Pierre BOUSQUET, Raphaèle HERBIN et Florence HUBERT

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1 Université d Aix-Marseille Licence de mathématiques, première année Mathématiques générales II - Algèbre linéaire Pierre BOUSQUET, Raphaèle HERBIN et Florence HUBERT <pierrebousquet, raphaeleherbin, florencehubert@univ-amufr> Ce document est sous licence Creative Commons 3 France: paternité; pas d utilisation commerciale; partage des conditions initiales à l identique;

2 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 2 Algèbre linéaire, Maths générales II

3 Table des matières Introduction et bibliographie 7 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr Vecteurs der 2 et R Vecteurs et combinaisons linéaires 9 22 Produit scalaire, norme 23 Exercices 22 La notion de matrice 22 Ecriture matricielle d une combinaison linéaire 222 Equations linéaires Dépendance et indépendance Exercices 4 23 Méthode du pivot de Gauss 6 23 Ecriture vectorielle et matricielle des systèmes linéaires Elimination Un système Géométrie affine et vectorielle Exercices 23 3 Systèmes linéaires et matrices 27 3 Matrices et opérations sur les matrices 27 3 Définitions Opérations sur les matrices Matrice inverse et matrice transposée 3 34 Exercices Elimination par les matrices Echelonnement d une matrice3 3 et décompositionlu Matrices élémentaires dem n (K) Matrices échelonnées et pivot de Gauss Existence de la forme échelonnée, algorithme d échelonnement Exercices Calcul de l inverse d une matrice, échelonnement total Exemple de calcul de l inverse d une matrice Inversion d une matrice Echelonnement total Exercices 5 4 Espaces et sous espaces vectoriels 53 4 Espaces et sous-espaces 53 4 Définitions Espace des colonnes ou image d une matrice Exercices Systèmes linéaires homogènes Noyau d une matrice Détermination du noyau 58 3

4 Table des matières Table des matières 423 Familles libres, Indépendance des colonnes pivotales Construction du noyau par les solutions spéciales Exercices Résolution d un système linéaire général Exemples de résolution de systèmes Caractérisation d une matrice inversible Exercices 7 5 Bases, dimension et sous-espaces 73 5 Bases et dimension 73 5 Familles libres, liées, génératrices, bases Dimension d un espace vectoriel Théorème de la base incomplète et conséquences Rang d une famille de vecteurs Exercices 8 52 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité Somme et intersection de deux espaces vectoriels Sous espaces liés aux matrices Les sous-espaces der p Exercices 88 6 Applications linéaires 9 6 Définitions et exemples 9 6 Application linéaire dee dansf 9 62 Image, noyau et rang Exercices Applications linéaires et matrices Matrice d une application linéaire Changement de bases Exercices Applications linéaires remarquables : formes linéaires, projecteurs Homothéties Formes linéaires Projecteur Symétrie 635 Exercices 7 Déterminants 3 7 Propriétés du déterminant 3 7 Les trois propriétés fondamentales 3 72 Les autres propriétés principales 4 73 Construction du déterminant dans le cas Exercices 5 72 Définition par des formules 6 72 Formule des pivots Formule des permutations Formule des cofacteurs 7 73 Applications du déterminant 73 Résolution de systèmes linéaires et formules de Cramer 732 Inversibilité 733 Calculs d aires et de volumes 734 Le produit vectoriel 735 Produit mixte Le polynôme caratéristique d une matrice : calcul des valeurs propres Exercices 2 74 Quelques calculs de déterminants 3 74 Matrice de Froebenius 3 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 4 Algèbre linéaire, Maths générales II

5 Table des matières Table des matières 742 Déterminant de Van der Monde Déterminant d une matrice tridiagonale Exercices 6 Appendices 2 A Corrigés d exercices 2 A Chapitre 2 A2 Chapitre 2 22 A3 Chapitre 3 23 B Algorithmes et programmes informatiques 27 B Algorithmes de Gauss et LU 27 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 5 Algèbre linéaire, Maths générales II

6 Table des matières Table des matières Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 6 Algèbre linéaire, Maths générales II

