CHAPITRE 3 : PARALLELISME, PERPENDICULARITE, FIGURES PLANES ELEMENTAIRES. Demi-droite d origine A passant par B. NOTATION (AB) ou (d) [AB) [AB]

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1 CHPITRE 3 : PRLLELISME, PERPENDICULRITE, FIGURES PLNES ELEMENTIRES I Droite, demi-droite, segment: droite Demi-droite d origine passant par Segment d extrémités et NOTTION () ou [) [] REPRESENTTION GRPHIQUE Il faut toujours penser à coder une figure : segments de même longueur, angles droits etc. II Cercle, disque : r étant un nombre positif, le cercle de centre O et de rayon r est l ensemble des points situés à une distance r de O. C C D O r E Le disque de centre O et de rayon r est l ensemble des points M tels que OM r. Conséquences de la définition : si un point M est sur le cercle alors OM = r. Si un point M est tel que OM = r alors M est sur le cercle. TTENTION : le centre n est pas un point du cercle! [O] est un rayon et [DE] est un diamètre. [C] est une corde et la petite portion de cercle limitée entre et C est appelée petit arc de cercle. III Droites particulières : 3.1 droites perpendiculaires : Deux droites sont perpendiculaires si elles forment un angle droit (mesure égale à 90 ). Elles forment alors 4 angles droits. On note (d ). En utilisant l équerre et la règle En utilisant le compas et la règle (méthode à maitriser) Master1, UE4, EC4, Eléments de mathématiques chapitre 3 éléments de géométrie plane Page 1

2 Exercice 1 : tracer la droite (d ) perpendiculaire à la droite passant par avec le compas. Il existe une seule droite perpendiculaire à une droite donnée passant par un point. CS 1 : CS 2 : Cette méthode qui revient à la construction d une médiatrice est à connaître car elle intervient très souvent dans la construction de perpendiculaires à l aide de la règle et du compas. 3.2 droites parallèles : Deux droites sont parallèles si elles sont confondues ou si elles n ont aucun point commun. On note (d ). Lorsqu elles ne sont pas confondues, on dit parfois qu elles sont strictement parallèles. En utilisant l équerre et la propriété : «si deux droites sont perpendiculaires à une même trosiième droite, alors elles sont parallèles entre elles.» En utilisant le compas et la règle. Exercice 2 : tracer la droite (d ) parallèle à la droite passant par avec le compas. CS 1 : CS 2 : Master1, UE4, EC4, Eléments de mathématiques chapitre 3 éléments de géométrie plane Page 2

3 Cette méthode qui revient à construire un parallélogramme est à connaître car elle intervient très souvent dans la construction de parallèles à l aide de la règle et du compas. Exercice 3 : droite d Euler Tracer un triangle C. Tracer la perpendiculaire à () qui passe par C. Tracer la perpendiculaire à (C) qui passe par. Ces deux perpendiculaires se coupent en H. Placer le point I milieu du segment [C] et J milieu du segment [].Tracer les segments [I] et [CJ], ils se coupent en G. Tracer la perpendiculaire à (C) qui passe par I et la perpendiculaire à () qui passe par J. Ces deux droites se coupent en O. Tracer la droite (OG). 3.3 tangente à un cercle : La tangente à un cercle de centre C en un point M du cercle est la droite perpendiculaire en M au rayon [CM]. Cette définition donne une méthode précise de tracé de la tangente. 3.4 médiatrice d un segment : La médiatrice d un segment est l ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment : - la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe en son milieu. La médiatrice d un segment est un axe de symétrie du segment. En utilisant l équerre et la règle graduée. En utilisant le compas et la règle. Exercice 4 : Construire la médiatrice du segment [] en utilisant la règle et le compas. Cette méthode à connaître permet de placer le milieu d un segment en utilisant uniquement le compas et une règle non graduée. IV ngles : 4.1 angles : On appelle secteur angulaire toute portion de plan limitée par deux demi-droites de même origine. L origine commune est appelée sommet du secteur et les deux demi-droites sont appelées côtés du secteur angulaire. L ensemble des secteurs superposables constituent un angle. On considère souvent les angles saillants (mesure inférieure à 180 ) et non les angles rentrants (mesure supérieure à celle de l angle plat) dans les exercices. Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leur mesure est égale à 90. Master1, UE4, EC4, Eléments de mathématiques chapitre 3 éléments de géométrie plane Page 3

