec ŷ(s) = 5 (3s + 1) û(s) = 5 (3s + 1) 2 s = A 3s B s 10 A = (3s + 1) (3s + 1)s = 30, s= 1/3 10 B = s (3s + 1)s = 10. s=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 63 / 132

139 Transformée de Laplace Applications Exemple 1 : Résoudre l équation différentielle 3ẏ(t) + y(t) = 5u(t), u(t) = 2 La réponse se décompose en : avec ŷ(s) = 5 (3s + 1) û(s) = 5 (3s + 1) 2 s = A 3s B s 10 A = (3s + 1) (3s + 1)s = 30, s= 1/3 10 B = s (3s + 1)s = 10. s=0 A l aide de la table, la réponse temporelle est : y(t) = 30 3 e 1 3 t + 10 = 10(1 e 1 3 t ). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 63 / 132

140 Transformée de Laplace Applications Exemple 2 : Résoudre l équation différentielle 2ÿ(t) + 24ẏ(t) + 18y(t) = 9u(t), u(t) = 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 64 / 132

141 Transformée de Laplace Applications Exemple 2 : Résoudre l équation différentielle 2ÿ(t) + 24ẏ(t) + 18y(t) = 9u(t), u(t) = 1 La réponse se décompose en : avec 9/2 ŷ(s) = s s + 9 û(s) = A s B s C s 9/2 A = (s ) (s )(s )s = 0.039, s= /2 B = (s ) (s )(s )s = 0.539, s= /2 C = s (s )(s )s = 0.5. s=0 Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 64 / 132

142 Transformée de Laplace Applications Exemple 2 : Résoudre l équation différentielle 2ÿ(t) + 24ẏ(t) + 18y(t) = 9u(t), u(t) = 1 La réponse se décompose en : avec 9/2 ŷ(s) = s s + 9 û(s) = A s B s C s 9/2 A = (s ) (s )(s )s = 0.039, s= /2 B = (s ) (s )(s )s = 0.539, s= /2 C = s (s )(s )s = 0.5. s=0 A l aide de la table, la réponse temporelle est : y(t) = 0.039e t 0.539e 0.804t Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 64 / 132

143 Transformée de Laplace Exemple 3 : Datation au carbone 14 Applications La proportion de C 14, par rapport au carbone total (C 12, C 13 et C 14 ), est à peu près constante chez un organisme vivant. A sa mort (t 0), les échanges avec l extérieur cessent, et la quantité de C 14 décroit en se désintégrant. Soit N(t) le nombre d atome de C 14 à l instant t (en années) présent dans un échantillon de matière organique. On montre que la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre d atome présents : N (t) = N(t). Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 65 / 132

144 Transformée de Laplace Exemple 3 : Datation au carbone 14 Applications La proportion de C 14, par rapport au carbone total (C 12, C 13 et C 14 ), est à peu près constante chez un organisme vivant. A sa mort (t 0), les échanges avec l extérieur cessent, et la quantité de C 14 décroit en se désintégrant. Soit N(t) le nombre d atome de C 14 à l instant t (en années) présent dans un échantillon de matière organique. On montre que la vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre d atome présents : N (t) = N(t). Soit à t 0 = 0, la quantité initiale présente N(0) = N 0. TL : s ˆN(s) N 0 = 1 ˆN(s) 8033 ˆN(s) = N 0 s N(t) N 0 = e t t (années) Y. Ariba - Icam, Toulouse. SSI-MPHY 65 / 132