I LES FLUIDES. Intensité

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1 I LES FLUIDES 1. Introduction Le but de la mécanique en général est d étudier le mouvement (y compris l immobilité) d un «système», et de relier ce mouvement à ses causes. Nous nous intéresserons ici aux fluides, ou milieux fluides, très présents dans la nature et les systèmes industriels, qu il faut tout d abord savoir définir et caractériser. La mécanique des fluides a pour objet d une part l étude des comportements statique et dynamique des fluides, et d autre part l étude des interactions entre fluides et solides. a) Grandeurs physiques Les grandeurs physiques que nous rencontrerons sont le résultat d une mesure ou d un calcul. Elles sont données sous forme d un produit constitué d une valeur numérique et d une unité : Grandeur physique = valeur numérique unité Exemples : = 273 K, P atm = 1013mbars Un résultat numérique sans unité n a aucun sens physique. Les unités pour les grandeurs physiques sont fixées par Système International d unités (S.I.). Ce système est fondé sur 7 grandeurs fondamentales qui définissent les unités de base (cf L1): Intensité Quantité Intensité Dimension Longueur Masse Durée empérature de courant de matière photométrique Unité m kg s A K mol Cd b) Dimensions L équation aux dimensions d une grandeur physique est son expression en fonction des grandeurs fondamentales. Les différents membres d une formule ou d une équation physique doivent toujours satisfaire à ces équations aux dimensions, c'est-à-dire vérifier la même relation entre grandeurs fondamentales. Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 1

2 2 Exemple : x ( t) 1 2 a t + v0 t + x0 2 = (Chute libre) [ a ] = m. s et [ v ] = m s 0. Lors de calculs, il est utile de vérifier la dimension du résultat. Pour trouver la dimension (ou l unité) d une grandeur dérivée, il faut retrouver une formule simple donnant sa définition en fonction des grandeurs fondamentales (ou d une combinaison des grandeurs fondamentales) r r Exemple : la force F, en Newtons : PFD F = m a 2 : [ F ] = kg. m. s Remarque : Lorsque toutes les dimensions disparaissent après simplification, le résultat obtenu est dit sans dimension, son expression se réduit alors à une valeur chiffrée. Jamais le cas cette année 2. Notions générales a) Etats de la matière On distingue naturellement (par le sens du toucher) trois états de la matière, les états : solide, liquide et gazeux. Origine Physique : Déformation L effort à fournir pour modifier la forme d un solide est beaucoup plus important que pour un gaz ou un liquide (dans un récipient souple). Dans la déformation d un gaz ou d un liquide, les molécules ne gardent pas leur place attitrée, alors que pour un solide elles conservent les mêmes voisins. Ces états sont caractérisés par la mobilité des éléments qui constituent le milieu considéré, il faut chercher la différence de comportement au niveau atomique (liaisons interatomiques). De façon général, les atomes (ou molécules) d un corps à une certaine température possèdent une agitation thermique (plus ou moins forte pour une température plus ou moins élevée). L intensité des forces d attraction interatomiques ou intermoléculaires tendent à maintenir une cohésion d ensemble, mais l agitation thermique est une force antagoniste qui a pour effet d éloigner les atomes les uns des autres, ce qui s oppose à la rigidité du milieu. Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 2

3 On peut alors distinguer : L état solide : L effet de l agitation thermique est négligeable devant les forces de liaison interatomiques. Les molécules vibrent autour d une position moyenne, mais sans se déplacer les unes par rapport aux autres (densité de matière élevée, organisation forte, compacité) ordre à longue distance Etat gazeux : les atomes n ont quasiment aucune interaction les uns avec les autres, et l agitation thermique introduit un désordre total. Cet état est souvent idéalisé par un «nuage» de molécules n ayant aucun interaction entres elles en dehors des chocs, supposés parfaitement élastiques et occasionnés seulement par l intersection de leur trajectoires (nombre de chocs de l ordre du milliard par seconde) aucun ordre, atomes indépendants Etat liquide : Etat intermédiaire entre solide et gaz. L agitation est suffisante pour rompre les liaisons fortes du solide, les molécules se déplacent librement, mais les forces d attraction intermoléculaires sont suffisamment fortes pour les retenir à faible distance. ordre à courte portée, l état est désordonné, mais le volume est défini Les liquides vont donc occuper un volume bien déterminé, limité par une surface bien définie (qui variera peu sous l effet de la pression ou de la température). Les liquides, dépourvus de rigidité, n ont pas une forme qui leur est propre et n opposent pas de forte résistance à la déformation (même caractère «fluide» que celui observé chez les gaz) C est ce que nous allons principalement traiter dans ce module. La faible résistance à la déformation est ce que l on appelle viscosité, elle ser négligée dans un premier temps (fluide parfait) Les liquides et les gaz forment les fluides : à l échelle macroscopique (observation à l œil nu), ils présentent un aspect continu, aisément déformable, sans forme propre, et pouvant s écouler (d où le nom de fluide) b) Changements d état Un corps pur peut passer d un état à un autre (changement de phase) en subissant une transformation bien déterminée. Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 3

