Séries Temporelles Avancées Polycopié de Cours

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1 1 Université Paris Ouest Nanterre Master EIPMC Séries Temporelles Avancées Polycopié de Cours Laurent FERRARA 1 1 EconomiX - Université Paris Ouest Nanterre et Banque de France. laurent.ferrara@u paris10.fr ou laurent.ferrara@banque-france.fr. Site web :

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3 Contents 3

4 4 CONTENTS

5 Chapter 1 Introduction L objet de ce cours est de fournir les outils et méthodes nécessaires à l étude de la dynamique des séries temporelles économiques et financières. Le cours débute par une présentation détaillée et progressive des bases de l économétrie des séries temporelles stationnaires en rappelant d abord différents concepts de séries chronologiques (fonction d auto-corrélation, stationnarité, tests Ě), puis en dérivant les processus univariés de type ARMA (autorégressifs et moyenne mobile). Le cours se poursuit par l étude conjointe de plusieurs séries au travers de la présentation des modèles VAR (autorégressifs vectoriels), largement utilisés aujourd hui en pratique. L inférence statistique de ce type de modèles sera développée et des extensions récentes seront présentées. La plupart des séries économiques et financières étant non stationnaires, la suite du cours est consacrée aux tests de racine unitaire (stationnarité et non stationnarité) ainsi qu à la théorie de la cointégration et aux modèles à correction d erreur. Enfin, de nombreuses séries macroéconomiques et financières étant affectées par des chocs structurels, nous proposons une revue des différents modèles linéaires à paramètres non constants au cours du temps qui permettent une modélisation plus flexible. Ce cours a une dimension appliquée très importante ; chaque chapitre théorique est ainsi systématiquement illustré d applications empiriques à la macroéconomie et à la finance. Bibliographie sommaire : Brockwell P.J. et Davis R.A. (1991), Time Series: Theory and Methods, Springer Verlag. Hamilton J.D. (1994), Time Series Analysis, Princeton University Press. Lardic S. et Mignon V. (2002), Econométrie des séries temporelles macroéconomiques et financières, Economica. Ferrara L. et Guégan D. (2002), Analyser les Séries Chronologiques avec S-Plus : une approche Paramétrique, Collection " Pratique de la Statistique ", Presses Universitaires 5

6 6 CHAPTER 1. INTRODUCTION de Rennes, 147 pages Van Dijk D. et Franses, P.H. (2000), Nonlinear Time Series Models in Empirical Finance, Cambridge University Press. Plan du cours : CHAPITRE 1 : Concepts de séries chronologiques Définitions : série temporelle et processus aléatoire Stationnarité et transformation des séries temporelles Caractéristiques d une série temporelle Application : Faits stylisés de séries d indices boursiers européens CHAPITRE 2 : Rappels sur les processus ARMA Définitions et généralités Caractéristiques et simulations Spécification et estimation des processus ARMA Validation des processus ARMA Prévision des processus ARMA Quelques exemples d application CHAPITRE 3 : Représentation autorégressive vectorielle VAR(p) d un processus stationnaire Représentation canonique et processus d innovation Caractéristiques et simulations Spécification et estimation des paramètres d un processus VAR (MCO, maximum de vraisemblance) Validation (test du rapport de vraisemblance, critères d information) Prévision Causalité et exogénéité dans les processus VAR Fonction de réponse impulsionnelle Une application empirique : PIB, Inflation et politique monétaire aux Etats-Unis Extensions récentes des processus VAR CHAPITRE 4 : Tests de racine unitaire et modélisation ARIMA Généralités sur la non stationnarité des séries Les tests de racine unitaire Processus ARIMA univariés et multivariés : définitions Application : étude de la stationnarité d indices boursiers CHAPITRE 5 : Cointégration et modèles à correction d erreur

7 7 Concepts de cointégration Caractéristiques et simulations Représentation des séries cointégrées : les modèles à correction d erreur Estimation des relations de cointégration : méthode d estimation en deux étapes Tests de cointégration Application : Cointégration entre la croissance économique et certains secteurs en France CHAPITRE 6 : Processus linéaires à paramètres non-constants Quelques évidences empiriques de non-stabilité dans les séries Processus à changements de régimes régis par une variable observable (Ex : processus à seuil, à transition lisse) Processus à changements de régimes régis par une variable inobservable (Ex : processus à changements de régimes markoviens) Dans ce document dédié aux étudiants du cours du M2 EIMPC, nous reprenons quelques éléments de ce plan du cours, le reste sera traité en cours.

8 8 CHAPTER 1. INTRODUCTION

9 Chapter 2 Concepts de série chronologique 2.1 Approche statistique en termes de processus En statistique, toute tentative de modélisation se fait en introduisant la notion de variable aléatoire. L approche statistique d une série chronologique consiste à mettre en place un modèle statistique qui considère chaque observation x t, pour t = 1,..., T, comme la réalisation d une variable aléatoire X t (ω), telle que : où B(R) est la tribu des Boréliens de R. X t : (Ω, F, P ) (R, B(R)), Definition Un processus (X t ) t Z est une famille de variables aléatoires à valeurs réelles indéxée par t Z. Pour une valeur de ω fixée dans Ω, la fonction qui associe à chaque date t la réalisation X t (ω) est la trajectoire du processus au point ω. De même, pour une date t fixée dans Z, la fonction qui associe à chaque ω associe la réalisation X t (ω) est l état du processus à la date t. L objectif du praticien va être alors d identifier le processus ayant généré la trajectoire observée. Cette identification se fera à l aide d outils statistiques présentés plus loin dans ce document. En termes mathématiques, cela revient à rechercher un certain ω 0 Ω ayant engendré la trajectoire observée. Si le processus a été spécifié, estimé et validé, on peut alors l utiliser pour effectuer une prévision. On construit alors l estimateur ˆX T (h) qui est le prédicteur de la variable aléatoire X T +h. Comme tout estimateur, ce prédicteur est à son tour une variable aléatoire, en tant que fonction mesurable de v.a.. Ainsi, ˆXT (h) possède une loi de distribution, qu il conviendra de spécifier dans la mesure du possible. En utilisant cette v.a., on pourra donc calculer la prévision ˆx T (h) comme étant la réalisation de ˆX T (h), calculée à partir des données de la trajectoire. 9

