1 Calcul de dérivées et mise sous forme exploitable

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1 Faculté des Sciences de TOURS Préparation à l Agrégation ANALYSE Mini-cours de calcul différentiel par l exercice 1 Calcul de dérivées et mise sous forme exploitable Le problème du calcul différentiel c est moins de savoir si une fonction est différentiable (ou dérivable) car il existe des théorèmes simples pour vérifier cette propriété que de savoir calculer la dérivée et surtout d être capable de la mettre sous une forme exploitable. Car calculer une dérivée n est pas un but en soi, ce n est qu une étape qui peut être suivie d une (ou de plusieurs) autre(s) où la manipulation de la dérivée sera nécessaire. Il est donc important de maîtriser le sens de la dérivée [ici la difficulté est algébrique] voire de décider sous quelle forme on l appréhende. La première définition de la dérivabilité d une fonction f : O R p, où O est un ouvert de R n, en un point x O est la suivante : f est dérivable en O s il existe une application linéaire L : R n R p telle que : f(x + h) = f(x ) + L(h) + o(h), où, si désigne une norme sur R n, o(h) est une quantité telle que o(h)/ h quand h. Outre le côté un peu austère de cette définition, plusieurs remarques en découle : Cette définition est un développement limité de f au voisinage de x. Alors pourquoi ne pas calculer L de cette manière quand cela s y prête? Le fait que L soit une application linéaire suggère que l on peut soit utiliser L tel quel (approche intrinsèque où l on ne choisit pas de bases), soit choisir des bases de R n et R p [en général les bases canoniques de ces espaces] et considérer la matrice de L dans ces bases (en toute rigueur, il faut alors remplacer x, h par X, H les matrices colonnes de leurs coordonnées). Une dernière possibilité, dans le cas où p = 1 est d utiliser le théorème de représentation qui nous dit qu il existe a R n tel que L(h) = a, h si, est un produit scalaire sur R n. Ces deux remarques conduisent aux deux méthodes directes de calcul de la différentielles : soit via un développement limité que le lecteur pourra tester sur les exemples : (i) x R N 1 2 Ax, x b, x où A est une matrice N N et b RN, (ii) M GL N (R) M 1, Pour l exercice (i), il est important de bien déterminer l application linéaire L notée f (x ) dans la suite, la matrice jacobienne Df(x ) et le gradient f(x ), c est-à-dire le vecteur a ci-dessus et de bien sentir la différence entre ces objets.

2 Le calcul des dérivées partielles, donc de la matrice de l application linéaire L (dite matrice jacobienne), est plus classique et nous ne proposons pas d exemple d exercice sauf dans le cadre de la troisième méthode, qui est l utilisation du théorème de composition que l on pourra tester sur les exemples : (iii) x R 2 (x) h 1 (x) classe C 1. f(x, t)dt si h 1, h 2 : R R et f : R 2 R sont des fonctions de (iv) Si f : R 2 R est une fonction dérivable, calculer les dérivées partielles de l application g : R 2 R définie par : g(r, θ) = f(r cos(θ), r sin(θ)). On pourra soit calculer directement les dérivées partielles soit repasser par les matrices jacobiennes. Il est à noter que, pour la dérivée seconde, on peut procéder de même, en privilégiant quand c est possible l utilisation des dérivées partielles. Ce qui n exclut pas de mettre la matrice (symétrique) : ( D 2 2 ) f f(x) :=, x i x j sous une forme utilisable. Exemple d utilisation : (v) Soit f : R R une fonction de classe C 2, croissante et convexe. On note x 2 = ni=1 x 2 i. Montrer que la fonction g : R n R définie par : i,j g(x) = f( x 2 ), est convexe, i.e. D 2 g(x)h, h pour tout x, h R n. Il est néanmoins des exemples où le dévellopement limité semble nécessaire : (vi) Si S + est l ouvert convexe 1 des matrices n n symétriques définies positives, prouver que l application ψde S + R n dans R définie par : est convexe. ψ(m, p) = M 1 p, p 2 Le théorème des Accroissements Finis (TAF) La première difficulté du TAF est de bien comprendre ce qu est une norme d application linéaire. Une première étape (simple) est de remarquer que si L : R n R p est une application linéaire et si,, sont des normes sur R n et R p respectivement alors il existe une constante C telle que : 1. on pourra démontrer cette affirmation L(x) C x pour tout x R n.