4 Diagramme de phases L état d un corps pur en règle générale dépend de trois variables : pression (P), volume (V) et température (). Dans des conditions données de pression et de température un corps pur n est stable que dans une seule phase (généralement) sauf : - au point triple où les 3 phases coexistent à une température et à une pression données, - pour un couple (pression, température) correspondant à une transition de phase. - au dessus du point critique, limite de la courbe de vaporisation au dessus de la quelle le liquide ne peut se vaporiser et le gaz ne peut se liquéfier. Dans ces conditions : Gaz Liquide (continuité de l état liquide) Exemple : Cas de l eau Point glace : PG = 1.013bar, G = 0 C, Point vapeur : PV = 1.013bar, = V 100 C Point triple : P = bar, = C, Point critique : PC = 221.2bar, = C C Pour plus de détails, voir le module de thermodynamique. Dans cette introduction à la mécanique des fluides, nous ne traiterons essentiellement que de liquides. c) Définition des fluides en mécanique En mécanique, on appelle fluide un milieu considéré comme continu à l échelle macroscopique (pas d étude au niveau des atomes), sans rigidité, pouvant subir de grandes déformations non élastiques sous l action de forces qui peuvent être très faibles. Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 4

5 Il n a pas de forme propre (il prend la forme du récipient qui le contient) et il présente la propriété de pouvoir s écouler. La plupart des liquides, gaz et vapeurs répondent sans ambiguïté à cette définition Remarques - Cette définition du fluide comporte cependant des points faibles qui rendent certaines substance difficiles à classer : pâtes, purées, gels, pommades, graisse, boues Ces substances ont généralement des comportements particuliers dont l étude relève d une branche spécifique de la mécanique des fluides appelée rhéologie (fluides non newtoniens). -En mécanique des fluides, on peut aussi différencier les solides des fluides en utilisant les échelles de temps. Ainsi, sur des temps courts (s, min, h), le manteau terrestre est aperçu comme immobile et est considéré comme un solide, alors que sur des temps longs (annees), un mouvement de convection est observable et le > manteau est considéré comme un fluide - Par ailleurs, un grand nombre de solides finement divisés présentent aussi la possibilité de pouvoir s écouler (sable sec, sucre, sel, graines poudres ). Entraînés dans les courants liquides (suspensions), ils évoluent alors comme des fluides, et sont étudiés comme milieux fluidisés ou dispersés. On rencontre l appellation «fluide parfait» désignant un fluide imaginaire totalement dépourvu de frottements internes (pas de viscosité), ils n offrent donc aucune résistance à la déformation. Cette hypothèse facilite l'étude théorique des écoulements, car les résultats obtenus sont applicables en première approximation aux fluides réels dans des conditions ou les frottements internes sont très faibles (gaz s écoulant à faible vitesse ). cf. chapitre sur les fluides parfaits Au repos, tous les fluides réels peuvent être assimilés à des fluides parfaits. cf chapitre suivant sur l hydrostatique d) Description d un fluide Comme on l a vu précédemment, de manière générale, l état d un fluide peut être défini à partir des trois variables : pression P, volume V (ou mass volumique ρ ) et température. Dans le cas de fluides en écoulement, il convient d ajouter la vitesse v et le débit q Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 5