10 10 CHAPTER 2. CONCEPTS DE SÉRIE CHRONOLOGIQUE 2.2 Comment se présente l information dans une trajectoire? Contrairement à un échantillon, ce qui caractérise une trajectoire (x 1,..., x T ) issue d un processus est la non indépendance des v.a. (X 1,..., X T ). En effet, dans la plupart des cas en pratique, il existe une forme de dépendance entre les valeurs d une trajectoire. En finance, la valeur d un actif un jour donné va dépendre d une certaine manière de la valeur de cet actif les jours précédents. En économie, les séries de PIB, d investissement, de consommation des ménages ou de commerce extérieur pour un certain trimestre dépendent d un certaine manire des trimestres précédents. On pourrait ainsi multiplier les exemples de dépendence temporelle au sein d une série Domaine temporel Il existe un outil statistique qui permet de mesurer la dépendence entre deux v.a., il s agit du coefficient de corrélation linéaire. La plupart du temps, les praticiens font souvent une utilisation extensive de ce coefficient, du fait de sa facilité d utilisation. Toutefois, quelques précautions d usage sont à prendre. En particulier, il est bon de rappeler que ce coefficient ne mesure que les dépendances linéaires entre variables, les dépendances non linéaires étant exclues. Ensuite, d autres dépendances sur les moments d ordre supérieurs ou égaux à 2 peuvent exister; elles ne sont pas mesurées par ce coefficient. Ainsi, un coefficient de corrélation égal à zéro n implique pas, en général, que ces deux variables sont indépendantes, la réciproque étant vraie. Le cas Gaussien en est un contre-exemple. Cependant, dans la pratique, le coefficient de corrélation linéaire reste utile pour caractériser le degré de dépendance d un processus. En particulier, on utilisera la fonction d autocorrélation décrite dans la définition suivante : Definition Soit (X t ) t Z un processus du second ordre (i.e. : E(Xt 2 ) < ). (i) La fonction moyenne, notée m(.), du processus (X t ) t Z est l espérance non conditionnelle du processus, i.e.: m(t) = E(X t ), pour tout t Z. (ii) La fonction d autocovariance au retard k, notée γ(k), du processus (X t ) t Z est définie de la manière suivante, pour tout t Z et k Z, : γ(k) = cov(x t, X t+k ) = E [(X t E(X t ))(X t+k E(X t+k ))]. (2.1) (iii) La fonction d autocorrélation au retard k, notée ρ(k), du processus (X t ) t Z, que l on note ACF (AutoCorrelation Function), est définie de la manière suivante, pour tout t Z et k Z, : ρ(k) = γ(k), (2.2) σ Xt σ Xt+k où σ Xt est l écart type du processus au temps t, pour t Z, tel que : σ Xt = γ(0).

11 2.2. COMMENT SE PRÉSENTE L INFORMATION DANS UNE TRAJECTOIRE?11 Ainsi, pour un retard k fixé, le nombre ρ(k) [ 1, 1] mesure la corrélation linéaire entre les variables X t et X t+k. En particulier, on remarque que ρ(0) = 1. Dans une optique prévisionnelle, on s attachera à mettre en évidence les retards k pour lesquels l ACF est la plus élevée. Remarque 2.1 On dit que le processus est centré si m(t) = 0, t. D autres mesures de dépendance entre variables existent en statistique. Un outil de diagnostic intéressant est la fonction d autocorrélation partielle, que l on note PACF (Partial ACF). La PACF au retard k, notée r(k), est définie pour tout k Z, de la manière suivante : cov(x t X, X t+k Xt+k r(k) = ), (2.3) var(x t X ) 1/2 var(x t+k Xt+k )1/2 où, pour tout t, Xt est la régression affine de X t sur X t+1, X t+2,..., X t+k 1 et Xt+k est la régression affine de X t+k sur X t+k 1, X t+k 2,..., X t+1. Ainsi, pour un retard k fixé, le nombre r(k) est le coefficient de corrélation linéaire entre la variable X t E(X t X t+1, X t+2,..., X t+k 1 ) et la variable X t E(X t+k X t+1,..., X t+k 2, X t+k 1 ). Ce coefficient mesure en fait la liaison entre les variables X t et X t+k, une fois que l on a retranché l influence des variables intermédiaires. La proposition suivante permet de calculer facilement r(k), pour un retard k fixé. Proposition 2.1 Le coefficient r(k) défini par l équation?? est le coefficient de X t dans la régression linéaire de X t+k sur 1, X t, X t+1,..., X t+k 1. Enfin, on rappellera que la connaissance parfaite de la dépendance entre 2 variables n est possible qu avec la connaissance de la jointe du vecteur bivarié. Les outils de type copules, qui sont en train de se développer fortement dans le domaine de la finance permettent une estimation de la loi jointe d un vecteur en dimension 2. Dans la pratique, à échantillon fini, on estime la moyenne du processus à l aide de la moyenne empirique de la série, définie par X T = T 1 T t=1 X t. La fonction d autocovariance d un processus au retard k est estimée par la fonction d autocovariance empirique, ˆγ(.), définie, pour 0 k < T, par : ˆγ(k) = 1 T T k (X t X T )(X t+k X T ). (2.4) t=1 On remarque que ˆγ(k) est divisée par le nombre total d observations T, et non pas par T k. Par conséquent, cet estimateur est biaisé mais la matrice de variance-covariance

12 12 CHAPTER 2. CONCEPTS DE SÉRIE CHRONOLOGIQUE estimée ˆΓ = [ˆγ(i j)] i,j=1,...,t, calculée à partir de cet estimateur, est alors définie positive et inversible. De même, l ACF est estimée par l ACF empirique, notée ˆρ(.) et définie, pour 0 k < T, par : ˆρ(k) = ˆγ(k). (2.5) ˆ σ Xt+k ˆ σ Xt On remarque également que la matrice de corrélation estimée, ˆR = [ˆρ(i j)]i,j=1,...,t, est définie positive Domaine spectral Dans ce paragraphe, on effectue quelques rappels sur l analyse spectrale d un processus stationnaire et on présente en détail les instructions RATS correspondantes. Pour une présentation fouillée des différentes techniques d analyse spectrale, on se référe à la monographie de Priestley (1981). On considère toujours le trajectoire finie X 1,..., X T, issue du processus stationnaire (X t ) t Z, de covariance notée γ. La densité spectrale f de ce processus est définie comme étant la transformée de Fourier de la fonction d autocovariance du processus, i.e., pour toute fréquence λ appartenant à l intervalle [0, 2π[ : f(λ) = 1 2π k= γ(k)e iλk. (2.6) Le principal outil d analyse dont on dispose pour estimer empiriquement la densité spectrale théorique du processus est le périodogramme I T, défini sur l intervalle [0, 2π[ par: I T (λ) = 1 2πT T 2 e iλt X t, (2.7) En général, on considère des processus centrés pour lesquels la moyenne empirique est nulle. On note que, dans la pratique, les fréquences λ sur l intervalle [0, 2π[ sont remplacées par les fréquences de Fourier, λ j, définies, pour j = 0,..., T 1, par : λ j = 2πj/T. t=1 2.3 Comment identifier un processus candidat? L ACF fournit une mesure de la persistence ou de la mémoire du processus. A partir de cette information, nous allons chercher quel type de processus permet de reproduire

