4 Base & dimension d un espace vectoriel

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1 4 Base & dimension d un espace vectoriel Famille génératrice Une famille finie F = (e e... e n ) de vecteurs d un espace vectoriel E est dite génératrice si E = e e... e n, c est-à-dire si tout vecteur de E est combinaison linéaire des vecteurs de F. 4. Donner une famille finie de vecteurs de R n qui soit génératrice. 4. ) Donner une famille finie de vecteurs de R n [x] qui soit génératrice. ) Montrer qu il n existe pas de famille finie de vecteurs de R[x] qui soit génératrice. 4.3 Montrer que les vecteurs e =,e =,e 3 = et e 4 = 3 engendrent R 3 et exprimer le vecteur u = 4 comme combinaison linéaire de ces vecteurs. Famille libre Une famille finie F = (e e... e n ) de vecteurs d un espace vectoriel E est dite libre si la seule combinaison linéaire des éléments defqui donne le vecteur nul est la combinaison triviale : α e +α e +...+α n e n = = α = α =... = α n = Une famille qui n est pas libre est dite liée. Les vecteurs d une famille libre sont dits linéairement indépendants. Les vecteurs d une famille liée sont dits linéairement dépendants. 4.4 Montrer que les vecteurs, 3 et 3 de R 3 sont liés. 4. Montrer que les vecteurs, et de R 3 sont linéairement indé- pendants. Algèbre linéaire : base & dimension d un espace vectoriel 4.

2 4.6 La famille 3 4 de R 4 est-elle libre? Montrer que les vecteurs et de R 3 sont libres et qu ils engendrent 4 8 le même espace que les vecteurs 6 et Soient f,g et h trois éléments de F R { } définis par : f(x) = x+ g(x) = 3 h(x) = x x La famille (f gh) est-elle libre? x+ m 4.9 ) Dans R 3 on donne les vecteurs, et. 3 Pour quelle valeur de m forment-ils une famille liée? m ) Même question avec les vecteurs, m et Considérons une famille finie F = (e e... e n ) de vecteurs d un espace vectoriel E. Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes : ) la famille F est libre ) aucun vecteur de E ne peut s écrire sous la forme de deux combinaisons linéaires distinctes des vecteurs e,e,...,e n. Base Une base d un espace vectoriel est une famille génératrice et libre. L exercice 4. implique qu une famille B de vecteurs forme une base d un espace vectoriel E si et seulement si tout vecteur de E s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs de B. Soient B = (e... e n ) une base d un espace vectoriel E et u un vecteur de E. On appelle composantes du vecteur u dans la base B les uniques nombres u,...,u n tels que : Algèbre linéaire : base & dimension d un espace vectoriel 4.

3 u = u e +...+u n e n u = u u n 4. Soient u et v des vecteurs d un espace vectoriel E et α un scalaire. Si u,...,u n et v,...,v n désignent les composantes respectives de u et v dans une base B = (e... e n ), montrer que les composantes des vecteurs u+v et α u sont données par : u u+v = u n + v v n = u +v u n +v n α u = α u u n = αu αu n 4. Montrer que la famille B =,,...,. forme une base de R.. n. On appelle B la base canonique de R n. 4.3 Montrer que la famille B = (xx... x n ) forme une base de R n [x]. On appelle B la base canonique de R n [x]. 4.4 Déterminer une base de l ensemble des solutions de chacun des systèmes : x + y + z = x 3y + z = 3x + y z = ) x 6y + z = ) 4x + 3y z = 3x 9y + 3z = 6x + y + z = 4. Trouver une base du sous-espace vectoriel E de R 4 défini par : E = { (xyzt) R 4 : x+y = z t = }. Dimension Un espace vectoriel E est dit de dimension finie s il est engendré par une famille finie de vecteurs. Dans le cas contraire, on dit que E est de dimension infinie. Exemple : l exercice 4. a montré que R n [x] est de dimension finie, mais que R[x] est de dimension infinie. Algèbre linéaire : base & dimension d un espace vectoriel 4.3