6 Remarque : Le plus souvent, une masse de fluide n a pas les mêmes caractéristiques en tous ses points (différences de pression, masse volumique, vitesse ). On est alors conduit à décomposer la masse fluide en petits éléments, suffisamment réduits pour pouvoir admettre qu ils sont homogènes (mêmes valeurs de p, ρ, en tout point). Un tel élément est souvent appelé cellules de fluide (ou particule fluide). Le choix de sa forme dépend du problème traité (un cube de à 1 mm de coté dans l écoulement d un fluide, ou de 1 m à 1 km de coté dans l étude d un phénomène atmosphérique). schéma d un élément fluide cubique et cylindrique 10 Définitions : Si en tout point d un fluide la vitesse ne varie pas dans le temps, sans avoir pour autant la même valeur en chaque point, le régime d écoulement est dit permanent ou stationnaire. Dans le cas particulier ou la vitesse est nulle, le régime est dit statique, le fluide est au repos. Pendant les phases ou la vitesse varie en fonction du temps (mise en mouvement ou arrêt d un fluide) le régime d écoulement est instationnaire. Pour mettre en équation les problèmes rencontrés en mécanique des fluides, on dispose essentiellement des principes fondamentaux de la mécanique classique (PFS, principes de conservation de la masse et la quantité de mouvement, PFD) et de la thermodynamique (conservation de l énergie, pas dans ce cours). A partir de ces principes, on établi des équations générales pour les fluides parfaits (équations d Euler ), puis pour les fluides réels (équations de Navier-Stokes ). On dispose par ailleurs de simples bilans sur un volume déterminé de fluide (équation de Bernoulli) et de relations semi empiriques établies conjointement à partir de la théorie et de l expérience. C est ce que nous allons développer dans les chapitres suivants. 3. Propriétés des fluides a) Grandeurs caractéristiques En mécanique des fluides on rencontre un certain nombre de grandeurs qui définissent la nature, l état, la quantité ou le comportement d un fluide (masse volumique, viscosité, pression, température, volume, vitesse ) que l on peut classer en deux groupes : Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 6

7 celles qui dépendent principalement de la nature du fluide, elles ont la particularité d être non additives, on les appelle grandeurs intensives (température, pression, masse volumique, tension d un fil, potentiel électrique ) et celles qui dépendent surtout des conditions dans lesquelles le fluide est placé, elles sont additives, et sont appelés extensives. (volume, longueur d un fil, charge électrique ) Remarque : La réunion de 2 grandeurs intensives donne la même valeur, alors que pour celle de deux grandeurs extensives double la valeur. Les grandeurs intensives permettent d établir les conditions d équilibre entre deux systèmes quelconques mis en présence (même, même P ). Les grandeurs intensives présentées dans la suite sont celles souvent utilisée ne mécanique des fluides, elles caractérisent la nature des fluides. b) Masse volumique et densité Pour désigner la quantité de matière contenue dans un volume donné, on peut utiliser au choix : le nombre de molécules, de moles, la masse. En mécanique des fluides on utilise de préférence la masse volumique : ρ Définition : La masse volumique est le rapport ρ entre une masse m de matière homogène et le volume V occupé par cette masse : m ρ = V Dans le Système International (S.I.) l unité de masse volumique est le kg. m Remarques : C est aussi la définition d une concentration (la concentration massique, aussi en kg. m ), ce terme étant plutôt réservé au cas des mélanges et des solutions. On utilise parfois son inverse, appelé volume massique (en 3 1 m. kg ) υ = ρ Exemples : à 20 C, sous 1013 mbars de pression, on mesure : Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 7

8 ρ eau = 998 kg. m, ρ huile = 918 kg. m, ρ mercure = kg. m, ρ air = 1,205 kg. m, ρ CO = 1,84kg. m, 2 ρ hydrogène = 0,085kg. m On constate que les masse volumiques des liquides sont ~ 1000 fois plus élevées que celles des gaz (forme plus condensée) Remarques : A l état liquide, la majorité des corps ont une masse volumique voisine de celle qu ils ont à l état solide, légèrement inférieure Excepté l eau, un des rare cas où un corps se contracte par chauffage (ainsi que le bismuth et le gallium) flottaison des glaçons et icebergs Comme le volume d un corps varie généralement avec la pression et la température (dilatation, contraction), la masse volumique est influencée par ces variations. Pour les liquides, le volume est peu sensible aux variations de pression et de température. Définition : On appelle densité d un corps le rapport entre la masse d un certain corps et la masse du même volume d un corps de référence, dans les mêmes conditions de température et de pression : m ρ d = = m 0 ρ 0 Les corps de référence sont habituellement l eau pure et l air sec, à partir desquelles on définit : la densité d un liquide par rapport à l eau (à 4 C, sous 1013 mbars) la densité d un gaz ou d une vapeur par rapport à l air (à même P et ) Remarque : en anglais, la densité n est pas définie, density = masse volumique Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 8