13 2.3. COMMENT IDENTIFIER UN PROCESSUS CANDIDAT? 13 cette persistence. Nous allons caractériser trois de types de mémoire : mémoire longue, mémoire courte et sans mémoire. Il existe des processus sans mémoire, pour lesquels la v.a. à la date t, X t, n est pas corrélée aux v.a. aux dates précédentes X t 1, X t 2,.... Ce sont les processus de type bruit blanc faible définis ci-dessous. Definition Un processus d ordre 2 (ε t ) t Z est un processus bruit blanc faible si : (i) t, E(ε t ) = 0 (ii) t, s, E(ε t ε s ) = σ 2 ε I [t=s] où I(.) est la fonction indicatrice. On généralisera la notion de bruit blanc faible à celle de bruit blanc fort en posant que (ε t ) t Z est un processus bruit blanc fort si (ε t ) t Z est un processus indépendant. C est à dire que la v.a. à la date t, ε t, est indépendante de toute v.a. à la date s t, ε s. Un processus bruit blanc fort est un processus bruit blanc faible, mais, en général, un processus bruit blanc faible n est pas un processus bruit blanc fort (la non-corrélation n implique pas l indépendance). Par contre, un processus bruit blanc faible Gaussien est un processus bruit blanc fort. Le processus bruit blanc est le processus de base à partir duquel tous les processus stochastiques sont définis. Le dénomination de bruit vient du fait que ce processus ne contient aucune information, l information étant représentée par l auto-corrélation. Ainsi, aucun signal déterministe ne peut être extrait de ce processus. L objectif de toute tentative de modélisation statistique étant d extraire le signal afin qu il ne reste que le bruit dans les résidus du modèle. La qualité d un modèle statistique de série chronologique se mesure, en partie, au fait que les résidus forment un bruit blanc. L adjectif blanc vient de l analogie avec la lumière blanche pour laquelle le spectre est constant pour toute fréquence, ce qui est le cas d un bruit blanc pour lequel on montre que la densité spectrale est égale à f ε (λ) = σ2 ε pour toute fréquence λ. 2π Il existe également des processus dont l ACF est géométriquement bornée et décroit rapidement vers zéro, on parle alors de processus à mémoire courte. C est le cas des processus de type ARMA. Definition Un processus est dit à mémoire courte s il possède une ACF, ρ(k), telle que : ρ(k) Cr k,, (2.8) où C > 0, 0 < r < 1 et k = 1, 2,.... Les processus ci-dessous sont des exemples de processus à mémoire courte.

14 14 CHAPTER 2. CONCEPTS DE SÉRIE CHRONOLOGIQUE Exemple 2.1 Un processus moyenne-mobile d ordre 1, de la forme suivante : X t = ε t + θε t 1 où ε t est un processus bruit blanc faible, est un processus à mémoire courte. En général, pour des raisons d inversibilité et d indentifiabilité le paramètre θ est tel que : θ < 1. Pour ce processus, on montre que E(X t ) = 0, et que ρ(1) = θ et ρ(k) = 0 si k > 1. Exemple 2.2 Un processus autoregressif d ordre 1, de la forme suivante : X t φx t 1 = ε t où ε t est un processus bruit blanc faible, est un processus à mémoire courte. En général, pour des raisons d inversibilité et de stationnarité (voir ci-après), le paramètre φ est tel que : φ < 1. Pour ce processus, on montre que E(X t ) = 0, et que r(1) = φ et r(k) = 0 si k > 1. Enfin, si l ACF est non nulle pour des retards élevés, en pratique de l ordre de k 20, on dit que le processus est fortement persistent. Plus formellement, on parle de processus à mémoire longue lorsque l ACF du processus, ρ(k), décroît comme une fonction puissance de k. Definition Un processus est dit à mémoire longue s il possède une ACF, ρ(k), qui est approchée comme suit: ρ(k) Ck α quand k, (2.9) où représente l équivalence asymptotique, où C > 0 est une constante et où α est un réel appartenant à l intervalle ]0, 1[. On remarque alors que la série des autocorrélations est absolument divergente, i.e. : k=0 ρ(k) =. Les processus intégrés fractionnaires de type FARIMA (ou ARFIMA) permettent de reproduire ce fait stylisé. Exemple 2.3 Le processus fractionnaire intégré introduit par Hosking (1980) et Granger et Joyeux (1981) de la forme suivante : (I B) d X t = ε t où B est l opérateur retard tel que B(X t ) = X t 1 et B k (X t ) = X t k et d est un réel fractionnaire tel que 0 < d < 1, est un processus à mémoire longue. On remarque également, sans s étendre sur le sujet que la mémoire des processus se retrouve également dans les caractéristiques de la densité spectrale du processus. Ainsi, la densité spectrale d un processus bruit blanc est une constante et celle d un processus longue mémoire tend vers l infini lorsque les fréquences tendent vers zéro.

