Un peu de calcul intégral

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1 Université de Bourgogne February 10, 010

2 1 Consignes de travail En Terminale, ce qui a été abordé 3 4 L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 5 Quelques exemples Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan

3 Quelques consignes 1 Acquérir le cours, c est :

4 Quelques consignes 1 Acquérir le cours, c est : 1 être attentif en amphithéâtre et en TD

5 Quelques consignes 1 Acquérir le cours, c est : 1 être attentif en amphithéâtre et en TD travailler régulièment, reprendre le cours en regardant ses articulations (celles du cours!), apprendre les résultats importants, les retenir et savoir les appliquer dans des situations simples

6 Quelques consignes 1 Acquérir le cours, c est : 1 être attentif en amphithéâtre et en TD travailler régulièment, reprendre le cours en regardant ses articulations (celles du cours!), apprendre les résultats importants, les retenir et savoir les appliquer dans des situations simples 3 faire des exercices simples d application, avoir en mémoire un certains nombres d exemples

7 Quelques consignes 1 Acquérir le cours, c est : 1 être attentif en amphithéâtre et en TD travailler régulièment, reprendre le cours en regardant ses articulations (celles du cours!), apprendre les résultats importants, les retenir et savoir les appliquer dans des situations simples 3 faire des exercices simples d application, avoir en mémoire un certains nombres d exemples 4 Préparer les TD, i.e. réfléchir aux exercices proposés

8 Quelques consignes 1 Acquérir le cours, c est : 1 être attentif en amphithéâtre et en TD travailler régulièment, reprendre le cours en regardant ses articulations (celles du cours!), apprendre les résultats importants, les retenir et savoir les appliquer dans des situations simples 3 faire des exercices simples d application, avoir en mémoire un certains nombres d exemples 4 Préparer les TD, i.e. réfléchir aux exercices proposés Utilisation de la bibliothéque universitaire (SCD Bourgogne pour le site internet) : emprunter régulièrement des ouvrages, prendre l habitude de se référer à quelques livres avec lesquels vous vous sentez à l aise.

9 Quelques consignes 1 Acquérir le cours, c est : 1 être attentif en amphithéâtre et en TD travailler régulièment, reprendre le cours en regardant ses articulations (celles du cours!), apprendre les résultats importants, les retenir et savoir les appliquer dans des situations simples 3 faire des exercices simples d application, avoir en mémoire un certains nombres d exemples 4 Préparer les TD, i.e. réfléchir aux exercices proposés Utilisation de la bibliothéque universitaire (SCD Bourgogne pour le site internet) : emprunter régulièrement des ouvrages, prendre l habitude de se référer à quelques livres avec lesquels vous vous sentez à l aise. 3 Faire preuve d esprit critique : commencer à prendre un peu de recul par rapport aux notions abordées, croiser les sources.

10 Ce qui a été vu en Terminale 1 Pour une fonction f continue positive sur l intervalle [a, b], introduction de la notation b a f (t)dt comme aire sous la courbe.

11 Ce qui a été vu en Terminale 1 Pour une fonction f continue positive sur l intervalle [a, b], introduction de la notation b a f (t)dt comme aire sous la courbe. Valeur moyenne d une telle fonction.

12 Ce qui a été vu en Terminale 1 Pour une fonction f continue positive sur l intervalle [a, b], introduction de la notation b a f (t)dt comme aire sous la courbe. Valeur moyenne d une telle fonction. 3 Extension de ces notions au cas d une fonction changeant de signe.

13 Ce qui a été vu en Terminale 1 Pour une fonction f continue positive sur l intervalle [a, b], introduction de la notation b a f (t)dt comme aire sous la courbe. Valeur moyenne d une telle fonction. 3 Extension de ces notions au cas d une fonction changeant de signe. 4 Linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles.

14 Ce qui a été vu en Terminale 1 Pour une fonction f continue positive sur l intervalle [a, b], introduction de la notation b a f (t)dt comme aire sous la courbe. Valeur moyenne d une telle fonction. 3 Extension de ces notions au cas d une fonction changeant de signe. 4 Linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles. Par exemple : b a b b (αf (t) + βg(t))dt = α f (t)dt + β g(t)dt. a a

15 Ce qui a été vu en Terminale 1 Pour une fonction f continue positive sur l intervalle [a, b], introduction de la notation b a f (t)dt comme aire sous la courbe. Valeur moyenne d une telle fonction. 3 Extension de ces notions au cas d une fonction changeant de signe. 4 Linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles. Par exemple : b a b b (αf (t) + βg(t))dt = α f (t)dt + β g(t)dt. a a 5 Inégalité de la moyenne.

