Estimation, Échantillonnage et Tests
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- Arlette Bellefleur
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1 Estimation, Échantillonnage et Tests H. Hocquard HSE Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 1/60
2 Introduction : les 3 grandes lignes Les statistiques peuvent permettre : Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 2/60
3 Introduction : les 3 grandes lignes Les statistiques peuvent permettre : d estimer un paramètre inconnu, Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 2/60
4 Introduction : les 3 grandes lignes Les statistiques peuvent permettre : d estimer un paramètre inconnu, de donner une zone dans laquelle un paramètre, a de grandes chances de se trouver, Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 2/60
5 Introduction : les 3 grandes lignes Les statistiques peuvent permettre : d estimer un paramètre inconnu, de donner une zone dans laquelle un paramètre, a de grandes chances de se trouver, de prendre des décisions. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 2/60
6 Introduction : les 3 grandes lignes Les statistiques peuvent permettre : d estimer un paramètre inconnu, de donner une zone dans laquelle un paramètre, a de grandes chances de se trouver, de prendre des décisions. Chacune de ses questions correspond à une thématique en statistiques. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 2/60
7 Échantillonnage L échantillonnage permet de passer (de la loi connue d un paramètre θ dans une population de taille N ) à une estimée d une quantité θ n fabriquée à partir seulement d une population de taille n plus petite (échantillon). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 3/60
8 Échantillonnage L échantillonnage permet de passer (de la loi connue d un paramètre θ dans une population de taille N ) à une estimée d une quantité θ n fabriquée à partir seulement d une population de taille n plus petite (échantillon). Population mère, effectif N Echantillon, effectif n θ n inconnu θ connu Figure: Principe de l échantillonnage. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 3/60
9 Exemple : échantillonnage Exemple Dans une entreprise qui compte 659 employés, on sait que 0, 03% des employés sont mécontents. On pioche un échantillon de 15 employés. Quel est l ordre de grandeur des employés mécontents dans cet échantillon? Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 4/60
10 Estimation L estimation permet d induire, à partir des résulats observés sur un échantillon, des informations sur la population totale. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 5/60
11 Estimation L estimation permet d induire, à partir des résulats observés sur un échantillon, des informations sur la population totale. Population mère, effectif N Echantillon, effectif n θ connu n θ inconnu Figure: Principe de l estimation. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 5/60
12 Exemple : estimation Exemple Dans un échantillon de 15 employés d une entreprise, 7% s estiment sous pression. Quel est l ordre de grandeur des employés sous pression parmi tout le personnel de l entreprise? Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 6/60
13 Tests statistiques Tests de validité d une hypothèse, prise de décision, contrôle qualité. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 7/60
14 Tests statistiques Tests de validité d une hypothèse, prise de décision, contrôle qualité. Test sur un paramètre. Est-ce qu une moyenne µ est inférieure à une valeur µ 0? Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 7/60
15 Tests statistiques Tests de validité d une hypothèse, prise de décision, contrôle qualité. Test sur un paramètre. Est-ce qu une moyenne µ est inférieure à une valeur µ 0? Test de comparaison. Peut on considérer que la moyenne du chiffre d affaire d entreprises issues d un réseau A, est la même que celle d un réseau B? Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 7/60
16 Tests statistiques Tests de validité d une hypothèse, prise de décision, contrôle qualité. Test sur un paramètre. Est-ce qu une moyenne µ est inférieure à une valeur µ 0? Test de comparaison. Peut on considérer que la moyenne du chiffre d affaire d entreprises issues d un réseau A, est la même que celle d un réseau B? Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 7/60
17 Tests statistiques Tests de validité d une hypothèse, prise de décision, contrôle qualité. Test sur un paramètre. Est-ce qu une moyenne µ est inférieure à une valeur µ 0? Test de comparaison. Peut on considérer que la moyenne du chiffre d affaire d entreprises issues d un réseau A, est la même que celle d un réseau B? Étant donnée une marge d erreur α, on rejettera ou ne rejettera pas une hypothèse au risque α% de se tromper. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 7/60