15 2.4. NON INDÉPENDANT, MAIS IDENTIQUEMENT DISTRIBUÉ? Non indépendant, mais identiquement distribué? Ainsi, en général dans le cas des séries chronologiques, la fameuse hypothèse i.i.d. ne peut plus être effectuée, à cause de la dépendance temporelle du processus (hormis le processus bruit blanc fort). Qu en est-il de l hypothèse relative à l identité de la loi de distribution? En fait, cette hypothèse est nécessaire dans l étude des processus stochastiques, car on va se reposer dessus pour rendre possible la plupart des calculs. On introduit ci-dessous la notion de processus fortement stationnaire ou stationnaire au sens strict. Definition Un processus (X t ) t Z est dit fortement stationnaire si, t 1,..., t n Z, k Z et n = 1, 2,..., la loi du vecteur (X t1,..., X tn ) est identique à la loi du vecteur (X t1 +k,..., X tn+k), i.e. toutes les lois de dimension finie du processus sont identiques. En particulier, pour un processus fortement stationnaire les variables X t, t, sont identiquement distribuées. Un processus particulier, que l on retrouve souvent en statistique, est le processus Gaussien pour lequel toutes ses lois de dimension finie sont Gaussiennes. En pratique, cette hypothèse de stationnarité forte ne peut pas être testée à l aide de la trajectoire. On introduit donc une condition de stationnarité moins restrictive qui pourra être testée à partir des observations. Definition Un processus du second ordre (X t ) t Z est dit faiblement stationnaire si : (i) la moyenne du processus est constante au cours du temps, i.e. : pour tout t Z, E(X t ) = µ, (ii) la covariance du processus est invariante au cours du temps, i.e. : pour tout t Z et k Z, γ(k) ne dépend que de k. Un processus faiblement stationnaire est également appelé stationnaire au second ordre, stationnaire en covariance ou stationnaire. Si le processus est faiblement stationnaire, l espérance de chaque variable est identique et on peut alors l estimer par la moyenne empirique X T. Ainsi, on peut centrer tout processus stationnaire en lui retranchant sa moyenne empirique. Remarque 2.2 Un processus fortement stationnaire est faiblement stationnaire, l inverse n étant généralement pas vrai. Un contre-exemple est le processus Gaussien pour lequel les deux types de stationnarités sont équivalents. La stationnarité d un processus permet ainsi d estimer les moments non conditionnels de la v.a. X T +h en utilisant les moments empiriques à partir du processus (X 1,..., X T ). Ainsi, on peut utiliser comme prédicteur naturel de X T +h un estimateur de l espérance non conditionnelle E(X T +h ), en particulier la moyenne empirique, i.e. : ˆXT +h = X T = T 1 T t=1 X t. Ainsi, la prévision est alors obtenue, pour tout h, par ˆx T (h) = T 1 T t=1 x t. De même, on peut utiliser comme prédicteur de X T +h d autres statistiques qui estiment la

16 16 CHAPTER 2. CONCEPTS DE SÉRIE CHRONOLOGIQUE position centrale de la distribution non conditionnelle tels que la médiane et le mode, i.e. : ˆXT +h = Med(X 1,..., X T ) ou ˆX T +h = Mode(X 1,..., X T ). Toutefois, on se rend compte que cette prévision est extrêmement grossière car, pour n importe quel horizon h > 0, le prédicteur est identique, illustrant ainsi que la dynamique du processus n est pas prise en compte dans ce type de prédicteur. Bien que dans certains cas ce type de prédicteur peut être utile en pratique, nous allons chercher à développer des méthodes statistiques visant à renforcer les qualités du prédicteur par intégration de la dynamique du processus. 2.5 Comment caractériser la qualité d un prédicteur? En statistique, les propriétés qui caractérisent un " bon" estimateur d une valeur est le fait d être sans biais et de variance minimale. Dans le cas de la variable ˆX T (h), le prédicteur à la data T pour l horizon h (h > 0) de X T +h, on introduit la variable d erreur de prévision à l horizon h définie par : e T +h = X T +h ˆX T (h) (2.10) La caractéristique principale d un " bon" prédicteur ˆX T (h) est de minimiser cette erreur de prévision au sens d un certain critère. Généralement, 3 critères d erreur de prévision à l horizon h sont retenus : l erreur moyenne (ME, Mean Error), absolue moyenne (MAE, Mean Absolute Error) et quadratique moyenne (MSE, Mean Squared Error). MRE = E(e T +h ) (2.11) MAE = E( e T +h ) (2.12) MSE = E(e 2 T +h) (2.13) Evidemment, une mesure de ces critères nécessite la connaissance de la réalisation x T +h de la v.a. X T +h et ne peut donc se faire qu a posteriori. En généralisant l erreur de prévision au temps T précédente à l ensemble des temps, on introduit le processus d erreur de prévision (e t+h ) t Z tel que : e t+h = X t+h ˆX t (h), pour tout t Z et tout h > Prévision par processus linéaires Les processus linéaires sont particulièrement bien adaptés pour la prévision des séries chronologiques car ils permettent d utiliser de manière optimale l information contenue dans le processus sous la forme d autocorrélation linéaire.

17 2.6. PRÉVISION PAR PROCESSUS LINÉAIRES 17 Definition Un processus (X t ) t Z est un processus linéaire s il admet une décomposition de la forme suivante, t Z : X t = a i ε t i, (2.14) i= où : (i) les coefficients (a i ) i sont absolument sommables, i.e.: i= a i <, (ii) (ε t ) t est un processus bruit blanc fort. En fait, la justification de l utilisation extensive en prévision des processus linéaires provient du théorème de Wold (1938) qui montre que tout processus fortement stationnaire peut s écrire sous la forme d un processus linéaire. Trivialement, un processus non linéaire est un processus qui ne vérifie pas la définition??. Par exemple, un processus tel que i= a i = n est pas linéaire. Ce type de processus est connu comme étant un processus fractionnaire à mémoire longue (voir Ferrara, 2000, et Ferrara et Guégan, 2002). Autre exemple, un processus de la forme?? mais tel que (ε t ) t est un processus bruit blanc faible n est pas linéaire. Les processus de type GARCH appartiennent à cette dernière catégorie. Si on observe une trajectoire (x 1,..., x T ) que l on suppose engendrée par une processus linéaire (X t ) t Z, on connait alors le meilleur prédicteur ˆX T (h), au sens de la plus faible erreur quadratique moyenne. On note I T l ensemble d information apporté par les variables (X 1,..., X T ), qui est en terme probabiliste la σ-algèbre engendrée par les T v.a.. On note M T le sous-espace vectoriel fermé engendré par les variables (X 1,..., X T ), muni du produit scalaire X t, X t = E(X t X t ). La norme issue du produit scalaire est la norme L 2, notée. 2 L. 2 Proposition 2.2 Le prédicteur ˆX T (h) qui minimise l erreur quadratique moyenne (MSE) est le prédicteur des moindres carrés définie par : soit : ˆX T (h) = E(X T +h I T ), ˆX T (h) = arg min Y M T X T +h Y 2 L 2, (2.15) On se réfère à Priestley (1981) et à Brockwell et Davis (1987) pour une preuve de cette proposition. Definition On définit le processus d innovation (ɛ t ) t d un processus (X t ) t Z comme étant l écart entre la variable X t au temps t et sa projection sur l espace vectoriel engendré par les variables jusqu au temps (t-1), i.e.: ɛ t = X t E(X t I t 1 )