7 Chapitre Introduction et bibliographie Algèbre Le mot algèbre vient du terme arabe al-jabr signifiant littéralement restauration Ce terme fut pour la première fois employé à propos des mathématiques par le savant, Al-Khwarizmi, dans son livre, Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, où il procède à l étude systématique des équations du second degré et se ramène à six cas de base, en utilisant ce qu il nomme restauration (al-jabr) Cette restauration se traduit essentiellement par l ajout d une même quantité dans les deux membres de l équation afin d éliminer les termes apparaissant en soustraction Cette idée de modifier une égalité pour la rendre plus simple à résoudre est fondamentale Il faut se rendre compte qu à l époque d Al-Khwarizmi, le seul fait de penser un problème en termes d égalité avec une grandeur inconnue était déjà une avancée considérable linéaire Voyons maintenant ce qu est un phénomène linéaire Le prix de détail des marchandises, par exemple : quand le marchand affiche 2 euros le prix d un kilo de pommes, il est implicite quexkilos de pommes coûteront2x euros Le prix des pommes est donc donné par la fonction de R dans R définie par x 2x Le prix que vous payez est une fonction linéaire du poids De manière plus générale, une application linéaire derdansrest une application qui s écrit sous la forme x αx, où α R est donné Finalement, dans R, l algèbre linéaire se réduit plus ou moins à la règle de trois Le concept de linéarité peut alors s étendre pour désigner un rapport de dépendance très simple entre plusieurs variables : la variable y dépend linéairement des variables x,,x N s il existe des constantes α,,α N telles que y = α x ++α N x N On dit encore que y s exprime comme combinaison linéaire dex,,x N Par exemple, si vous achetezx kilos de pommes à 2 euros le kilo etx 2 kilos de poires à 3 euros le kilo, le prix totaly que vous payez est la combinaison linéairey = 2x +3x 2 La notion de combinaison linéaire sera fondamentale dans la suite de ce cours Finalement, l algèbre linéaire est le domaine des mathématiques qui étudie de façon systématique les propriétés associées à la dépendance linéaire Les concepts de base sont celui de combinaison linéaire dont on vient de parler, et les notions d espace vectoriel et d application linéaire Les espaces vectoriels les plus simples sont les ensembles R, R 2 et R 3 lorsqu ils sont munis de deux opérations très simples : l addition et la multiplication par un réel, qui présentent un certain nombre de propriétés que nous verrons plus tard Bibliographie Des livres en français D-C Lay Algèbre linéaire : Théorie, exercices et applications, 24, De Boeck Al-Khwarizmi né vers 783, originaire de Khiva dans la région du Khwarezm qui lui a donné son nom, mort vers 85 à Bagdad, est un savant musulman perse dont les écrits, rédigés en langue arabe, ont permis l introduction de l algèbre en Europe Il est à l origine des mots algorithme (qui n est autre que son nom latinisé) et algèbre ou encore de l utilisation des chiffres arabes dont la diffusion dans le Moyen-Orient et en Europe provient d un autre de ces livres (qui lui-même traite des mathématiques indiennes) et de l habitude de désigner l inconnue par la lettre x dans une équation Il a d ailleurs participé à la traduction de nombreux manuscrits scientifiques grecs et indiens Son apport en mathématiques fut tel qu il est également surnommé le père de l algèbre, avec Diophante dont il reprendra les travaux 7

8 Introduction et bibliographie R Dalang- et A Chaabouni Algèbre linéaire : Aide mémoire, exercices et applications, 25, PPUR A Denmat et F Héaulme Algèbre linéaire : Travaux Dirigés, 995, Dunod F Liret, D Martinais Algèbreère année Cours et exercices avec solutions, 23, Dunod Si vous voulez en savoir plus J-M Monnier Algèbre MPSI : Cours, méthodes et exercices corrigés, 26, Dunod Des livres en anglais G Strang Introduction to Linear Algebra, fourth edition, 29, Wellesley-Cambridge Press US La lecture de ce livre st fortement conseillé Le premier chapitre est très largement inspiré de ce livre J H Hubbard, B Burke Hubbard Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms : A Unified Approach, 25, Prentice Hall Quelques sites utiles (cours, exercices corrigés etc) herbin/l ping et beaucoup d autres Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 8 Algèbre linéaire, Maths générales II