18 Tests statistiques Tests de validité d une hypothèse, prise de décision, contrôle qualité. Test sur un paramètre. Est-ce qu une moyenne µ est inférieure à une valeur µ 0? Test de comparaison. Peut on considérer que la moyenne du chiffre d affaire d entreprises issues d un réseau A, est la même que celle d un réseau B? Étant donnée une marge d erreur α, on rejettera ou ne rejettera pas une hypothèse au risque α% de se tromper. Remarque On ne dira pas qu on valide une hypothèse mais on dira qu on ne rejette pas une hypothèse. En effet, les théories probabilistes permettent de dire que sous une certaine hypothèse, il n y a pas de contradictions... Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 7/60
19 Exemple : test d un paramètre En vue d aménager les heures de travail du personnel d une entreprise, une étude s est intéressée au temps de sommeil d un échantillon des employés de l entreprise. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 8/60
20 Exemple : test d un paramètre En vue d aménager les heures de travail du personnel d une entreprise, une étude s est intéressée au temps de sommeil d un échantillon des employés de l entreprise. L étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6, 56 h et un écart-type de 1, 35 h. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 8/60
21 Exemple : test d un paramètre En vue d aménager les heures de travail du personnel d une entreprise, une étude s est intéressée au temps de sommeil d un échantillon des employés de l entreprise. L étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6, 56 h et un écart-type de 1, 35 h. Peut-on considérer que le temps de sommeil des employés de cette entreprise est significativement inférieur au temps de sommeil moyen des individus qui est de 7h30? Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 8/60
22 Principe général commun Dans chacun des cas, par les théorèmes probabilistes, on sait que : une quantité θ n converge en loi vers une loi connue (loi normale, loi du χ 2, loi de Student, loi de Fisher, etc...en fonction des situations) Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 9/60
23 Principe général commun Dans chacun des cas, par les théorèmes probabilistes, on sait que : une quantité θ n converge en loi vers une loi connue (loi normale, loi du χ 2, loi de Student, loi de Fisher, etc...en fonction des situations) Par l allure des densités de chacune de ces lois, on sait donc où la variable θ n doit de trouver avec grosse probabilité... Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 9/60
24 Prérequis : lois classiques et convergence en loi Lois limites classiques (que l on obtiendra). Connaître et savoir lire dans les tables les lois suivante : Loi normale N (0; 1) et passage à N (µ; σ), Loi du χ 2, Loi de Student, Loi de Fischer. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 10/60
25 Prérequis : lois classiques et convergence en loi Rappel : convergence en loi. On dit que la suite de v.a (θ n ) n converge en loi vers la loi d une v.a θ si, pour tout intervalle [a; b], on a : lim P(θ n [a; b]) = P(θ [a; b]). n + Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 11/60
26 Prérequis : lois classiques et convergence en loi Rappel : convergence en loi. On dit que la suite de v.a (θ n ) n converge en loi vers la loi d une v.a θ si, pour tout intervalle [a; b], on a : lim P(θ n [a; b]) = P(θ [a; b]). n + Notation : On écrit θ n L θ Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 11/60
27 Prérequis : lois classiques et convergence en loi Rappel : convergence en loi. On dit que la suite de v.a (θ n ) n converge en loi vers la loi d une v.a θ si, pour tout intervalle [a; b], on a : lim P(θ n [a; b]) = P(θ [a; b]). n + Notation : On écrit θ n L θ Exemple Dans le Théorème central limite, on a vu que si les (X i ) i étaient iid et d espérance finie µ et d écart-type σ, alors la variable n σ ( X n µ) convergeait en loi vers une loi N (0; 1). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 11/60
28 Décor, notations valables pour toute la suite du cours Soit un échantillon de taille n. Pour 1 i n, notons X i les valeurs d un paramètre que prennent les n individus de l échantillon. Les X i sont donc des v.a supposées i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées), de moyenne µ et d écart-type σ (connus ou pas). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 12/60
29 La moyenne empirique X n On pose, i=1...n X n = X i n Moyenne empirique des X i. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 13/60