3 La preuve de cette inégalité est simple en écrivant x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n où les e i sont les vecteurs de la base canonique de R n et les x i sont les coordonnées de x dans cette base. Alors, grâce à la linéarité de L et l inégalité triangulaire : L(x) = x 1 L(e 1 ) + x 2 L(e 2 ) + + x n L(e n ) x 1. L(e 1 ) + x 2. L(e 2 ) + + x n. L(e n ) x ( L(e 1 ) + L(e 2 ) + + L(e n ) ) puisque x = max i ( x i ). Donc quand est la norme infinie, l inégalité est réalisée pour C = L(e 1 ) + L(e 2 ) + + L(e n ). Dans les autres cas, on utilise l équivalence des normes. On peut alors introduire : L(x) L := sup x x qui est une norme d application linéaire (exo?). Il est à noter que, dans l utilisation du TAF, et même si l énoncé fait souvent référence à cette norme, on n a besoin dans 99% des cas que de l inégalité obtenue ci-dessus (de manière assez simple?) sans avoir à manipuler (et surtout sans avoir à calculer des normes ). Mais nous introduisons cette notion pour nous simplifier la vie (!) puisque nous nous restreindrons ici au cas des fonctions de classe C 1, i.e. des fonctions dérivables sur O telles que x f (x) est continu, ce qui signifie que : f (x) f (x ) quand x x, pour tout x O. L avantage quand on suppose que f est de classe C 1 est de pouvoir écrire : f(y) f(x) = d 1 dt [f(ty + (1 t)x)] dt = f (ty + (1 t)x)(y x)dt. Évidemment ceci présuppose que tous les points de la forme ty + (1 t)x pour t [, 1] (qui est, par définition, l intervalle [x, y]) sont dans O : c est l hypothèse géométrique du TAF. Il en résulte ensuite, par l inégalité triangulaire, que : f(y) f(x) f (ty + (1 t)x)(y x) dt. Si on sait que f (z) M pour tout z [x, y] ou f (z)(h) M. h pour tous z [x, y] et h R n alors : f(y) f(x) M y x. Il faut réinsister sur le fait que dans 99% des cas, seule l inégalité banale f (z)(h) M. h est utile. On n a donc pas besoin d avoir un recours fin à la norme d application linéaire. Quelques exercices d applications : (i) Soit f : R n R définie par : f(x) = exp( x 2 ),,

4 où x 2 = n i=1 x 2 i. Démontrer que, pour tous x, y R n : f(x) f(y) C x y, pour une certaine constante C. Déterminer la meilleure constante C possible. (ii) En utilisant la fonction g(x) = x et le théorème des accroissements finis, redémontrer la deuxième inégalité triangulaire pour la norme euclidienne standard. (iii) Soit f : R n \ {} R une fonction dérivable. On suppose que f se prolonge par continuité en et on note f ce prolongement. Montrer que, si l on a de plus : lim f (x) = L, x alors f est dérivable en et f () = L. Application? (iv) Soit Ω un ouvert connexe par arc de R N et f : Ω R p une fonction de classe C 1. Si x, y Ω et si γ : [, 1] Ω est un chemin tel que γ() = x et γ(1) = y, prouver que : f(x) f(y) où l(γ) est la longueur du chemin γ, i.e. γ(t) dt. sup f (z).l(γ), z γ([,1]) (v) [Plus délicat] Soit f : O R n R n une fonction de classe C 1 et x O un point où f ( x) [application linéaire de R n dans R n ] est inversible. On introduit la fonction T : O R n définie par : T (x) = x [f ( x)] 1 f(x). On suppose d abord que f( x) =. Prouver qu il existe r > tel que, si x x < r, la suite définie par la relation de récurrence x k+1 = T (x k ), converge vers x. Estimer précisément x k x. Maintenant, on veut plus supposer que f( x) =. Prouver que s il existe r, M >, < b < 1 tels que, pour tous x, y B(x, r), on ait : [f (x)] 1 M, f (x) f (y) b M et f( x) < r(1 b)/m, alors l équation f(x) = a une solution unique dans B(x, r). Application? 3 Formule de Taylor et applications La meilleure façon d appréhender la formule de Taylor est sans doute sous sa forme avec reste intégral. Dans R, on écrit le théorème fondamental de l Analyse : f(x + h) = f(x) + f (x + t)dt,

5 puis on intègre par parties. Par exemple, si f est de classe C 2, on écrit f (x+t) = 1.f (x+t), on intègre le 1 en (t a) où a est une constante d intégration et on dérive f (x + t), ce qui donne : f(x + h) = f(x) + (h a)f (x + h) + af (x) (t a)f (x + t)dt. Comme on ne veut pas qu il apparaisse de dérivées au point x + h, le bon choix est a = h, ce qui donne : f(x + h) = f(x) + f (x)h (t h)f (x + t)dt. Pour obtenir la formule de Taylor à l ordre 2, on fait apparaître f (x) dans l intégrale : (t h)f (x + t)dt = (t h)(f (x + t) f (x))dt (t h)f (x)dt, ce qui conduit en calculant la derniere intégrale à l expression bien connue : f(x + h) = f(x) + f (x)h f (x)h 2 (t h)(f (x + t) f (x))dt. L intérêt de cette formule de Taylor est (évidemment) que l on a explicitement le reste sous forme d une intégrale facile à estimer. Dans R n, rien ne change : on utilise simplement l idée mise en place ci-dessus dans le cadre du TAF en considérant la fonction t f(x + th) où x O, h R n (suffisamment petit) et t [, 1] ce qui donne : f(x + h) f(x) = f (x + th)hdt. L intégration par partie se fait de manière analogue puisqu on a affaire à une fonction de la variable réelle t. Exo : le faire! Applications : (i) Soit f : O R une fonction de classe C 2 et x O un point de minimum local de f. Prouver que f (x ) = [ou Df(x ) = ou f(x ) = ] et que D 2 f(x ). Puis prouver réciproquement que si x est un point de O où f (x ) = et D 2 f(x ) ηid pour un certain η > alors x O un point de minimum local de f. (ii) Soit f : R R une fonction de classe C. Montrer que, pour tout x R, h > : f(x + h) + f(x h) 2f(x) Ch 2 M(x, h), où C est une constante à expliciter et M(x, h) = sup [x h,x+h] f (2) (t). (iii) Soit f : R n R une fonction de classe C 2. On suppose que f, f, D 2 f sont bornés sur R n et on pose : M := sup x R n f(x), M 1 := sup x R n f(x), M 2 := sup x R n D 2 f(x), où la norme est celle de la matrice en tant qu application linéaire. Prouver que : M 2 1 4M.M 2.