9 Chapitre 2 Algèbre linéaire dans R 2 etr 3 Nous allons dans ce chapitre introduire quelques notions nouvelles dans un cadre concret, celui de la droite, du plan et de l espace, ce qui nous permettra aussi de réviser quelques connaissances que vous avez acquises en secondaire et au premier semestre 2 Vecteurs de R 2 etr 3 2 Vecteurs et combinaisons linéaires Dans ce premier chapitre, nous noterons en gras un vecteur u de R 2 ou de R 3 que vous avez peut être noté u dans vos classes précédentes On s affranchira de la notation en gras ou avec flèche au fur et à mesure de ce cours, en particulier lorsqu on introduira les vecteurs comme des éléments d un espace vectoriel, dont nous donnerons une définition précise plus tard Soient u et v des vecteurs de R 2 qui sont définis (pour l instant) par des paires de réels (u,u 2 ) et (v,v 2 ) On notera aussi les vecteurs sous forme de colonnes contenant les composantes : L addition des deux vecteurs u et v s écrit : u = u+v = [ ] u, v = u 2 [ u u 2 ] + [ v ] = v 2 [ v v 2 ] [ ] u +v u 2 +v 2 On peut multiplier un vecteuru R 2 (our 3 ) par un réel α R : [ ] [ ] u αu αu = α = u 2 αu 2 Définition 2 On appelle combinaison linéaire deuet v R 2 tout vecteurw de la forme w = αu+βv, oùα et β sont des réels, càd : [ ] [ ] w αu +βv w = = w 2 αu 2 +βv 2 Ces propriétés s appliquent bien sûr aussi aux vecteurs de R 3 Un vecteuruder 3 est donné par ses trois composantes(u,u 2,u 3 ), et le vecteur s écrit alors : u = u La combinaison linéaire deuetv dansr 3 avec les coefficientsα etβ s écrit w = w w 2 = αu +βv αu 2 +βv 2 w 3 αu 3 +βv 3 u 2 u 3 9

10 2 Vecteurs der 2 et R 3 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 Remarque 22 (Notations [ ] et( )) On a identifié des couples ou des triplets de réels avec des vecteurs écrits sous forme de colonnes Toutefois, il faudra bien faire attention de ne pas confondre le vecteur(u,u 2,u 3 ), qui est le vecteur colonne dont les composantes sontu,u 2 etu 3, avec le vecteur [ u u 2 u 3 ] qui est un vecteur ligne dont les composantes sont les mḙmes que celles du vecteur u mais qui n est pas du tout le mḙme objet mathématique Ce vecteur ligne s appelle vecteur transposé du vecteur u Dans la définition précédente, on a défini une combinaison linéaire de deux vecteurs Cette définition contient le cas d une combinaison linéaire d un seul vecteur, en prenant le deuxième égal au vecteur nul Mais on peut aussi bien sûr généraliser la définition de combinaison linéaire pour trois, quatre,, n vecteurs Une question importante qui reviendra souvent pendant ce cours est justement de déterminer l ensemble de toutes les combinaisons linéaires d un vecteur, de deux vecteurs, de trois vecteurs? Evidemment, le résultat dépend des vecteurs Si par exemple on cherche toutes les combinaisons linéairesαu et que le vecteuruest le vecteur nul, on obtient que l ensemble des combinaisons linéaires est réduit au vecteur nul Si par contre le vecteur u est non nul, l ensemble des combinaisons linéaires est la droite de vecteur directeur u Par exemple, l ensemble des combinaisons linéaires des deux vecteurs et est un plan, tandis que l ensemble des combinaisons linéaires des deux vecteurs : et est une droite Exemple 23 On cherche à écrire les deux équations que vérifient les inconnues (réelles) α et β pour que la combinaison linéaireαu+βv soit égale àb, avec : [ ] [ ] [ ] u =, v =, etb = Pour ce faire, on écrit la combinaison linéaire et l égalité avec le vecteur b ; on écrit ensuite l égalité composante par composante On obtient ainsi le système suivant, qui est un système linéaire à deux équations et deux inconnues : { α β = 22 Produit scalaire, norme 3α+2β = 5 Définition 24 Le produit scalaire de deux vecteurs u = (u,u 2 ) et v = (v,v 2 ) de R 2 est le réel : u v = u v +u 2 v 2 De mḙme, le produit scalaire de deux vecteursu = (u,u 2,u 3 ) etv = (v,v 2,v 3 ) der 3 est le réel : u v = u v +u 2 v 2 +u 3 v 3 On rappelle que le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul Définition 25 La norme euclidienne d un vecteuruder 2 our 3 est le réel positif ou nul u = u u On appelle vecteur unitaire un vecteur u dont la norme est égale à : u = u u = Si u et v sont deux vecteurs unitaires, alors u v = cos θ, où θ est l angle entre les vecteurs u et v On remarque donc que le produit scalaire de deux vecteurs unitaires est toujours compris entre - et Pour deux vecteurs quelconquesũ etṽ, la formule donnant le cosinus de l angleθ entre les deux vecteurs devient : cosθ = ũ ṽ ũ ṽ, ce qui se démontre très facilement en posant u = ũ ũ et v = ṽ ṽ : les deux vecteurs u et v sont maintenant unitaires et on a doncu v = cosθ, d où le résultat On rappelle enfin deux inégalités absolument fondamentales : pour tous vecteursu etv der 2 our 3, Inégalité de Cauchy-Schwarz : Inégalité triangulaire : u v u v u+v u + v Ce raisonnement s appelle un raisonnement par homogénéité Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 Algèbre linéaire, Maths générales II