30 Propriétés de X n 1 E( X n ) = µ et Var( X n ) = σ2 n. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 14/60
31 Propriétés de X n 1 E( X n ) = µ et Var( X n ) = σ2 n. (conséquences des propriétés de linéarité de l espérance et de pseudo linéarité de la variance) Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 14/60
32 Propriétés de X n 1 E( X n ) = µ et Var( X n ) = σ2 n. (conséquences des propriétés de linéarité de l espérance et de pseudo linéarité de la variance) 2 lim n X n = µ (Loi des grands nombres) Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 14/60
33 Propriétés de X n 1 E( X n ) = µ et Var( X n ) = σ2 n. (conséquences des propriétés de linéarité de l espérance et de pseudo linéarité de la variance) 2 lim n X n = µ (Loi des grands nombres) 3 n σ ( X n µ) L N (0; 1). (Théorème central limite) Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 14/60
34 Justification de l intérêt de la quantité X n Ainsi, la statistique X n converge (en un certain sens) quand n tend vers l infini vers µ = E(X i ). On dit que c est un estimateur de µ. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 15/60
35 Justification de l intérêt de la quantité X n Ainsi, la statistique X n converge (en un certain sens) quand n tend vers l infini vers µ = E(X i ). On dit que c est un estimateur de µ. On dit qu il est sans biais car, E( X n ) = µ (l espérance de l estimateur est égale à la valeur que l on cherche à estimer). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 15/60
36 Exemple d application Exemple Parmi le personnel d une entreprise, il y a 300 femmes et 600 hommes. On réalise une enquête sur un échantillon de 55 personnes. Donnez une fourchette du nombres d hommes et de femmes de l échantillon, avec proba 0,95. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 16/60
37 Variance empirique Au regard de la définition de la variance et de la loi des grands nombres, il est naturel d introduire : S 2 n = 1 n i=1...n la variance empirique des X i. (X i X n ) 2 = 1 n [ i=1...n X 2 i ] X n 2 Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 17/60
38 Variance empirique Au regard de la définition de la variance et de la loi des grands nombres, il est naturel d introduire : S 2 n = 1 n i=1...n la variance empirique des X i. (X i X n ) 2 = 1 n [ i=1...n X 2 i ] X n 2 Avantage de cet estimateur, on n a pas besoin de connaître l espérance µ. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 17/60
39 Propriétés 1 lim n S 2 n = E(X 2 i ) E(X i ) 2 = σ 2 Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 18/60
40 Propriétés 1 lim n S 2 n = E(X 2 i ) E(X i ) 2 = σ 2 (loi des grands nombres aux X 2 i et X i ) Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 18/60
41 Propriétés 1 2 lim n S 2 n = E(X 2 i ) E(X i ) 2 = σ 2 (loi des grands nombres aux X 2 i et X i ) E(Sn) 2 = n 1 n σ2 Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 18/60
42 Propriétés 1 lim n S 2 n = E(X 2 i ) E(X i ) 2 = σ 2 2 (loi des grands nombres aux X 2 i et X i ) E(Sn) 2 = n 1 n σ2 (petit calcul) On dit que S 2 n a un biais, E(S 2 n) σ 2. 3 On admet que, Sn 2 n 1 n σ2 Var(Sn) 2 L N (0; 1). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 18/60
43 Variance empirique corrigée Au regard de la définition de la variance et de la loi des grands nombres, il est naturel d introduire : Ŝ 2 n 1 = 1 n 1 i=1...n l estimateur sans biais de la variance. (X i X n ) 2 Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 19/60
44 Variance empirique corrigée Au regard de la définition de la variance et de la loi des grands nombres, il est naturel d introduire : Ŝ 2 n 1 = 1 n 1 i=1...n l estimateur sans biais de la variance. (X i X n ) 2 Avantage de cet estimateur : Ŝn 1 2 est sans biais, puisque E(Ŝn 1 2 ) = σ2. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 19/60
45 Outil : estimateur Pour estimer une quantité, on fabrique une fonction des observations, (une statistique/une v.a) qui tend vers la quantité souhaitée, à l aide des théorémes limites (type Loi des grands nombres). On préfèrera une statistique sans biais. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 20/60
46 Outil : estimateur Pour estimer une quantité, on fabrique une fonction des observations, (une statistique/une v.a) qui tend vers la quantité souhaitée, à l aide des théorémes limites (type Loi des grands nombres). On préfèrera une statistique sans biais. On essaie de connaître la loi limite de cette statistique. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 20/60
