Chapitre 4 : Suites usuelles

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1 Chapitre 4 : Suites usuelles Dans ce chapitre, on s'intéresse aux suites réelles, c'est à dire aux suites à valeur dans R. Ce chapitre est le prolongement de l'étude des suites qui a été initiée au lycée. La notion de limite, rencontrée empiriquement en terminale, est dénie rigoureusement. Table des matières 1 Généralités sur les suites réelles 2 2 Suites usuelles Suites arithmétiques Suites géométriques Suites arithmético-géométriques Suites vériant une relation de récurrence linéaire d'ordre septembre Pierre-Yves Madec - pmadec@hotmail.fr 1

2 1 Généralités sur les suites réelles Une suite réelle est une liste de réels : u 0, u 1, u 2,... u n 1, u n, u n+1,... Dénition (Suite réelle) Une suite est une fonction de N dans R. Elle est souvent notée u ou (u n ) n N. Remarque(s) Puisque u est une fonction, il serait légitime de noter u(n) l'image de n par u (tout comme f(x) est l'image de x par f pour une fonction quelconque... ). Cependant, il est d'usage d'utiliser la formulation plus compacte u n. Méthode (Comment construire des suites?) Il existe deux méthodes : 1. par une relation explicite : u n = f(n), f étant une fonction xée, u 0 = a R, 2. par une relation de récurrence :, f étant une fonction xée. u n+1 = f(u n ), ˆ u n = 3(n + 1) est une suite dénie par une relation explicite, u 0 = 1 ˆ est une suite dénie par une relation de récurrence. u n+1 = 1 1+u n Dénition (Sens de variation (1)) On dit que la suite (u n ) n N est : croissante ssi n N, u n+1 u n strictement croissante ssi n N, u n+1 > u n décroissante ssi n N, u n+1 u n strictement décroissante ssi n N, u n+1 < u n monotone ssi elle est croissante ou décroissante constante ssi n N, u n+1 = u n stationnaire ssi elle est constante à partir d'un certain rang n 0, autrement dit ssi n 0 N, n n 0, u n = u n0. 2

3 Remarque(s) La stricte croissance (resp stricte décroissance) d'une suite est dénie en remplaçant par > (resp par <). Méthode (Comment faire pour étudier le sens de variation d'une suite?(1)) On calcule u n+1 u n, ˆ si u n+1 u n 0 alors u n+1 u n et la suite est croissante, ˆ si u n+1 u n 0 alors u n+1 u n et la suite est décroissante, ˆ si u n+1 u n = 0 alors u n+1 = u n et la suite est constante. Étudier le sens de variation de u n = n Méthode (Comment faire pour étudier le sens de variation d'une suite? (2)) Lorsqu'on travaille avec une suite strictement positive ( n N, u n > 0), on peut calculer u n+1 u n, ˆ si u n+1 u n ˆ si u n+1 u n ˆ si u n+1 u n 1 alors la suite est croissante, 1 alors la suite est décroissante, = 1 alors la suite est constante. Sens de variation de u n = n! 2 n? 3

4 Dénition (Suite majorée, minorée, bornée) On dit que la suite (u n ) n N est ˆ majorée ssi il existe M R, n N, u n M, ˆ minorée ssi il existe m R, n N, u n m, ˆ bornée ssi elle est à la fois majorée et minorée. Montrer que la suite u dénie par n N, u n = n est majorée. Propriété 1 (Caractérisation des suites bornées) Une suite (u n ) n N est bornée si, et seulement si il existe M R, n N, u n M. Montre que la suite u déne par n N, u n = 1 + ( 1)n 2( 1) n est bornée. 4

5 2 Suites usuelles 2.1 Suites arithmétiques Dénition (Suite arithmétique) Une suite (u n ) n N est dite arithmétique de raison r R ssi n N, u n+1 = u n + r. Théorème 2 Soit (u n ) n N une suite arithmétique de raison r alors : n N, u n = u 0 + nr. Plus généralement, p N, n p, u n = u p + (n p)r. 2.2 Suites géométriques Dénition (Suite géométriques) Une suite (u n ) n N est dite géométrique de raison q R ssi n N, u n+1 = qu n. Théorème 3 Soit (u n ) n N une suite géométrique de raison q alors : n N, u n = u 0 q n. Plus généralement, p N, n p, u n = u p q n p. 5

6 2.3 Suites arithmético-géométriques Dénition Une suite (u n ) n N est dite arithmético-géométrique ssi il existe a, b R, a 1, n N, u n+1 = au n + b. Théorème 4 Soit (u n ) n N une suite arithmético-géométrique dénie par : n N, (avec a 1). Soit λ la solution de l'équation λ = aλ + b (donc λ = b 1 a ), alors : u n+1 = au n + b (u n λ) n N est une suite géométrique de raison a. Démonstration. Soit u la suite dénie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = 2u n + 3. Donner l'expression de u n en fonction de n pour n N. 6

7 2.4 Suites vériant une relation de récurrence linéaire d'ordre 2 Dénition (Suite récurrente linéaire d'ordre 2 / Équation caractéristiques ) Une suite est dite récurrente linéaire d'ordre 2 ssi il existe a, b R, n N, u n+2 = au n+1 + bu n. A cette suite, on associe une équation polynomiale de degré 2 : r 2 ar b = 0, appelée équation caractéristique (E.C.) de la suite (u n ). Théorème 5 Soit (u n ) n N une suite dénie par n N, u n+2 = au n+1 + bu n ˆ Si l'équation (E.C.) admet deux solutions r 1 et r 2, alors il existe deux réels λ et µ tels que : n N, u n = λr n 1 + µr n 2. ˆ Si l'équation (E.C.) admet une seule solution r 0, alors il existe deux réels λ et µ tels que : n N, u n = (λ + µn)r n 0. Soit u la suite dénie par u 0 = 1, u 1 = 2 et n N, u n en fonction de n. u n+2 = u n+1 + 2u n. Donner l'expression de 7

8 Fin du chapitre 8