11 22 La notion de matrice 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 23 Exercices Les exercices de cette section sont tirés de ou inspirés par quelques uns des nombreux exercices du livre de G Strang dont nous conseillons vivement la lecture Exercice Justifier si les assertionssuivantes sont vraies ou fausses : est combinaison linéaire de et 2 Soientuun vecteur der 2 et α R Siαu =, alorsα = ouu = 3 Soientuet v deux vecteurs der 2 Siu v =, alorsu= ouv = 4 Soient u et v deux vecteurs de R 3 On suppose qu il existe deux réels α et β tels que αu + βv = Alors l ensemble des combinaisons linéaires de u et v est une droite 5 Il existe 2 vecteursuetv der 2 tel que tout vecteur der 2 est combinaison linéaire deuet v 6 Il existe 2 vecteursuetv der 3 tel que tout vecteur der 3 est combinaison linéaire deuet v Exercice 2 Décrire géométriquement (droite, plan ou R 3 tout entier) l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs suivants : (a) 2 et (b) et 2 (c), et Exercice 3 On considère les 2 vecteurs de R 2, u k,k =,2, de composantes(cos kπ 6,sin kπ 6 ) Dessiner les vecteurs, puis calculer u k, et enfin calculer u k k= k= k 2 Exercice 4 On se donne trois points dansr 3 de coordonnées(,,),(,,),(,,) Combien y-a-t il de cubes pouvant avoir pour sommets ces 3 points? Pour l un de ces cubes, donner les coordonnées des autres sommets ainsi que des centres des faces Exercice 5 Trouver deux vecteursv etw non nuls qui sont orthogonaux àu = (,,) et orthogonaux entre eux Exercice 6 Quelle est la norme euclidienne du vecteur(,,,) dansr 25? Exercice 7 Soientu et v deux vecteurs der 3 dont les normes sont u = 3 et v = 4 Quelles sont les valeurs maximale et minimale de u v et u v? Exercice 8 Soientu = (x,y,z) un vecteur du plan der 3 d équationx+y +z =, et v = (z,x,y) Montrer queu v = 2 u v 2 Calculer l angle entre u et v 22 La notion de matrice Nous allons maintenant introduire la notion de matrice, ou plutôt son action sur un vecteur En gros, une matrice est un tableau de nombres Voyons tout de suite quelle est la définition de son action sur un vecteur, ce qu on appelle aussi la multiplication matrice vecteur 22 Ecriture matricielle d une combinaison linéaire Commençons par un exemple dansr 2 On peut écrire l égalité : [ [ ] [ = ou encore3u+2v = b avecu = ] 2 7] [ 2 ],v = [ ] [ 4 et b = 2 7] On introduit la matrice 2 2 qui est un tableau dont la première colonne est le vecteur u et la deuxième colonne le vecteur v : A = [ u v ] [ ] 2 = 2 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 Algèbre linéaire, Maths générales II