16 Ce qui a été vu en Terminale 1 Notion de primitive et le résultat : Théorème Si f est une fonction continue sur un intervalle I, et si α est un point de I, la fonction F telle que F (x) = x α f (t)dt est l unique primitive de f sur I s annulant en a.

17 Ce qui a été vu en Terminale 1 Notion de primitive et le résultat : Théorème Si f est une fonction continue sur un intervalle I, et si α est un point de I, la fonction F telle que F (x) = x α f (t)dt est l unique primitive de f sur I s annulant en a. Calcul de b a f (t)dt à l aide d une primitive de f : b a f (t)dt = α a f (t)dt + b α f (t)dt = b α f (t)dt a [ α f (t)dt ] t b = α f (s)ds a

18 Ce qui a été vu en Terminale Intégration par parties

19 Ce qui a été vu en Terminale Intégration par parties Proposition Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a, b], on a b a b u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)] b a u(t)v (t)dt. a

20 Table de quelques primitives On se place tout d abord sur de bons intervalles.

21 Table de quelques primitives On se place tout d abord sur de bons intervalles. x n dx = xn+1 n+1 + C (n = 1) 1 x dx = ln(x) + C e x dx = e x + C sin(x)dx = cos(x) + C cos(x)dx = sin(x) + C 1 1 dx = arctan(x) + C 1+x 1 x dx = arcsin(x) + C Table: Quelques primitives à connaître

22 Aire d un quart de disque L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 1 On travaille sur le disque unité d équation x + y = 1. Ainsi pour calculer l aire d un quart de ce disque, on considère, pour 0 x 1, la fonction : f : x 1 x.

23 Aire d un quart de disque L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 1 On travaille sur le disque unité d équation x + y = 1. Ainsi pour calculer l aire d un quart de ce disque, on considère, pour 0 x 1, la fonction : Une primitive de f est : f : x 1 x. F (x) = x 1 x + 1 arcsin(x)

24 Aire d un quart de disque L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 1 On travaille sur le disque unité d équation x + y = 1. Ainsi pour calculer l aire d un quart de ce disque, on considère, pour 0 x 1, la fonction : Une primitive de f est : f : x 1 x. F (x) = x 1 x + 1 arcsin(x) 3 Que trouve-t-on pour l aire du disque unité?

25 Longueur d un arc Consignes L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 1 On cherche à calculer la longueur d un courbe y(x), x compris entre a et b. Quel est l élément infinitésimal de longueur?

26 Longueur d un arc Consignes L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 1 On cherche à calculer la longueur d un courbe y(x), x compris entre a et b. Quel est l élément infinitésimal de longueur? Si x varie de Δx, y varie de Δy = y (x)δx d où : Δs = Δx + Δy = (1 + y (x) )Δx (Pythagore).

27 Longueur d un arc Consignes L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 1 On cherche à calculer la longueur d un courbe y(x), x compris entre a et b. Quel est l élément infinitésimal de longueur? Si x varie de Δx, y varie de Δy = y (x)δx d où : Δs = Δx + Δy = (1 + y (x) )Δx (Pythagore). 3 On conclut : b b ds = 1 + y (x) dx L = ds = 1 + y (x) dx. a a

28 Longueur d un arc Consignes L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 1 On cherche à calculer la longueur d un courbe y(x), x compris entre a et b. Quel est l élément infinitésimal de longueur? Si x varie de Δx, y varie de Δy = y (x)δx d où : Δs = Δx + Δy = (1 + y (x) )Δx (Pythagore). 3 On conclut : b b ds = 1 + y (x) dx L = ds = 1 + y (x) dx. a a 4 Calculer la longueur d un arc de parabole.

