Chapitre 2. Espaces métriques. 2.1 Distance

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1 Chapitre 2 Espaces métriques 2.1 Distance On dispose sur R de la distance usuelle d : R R R + (x, y) d(x, y) = x y On l utilise pour définir la convergence des suites et la continuité des fonctions. Le but ici est de généraliser cette notion. Définition Une distance sur un ensemble X est une application d : X X R +, telle que : a) x X, y X, d(x, y) = 0 x = y ; b) x X, y X, d(x, y) = d(y, x) (symétrie); c) x X, y X, z X,d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire). L ensemble X muni d une distance d est appelé un espace métrique, ses éléments sont habituellement appelés des points. Exemple Distance usuelle sur R ou C : d(x, y) = x y. Exemple Etant donné un espace métrique (X, d) : distance produit sur X X, définie par δ((x, y), (x, y )) = max(d(x, x ), d(y, y )). Exemple La distance induite sur un sous-ensemble. Exemple La distance triviale (ou discrète) : x y, d(x, y) = 1. Proposition (seconde inégalité triangulaire). x X, y X, z X, d(x, y) d(y, z) d(x, z). 5

2 Définition Dans un espace métrique (X, d), on appelle boule ouverte (resp. boule fermée) de centre a X et de rayon r > 0, le sous-ensemble : B(a, r) = {x X, d(a, x) < r} (resp. B f (a, r) = {x X, d(a, x) r}). Définition Un sous-ensemble A d un espace métrique (X, d) est borné si et seulement s il est contenu dans une boule : a X, r > 0 / A B f (a, r). Une application à valeur dans un espace métrique est bornée si et seulement si son image est bornée. Exercice Montrer que si A est une partie bornée d un espace métrique (X, d), alors : a) pour tout point b dans X, l application g b : X R définie par g b (x) = d(b, x) est bornée. b) La restriction de d à A A est bornée. Définition On appelle diamètre d une partie bornée A d un espace métrique (X, d), le nombre diam(a) = sup (x,y) A A d(x, y). Exercice Démontrer que le diamètre d une boule B(a, r) est majoré par 2r. Exemple Distance uniforme d sur l ensemble des applications bornée de I dans un espace métrique X, d) : B(I, X). Exemple Distance associée à une norme sur un espace vectoriel réel ou complexe. Exercice Normes : 1. Rappeler la définition d une norme. 2. Donner des exemples de normes sur R n et C n. 3. Donner des exemples de normes sur l espaces des fonctions continues sur un intervalle : C([a, b], R). Exemple Distance associée à la valuation sur R[X] : d(p, Q) = 2 v(p Q). 2.2 Limite et continuité Définition Soient (X, d) un espace métrique et u = (u n ) n 0 une suite dans X. La suite u converge vers l X si et seulement si : ǫ > 0, N N, n N, d(u n, l) < ǫ. 6

3 Exercice Démontrer l unicité de la limite. Définition Soient (X, d) un espace métrique et u = (u n ) n 0 une suite dans X. La suite u est de Cauchy si et seulement si : ǫ > 0, N N, n, m N, d(u n, u m ) < ǫ. Toute suite convergente est de Cauchy. Définition Un espace métrique est complet si et seulement si toute suite de Cauchy converge. Définition Soit f : X Y une application entre deux espaces métriques (X, d) et (Y,δ). L application f est continue en a X si et seulement si : ǫ > 0, α > 0, x X,d(x, a) < α δ(f(x), f(a)) < ǫ. L application f est continue si et seulement si elle est continue en tout point a de X. L application f est uniformément continue si et seulement si : ǫ > 0, α > 0, x X, y X,d(x, y) < α δ(f(x), f(y)) < ǫ. Exercice Soit (X, d) un espaces métrique. 1. Démontrer que pour tout a X, l application g a : X R définie par g a (x) = d(a, x) est continue. 2. Démontrer que la distance d : X X R est continue, pour la métrique produit sur X X. Proposition Soit f : X Y une application entre deux espaces métriques (X, d) et (Y,δ). L application f est continue en a X si et seulement si : pour toute suite u = (u n ) n 0 de X convergent vers a, la suite (f(u n )) n 0 converge vers f(a). Exemple L espace (B(I, X), d ) des applications bornées de l ensemble I vers l espace métrique (X, d), muni de la métrique uniforme d est complet. Exercice Démontrer que l espace (C([a, b], R), d ) des fonctions continues sur [a, b], muni de la métrique d est complet. Exercice Démontrer que l espace (C([ 1, 1], R), d 1 ) des fonctions continues sur [a, b], muni de la métrique d 1 associée à la norme f 1 = 1 f(t) dt, n est pas complet. 0 Définition Soit f : X Y une application entre deux espaces métriques (X, d) et (Y,δ). L application f est lipschitzienne si et seulement si, il existe k > 0 tel que : x X, y X,δ(f(x), f(y)) kd(x, y). (Eventuellement on précise : k-lipschitzienne.) 7