47 Outil : estimateur Pour estimer une quantité, on fabrique une fonction des observations, (une statistique/une v.a) qui tend vers la quantité souhaitée, à l aide des théorémes limites (type Loi des grands nombres). On préfèrera une statistique sans biais. On essaie de connaître la loi limite de cette statistique. On est alors capable, de donner les fluctuations les plus probables de la statistique, et de donner par exemple un intervalle de confiance. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 20/60
48 Estimation d une moyenne, lorsque σ connu Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 21/60
49 Estimation d une moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est connue On estime la moyenne µ par X n. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 22/60
50 Estimation d une moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est connue On estime la moyenne µ par X n. Par le TCL, on sait que n σ ( X n µ) L N (0; 1). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 22/60
51 Estimation d une moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est connue On estime la moyenne µ par X n. Par le TCL, on sait que n σ ( X n µ) L N (0; 1). Étant donnée une marge d erreur α, (par ex 5%), on détermine alors un certain u α à l aide de la table de la N (0; 1), tel que P( Z u α ) 1 α, où Z N (0; 1). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 22/60
52 Estimation d une moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est connue On estime la moyenne µ par X n. Par le TCL, on sait que n σ ( X n µ) L N (0; 1). Étant donnée une marge d erreur α, (par ex 5%), on détermine alors un certain u α à l aide de la table de la N (0; 1), tel que P( Z u α ) 1 α, où Z N (0; 1). On pourra remarquer que u α = z 1 α = Π 1 (1 α 2 2 ). Ainsi avec proba 1 α, on a : n σ ( X n µ) z 1 α, 2 Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 22/60
53 Estimation d une moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est connue On estime la moyenne µ par X n. Par le TCL, on sait que n σ ( X n µ) L N (0; 1). Étant donnée une marge d erreur α, (par ex 5%), on détermine alors un certain u α à l aide de la table de la N (0; 1), tel que P( Z u α ) 1 α, où Z N (0; 1). On pourra remarquer que u α = z 1 α = Π 1 (1 α 2 2 ). Ainsi avec proba 1 α, on a : n σ ( X n µ) z 1 α, i.e. : 2 X n z 1 α 2 σ n µ X n + z 1 α 2 σ n Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 22/60
54 Exemple Exemple Une machine produit en grande série des objets de masse théorique 180g. On admet que la variable aléatoire qui associe à un objet sa masse a pour écart-type 0,92g. On prélève un échantillon de 100 objets et on mesure la masse de chacun, on obtient une moyenne de 179,93g. Déterminer un intervalle de confiance au seuil de risque de 1%, de la masse µ d un objet. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 23/60
55 Exemple Soit X i, la v.a qui renvoit la masse de l objet i de l échantillon. On cherche un intervalle de confiance de µ = E(X i ). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 24/60
56 Exemple Soit X i, la v.a qui renvoit la masse de l objet i de l échantillon. On cherche un intervalle de confiance de µ = E(X i ). On sait qu avec proba 1 α, X n z 1 α 2 α = 0, 01 donne un z 1 α 2 centrée réduite). σ n µ X n + z 1 α 2 σ n = 2, 58 (table de la loi normale Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 24/60
57 Exemple Soit X i, la v.a qui renvoit la masse de l objet i de l échantillon. On cherche un intervalle de confiance de µ = E(X i ). On sait qu avec proba 1 α, X n z 1 α 2 α = 0, 01 donne un z 1 α 2 centrée réduite). D où, i.e. : 179, 93 2, 58 σ n µ X n + z 1 α 2 σ n = 2, 58 (table de la loi normale 0, 92 0, 92 µ 179, , Avec proba 0, 99 on a, µ [179, 69; 180, 17]. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 24/60
58 Estimation d une moyenne, lorsque σ inconnu Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 25/60
59 Estimation de la moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est inconnue. On suppose dans ce cas que les X i suivent des lois normales N (µ, σ). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 26/60
60 Estimation de la moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est inconnue. On utilise le fait que T = Student(n 1). n Ŝ n 1 ( X n µ) suit une loi de Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 27/60
61 Estimation de la moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est inconnue. On utilise le fait que T = n ( X Ŝ n µ) suit une loi de n 1 Student(n 1). Étant donnée une marge d erreur α, on détermine alors un certain t α à l aide de la table de la loi de student, tel que P( T t α ) 1 α, où T Student(n 1). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 27/60