29 Equation différentielle L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 1 On considère l équation différentielle : x = g(t)x La fonction nulle est solution. Les autres solutions vérifient

30 Equation différentielle L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 1 On considère l équation différentielle : x = g(t)x La fonction nulle est solution. Les autres solutions vérifient dx x = g(t)dt ln x = g(t)dt x = e g(t)dt

31 Equation différentielle L aire d un quart du disque trigonométrique Longueur d un arc Equation différentielle 1 On considère l équation différentielle : x = g(t)x La fonction nulle est solution. Les autres solutions vérifient dx x = g(t)dt ln x = g(t)dt x = e g(t)dt 3 On montrera en fait qu il existe une solution et une seule vérifiant u(t 0 ) = x 0 : t t g(s)ds x(t) = x 0 e 0.

32 Primitives du logarithme népérien Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 On rappelle que pour x > 0 : ln(x) = x 1 dt t et ln(xy) = ln(x) + ln(y), x > 0, y > 0.

33 Primitives du logarithme népérien Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 On rappelle que pour x > 0 : et ln(x) = x 1 dt t ln(xy) = ln(x) + ln(y), x > 0, y > 0. Pour montrer la propriété précédente, on peut étudier la fonction, a > 0 fixé : dont la dérivée vaut?... x ax 1 dt t,

34 Primitives du logarithme népérien Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan On cherche sur ]0, + [ une primitive de ln (ceci a un sens). intègre par parties : On

35 Primitives du logarithme népérien Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan On cherche sur ]0, + [ une primitive de ln (ceci a un sens). intègre par parties : on se fixe un α > 0, x α ln(t)dt = x α 1 ln(t)dt = [t ln(t)] x α x α t 1 t dt = On

36 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan On veut dériver la fonction x g(f (x)) = g f (x). 1 On pose y = g(f (x)) : y peut être vu comme fonction de x mais aussi de u = f (x). On a (dy désignant une variation infinitésimale de y): soit dy dx = dy du du dx = g (u)f (x) = g (f (x))f (x). (g f ) = (g f )f.

37 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan On veut dériver la fonction x g(f (x)) = g f (x). 1 On pose y = g(f (x)) : y peut être vu comme fonction de x mais aussi de u = f (x). On a (dy désignant une variation infinitésimale de y): soit dy dx = dy du du dx = g (u)f (x) = g (f (x))f (x). (g f ) = (g f )f. On pose x = f (y) et on suppose qu une telle équation d inconnue y, admette une et une seule solution. On la note y = f 1 (x). Il s agit d obtenir (f 1 ) (x).

38 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 On a : soit dy dx = 1 dx dy (f 1 ) (x) = 1 f (y).

39 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 On a : soit dy dx = 1 dx dy (f 1 ) (x) = 1 f (y). Dans le cas de tan, x = tan y, y = arctan x : arctan (x) = dy dx = tan (y) = x.

40 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 1 On cherche une primitive de. Cette fonction ne semble + x pas très éloignée de x 1 dont une primitive est 1 + x arctan.

41 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 1 On cherche une primitive de. Cette fonction ne semble + x pas très éloignée de x 1 dont une primitive est 1 + x arctan. En effet, on a : 1 + x = ( x )

42 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 1 On cherche une primitive de. Cette fonction ne semble + x pas très éloignée de x 1 dont une primitive est 1 + x arctan. En effet, on a : 1 + x = ( x 3 Nous allons faire un changement de variable dans ) 1 x 0 1 ( ) dt. 1 + t

43 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 On pose u = t, u est considéré comme fonction de t, ainsi :

44 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 On pose u = t, u est considéré comme fonction de t, ainsi : du = 1 dt ou dt = du.

45 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 On pose u = t, u est considéré comme fonction de t, ainsi : du = 1 dt ou dt = du. 3 1 x 0 1 ( 1+ t ) dt = 1 x 0 1+u du

46 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 On pose u = t, u est considéré comme fonction de t, ainsi : du = 1 dt ou dt = du. 3 1 x 0 4 x 0 1 ( 1+ t ) dt = 1 dt dt = 1 x +t 0 x 0 1+u du du = 1 1+u [arctan(u)] x 0

47 Primitive de x 1 +x Primitives du logarithme népérien Autour de la fonction arctan 1 On pose u = t, u est considéré comme fonction de t, ainsi : du = 1 dt ou dt = du. 3 1 x 0 4 x 0 1 ( 1+ t ) dt = 1 dt dt = 1 x +t 0 5 On conclut : x 0 x 0 1+u du du = 1 1+u [arctan(u)] x 0 dt + t = 1 arctan( x ).