ProduitScalaire-Cours_standard.nb 8. Géométrie métrique. 2 Produit scalaire

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1 ProduitScalaire-Cours_standard.nb 8 Géométrie métrique Edition / DELM Produit scalaire Liens hypertextes Exercices correspondants de niveau standard: Cours de niveau avancé: Exercices de niveau avancé: Supports de cours de mathématiques, niveau secondaire II (page mère): Norme d'un vecteur, vecteur unitaire Norme d'un vecteur Nous avons étudié, en première année, que l'on peut représenter un vecteur par des flèches. Celles-ci représentent le même vecteur si elles ont la même direction, le même sens et la même longueur. u Le vecteur 0 est représenté par un point. Définition: la longueur du vecteur u est appelée norme de u et est notée u. Propriétés de la norme Pour tous les vecteurs u, v et pour tous les nombres réels k, on a u 0 u 0 u 0 k u k u u v u v u v

2 ProduitScalaire-Cours_standard.nb 9 Cette propriété est appelée inégalité triangulaire car pour tout triangle (éventuellement dégénéré), la longueur d'un côté est supérieure ou égale à la différence des longueurs des deux autres côtés mais inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés. Le lecteur est invité à illustrer cette propriété. Expression de la norme dans un repère orthonormé Par rapport à un repère orthonormé O, i, j, on donne les points Px, y, x, y, Bx, y ) et on considère les vecteurs u OP x i y j x y B x x i y y j x x y y y y B u y 0 x x x u x y B x x y y Exemple: La distance entre les points ; 3 et B4; 5 est Remarque: ttention B mais Vecteur unitaire Définition: un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à. Exemple: le vecteur est unitaire car Proposition: un vecteur non nul v étant donné, il existe exactement deux vecteurs u, u qui sont à la fois liés à v et unitaires.

3 ProduitScalaire-Cours_standard.nb 0 v u u En effet, nous cherchons des vecteurs de la forme k v qui sont unitaires k v k v k v On obtient deux solutions k v ou k v u v v ou u v v. Produit scalaire de deux vecteurs Rappel du théorème du cosinus Dans le théorème du cosinus a b c b c cosα, le terme b c cosα représente la correction à apporter au théorème de Pythagore. Isolons la moitié de ce terme correctif: b c cosα b c a C'est cette forme du théorème du cosinus que nous allons appliquer au triangle formé par deux vecteurs. Théorème du cosinus pour deux vecteurs v u B C u u u v v v Α u v

4 ProduitScalaire-Cours_standard.nb B u c u CB C B v u a u v u v u v cosα u v u v Le membre de droite peut s'exprimer avec les composantes des vecteurs par rapport à une base orthonormée u v u v u u v v u v u v u u v v u u v v u u v v u v u v Finalement, u v cosα u v u v Définitions du produit scalaire Chacun des deux membres de l'équation précédente est dénommé produit scalaire et est noté u. v insi, par rapport à une base orthonormée, en notant Α u, v, u.v u v cosα u u.v v u u v v u v Voir Formulaireset tables Dans le cas particulier où u 0 ou v 0, on convient que u. v 0. Signe du produit scalaire, orthogonalité En tenant compte des propriétés de la norme dans l'expression u v cosα, on obtient u v 0 u 0, v 0 et cos Α 0 u 0, v 0 et Α est aigu u v 0 u 0, v 0 et cos Α 0 u 0, v 0 et Α est obtus u v 0 u 0, v 0 ou cos Α 0 u 0, v 0 ou Α est droit Dans ce dernier cas, on dit que les vecteurs u et v sont orthogonaux et on note u v. u v u v 0 En composantes dans une base orthonormée u u v v u v u v 0

5 ProduitScalaire-Cours_standard.nb Interprétation géométrique du produit scalaire Dans la figure suivante, H est le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur la droite B (on dit alors que H est la projection orthogonale de C sur la direction de B). Perpendiculairement à B en, on a reporté la longueur de B (il s'agit plus précisément de l'image du vecteur B par une rotation de 90 dans le sens rétrograde autour de ). Α H B Α B BC BC B Dans le cas où l'angle Α est aigu, l'aire de la surface grisée représente le produit scalaire B C B H B C cos Α B C Dans le cas où l'angle Α est obtus, l'aire de la surface grisée est égale à l'opposé du produit scalaire B C B H B C cos 80 Α B C cos Α B C Propriétés du produit scalaire Pour tous les vecteurs u, v, w et pour tous les nombres réels k, on a u v w u v u w u v v u distributivité commutativité k u v u k v k u v u u le carré scalaire est égal au carré de la norme Pour les démonstrations, on peut exprimer tous les vecteurs dans une base orthonormée. Par exemple, pour la commutativité, exprimons chacun des deux membres en composantes puis comparons: u v u u v v u v u v v u v v u u v u v u, ce qui établit l'égalité.

6 ProduitScalaire-Cours_standard.nb 3 Le lecteur est invité à démontrer les autres propriétés. Exemple (problème résolu) Dans un repère orthonormé, on donne ; 3, B5;, C0; 3. Calculez le produit scalaire B C. B C Exemple (problème résolu) BC est un triangle équilatéral de 6 cm de côté; K est le milieu du segment C; L est le milieu du segment KB. Calculez les produits scalaires B C, BK BC, B BL, C KB, K L B B C B C cos B, C 6 6 cos 60 8 BK BC BK BC cos BK, BC cos 30 7 B BL B BL cos B, BL cos 50 7 C KB donc C KB 0 ngle entre deux vecteurs De la définition du produit scalaire, on tire cos Α u u v v u v u v u u v v Exemple 3 (problème résolu) Dans un repère orthonormé, on donne ; 3, B5;, C4; 0. Calculez les angles du triangle.

7 ProduitScalaire-Cours_standard.nb B 3, C 3, C BC cos Α B B C C Α arccos 3.6 Durant le calcul précédent, on aura remarqué que le triangle est isocèle. Par suite Β Γ 80 Α Produit scalaire et théorème du cosinus C'est en appliquant le théorème du cosinus à la géométrie vectorielle que nous avons construit le produit scalaire. Celuici est donc apparu comme une conséquence du théorème du cosinus. Nous montrons maintenant que la réciproque est vraie, à savoir que le théorème du cosinus peut se déduire des propriétés du produit scalaire. En effet, pour un triangle de sommets BC, en utilisant les notations usuelles, on a a BC B C B B C C B B C C B B C cos Α C c c b cos Α b b c b c cos Α Ceci montre que, en calcul vectoriel, il est possible de se passer du théorème du cosinus. Il est d'usage de remplacer ce dernier par les propriétés du produit scalaire.