62 Estimation de la moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est inconnue. On utilise le fait que T = n ( X Ŝ n µ) suit une loi de n 1 Student(n 1). Étant donnée une marge d erreur α, on détermine alors un certain t α à l aide de la table de la loi de student, tel que P( T t α ) 1 α, où T Student(n 1). On conclut, qu avec proba au moins 1 α, on a : n ( X n µ) Ŝ n 1 t α. Ainsi, Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 27/60
63 Estimation de la moyenne, dans le cas où la variance σ 2 est inconnue. On utilise le fait que T = n ( X Ŝ n µ) suit une loi de n 1 Student(n 1). Étant donnée une marge d erreur α, on détermine alors un certain t α à l aide de la table de la loi de student, tel que P( T t α ) 1 α, où T Student(n 1). On conclut, qu avec proba au moins 1 α, on a : n ( X n µ) Ŝ n 1 t α. Ainsi, X n t α Ŝ n 1 n µ X n + t α Ŝ n 1 n Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 27/60
64 Exemple Exemple Le chiffre d affaire mensuel d une entreprise suit une loi normale de moyenne µ et d écart-type σ inconnus. Sur les 12 derniers mois, on a observé une moyenne des chiffres d affaires égale à euros avec un écart-type de 2000 euros. Donner une estimation de µ par intervalle de confiance au niveau 0, 98. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 28/60
65 Exemple Soit X i le chiffre d affaire de l entreprise le mois i. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 29/60
66 Exemple Soit X i le chiffre d affaire de l entreprise le mois i. On sait que T = 11 S 12 ( X 12 µ) suit une loi de Student(11). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 29/60
67 Exemple Soit X i le chiffre d affaire de l entreprise le mois i. On sait que T = 11 S 12 ( X 12 µ) suit une loi de Student(11). À l aide de la table de la loi de Student, on trouve t α = t 0,02 2, 718 tel que P( T 2, 718) 0, 98. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 29/60
68 Exemple Soit X i le chiffre d affaire de l entreprise le mois i. On sait que T = 11 S 12 ( X 12 µ) suit une loi de Student(11). À l aide de la table de la loi de Student, on trouve t α = t 0,02 2, 718 tel que P( T 2, 718) 0, 98. Donc, 11 S 12 ( X 12 µ) 2, 718 avec proba 0, 98. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 29/60
69 Exemple Soit X i le chiffre d affaire de l entreprise le mois i. On sait que T = 11 S 12 ( X 12 µ) suit une loi de Student(11). À l aide de la table de la loi de Student, on trouve t α = t 0,02 2, 718 tel que P( T 2, 718) 0, 98. Donc, 11 S 12 ( X 12 µ) 2, 718 avec proba 0, 98. i.e. : µ [ X 12 2, 718 S ; X , 718 S ]. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 29/60
70 Exemple Soit X i le chiffre d affaire de l entreprise le mois i. On sait que T = 11 S 12 ( X 12 µ) suit une loi de Student(11). À l aide de la table de la loi de Student, on trouve t α = t 0,02 2, 718 tel que P( T 2, 718) 0, 98. Donc, 11 S 12 ( X 12 µ) 2, 718 avec proba 0, 98. i.e. : µ [ X 12 2, 718 S ; X , 718 S ]. Avec X 12 = et S 12 = 2000, on obtient µ [8360, 9; 11639, 02], avec proba 0, 98. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 29/60
71 Intervalle de confiance d une proportion Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 30/60
72 Intervalle de confiance d une proportion Soit A un évènement aléatoire de proba p. On appelle ˆp = 1 n nombre de fois où X i réalise A. ˆp est un estimateur sans biais de p. On peut alors en déduire : ˆp z 1 α 2 ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) p ˆp + z n 1 α 2 n Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 31/60
73 Exemple Exemple Dans un échantillon de 197 pommes, on constate que 19 d entre elles sont abimées. Déterminer un intervalle de confiance au risque 5% de la proportion de pommes abimées dans la production. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 32/60
74 Exemple On sait qu avec proba 1 α, ˆp z 1 α 2 ˆp(1 ˆp) p ˆp + z n 1 α 2 ˆp(1 ˆp) n α = 0, 05 donne un z 1 α 2 centrée réduite). = 1, 96 (table de la loi normale Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 33/60
75 Exemple On sait qu avec proba 1 α, ˆp z 1 α 2 ˆp(1 ˆp) p ˆp + z n 1 α 2 ˆp(1 ˆp) n α = 0, 05 donne un z 1 α 2 centrée réduite). D où, i.e. : = 1, 96 (table de la loi normale , 96 0, 021 p + 1, 96 0, Avec proba 0, 95 on a, p [0, 055; 0, 137]. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 33/60
76 Tests paramétriques Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 34/60
77 Point de vue global C est une stratégie analogue à celles des estimations. On utilise la même technologie. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 35/60
78 Point de vue global C est une stratégie analogue à celles des estimations. On utilise la même technologie. On fait une hypothèse sur un paramètre. On sait alors que, sous cette hypothèse, une certaine v.a (une statistique) doit être distribuée suivant une certaine loi (Théorème limites, distribution d échantillonage). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 35/60