18 18 CHAPTER 2. CONCEPTS DE SÉRIE CHRONOLOGIQUE On montre que le processus d innovation d un processus stationnaire est un bruit blanc et qu un processus bruit blanc est son propre processus d innovation. Dans le cas d un processus linéaire, on montre alors facilement que l erreur de prévision e T +h est d espérance nulle, E(e T +h ) = 0, et de variance telle que : h 1 E(e 2 T +h) = σε 2 a 2 i, (2.16) avec a 0 = 1. Par conséquent, sous l hypothèse supplémentaire de connaissance de la loi du processus d erreur de prévision, on peut calculer un intervalle de confiance pour la prévision. Par exemple, dans la cas d un processus Gaussien, on obtient l intervalle de confiance suivant pour X T +h, au niveau de confiance 1 α : où t 1 α/2 est le quantile de la loi d ordre 1 α. i=0 X T +h [ ˆX T (h) ± t 1 α/2 σ h 1 ε a 2 i ], (2.17) Remarque 2.3 On suppose ici que les paramètres du processus sont connus mais en pratique on utilise les valeurs des paramètres estimés, sans toutefois rajouter d incertitude sur le prédicteur due à la variabilité des estimateurs. i=0 2.7 Prévision de la densité de distribution Dans l intervalle de confiance précédent, la variance de l erreur de prévision est constante au cours du temps. Or, il existe de nombreux exemples pour lesquels la variance de l erreur de prévision que l on commet peut varier au cours du temps. Ainsi, en économie, il plus facile d eefectuer des prévisions lorsqu on se trouve en période forte croissance plutôt qu un période de retournement conjonturel. De même, la volatilité sur les marchés financiers évolue au cours du temps : il existe des agrégats de volatilité. On peut alors logiquement penser que, de manière analogue à l espérance conditionnelle qui est le meilleur prédicteur de X T +h au sens du MSE, la variance conditionnelle de X T +h sachant I T, notée V (X T +h I T ), peut être un meilleur prédicteur que la variance non conditionnelle de X T +h, au sens d un certain critère, car elle va tenir compte de la dynamique du processus. La variance étant une mesure du risque associé à la prévision, cela peut être intéressant de pouvoir gérer au mieux ce risque. Ainsi, il existe différentes mesures de la variance (voir RiskMetrics). En particulier, les processus de type GARCH vont permettre une modélisation et une prévision de la variance conditionnelle d une série.

19 2.8. IMPORTANCE DE L HORIZON DE PRÉVISION 19 De même, en généralisant aux moments supérieurs conditionnels, la loi conditionnelle de la v.a. X T +h sachant le passé du processus jusqu au temps T, notée L(X T +h I T ), apparaît jouer un rôle fondamental au niveau de la prévision. Pour un processus fortement stationnaire, la loi conditionnelle à tout instant intègre la mémoire du processus et permet ainsi une appréciation plus précise que la loi non conditionnelle ou loi historique à un instant donné. En effet cette dernière n intégre pas l information passée. Par exemple, la VaR (Value at Risk) peut être estimée à partir de la loi conditionnelle du processus. On oppose alors la VaR historique et la VaR conditionnelle. Les méthodes de rééchantillonage de type Bootstrap permettent une estimation de la loi conditionnelle L(X T +h I T ). 2.8 Importance de l horizon de prévision Quel horizon de prévision? Court, moyen ou long terme? Si le processus est stationnaire, on montre que la loi de distribution conditionnelle converge vers la loi de distribution non conditionnelle lorsque l horizon tend vers l infini, ie: L(X T +h I T ) h L(X 1 ) (2.18) Seule la vitesse de convergence différe en fonction de la mémoire de processus. Plus la mémoire d un processus est courte, plus la vitesse de convergence est grande, et inversement. Ainsi, lorsqu on utilise en prévision un processus ARMA, il est particulièrement recommandé que l horizon soit de très court terme (h = 1 ou h = 2). En effet, ce type de processus étant à mémoire courte, au bout de quelques pas le prédicteur va être égal à la moyenne non conditionnelle de la série, ce qui est très peu informatif et toujours décevant pour un praticien. Ainsi, le prédicteur retourne vers la moyenne non conditionnelle très rapidement. Si l on désire effectuer des prévisions sur un horizon de plus long terme, les processus à mémoire longue fournissent une alternative plus intéressante (évidemment si la persistance est présente dans la série). Exemple 2.4 On considère un processus autoregressif stationnaire d ordre 1, de moyenne nulle, de la forme suivante : X t φx t 1 = ε t où ε t est un processus bruit blanc faible et le paramètre φ est tel que : φ < 1. Pour tout t, le prédicteur à l horizon h = 1, noté ˆX t (1) est donné par ˆX t (1) = E(X t+1 I t ) = φe(x t I t ) + E(ε t+1 I t ) = φx t. De même, pour tout h > 0, on montre que : ˆX t (h) = phi h X t.

20 20 CHAPTER 2. CONCEPTS DE SÉRIE CHRONOLOGIQUE Ainsi, lorsque h, ˆXt (h) converge vers son espérance non-conditionelle E(X t ) (égale à 0 ici). La vitesse de convergence est ici inversement proportionnelle à la valeur du paramètre autorégressif φ.

21 Chapter 3 Exemple d analyse sous RATS Dans ce chapitre, nous présentons les instructions RATS nécessaires à la mise en oeuvre de l analyse des séries chronologiques. Une telle analyse doit être systématiquement effectuée, prélablement à la modélisation de la série. Les détails des quelques définitions et propositions énoncées ci-dessous, ainsi que leurs démonstrations, se trouvent dans les livres traitant de l analyse des séries chronologiques, tels que les ouvrages de Box et Jenkins (1970), Brockwell et Davis (1987), Box, Jenkins et Reinsel (1994) ou Hamilton (1994). Dans la suite de ce document, on suppose qu on observe une suite finie de valeurs réelles, notée X 1,..., X T. On considère cette suite finie de valeurs, de longueur T, comme étant la réalisation d un processus (X t ) t Z du second ordre (i.e. : E(X 2 t ) < ), et on l appelle la trajectoire du processus. Dans la pratique, on observe uniquement cette trajectoire, et on l utilise pour faire de l inférence statistique sur le processus sous-jacent à cette série observée. Il importe donc d analyser correctement la trajectoire, préalablement à toute tentative de modélisation. Dans un premier temps, on s intéresse à une analyse temporelle d une série, puis, dans un second temps, à une analyse spectrale. Afin d illustrer ce chapitre, on considère la série chronologique mensuelle du taux de change du Dollar Canadien contre le Dollar US, contenue dans le fichier candata.rat, sous le nom de canusxsr. Cette série commence au mois de janvier 1960 et finit au mois de mars L import des données dans RATS se fait à l aide des commandes suivantes : calendar all 90:03 open data candata.rat data(format=rats) / canusxsr Le graphe de cette série présenté sur la Figure 1.1 est obtenu à l aide de la commande suivante : 21