12 22 La notion de matrice 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 Grâce à cette matrice, on réécrit la combinaison linéaire3u+2v comme le produit de la matriceaavec le vecteur (3,2) : [ [ ] [ ][ [ u+2v = 3 +2 = = ] 2 2 2] 7] Notons x le vecteur de composantes (3,2) Le produit Ax de la matrice A par le vecteur x est la combinaison linéaire3u+2v Plus généralement sixest un vecteur de composantes(x,x 2 ), le produitax est la combinaison linéaire x u + x 2 v, càd première composante du vecteur fois première colonne de la matrice plus deuxième composante du vecteur fois deuxième colonne de la matrice Plus qu une définition du produit matrice vecteur (qu on verra plus en détail au chapitre suivant), ceci est le véritable concept : au départ ce sont les coefficientsx x 2 qui multiplient les vecteurs, maintenant c est la matrice formée par ces vecteurs qui multiplie le vecteurxdont les composantes sontx et x 2 A retenir : Le résultat d un produit matrice vecteur est toujours une combinaison linéaire des colonnes de la matrice On peut alors aussi remarquer que le vecteur Ax s écrit Ax = x u+x 2 v = x [ 2 ] +x 2 [ 2 ] = [ ] 2x x 2 = x +2x 2 [ ] (2, ) (x,x 2 ) = (,2) (x,x 2 ) [ ] l (A) x l 2 (A) x La première composante de Ax est le produit scalaire de la première ligne de A, l (A), avec le vecteur x, et la deuxième composante de Ax est le produit scalaire de la deuxième ligne dea, l 2 (A), avec le vecteurx C est un autre moyen, très couramment utilisé, de calculer le produit matrice vecteur Considérons comme deuxième exemple 2 les trois vecteurs der 3 suivants : u =,v =,w = (22) Ecrivons la combinaison linéaire αu + βv + γw : α +β +γ = α β α γ β On écrit maintenant cette combinaison linéaire sous forme matricielle, càd à l aide d un tableau de nombres, qu on notea ; le vecteuru est la première colonne du tableau, le vecteurv la seconde, et le vecteurw la troisième : α β = α β α γ γ β Les scalairesα,β,γ sont les composantes d un vecteurxder 3 Le produit de la matriceapar le vecteurxest la combinaison linéaire αu + βv + γw des trois colonnes de A α Ax = β = [ u v w ] α β = αu+βv +γw γ γ Revenons sur le concept du produit matrice vecteur exposé plus haut pour un vecteur der 2 : au départ ce sont les coefficients α β γ qui multiplient les vecteurs, maintenant c est la matrice formée par ces vecteurs qui multiplie le vecteurxdont les composantes sont α,β et γ Du coup on va maintenant renommer les composantesα,β et γ de x en x,x 2,x 3 En notantb,b 2,b 3 les composantes deax = b, on obtient : Ax = x x 2 = x x 2 x = b b 2 = b x 3 x 2 b 3 x 3 Comme dans le cas de l exemple précédent, on peut alors introduire une autre vision (qui est la plus habituelle dans la plupart des ouvrages) du produit matrice vecteur Ax : les composantes du vecteur b = Ax sont obtenues 2 Cet exemple est tiré du livre de Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 2 Algèbre linéaire, Maths générales II