79 Point de vue global C est une stratégie analogue à celles des estimations. On utilise la même technologie. On fait une hypothèse sur un paramètre. On sait alors que, sous cette hypothèse, une certaine v.a (une statistique) doit être distribuée suivant une certaine loi (Théorème limites, distribution d échantillonage). On vérifie alors, avec un taux α, l adéquation des 2 lois. Il existe des tests unilatéraux et bilatéraux. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 35/60
80 Test bilatéral d une moyenne, σ connu Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 36/60
81 Test bilatéral d une moyenne, cas où σ connu On veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 37/60
82 Test bilatéral d une moyenne, cas où σ connu On veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Sous H 0, on sait que pour n grand, la v.a n σ ( X n µ 0 ) doit suivre une N (0; 1). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 37/60
83 Test bilatéral d une moyenne, cas où σ connu On veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Sous H 0, on sait que pour n grand, la v.a n σ ( X n µ 0 ) doit suivre une N (0; 1). Étant donnée une marge d erreur α, on détermine alors un certain u α à l aide de la table de la N (0; 1), tel que P( Z u α ) 1 α, où Z N (0; 1). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 37/60
84 Test bilatéral d une moyenne, cas où σ connu On veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Sous H 0, on sait que pour n grand, la v.a n σ ( X n µ 0 ) doit suivre une N (0; 1). Étant donnée une marge d erreur α, on détermine alors un certain u α à l aide de la table de la N (0; 1), tel que P( Z u α ) 1 α, où Z N (0; 1). En fait, u α = z 1 α 2. n La position du nombre σ ( X n µ 0 ) par rapport à [ z 1 α ; z 1 α ], permet de rejeter ou de ne pas rejeter H Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 37/60
85 Test bilatéral d une moyenne, cas où σ connu Ainsi, Si n σ ( X n µ 0 ) [ z 1 α 2 ; z 1 α 2 ], on ne rejette pas H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 38/60
86 Test bilatéral d une moyenne, cas où σ connu Ainsi, Si n σ ( X n µ 0 ) [ z 1 α ; z 1 α ], on ne rejette pas H Sinon on rejette H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 38/60
87 Test bilatéral d une moyenne, cas où σ connu Figure: Zones de rejet et de non rejet de H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 39/60
88 Test bilatéral d une moyenne, σ inconnu mais échantillon Gaussien Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 40/60
89 Test bilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu Dans le cas où σ est inconnu, c est le même principe mais on raisonne cette fois avec la variable de décision T n 1 et on suppose que les X i suivent une loi Normale N (µ; σ). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 41/60
90 Test bilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu On veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 42/60
91 Test bilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu On veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Sous H 0, on sait que la v.a, n T n 1 = ( X n µ 0 ) doit suit une loi de Student(n 1) Ŝ n 1 Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 42/60
92 Test bilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu On veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Sous H 0, on sait que la v.a, n T n 1 = ( X n µ 0 ) doit suit une loi de Student(n 1) Ŝ n 1 Étant donnée une marge d erreur α, on détermine alors un certain t α à l aide de la table de Student(n 1), tel que P( T n 1 t α ) 1 α. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 42/60
93 Test bilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu On veut tester l hypothèse H 0 : µ = µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Sous H 0, on sait que la v.a, n T n 1 = ( X n µ 0 ) doit suit une loi de Student(n 1) Ŝ n 1 Étant donnée une marge d erreur α, on détermine alors un certain t α à l aide de la table de Student(n 1), tel que P( T n 1 t α ) 1 α. Étude de la position de n Ŝ n 1 ( X n µ 0 ) par rapport à [ t α ; t α ]. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 42/60
94 Test bilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu Ainsi, on a la même discussion, Si T n 1 [ t α ; t α ], on ne rejette pas H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 43/60
95 Test bilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu Ainsi, on a la même discussion, Si T n 1 [ t α ; t α ], on ne rejette pas H 0. Sinon on rejette H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 43/60