22 22 CHAPTER 3. EXEMPLE D ANALYSE SOUS RATS Figure 3.1: Taux de change mensuel Canadian Dollar / US Dollar, de janvier 1960 à mars 1990 (série canusxsr). graph(header="taux de change Canadian Dollar / US Dollar",key=lol) # canusxsr 3.1 Analyse temporelle On propose dans ce paragraphe, d effectuer quelques rappels sur l analyse temporelle d une série chronologique, et de présenter les instructions RATS permettant de mettre en oeuvre cette analyse. Le logiciel RATS permet d obtenir l autocovariance empirique, l ACF empirique et la PACF empirique à l aide de la même instruction correlate. Cette instruction s utilise de la manière suivante : correlate(options) série début fin acfsérie où acfsérie est le nom que l on donne à la série des autocorrélations ou des autocovariances. L option covariances permet d obtenir l autocovariance au lieu de l ACF (par défaut nocovariances) et l option partial= permet d obtenir la PACF. De plus, l option par défaut print affiche les séries en sortie et l option number permet de fixer le nombre maximum de retards. Par exemple, on s intéresse à nouveau à la série canusxsr. Plus particulièrement, on s intéresse à la série des rendements de cette série, définie par R t = log(x t ) log(x t 1 ), où X t est la valeur de la série du taux de change au temps t. Ce type de transformation est classique dans l analyse des séries financières. On obtient et on trace cette série (voir Figure 1.3), que l on appelle ret, à l aide des commandes suivantes : set ret = log(canusxsr)-log(canusxsr{1}) graph # ret On obtient les 10 premières valeurs de l ACF et la PACF de la série des rendements à l aide de la commande suivante :

23 3.1. ANALYSE TEMPORELLE 23 Figure 3.2: Rendements de la série du taux de change mensuel Canadian Dollar / US Dollar, de janvier 1960 à mars 1990 (série ret). Figure 3.3: ACF empirique de la série des rendements mensuels du taux de change Canadian Dollar / US Dollar. corr(number=10,partial=retpacf) ret / retacf Les résultats suivants s affichent alors sur la fenêtre d output : Correlations of Series RET Monthly Data From 1960:02 To 1990:03 Autocorrelations 1: : Partial Autocorrelations 1: : On peut tracer l ACF empirique de la série ret, pour un retard maximum de k = 100, de la manière suivante (voir Figure 1.4) : corr(noprint,number=100) ret / retacf graph(nodates,style=bar,header="acf") # retacf Dans le Chapitre 2, nous verrons que l instruction correlate permet également de tester la nullité de l ACF et de la PACF aux différents retards et de tester la non corrélation d une série à l aide du test "Portmanteau" de Ljung-Box. Les quatre premiers moments de la série sont renvoyés par l instruction statistics, qui permet ainsi de calculer le skewness (%skewness) et la kurtosis (%kurtosis), respectivement définis par : T 2 m 3 Sk = (T 1)(T 2) s, (3.1) 3 et Ku = T 2 (T + 1)m 4 3(T 1)m 2 2, (3.2) (T 1)(T 2)(T 3) s 4

24 24 CHAPTER 3. EXEMPLE D ANALYSE SOUS RATS où s est l écart-type empirique non biaisé tel que : s 2 = 1 (T 1) et le moment d ordre k, m k, est défini par : T (X t X) 2, (3.3) t=1 m k = 1 T T (X t X) k. (3.4) t=1 On note que la valeur de la variance empirique s 2 est légérement différente de la valeur de l autocovariance empirique au retard k = 0 donnée par l équation (1.3), car le dénominateur est différent ((T 1) pour la variance empirique et T pour la covariance empirique). 3.2 Analyse spectrale Dans ce paragraphe, on effectue quelques rappels sur l analyse spectrale d un processus stationnaire et on présente en détail les instructions RATS correspondantes. RATS permet d estimer la densité spectrale d un processus à l aide de la procédure spectrum, contenue dans le fichier SPECTRUM.SRC fourni par Estima. Pour pouvoir utiliser cette procédure, il est donc nécessaire d importer cette procédure dans la session RATS, à l aide de l instruction source. Cette procédure s utilise de la manière suivante série début fin Cette procédure utilise la méthode du périodogramme lissé, qu on se propose de détailler maintenant. Le principal outil d analyse dont on dispose pour estimer empiriquement la densité spectrale théorique du processus est le périodogramme I T, défini sur l intervalle [0, 2π[ par: I T (λ) = 1 2πT T 2 e iλt X t, (3.5) En général, on considère des processus centrés pour lesquels la moyenne empirique est nulle. On note que, dans la pratique, les fréquences λ sur l intervalle [0, 2π[ sont remplacées par les fréquences de Fourier, λ j, définies, pour j = 0,..., T 1, par : λ j = 2πj/T. t=1

25 3.2. ANALYSE SPECTRALE 25 RATS permet de traiter des séries à valeurs dans le plan complexe, ce qui autorise le calcul du périodogramme, de manière simple, à l aide de la Transformée de Fourier Rapide (Fast Fourier Transform) que l on calcule à l aide de l instruction fft. Par exemple, les commandes suivantes permettent de calculer le périodogramme sur l intervalle [0, π], et les fréquences de Fourier correspondantes, pour les résidus de la série canusxsr, traitée dans le paragraphe précédent, du mois de janvier 1960 au mois de décembre 1989 (voir Figure 1.5). Le graphe de cette série des résidus, notée resids est présentée sur le bas de la Figure 1.2. smpl 60:01 89:12 linreg canusxsr / resids # constant date sta resids com nn = %nobs/2+1 * Calcul des fréquences de Fourier sur [0,2pi[ set freqs 1 %nobs = 2*%pi*(t-1.0)/%nobs * Calcul du périodogramme frequency 1 %nobs rtoc 60:01 89:12 1 # resids # 1 fft 1 cmult(scale=1.0/(2.0*%pi*%nobs)) 1 1 ctor 1 nn 1 # 1 # periodo scatter(sty=lines,header= Periodogramme de la serie:resids ) 1 # freqs periodo 1 nn smpl On note que la valeur du périodogramme pour la fréquence zéro est nulle, car la moyenne empirique des résidus est égale à zéro. De plus, on observe que le périodogramme augmente lorsque les fréquences tendent vers zéro. Ce phénomène a été observé en premier par Granger (1966) et est présent dans de nombreuses séries à caractère économique. Une manière de modéliser ce phénomène est présentée dans le Chapitre 3 de ce document. Les deux principales propriétés du périodogramme en tant qu estimateur de la densité spectrale sont les suivantes : 1. il est asymptotiquement sans biais