4 Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leur mesure est égale à 180. Deux angles opposés par le sommet sont égaux. Deux angles alternes-internes formés par des droites parallèles sont égaux. Deux angles correspondants formés par des droites parallèles sont égaux. 4.2 bissectrice d un angle : La bissectrice d un angle est la droite qui passe par le sommet de l angle et qui partage l angle en deux angles adjacents égaux. La bissectrice d un angle est l axe de symétrie de cet angle. La bissectrice d un angle est l ensemble des points équidistants des côtés de l angle. En utilisant le rapporteur. En utilisant la règle et le compas. Exercice 5 : Construire la bissectrice de l angle xoy en utilisant la règle et le compas. y O x Cette méthode à connaître permet de construire l axe de symétrie de l angle et l ensemble des points équidistants des côtés de l angle en utilisant uniquement le compas et une règle non graduée. 4.3 angle au centre, angle inscrit : On appelle angle au centre dans un cercle tout angle dont le sommet est le centre du cercle. On appelle angle inscrit dans un cercle tout angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le cercle. L angle au centre O intercepte l arc. F L angle inscrit EFG intercepte l arc EG. O G 1/ Si un angle inscrit intercepte le même arc qu un angle au centre alors sa mesure est égale à la moitié de celle de l angle au centre. 2/ Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils sont égaux. Master1, UE4, EC4, Eléments de mathématiques chapitre 3 éléments de géométrie plane Page 4 E

5 Conséquence de la propriété 1 : 3/ Si [] est un diamètre d un cercle et C un autre point de ce cercle, alors le triangle C est un triangle rectangle en C. Cette conséquence à connaître permet de tracer des angles droits, des droites perpendiculaires, des triangles rectangles avec un compas. Exercice 6 : à retenir : En utilisant la propriété 3, tracer un triangle DEF rectangle en F tel que DE = 4 cm et EF = 2 cm. V Polygones : Un polygone est une figure géométrique limitée par les côtés qui sont tous des segments. Nombre de côtés Nom du polygone triangle quadrilatère pentagone hexagone octogone décagone Dodécagone 5.1 polygones convexes, concaves, croisés : Un polygone est convexe s il est tout entier situé du même côté que toutes les droites support de ses côtés. Sinon il est concave (ou non convexe). Un polygone est croisé si deux de ses côtés se coupent. Polygone croisé Polygone convexe Polygone concave 5.2 polygone régulier : Un polygone régulier est un polygone inscriptible dans un cercle et qui a tous ses côtés de même longueur. Un polygone régulier a tous ses angles égaux. Conséquence : si un polygone régulier est composé de n côtés et si O est le centre du cercle circonscrit alors tous les angles au centre sont égaux à 360 / n. Tous les polygones réguliers peuvent être tracés avec le rapporteur de façon plus ou moins précise. Certains ne nécessitent pas le rapporteur (triangle équilatéral, carré, hexagone, octogone etc.). Master1, UE4, EC4, Eléments de mathématiques chapitre 3 éléments de géométrie plane Page 5

6 VI Triangles : 6.1 Caractéristiques d un triangle : Inégalité triangulaire : dans un triangle, la longueur de n importe quel côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. (Pour aller d un point à l autre, la plus courte distance est la ligne droite) La somme des angles d un triangle est égale à Droites particulières du triangle : Une hauteur d un triangle est une droite perpendiculaire à un côté et qui passe par le sommet opposé. Une médiane d un triangle est une droite qui passe par le milieu d un côté et par le sommet opposé. Une médiatrice d un triangle est une médiatrice d un de ses côtés. Une bissectrice d un triangle est une bissectrice d un de ses angles. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre. Les trois médianes d un triangle sont concourantes en un point G appelé le centre de gravité, tel que G = 2/3 où est le milieu du côté opposé au sommet. Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle (cercle qui passe par les trois sommets du triangle). Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit au triangle (cercle qui est tangent aux trois côtés triangle). 6.3 Triangles particuliers : Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit. Le côté opposé à l angle droit est appelé hypoténuse. Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. Un triangle équilatéral est un triangle qui a trois côtés de même longueur. Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l hypoténuse. Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane, médiatrice, bissectrice. C est l axe de symétrie du triangle isocèle. Les angles à la base d un triangle isocèle sont égaux. Toute hauteur est aussi médiane, médiatrice, bissectrice. Ce sont les 3 axes de symétrie du triangle équilatéral. Les 3 angles du triangle équilatéral sont égaux à 60. VII Quadrilatères : Un quadrilatère est un polygone qui a 4 côtés.,, C, D sont les sommets, [] est côté, [C] est une diagonale, [] et [C] sont deux côtés consécutifs [] et [DC] sont des côtés opposés. D On nomme le quadrilatère en désignant ses sommets et en tournant dans le sens des aiguilles d une montre ou en sens inverse. C Master1, UE4, EC4, Eléments de mathématiques chapitre 3 éléments de géométrie plane Page 6

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