4 Proposition Une application lipschitzienne est uniformément continue. Proposition Soit (X, d) un espace métrique, et δ la distance produit sur X X, alors d : X X R + est 2-lipschitzienne. Théorème La composée de deux applications continues est continue. Théorème La somme et le produit sont des applications continues de R R vers R, et de C C dans C. L application inverse : x 1 x est continue de R dans R, et de C dans C. 2.3 Produit d espaces métriques Soit (X k, d k ) 1 k n une famille finie d espaces métriques. Proposition Sur le produit Y = X 1 X 2 X n, l application δ qui à (x, y) associe δ(x, y) = max 1 i n d i (x i, y i ), définit une distance, qu on appelle distance produit. Remarque Les projections p i sur les facteurs X i sont 1-lipschitziennes. Pour f : Z Y = X 1 X 2 X n, on appelle composantes de f les applications f i = p i f. Proposition Lorsque Z est un espace métrique, et Y est muni de la métrique produit : f est continue si et seulement si ses composantes le sont. Remarque : énoncé analogue pour la convergence des suites dans le produit Y. Proposition Un produit fini d espaces métriques complets est complet. Exercice Produit dénombrable. Soit (X k, d k ) 0 k une famille dénombrable d espaces métriques. Le produit Y = Π n 0 X n est l ensemble des suites (x n ) n 0 avec x n X n pour tout n. 1. Démontrer que l application δ qui à (x, y) associe δ(x, y) = sup n 0 (inf(2 n, d i (x n, y n )), définit une distance sur le produit Y = Π n 0 X n. Cette distance est appellée distance produit. 2. Démontrer qu un produit dénombrable d espaces complets est complet. 2.4 Distances équivalentes Définition Deux distances d et δ sur le même ensemble X sont équivalentes si et seulement s il existe k 1, k 2 > 0 tels que : (x, y) X X, k 1 d(x, y) δ(x, y) k 2 d(x, y). 8

5 Cette définition exprime que l application Id X est lipschitzienne de (X, d) vers (X, δ), et de (X, δ) vers (X, d). L équivalence des distances est une relation d équivalence. Equivalence des normes Définition Deux normes N et N sur un même espace vectoriel réel ou complexe E sont équivalentes si et seulement s il existe k 1, k 2 > 0 tels que : x E, k 1 N(x) N (x) k 2 N(x). L équivalence des normes équivaut à l équivalence des distances associées. Exercice Montrer que les normes habituelles sur R n et C n : x 1 = x i, x 2 = ( sont équivalentes à la norme x = max x i. i Il existe des comparaisons de distances plus faibles : i x i 2 )1 2 Définition Deux distances d et δ sur le même ensemble X sont uniformément équivalentes si et seulement l application identique Id X est uniformément continue de (X, d) vers (X, δ), et de (X, δ) vers (X, d). Deux distances d et δ sur le même ensemble X sont topologiquement équivalentes si et seulement l application Id X est continue de (X, d) vers (X, δ), et de (X, δ) vers (X, d). L équivalence topologique des distances sera étudiée plus en détail dans le prochain chapitre. 2.5 Continuité des applications linéaires Le corps de base, noté K est R ou C. Théorème Soient f une application linéaire entre deux K-espaces vectoriels normés (E, et (E, ). Les énoncés suivants sont équivalents : a) f est continue; b) f est continue en zéro; c) f est bornée sur la boule unité fermée : B f (0 E, 1); d) f est lipschitzienne. 9

6 Remarque On démontrera que lorsque E est de dimension finie, alors toute application linéaire de source E est continue. Exercice Trouver un exemple d application linéaire non continue. On note L c (E, E ) l espace des applications linéaires continues de (E, vers (E, ). 10