96 Test bilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu Figure: Zones de rejet et de non rejet de H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 44/60
97 Exemple : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaires dans une entreprise En vue d aménager les heures de travail du personnel d une entreprise, une étude s est interessée au temps de sommeil d un échantillon de 30 employés de l entreprise. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 45/60
98 Exemple : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaires dans une entreprise En vue d aménager les heures de travail du personnel d une entreprise, une étude s est interessée au temps de sommeil d un échantillon de 30 employés de l entreprise. L étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6, 56 h et un écart-type de 1, 35 h. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 45/60
99 Exemple : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaires dans une entreprise En vue d aménager les heures de travail du personnel d une entreprise, une étude s est interessée au temps de sommeil d un échantillon de 30 employés de l entreprise. L étude donne une moyenne du temps de sommeil de 6, 56 h et un écart-type de 1, 35 h. En supposant que le temps de sommeil d un employé suit une loi normale, peut on considérer que le temps de sommeil des employés de cette entreprise est inférieur au temps de sommeil moyen des individus qui est de 7h30 au seuil 5%? Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 45/60
100 Exemple : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaire dans une entreprise Soit X i le temps de sommeil de la personne i de l échantillon, on suppose que X i N (µ, σ). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 46/60
101 Exemple : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaire dans une entreprise Soit X i le temps de sommeil de la personne i de l échantillon, on suppose que X i N (µ, σ). Soit H 0 : µ = 7, 5. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 46/60
102 Exemple : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaire dans une entreprise Soit X i le temps de sommeil de la personne i de l échantillon, on suppose que X i N (µ, σ). Soit H 0 : µ = 7, 5. Sous H 0, on a T 29 = 29 S 30 ( X 30 7, 5) Student(29). Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 46/60
103 Exemple : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaire dans une entreprise Soit X i le temps de sommeil de la personne i de l échantillon, on suppose que X i N (µ, σ). Soit H 0 : µ = 7, Sous H 0, on a T 29 = S 30 ( X 30 7, 5) Student(29). La table de Student donne P( T 2, 045) 0, 95. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 46/60
104 Exemple : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaire dans une entreprise Soit X i le temps de sommeil de la personne i de l échantillon, on suppose que X i N (µ, σ). Soit H 0 : µ = 7, Sous H 0, on a T 29 = S 30 ( X 30 7, 5) Student(29). La table de Student donne P( T 2, 045) 0, 95. Ici T 29 = 29 1,35 (6, 56 7, 5) = 3, 74. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 46/60
105 Exemple : Effet sur le temps de sommeil des aménagements d horaire dans une entreprise Soit X i le temps de sommeil de la personne i de l échantillon, on suppose que X i N (µ, σ). Soit H 0 : µ = 7, Sous H 0, on a T 29 = S 30 ( X 30 7, 5) Student(29). La table de Student donne P( T 2, 045) 0, 95. Ici T 29 = 29 1,35 (6, 56 7, 5) = 3, 74. Donc T 29 / [ 2, 045 : 2, 045], et on rejette H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 46/60
106 Test unilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ connu Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 47/60
107 Test unilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ connu Ainsi, on a la même discussion, On veut tester l hypothèse H 0 : µ < µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 48/60
108 Test unilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ connu Ainsi, on a la même discussion, On veut tester l hypothèse H 0 : µ < µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Si n σ ( X n µ 0 ) [ z 1 α ; z 1 α ], on ne rejette pas H Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 48/60
109 Test unilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ connu Ainsi, on a la même discussion, On veut tester l hypothèse H 0 : µ < µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Si n σ ( X n µ 0 ) [ z 1 α ; z 1 α ], on ne rejette pas H Sinon on rejette H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 48/60
110 Test unilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 49/60
111 Test unilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu On veut tester l hypothèse H 0 : µ < µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 50/60