13 22 La notion de matrice 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 en effectuant le produit scalaire de chaque ligne de la matrice avec le vecteurx Sur l exemple qu on vient de voir, ceci donne : Ax = x x 2 = (,,) (x,x 2,x 3 ) (,,) (x,x 2,x 3 ) = x x 2 x = b b 2 = b x 3 (,,) (x,x 2,x 3 ) x 3 x 2 b 3 En général, quand on fait des calculs à la main de matrice (on aimerait que ce soit le moins souvent possible, les ordinateurs sont là pour ça!) c est cette façon là qu on emploie 222 Equations linéaires Jusqu à présent, on a supposé que le vecteur x, dont les composantes sont les coefficients de la combinaison linéaire, était connu, et on cherchait à calculer la combinaison linéaire b résultante Supposons maintenant au contraire qu on cherche les coefficients de la combinaison linéaire des trois vecteursu, v et w définis par (22) de manière à ce qu elle soit égale au vecteurb, qui lui est maintenant supposé connu On cherche doncx,x 2 etx 3 tels quex u+x 2 v+x 3 w = b Ceci revient à résoudre un système linéaire enx,x 2 etx 3 La question Trouver les coefficientsx,x 2, x 3 tels que la combinaison linéaire x u+x 2 v +x 3 w soit égale à b est équivalente à la question résoudre le système Ax = b Avec la matriceadéfinie par A =, le système Ax = b s écrit x = b x +x 2 = b 2 et a comme solution x 2 +x 3 = b 3 x = b x 2 = b +b 2 x 3 = b +b 2 +b 3 (222) Notons que ce système est particulièrement simple parce qu on a directementx à partir de la première équation, on peut ensuite substituerx dans la deuxième équation et trouverx 2, et enfin substituerx etx 2 dans la troisième équation et trouver x 3 Ceci est possible parce qu on travaille avec une matrice triangulaire inférieure, c est à dire une matrice dont tous les coefficients au dessus de la diagonale sont nuls Evidemment, tous les systèmes ne sont pas aussi simples à résoudre Remarquons que si b = (le vecteur de composantes(,,)) la solution x du système est x = Ceci est une propriété remarquable, qui est vraie pour la matrice A de ce système, mais qui ne l est pas pour n importe quelle matrice Remarquons également que pour n importe quelb = (b,b 2,b 3 ), le calcul ci dessus va nous fournir un uniquex = (b,b +b 2,b +b 2 +b 3 ) Cette propriété est dûe au fait que la matriceaest inversible, au sens où, à partir de n importe quel b, on peut récupérer un et un seul x (on verra plus loin la définition précise de matrice inversible) x = b Si Ax = b, alorsx= x 2 = b +b 2 = b b 2 = Sb (223) x 3 = b +b 2 +b 3 Donc la solution du systèmeax = b est donnée parx = Sb On dit ques est la matrice inverse dea, notéea On obtientbàpartir de x en multipliantxpar A On retrouvex en multipliantbpar A La matricea défait ce que la matriceaafait On peut aussi écrirea Ax = x Considérons maintenant les trois vecteurs der 3 suivants : u =,v =, w = Les deux premiers vecteurs u et v sont les mêmes que précédemment, mais le vecteur w a un - en première composante au lieu d un zéro La matrice C formée par ces trois vecteurs s appelle la matrice des différences cycliques Elle s écrit : C = [ u v w ] =, b 3 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 3 Algèbre linéaire, Maths générales II

