Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Exercice 4. Kooli Mohamed Hechmi. Trigonométrie

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1 Exercice 1 Trigonométrie 3 ème Mathématiques Pour chacune des questions suivantes une et une seule réponse est exacte. 1) Pour tout de R le réel 3 # est égale à : a) b) c) d) 2) Pour tout de R le réel est égale à : a) b) c) d) 3) Soit un élément de R le réel 2# )* 2# est égale à : a) 2 b) 1 c) 2 d) 14) Soit et deux éléments de R. Le réel # est égale à : a) b) a c) 5) Soit un réel, 0 tel que ( alors # est égale à : a) 6) Dans la figure ci-contre,,!, "!# est un repère orthonormé direct b) A c) A Les coordonnées polaires de $ sont : a) 2, b) 2, c) 2, d) 2, Exercice 2 Sans utiliser une calculatrice calculer les expressions suivantes ' ( )* 8 3 )* 8 5 )* 8 )* ( / ( ( )* 5 )* 7 14 )* 12 )* Exercice 3 Soit un réel, montrer les identités suivantes : 3 Exercice 4 3 ( 2 ; * C ( 5 ( 1 ( tan 2 5 ; D 4 ( ) Soit R\ 56 ; 6 78 a) Montrer que : tan ( ;<= >?@= >

2 b) Montrer que : tan ( ;<= E F?@= E > 2) En déduire que tan G tan A ( 6 on remarquera que G Exercice 5 On pose ' ( )* G )* G )* 1) a) Calculer ' - b) Calculer ' - 2) En déduire ' et - Exercice 6 Pour tout réel on pose : '# ( 3)* )* H 5 12 I )* H 5 12 I -# ( 3 H 5 12 I H 5 12 I A G 2 et - ( G G A A G A G ( G 0# ( 3 2 H2 5 6 I H2 5 6 I 1) Justifier les égalités suivantes : a) '# -# ( 2 3 b) '# -# ( 0# 2) a) Montrer que pour tout réel : 0# ( 0 b) En déduire les valeurs de '# et -# 3) En calculant ' de deux manières, trouver la valeur exacte de Exercice 7 Dans la figure ci-contre on a tracer un cercle / de centre et de rayon 6 et un cercle / de centre et de rayon 3, le point ' / et le point - / 1) a) Donner les coordonnées polaires des points ' et -. b) En déduire les coordonnées cartésiens des points ' et -. 2) Placer le point /K0, 3 2L. 3) a) Montrer que '#//-/#. b) Montrer que '# N -#. c) En déduire que '/- est trapèze rectangle. Exercice 8 1) Montrer que R ; 2 2) )* ( 2 # 2) Résoudre alors dans l intervalle P0, 2R l équation : 2 2)* ( 0

3 Exercice 9 Dans le plan muni d un repère orthonormé direct,!, "! # on donne les points ' et - de coordonnées polaires respectives 2, et 2, S 1) a) Placer les points ' et - b) Calculer ' TTTTT! U, - TTTTT! c) En déduire que le triangle '- est isocèle rectangle en 2) Donner les cordonnées cartésiennes de ' et - 3) Soit le point / tel que / TTTTT! = ' TTTTT! + - TTTTT! a) Montrer que -/' est un carré U A b) Montrer que!, / TTTTT! P2R c) Donner les cordonnées cartésiennes de / 4) En déduire A ; Exercice 10 ; W ; ; A ; ; W ; Dans le plan muni d un repère orthonormé direct,!, "! # on donne les points ' et - de coordonnées polaires respectives 4, et 4, 1) a) Montrer que le triangle '- est isocèle b) Placer dans le repère,!, "! # les points ' et - c) Montrer que ' TTTTT! U, - TTTTT! P2R 2) a) Calculer les coordonnées cartésiennes des points ' et - b) En déduire que = SX Exercice 11 et = SY Dans le plan muni d un repère orthonormé direct,!, "! # on donne le point $ de coordonnées K2 3, 2L 1) Donner les coordonnées polaires de $ dans le repère,!, "! # 2) On considère le point Z tel que Z = $ et $ TTTTTT! U, Z TTTTTT! P2R Déterminer les coordonnées polaires de Z dans le repère,!, "! # 3) a) En utilisant les formules d addition, calculer b) En déduire les coordonnées cartésiennes de Z dans,!, "! # et 4) Calculer la distance $Z et une valeur approchée à 10 Y par défaut de $ TTTTTT! U, $Z TTTTTTT! Exercice 12 Dans le plan muni d un repère orthonormé direct,!, "! # on donne les points : 'K3 3, 3L ; -K3 3, 3L et /K4 3, 0L

4 1) a) Calculer /' TTTTT!. /- TTTTT! et \édk/' TTTTT!, /- TTTTT!L. En déduire /' TTTTT! U, /- TTTTT! et /' TTTTT! U, /- TTTTT!. b) Déterminer alors la mesure principale de l angle orienté K/' TTTTT!, /- TTTTT!L 2) a) Préciser les coordonnées polaires de A et - b) Placer alors les points A, - et / c) Donner la mesure principale de l angle orienté K' TTTTT!, - TTTTT!L 3) a) Justifier alors que les points, ', - et / appartiennent à un même cercle. b) Tracer le cercle passant les points, ', - et / en précisant les coordonnées de son centre. Exercice 13 1) a) Résoudre dans R puis dans ^, ` l équation : = 1 b) Résoudre dans R l équation : 1 2 = 2 2) Résoudre l inéquation : > a) dans R b) dans P0, 2R c) dans P, R 3) Soit b la fonction définie par : b# = 3# 2 1#. Déterminer le signe de b# sur P0, R. Exercice 14 1) Résoudre dans R l équation : 2# 2# = 2) Résoudre dans P0, 2R l équation : 2# + 2 = 1 3) Résoudre dans R l inéquation : 2 3 4) Résoudre dans P, 2R l inéquation : 2 3 5) Résoudre dans P, R l inéquation : Exercice 15 1) Résoudre l inéquation : 2 1?@= > Yef? > > 0 a) dans R b) dans P0, 2R c) dans P, R 2) Résoudre dans R puis dans P0, 2R l équation : 3 = 1 3) Résoudre dans P, 2R l équation : 2 2 = 3 4) Soit b la fonction définie par : b# = # a) Résoudre dans P0, R l équation b# = 0 b) Déterminer le signe de b# sur P0, R Exercice 16 Soit la fonction b# = ) Calculer b ; b ; b ; b ; b A 2) Montrer que : R ; b + # = b# 3) a) Montrer que : R ; b# = S

5 b) Montrer que : R ; b# = c) Calculer b0# et en déduire la valeur exacte de 4) a) Résoudre dans R l équation : = 2 S b) Résoudre dans IR l inéquation : S Exercice 17 1) Montrer que R ; 2 2 = 2 + 2) Résoudre dans R l équation : 2 2 = 0