9 echniques de mesure de ρ et de d Méthode du flacon (pycnomètre), du densimètre (ou aréomètre), ou du tube en U, pour les liquides. (voir page à part, schémas) Pour les gaz : mesure de la température et de la pression d un volume connu, et application de l équation d état. c) Coefficients de dilatation et de compressibilité Nous avons vu que l état d un fluide est caractérisé par les 3 variables P, V et. L équation d état du système est donc définie par une fonction à 3 variables : f ( P, V, ) = 0. Une question se pose : Comment varient ces grandeurs les unes par rapport aux autres? A première vue, on peut étudier la fonction qui relie deux grandeurs choisies lorsqu on maintien la troisième constante. Dans ce cas, cela donne six fonctions possibles : P = f ( ), P = f (V ), V = f ( ), V = f (P), = f (V ), = f (P) En fait, seulement trois fonctions sont nécessaires pour répondre à la question posée. On obtient ainsi trois propriétés exprimées au moyen de coefficients : la compressibilités isotherme ( V = f (P) à = Cste ), la compressibilité isochore ( P = f ( ) à V = Cste ) la dilatation isobare ( V = f ( ) à P = Cste ). Dans les phases condensées (solides et liquides) les coefficients thermoélastiques sont souvent constants. Coefficient de compressibilité isotherme Il représente l aptitude d un fluide à subir des variations de volume (ou de masse volumique) lorsqu on lui impose, à température constante, des variations de pression. Il a pour expression : V = 1 χ V P (à température constante) en Pa ou m 2. N Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 9

10 Remarques : Le signe moins traduit le fait qu à une augmentation de pression correspond une diminution de volume. Pour une masse donnée de fluide, on peut aussi écrire : (Démo : m = ρ. V = Cste, différenciation résultat) 1 ρ χ = ρ P Attention aux notations : La dérivée de V par rapport à P ne peut pas être totale (avec un d. droit), puisqu une température constante est imposée, et P est aussi fonction de la température, P = f (, V ). Il s agit donc d la dérivée partielle (. rond), c'est-à-dire la dérivée par rapport à la variable P, l autre variable étant maintenue constante (cf. cours de maths rappels à faire?) V P représente en fait la pente de l isotherme au point ( V, P) considéré (il faudrait que je trouve les courbes, iso-, iso-p et iso-v pour l eau) 0 2 Exemple : A 0 C, = 4,58 10 m. N, χ eau χ benzène 0 2 = 0,94 10 m. N Valeurs très faibles, les liquides sont très peu compressibles. Pour les liquides, χ dépend de la température, mais très peu de la pression. Coefficient de dilatation volumique isobare La dilatation en volume à pression constante, ou dilatation volumique isobare, est une propriété qui caractérise les variations de volume d un fluide, lorsqu on fait varier sa température. Il s exprime sous la forme : V = 1 α V à pression P constante (en C ou en P K ) Mesure : Pour les liquides, ce cœfficient est relativement faible, et dépend de la température. On peut alors employer : V V [ + ( )] ρ0 = α, ou encore ρ 1 =, + α ( ) avec α 01 le cœfficient de dilatation moyen entre 0 et Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 10

11 α 01 peut ainsi être déterminé avec une bonne précision par la mesure des variations de densité en fonction la température (méthode du flacon ) Exemple à pression atmosphérique ( P 1bar ) α eau = 1410 C, α ethanol 6 = C Coefficient de compressibilité isochore Le coefficient de compressibilité isochore se définit de la même façon que les coefficients χ et α. Le volume étant maintenu constant, on admet que la variation relative de pression, Δ p p, est proportionnelle à la variation de température, ce qui conduit à définir le coefficient de compressibilité isochore : P β = 1 P à V constant (en V K ou ) C Détermination : Ne présente pas d intérêt particulier dans les liquides Propriété : Ces coefficients ne sont pas indépendants, ils sont reliés entre eux par la relation suivante : ( à chercher) α = P βχ Autres propriétés des fluides ension superficielle cf chapitre Capillarité, après la statique Viscosité cf chapitre correspondant, pour les fluides réels, négligé en fluide parfait Coefficients calorimétriques Pression de vapeur saturante cf module de thermodynamique, transferts thermiques Conductivité thermique Diffusivité massique cf phénomènes de transferts, mélanges, plus tard Nous ne traiterons ici essentiellement que de liquides purs, dans des conditions isothermes, donc pas les 4 derniers. Mécanique des fluides Manuel Marcoux I - 11