14 22 La notion de matrice 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 et les combinaisons linéaires des vecteursx u+x 2 v +x 3 w s écrivent de manière matricielle : Cx = x x 2 = x x 3 x 2 x = b x 3 x 2 Ce système est nettement moins facile à résoudre que le précédent, et même, en fait il est impossible de trouver la solution du système, vu que le système admet une infinité de solutions, ou au contraire pas de solution du tout Par exemple, le système Cx = admet comme solution x =, mais aussi tous les vecteurs de la formeαx,α R Mais par contre, le systèmecx = b = n admet aucune solution, car la somme des trois composantes decx vaut zéro alors que la somme des trois composantes du second membre b vaut Géométriquement, ceci revient à dire qu il n existe pas de combinaison linéaire des trois vecteurs u, v et w qui donne le vecteur b = (,,) Donc l ensemble des combinaisons linéaires des trois vecteurs u, v et w ne remplit pas tout l espace R 3 Pour que le système Cx = b ait une solution, il faut que la somme des trois composantes du second membre soit nulle, puisque la somme des trois composantes de Cx est toujours nulle En d autres termes, toutes les combinaisons linéairesx u+x 2 v+x 3 w sont dans le plan d équationb +b 2 +b 3 = On voit ici la différence cruciale entre les combinaisons linéaires de u, v et w, qui remplissaient tout l espace, et celles deu, v et w, qui ne remplissent qu un plan 223 Dépendance et indépendance On choisit les deux premiers vecteurs colonnes u et v de la matrice précédente L ensemble des combinaisons linéaires de ces deux vecteurs est un planp der 3 On a vu dans les paragraphes précédents deux cas possibles : pour la matrice A, le troisième vecteur colonne w de la matrice A n est pas dans le même plan P : les combinaisons linéaires de u, v et w remplissent l espace tout entier Pour la matrice C, le troisième vecteur colonne w de la matrice C est dans le même plan P : les combinaisons linéaires de u, v et w remplissent un plan, et non plus tout l espace On peut écrire w comme combinaison linéaire deuet v Le vecteurw n est pas dans le plan deuetv ; les vecteurs sont indépendants ou libres La seule combinaison qui donneb = est u+v +w Le vecteur w est dans le plan deuet v ; les vecteurs sont dépendants ou liés Il y a des combinaisons à coefficients non nuls qui donnentb = (caru+v +w = ) Les notions de dépendance et d indépendance sont fondamentales, et nous y reviendrons plus en détail par la suite On peut déjà remarquer sur cet exemple les liens entre la notion d indépendance des vecteurs colonnes de la matrice et la résolution des systèmes : Colonnes indépendantes Ax = a une solution unique x = La matrice A est inversible Colonnes dépendantes Cx = a plusieurs solutions La matrice C n est pas inversible 224 Exercices Exercice 9 (On commence tout doucement) Soit A = x 3 [ ] [ 2 2 etx = 3] Construire géométriquement le vecteurax, et calculer ses composantes Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 4 Algèbre linéaire, Maths générales II

15 22 La notion de matrice 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 2 Mḙme question avec A = [ ] [ 2 etx = 2 3] 3 Effectuer maintenant les produits Ax à l aide des produits scalaires des lignes de la matrice par le vecteur x Exercice (On continue doucement) Soientuet v deux vecteurs der 2 SoitAla matrice dont la première colonne est u et la secondev [ [ (a) Ecrire A pouru = et v = Cette matrice s appelle la matrice identité et se noteid ] ] 2 (l indice 2 signifiant qu il s agit d une matrice carrée d ordre 2) CalculerId 2 x pourx R 2 (b) On suppose maintenantu etv quelconques Soitx = (2, ) Le produitax est une combinaison des colonnes dea Exprimer cette combinaison linéaire [ [ 2 Donner les composantes du vecteur résultant pour u = etv = 2] ] 2 Soient u,v et w trois vecteurs de R 3 La multiplication d une matrice A = [ u v w ] par le vecteur colonne x = (2,, 3) donne une combinaison des colonnes de A Exprimer cette combinaison linéaire Donner les composantes du vecteur Ax pour u = 2,v = 2 et w = 2 3 Exprimer la matrice identitéid 3, càd la matrice telle queid 3 x = x pour toutx R 3 Exercice (Produit matrice vecteur pour une matrice n p) Si A est une matrice de n lignes et p colonnes, on la multiplie par un vecteur x pour obtenir un vecteur b qui est combinaison linéaire des colonnes de A Quel est le nombre de composantes des vecteursxet b? Exercice 2 (Combinaisons linéaires de deux vecteurs dansr 3 ) Soient u et v deux vecteurs de R 3 On note E l ensemble de leurs combinaisons linéaires Discuter en fonction de u et v si les situations suivantes peuvent avoir lieu? E =, 2 E est réduit au vecteur nul, 3 E est une droite, 4 E est un plan, 5 E est l espace tout entier Exercice 3 (Matrice et linéarité) SoitA = Calculer Au et Av [ ] [ [ a b une matrice 2 2 Soient u = et v = c d ] ] 2 Soientα etβ des réels CalculerA(αu+βv) etαau+βav Comparer C est cette propriété qu on appelle linéarité : on verra plus loin que l applicationx Ax est une application linéaire Exercice 4 (Matrice d élimination) Soientl R,x = (x,x 2 ) R 2 et soit E la matrice 2 2 définie par [ ] E = l Calculer b = Ex Décrire (en Français) l opération effectuée sur les lignes de x lorsque la matrice E multiplie le vecteurx [ ] 2 SoitF = Calculerc = Fb Décrire (en Français) l opération effectuée sur les lignes deblorsque l la matricef multiplie le vecteurb Exercice 5 (Une propriété surprenante, à première vue) Soient(a,b) et (c,d) R 2 On suppose que(a, c) et(b, d) sont colinéaires Montrer qu alors(a, b) et (c, d) sont colinéaires [ ] a b 2 SoitA = ; montrer que les vecteurs colonnes deasont liés si et seulement si les vecteurs lignes de c d A le sont Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 5 Algèbre linéaire, Maths générales II