26 26 CHAPTER 3. EXEMPLE D ANALYSE SOUS RATS 2. il est non-consistant : lim Cov(I T (λ), I T (λ )) = 0 si λ λ, (3.6) T et lim T V ar(i T (λ)) = { f 2 (λ) 2f 2 (λ) si λ [0, 2π[ {0, π}, si λ {0, π}. (3.7) Il importe donc de chercher à améliorer les performances du périodogramme en tant qu estimateur de la densité spectrale. Nous présentons rapidement deux techniques classiquement utilisées dans l analyse spectrale des séries chronologiques afin d améliorer cette estimation : la méthode de l effilage des données (dite du "tapering") et l utilisation d un périodogramme lissé. L instruction spectrum permet d utiliser en option ces deux techniques. La méthode de l effilage des données permet d améliorer la précision du périodogramme dans l estimation de la densité spectrale, en particulier, cette méthode permet de réduire le "leakage effect", que l on peut traduire en français par l effet de perte. Cet effet intervient lorsque la densité spectrale possède un ou plusieurs pics. A ce moment-là, les autres valeurs estimées de la densité spectrale sont surélevées par rapport à leurs vraies valeurs. La méthode de l effilage des données se fait à l aide d une transformation préliminaire sur les données. On remplace alors l échantillon initial X 1,..., X T par l échantillon effilé suivant : h 1 X 1,..., h T X T, où (h t ) t=1,...,t est une suite convenable de constantes. RATS propose deux suites (h t ) t=1,...,t différentes : une suite dite trapézoidale, qui vaut 1 pour la partie centrale de la série et décroît linéairement vers zéro pour les m premières et dernières valeurs de la série, et une suite dite de cloche en cosinus ("cosine bell"), respectivement définies de la manière suivante : Suite Trapézoidale : t/m si 1 t m, h(t) = 1 si m + 1 t T m, (T t + 1)/m) si T m + 1 t T, (3.8) Suite en Cosinus : 0.5(1 cos(πt/m)) si 1 t m, h(t) = 1 si m + 1 t T m, 0.5(1 cos(π(t t + 1)/m)) si T m + 1 t T, (3.9)

27 3.2. ANALYSE SPECTRALE 27 Figure 3.4: Périodogramme lissé de la série des résidus resids. Le paramètre m tel que 1 m T permet de contrôler la proportion de la série sur laquelle on effectue la transformation. Lorsqu on utilise l instruction spectrum, l option taper=trapezoidal permet d utiliser une suite trapézoidale et l option taper=cosine permet d utiliser une suite en cosinus. L option par défaut taper=cosine n effile pas les données. L option permet wtaper permet de donner une valeur au paramètre m, en tant que fraction de la taille d échantillon T. Par défaut, cette valeur est de Une expression du périodogramme effilé est alors donnée par l équation suivante: I tap T (λ) = 1 2π T 2 T e iλt h t X t. (3.10) t=1 h2 t t=1 Le périodogramme lissé, que l on note f L (λ), correspond à moyenne mobile centrée pondérée du périodogramme. f L (λ) est donné par l équation suivante: f L (λ j ) = 1 2π (m 1) h= (m 1) W T (h)i T (λ j+h ), (3.11) où I T (λ j ) est le périodogramme pour la fréquence de Fourier λ j, et où m est un entier positif ou nul qui contrôle la longueur de la moyenne mobile. Lorsque m = 1, on remarque alors que le périodogramme lissé est le périodogramme brut. Pour cette moyenne mobile, il existe de nombreuses suites de poids (W T (h)) h, proposées par des statisticiens célèbres (Bartlett, Parzen, Blackman-Tukey, Daniell,...) et on renvoie au chapitre 6 du livre de Priestley (1981) pour une discussion approfondie sur ce sujet. La procédure spectrum propose deux suites de poids différentes, pour h = m+1,..., 1, 0, 1,..., m 1. L option par défaut window=flat utilise la suite définie par : et l option window=tent utilise la suite définie par : W T (h) = 1, (3.12) W T (h) = T h. (3.13) RATS standardise automatiquement ces poids, de manière à ce que la somme soit égale à 1. L instruction spectrum contrôle le lissage par l intermédiaire de l option width. La valeur de l entier, obligatoirement impair, affectée à width permet de contrôler la longueur de la

28 28 CHAPTER 3. EXEMPLE D ANALYSE SOUS RATS moyenne mobile utilisée, de la manière suivante : m = (width + 1)/2. Ainsi, si width=1, alors m = 1, et le périodogramme lissé est le périodogramme brut. L option width=0.75 T 1/2, est l option par défaut dans l instruction spectrum. Enfin, il est important de noter que l instruction spectrum ne renvoie pas la valeur exacte du périodogramme calculé, mais son logarithme. La commande suivante permet d obtenir et de tracer un estimateur de la densité spectrale de la série resids (voir Log-periodogramme lisse de la serie:resids ) resids 60:01 89: Filtrage A l image de la série du taux de change précédente, de nombreuses séries chronologiques, en économie et en finance possédent une tendance, croissante ou décroissante. La série est alors non stationnaire (voir chapitre suivant pour les différents types de non stationnarité). Il est souvent utile de retrancher cette tendance de long terme qui peut masquer certains effets conjoncturels, en particulier cycliques. L économétrie fourmille de méthodes de décomposition tendance-cycle, de type Hodrick-prescott, Beveridge-Nelson, Baxter-King,... En pratique, il est relativement difficile de savoir quelle est la bonne méthode à utiliser, chacune ayant des défauts et des qualités (voir Gay et Saint-Amand, 1997). Le filtre HP permet de décomposer une série (X t ) en deux composantes orthogonales, la tendance (T t ) et le cycle (C t ). La méthode consiste à minimiser la variance cyclique pénalisée, ie : ˆT t = arg min t (X t T t ) 2 + λ t {(T t+1 T t ) (T t T t 1 )} 2 (3.14) La paramètre λ permet de régler l importance raltive des deux termes à minimiser. Au plus λ est élevé, au plus la composante tendancielle est lisse. Lorsque λ tend vers l infini, la tendance approche une droite linéaire. Pour des données trimestrielles, il généralement conseillé de prendre λ = Une estimation du cycle (appelé cycle de croissance) est donnée par Ĉt = X t ˆT t. Avec RATS, un filtrage HP est obtenu à l aide la De même, un filtrage Baxter-King est obtenu à l aide la Une approche triviale peut être de considérer que cette tendance est linéaire. D un point de vue technique, il suffit d effectuer une régression linéaire sur la tendance. D une manière