6 4 Théorème des fonctions implicites Le but de ce théorème est de prouver que, sous certaines conditions et localement, l ensemble des points où : F (x, y) =, peut s écrire sous la forme plus explicite : Mais comment retenir les conditions? y = f(x). La fonction F doit être suffisamment régulière, i.e. de classe C 1. C est une condition naturelle car on va vouloir dériver. Ensuite on écrit que, si c est le cas : F (x, f(x)) =. Et on dérive : D x F (x, f(x)) + D y F (x, f(x)).df(x) =. C est un bon exercice de se convaincre du bien fondé de cette égalité et du bon ordre des termes car les "matrices" D y F (x, f(x)) et Df(x) ne commutent pas. Deux manières : composer F et x (x, f(x) en calculant les matrices jacobiennes (leurs formes) ou faire un DL! Ensuite si on veut avoir Df(x), il faut pouvoir résoudre et donc écrire : Df(x) = [D y F (x, f(x))] 1.D x F (x, f(x)). Pour cela, il est mieux en général que D y F (x, f(x)) soit inversible... Pratique : (i) Faire un développement limité pour a proche de de la solution x(a) [proche de 1] de l équation : xe ax = 1. On calculera les premiers termes puis on expliquera comme obtenir les autres. (ii) Étudier les solutions de l équation : pour p proche de. x 3 + px + 1 = Un exercice pour les wizards : inf-convolution. Soit u : R n R une fonction de classe C 2. On suppose que u, Du et D 2 u sont bornés sur R n. On pose : x y 2 u ε (x) = inf y Rn{ u(y) + }. ε 2 Le but est de montrer que u ε est de classe C 2 pour ε assez petit et on pourra proceder comme suit : (i) Étudier le problème d optimisation pour x fixé (on pourra se rapporter au mini-cours d optimisation) : montrer que l infimum est atteint en un seul point y(x) si ε est assez petit. (ii) Utiliser le théorème des fonctions implicites pour prouver que x y(x) est de classe C 1 (la première question à se poser est : quelle équation satisfait y(x)?). (iii) En déduire le résultat.

7 5 Une incursion vers les formes différentielles Le but de cette section est de discuter la question suivante : si g = (g 1,, g n ) est une fonction de classe C 1 sur R n, existe-t-il une fonction f telle que g = f? La réponse est généralement non car, g étant C 1, f est de classe C 2 et le Théorème de Schwartz implique que : 2 f x i x j (x) = 2 f x i x j (x), pour tout x R n et 1 i, j n ce qui donne des conditions nécessaires sur g : pour tout x R n et 1 i, j n. g j x i (x) = g i x j (x), Cet ensemble de conditions nécessaires est-il suffisant? Dans R n (ou dans un ouvert étoilé), la réponse est oui! On choisit arbitrairement le point comme point de base. Si f existe, on devrait avoir : f(x) f() = f(tx), x dt = g(tx), x dt. Et donc on va montrer que cette formule donne effectivement une fonction de classe C 1 [ce qui est clair?] dont le gradient est g. Pour cela, on commence par calculer f x i : f 1 (x) = x i n k=1 g 1 k (tx)tx k dt + g i (tx)dt. x i Puis on utilise la condition nécessaire qui conduit à : f 1 (x) = x i n k=1 g 1 i (tx)tx k dt + g i (tx)dt. x k Enfin on remarque que l intégrande pour les deux intégrales vaut exactement d dt [tg i(tx)]. Ce qui donne le résultat. Exercice : Prouver (sans utiliser le résultat) que, si γ : [, 1] R n est un lacet de classe C 1 alors l intégrale : g(γ(t)), γ (t) dt =. (on pourra penser à une intégration par partie). À quelle autre théorie mathématique cette propriété vous fait-elle penser? NB : Dans cette section, on a manipulé sans le dire la forme différentielle : dω = g 1 (x)dx 1 + g 2 (x)dx 2 + g n (x)dx n et l intégrale de cette forme sur un chemin γ : [a, b] R n : b dω := [g 1 (γ(t))γ 1(t) + g 2 (γ(t))γ 2(t) + g n (γ(t))γ n(t)] dt. γ a