112 Test unilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu On veut tester l hypothèse H 0 : µ < µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Si T n 1 = n ( X Ŝ n µ 0 ) [ t 2α ; t 2α ], on ne rejette pas H 0. n 1 Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 50/60
113 Test unilatéral d une moyenne, cas d un échantillon Gaussien et σ inconnu On veut tester l hypothèse H 0 : µ < µ 0 contre H 1 : µ µ 0. Si T n 1 = n ( X Ŝ n µ 0 ) [ t 2α ; t 2α ], on ne rejette pas H 0. n 1 Sinon on rejette H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 50/60
114 Test d une proportion Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 51/60
115 Test d une proportion On suppose dans ce cas que les X i suivent des lois de Bernouilli B(p). On souhaite comparer la valeur inconnue de p à une valeur de référence p 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 52/60
116 Test bilatéral d une proportion On veut tester l hypothèse H 0 : p = p 0 contre H 1 : p p 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 53/60
117 Test bilatéral d une proportion On veut tester l hypothèse H 0 : p = p 0 contre H 1 : p p 0. Si Z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 ) n [ z 1 α 2 ; z 1 α 2 ], on ne rejette pas H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 53/60
118 Test bilatéral d une proportion On veut tester l hypothèse H 0 : p = p 0 contre H 1 : p p 0. Si Z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 ) n [ z 1 α 1 α ], on ne rejette pas H Sinon on rejette H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 53/60
119 Test unilatéral d une proportion On veut tester l hypothèse H 0 : p < p 0 contre H 1 : p p 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 54/60
120 Test unilatéral d une proportion On veut tester l hypothèse H 0 : p < p 0 contre H 1 : p p 0. Si Z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 ) n z 1 α, on ne rejette pas H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 54/60
121 Test unilatéral d une proportion On veut tester l hypothèse H 0 : p < p 0 contre H 1 : p p 0. Si Z = ˆp p 0 p0 (1 p 0 ) n z 1 α, on ne rejette pas H 0. Sinon on rejette H 0. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 54/60
122 Statistique bidimensionnelle Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 55/60
123 Covariance et coefficient de corrélation Covariance empirique : σ XY = ni=1 (x i µ X )(y i µ Y ) n = ni=1 x i y i n µ X µ Y. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 56/60
124 Covariance et coefficient de corrélation Covariance empirique : σ XY = ni=1 (x i µ X )(y i µ Y ) n = ni=1 x i y i n µ X µ Y. Coefficient de corrélation empirique : ρ XY = σ XY σ X σ Y. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 56/60
125 Test de linéarité 1 ρ XY 1. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 57/60
126 Test de linéarité 1 ρ XY 1. ρ XY = 1 si et seulement si tous les points (x i, y i ) sont parfaitement alignés. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 57/60
127 Test de linéarité 1 ρ XY 1. ρ XY = 1 si et seulement si tous les points (x i, y i ) sont parfaitement alignés. si le coefficient de corrélation est proche de 1 en valeur absolue on pourra espérer une relation linéaire entre X et Y ; on pourra rejeter cette hypothèse dans le cas contraire. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 57/60
128 Droite d ajustement On cherche donc la droite Y = ax + b la plus proche possible de notre nuage de points par la méthode des moindres carrés, c est-à-dire celle qui minimise la quantité suivante : n D(a, b) = (y i ax i b) 2 i=1 Théorème Il existe une et une seule droite qui minimise l expression D(a, b), cette droite d équation y = ax + b passe par le point moyen ( X, Ȳ ) et a pour pente a = σ XY σ 2 X = ρ XY σ Y σ X Il s agit de la droite de régression de Y par rapport à X. Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 58/60
129 Exemple Exemple On cherche à savoir s il y a une corrélation linéaire entre le nombre de machines à laver et le nombre de déficients visuels dans une population. Pour cela, on a relevé les échantillons suivants dans un pays d Europe : Année machines (en centaine de milliers) déficients visuels / 1000 habitants Année machines (en c. de m.) déficients visuels Calculer le coefficient de corrélation de ces échantillons. 2 Que ce coefficient semble-t-il indiquer? Cela vous semble-t-il cohérent? Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 59/60
130 Références Walter Apple Probabilités pour les non-probabilistes H&K, édition, 2013 Clément Rau http :// rau/ Communication privée, 2015 Hervé Hocquard Estimation, Échantillonnage et Tests 60/60
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