29 3.3. FILTRAGE 29 générale, avec RATS, l opération de régression linéaire sur des variables exogènes se fait à l aide de l instruction linreg. Les commandes suivantes permettent d ajuster une droite à la série canusxsr et d obtenir la série estimée (canusxsrhat) et les résidus (resids). set date = t linreg canusxsr / resids # constant date prj canusxsrhat En sortie, on obtient les résultats suivants sur la régression effectuée : Linear Regression - Estimation by Least Squares Dependent Variable CANUSXSR Monthly Data From 1960:01 To 1990:03 Usable Observations 363 Degrees of Freedom 361 Centered R** R Bar ** Uncentered R** T x R** Mean of Dependent Variable Std Error of Dependent Variable Standard Error of Estimate Sum of Squared Residuals Regression F(1,361) Significance Level of F Durbin-Watson Statistic Variable Coeff Std Error T-Stat Signif *************************************************************** 1. Constant DATE On observe que les paramètres estimés sont significativement différent de zéro, même avec un risque de première espèce extrêmement faible. En particulier, la pente de la droite de régression est non-nulle. L instruction linreg possède différentes options, permettant par exemple d obtenir la matrice de variance-covariance des estimateurs (option vcv) ou d omettre certaines valeurs de la régression (option smpl). On se référe au manuel fourni par Estima (Doan, 1992) pour un descriptif complet de ces options. On peut alors tracer la série canusxsr, la droite de régression et les résidus obtenus, à l aide des commandes suivantes : spgraph(vfields=2)

30 30 CHAPTER 3. EXEMPLE D ANALYSE SOUS RATS Figure 3.5: Série canusxsr et la tendance linéaire ajustée et la série des résidus. graph(header= Serie canusxsr ) 2 # canusxsr # canusxsrhat graph(header= Residus ) # resids spgraph(done) Notons que l instruction linreg permet d accéder à plusieurs renseignements relatifs à l opération de régression. Ces valeurs (vecteurs et scalaires) sont présentées en page du guide fourni par Estima. Par exemple, on obtient le vecteur des coefficients par la commande %beta, le R 2 par %rsquared et la somme des carrés des résidus par %rss.

31 Figure 4.1: Evolution de l indice CAC40 et des ses rendement journaliers de deécembre 1987 à décembre 2008 Chapter 4 Faits stylisés des séries financières De nombreuses études empiriques ont souligné que la plupart des séries chronologiques à caractère financier ont tendance à exhiber des comportements statistiques caractéristiques. On se propose de lister ces faits stylisés, dont certains pourront être pris en compte par les processus de type ARCH. 4.1 Non stationnarité La plupart des séries de prix d actifs financiers présente une non stationnarité en tendance, i.e. l espérance du processus sous-jacent n est pas constante au cours du temps. En particulier, les tests de racine unitaire classiques (Dickey-Fuller, Phillips-Perron, KPSS,...) montrent que l hypothèse nulle de non stationnarité de la série est acceptée la plupart du temps. Par conséquent, afin de stationnariser la série, l étude est menée sur les taux de croissance ou les log-rendements de la série. Ainsi, si on observe une série (X t ) t=1,...,t, la série des taux de croissance est donnée pour tout t par Y t = (X t X t 1 )/X t 1 et la série des log-rendements est donnée pour tout t par R t = log(x t ) log(x t 1 ). Comme R t = log(1 + Y t ), les deux expressions sont semblables pour des petites variations. Un des avantages des log-rendements est que le log-rendement calculé sur plusieurs périodes consécutives est la somme des log-rendements calculés sur chacune des périodes. C est cette série des log-rendements que l on considère dans la suite de cette partie. 4.2 Non Normalité Lorsqu on estime la distribution non conditionnelle d une série financière (soit par un histogramme, soit par un estimateur non paramétrique à noyaux), on observe que la 31

32 32 CHAPTER 4. FAITS STYLISÉS DES SÉRIES FINANCIÈRES distribution empirique possède des queues de distribution plus épaisses que celles de la loi Normale. Cela est du à une fréquence plus élevée que ce qu on pouvait attendre d évènements exceptionnels. Une mesure de l épaisseur des queues est fournie par la kurtosis (un estimateur des moments d ordre 4) qui est systématiquement supérieure à celle de la loi Normale (égale à 3). De plus, la dsitribution de nombreux actifs financiers, en particulier les prix d actions, n est pas symétrique. En effet, le moment d ordre 3 de la distribution non conditionnelle mesuré par le skewness est souvent négatif. Cela signifie que la queue gauche de la distribution est plus épaisse que la queue droite, i.e. les forts rendements négatifs ont tendance à se produire plus souvent que les forts rendements positifs. Ainsi, la plupart des tests statistiques d adéquation (Jarque-Bera, Chi-2, Kolmogorov-Smirnov,...) rejettent l hypothèse nulle de Gaussianité de la distribution non conditionnele, même avec un très faible risque de première espèce. Or, cette hypothèse de Normalité est nécessaire pour de nombreux modèles en finance tels que le CAPM ou le modèle de Black et Scholes. 4.3 Non constance de la variance On observe que la variance des séries subit une évolution au cours au cours du temps, en particulier sous l effet de chocs exogènes tels que les crises financières. Ce fait empirique avéré remet alors en cause l hypothèse d homoscédasticité (variance constante), que l on utilise classiquement lors d une modélisation de série chronologique, en particulier dans le cas des processus de type ARMA. Il semble donc nécessaire de proposer des modèles prenant en compte cette hétéroscédasticité. 4.4 Agrégats de volatilité Non seulement les séries financières ne présentent pas une variance constante au cours du temps, mais on s aperçoit également que cette variance évolue également de manière caractéristique. En effet, les séries financières présentent des successions de phases de relative tranquillité et de phases de forte volatilité. On dit également que les séries présentent des agrégats de volatilité (volatility clustering). 4.5 Effet de levier On observe une corrélation négative entre les variations des prix d actifs et les variations de la volatilité. Toutefois, il existe une asymétrie sur les marchés dans la mesure où cette corrélation varie en intensité selon le sens de la variation des prix. En effet, on observe que la volatilité augmente fortement lorsque les prix baissent fortement (par exemple dans le cas d une mauvaise nouvelle économique ou sur la santé financière des entreprises ou dans