4 Théorème Toute famille libre d un espace vectoriel de dimension finie peut être complétée de manière à former une base. Preuve Soit L = (l... l m ) une famille libre. Si L engendre l espace vectoriel E, alors la famille L forme d ores et déjà une base de E. On supposera donc que L n engendre pas E. Puisque l espace vectoriel E est de dimension finie, il possède une famille génératrice finie G = (g... g n ). Du moment que L n engendre pas E = g... g n, il y a au moins un vecteur g i de G qui n est pas combinaison linéaire des vecteurs de L. Posons L = (l... l n g i ). Montrons que L est libre. α l +...α n l n +β g i = implique β g i = α l... α n l n. On doit avoir β = : sinon, on aurait g i = α β l... αn l β n, de sorte que g i s écrirait comme combinaison linéaire des vecteurs de L. L équation α l +...α n l n +β g i = devient α l +...α n l n = d où suit aussitôt α =... = α n =, vu que L est une famille libre. On a ainsi montré que la famille L est libre. Ou bien la famille L engendre E et la démonstration est terminée, ou bien le même raisonnement nous assure de l existence d un vecteur g j de G tel que la famille L = (l... l n g i g j ) soit libre. Si cette famille n engendre pas E, le procédé d extraction des vecteurs de G se poursuit. Lorsqu il s arrête, nous aurons complété L en une famille libre engendrant E, c est-à-dire en une base de E. Théorème On peut extraire une base de toute famille génératrice d un espace vectoriel non nul de dimension finie. Preuve Soit G = (g... g n ) une famille génératrice de l espace vectoriel E. Puisque E {}, il existe l G tel que l. Alors la famille L = (l ) est libre. La preuve précédente montre que l on peut compléter la famille L à partir des vecteurs de G, de façon à former une base de E. Remarque : ce théorème signifie que tout espace vectoriel non nul de dimension finie admet une base. 4.6 Trouver une base du sous-espace vectoriel de R 3 engendré par : Algèbre linéaire : base & dimension d un espace vectoriel 4.4

5 Théorème Si (e... e n ) est une base d un espace vectoriel E, toute famille de vecteurs (u... u k ) avec k > n est liée. Preuve Supposons par l absurde que la famille (u... u k ) soit libre. En décomposant u dans la base (e... e n ), on obtient : u = α e +α e +...+α n e n. Comme u n est pas nul, au moins l une des composantes α,α,...,α n n est pas nulle. Quitte à énumérer autrement les termes de la base, nous pouvons admettre que cette composante est α. Il en résulte : e = α u α α e... αn α e n. Puisque u e... e n = e e... e n = E, la famille (u e... e n ) engendre E. Écrivons à présent u comme combinaison linéaire de vecteurs de cette famille : u = β u +β e +...+β n e n. Les coefficients β,... β n ne sont pas tous nuls, sinon u et u seraient linéairement dépendants. Sans restreindre la généralité, nous pouvons admettre que β n est pas nul, ce qui nous permet d écrire : e = β β u + β u β 3 β e 3... βn β e n. Vu que u u e 3... e n = u e e 3... e n = E, la famille de vecteurs (u u e 3... e n ) engendre E. En poursuivant ce procédé, on remplace successivement e 3,...,e n paru 3,...,u n, d où l on conclut que la famille (u u... u n ) engendre E. Par conséquent, le vecteur u k s écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs u,...,u n, ce qui signifie que la famille (u... u k ) n est pas libre. Corollaire Toutes les bases d un espace vectoriel de dimension finie ont le même nombre d éléments. Preuve Soient B = (e... e n ) et B = (e... e k ) deux bases. D après le précédent théorème, la famille de vecteurs (e... e k ) ne peut être libre que si k n. En échangeant le rôle des bases B et B dans l application du précédent théorème, on obtient n k. Les deux inégalités k n et n k impliquent n = k. Algèbre linéaire : base & dimension d un espace vectoriel 4.

6 On appelle dimension d un espace vectoriel non nul E de dimension finie le nombre d éléments d une quelconque de ses bases. Si E se réduit au seul vecteur nul, on dit que sa dimension est nulle. La dimension de E se note dim(e). 4.7 Déterminer la dimension des espaces vectoriels suivants : ) R n ) R n [x] 3) M m,n (R) Remarques : Soit E un espace vectoriel de dimension finie non nulle n. ) Toute famille libre de n éléments est une base. ) Toute famille génératrice de n éléments est une base. 3) Toute famille de moins de n éléments ne peut être génératrice. 4) Toute famille de plus de n éléments est liée. ) Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors dim(f) dim(e). dim(f) = dim(e) si et seulement si E = F. 4.8 Montrer que la famille une base de M (R). ( (3 ) ) est 4.9 Montrer que la famille ( x+x x ) est une base de R [x]. Calculer les composantes relativement à cette base des polynômes suivants : ) x ) (x ) 3) x 4x+3 4. Soit (e e ) une base de R. Montrer que (e e ), (e e +e ), (e e e +e ) et (e +αe e ) sont aussi des bases de R. Quelles sont les composantes de e et de e relativement à chacune de ces bases? Algèbre linéaire : base & dimension d un espace vectoriel 4.6

7 Réponses 4. e =,e =,...,e n = ) p n = x n,p n = x n,...,p = x,p = x,p = 4.3 ) u = ( 3 α)e +e +( α)e 3 +αe 4 avec α R 4.6 Non : elle est liée. 4.8 Non : elle est liée. 4.9 ) m = ) m = ou m = ) 3 ) ) n ) n+ 3) mn 4.9 ) ) 3) 4 4. ) e = ) 3) e = ( e = e = 4 4 ) e = e = 4) e = e α = Algèbre linéaire : base & dimension d un espace vectoriel 4.7