16 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 23 Méthode du pivot de Gauss 23 Ecriture vectorielle et matricielle des systèmes linéaires Considérons le système de deux équations à deux inconnues : { x+2y = 4 2x 3y = (234) Regardons ce qui se passe ligne par ligne Chaque ligne donne l équation d une droite, qu on représente dans la figure 2 Pour que le couple(x, y) vérifie les deux équations, il faut donc que le point de coordonnées x et y soit l intersection des deux droites C est ce qu on appelle la vision par lignes du système : la solution du système (234) est l intersection de deux droites Voyons maintenant un peu ce qui se passe si on regarde les choses par y x+2y = 4 2x 3y = x = 2,y = x FIGURE 2 Vision par lignes : la solution du système est l intersection des droites colonnes On va maintenant lire le système (234) comme une équation vectorielle faisant intervernir les vecteurs : [ [ ] [ 2 4 u =,v = et b = 2] 3 ] Avec ces vecteurs, on peut réécrire le système (234) comme une seule équation vectorielle xu+yv = b On cherche la bonne combinaison linéaire deuetv (càd les bons coefficientsxety) qui va donnerb, comme on le voit sur la figure 22 ; ceci s écrit aussi avec les vecteurs colonnes : [ [ [ 2 4 x +y = = b 2] 3] ] Avec le choixx = 2 ety =, on retrouve bienb:on va donc multiplier le vecteuru parx = 2 et le vecteurv par y = puis additionner les vecteurs2u etv pour trouverb [ [ ] [ = = b 2] 3 ] On réécrit maintenant l équation vectorielle sous forme matricielle La matrice A est un tableau de 2 2 nombres, dont la première colonne est le vecteur u et la deuxième colonne le vecteur v : A = [ ] Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 6 Algèbre linéaire, Maths générales II

17 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 y [ 2 2u = 4 ] [ u = 2 ] ] b = [ 4 x v = [ 2 3 FIGURE 22 Vision par colonnes ] Dans la vision par colonnes, le produit de la matrice A par le vecteur x = (x, y) est égal à la combinaison linéaire xu+yv : [ ] [ [ 2 x 2 Ax = = x +y 2 3][ y 2] 3] Dans la vision par lignes, le produit de la matrice A par le vecteur x = (x,y) est un vecteur b dont la première composante est le produit scalaire de la première ligne de la matrice avec le vecteurxet la deuxième composante le produit scalaire de la deuxième ligne de la matrice avec le vecteurx Lorsqu on regarde les lignes dea, on a la vision par lignes, et lorsqu on regarde les colonnes, on a la vision par colonnes Le système d équations sous forme matricielle s écrit alors : [ 2 2 3][ x y On effectue la multiplication matrice vecteur soit en effectuant le produit scalaire des lignes avec le vecteur de composantes (x,y) soit par combinaison linéaire des colonnes de A On a vu que la solution de ce système est x = 2 et y = Dans le chapitre suivant, on va résoudre des systèmes de n équations à n inconnues, et la matrice du système sera donc un tableau de n n nombres Mais donnons maintenant un exemple dans R 3 On considère le système linéaire : qui s écrit sous forme matricielle : ] = [ 4 ] x +y +z = 3 x +2y +3z = 9 x 2y +4z = x y = 3 9 z 2 Donnons les visions par lignes et par colonnes pour cet exemple (235) Vision lignes Chaque ligne du système est l équation d un plan dans R 3 Le système (235) possède une unique solution si les plans se coupent en un point Le produit Ax s effectue par lignes en prenant les produits scalaires : Ax = A x y = (ligne) x (ligne2) x z (ligne3) x Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 7 Algèbre linéaire, Maths générales II

18 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 Vision colonnes Résoudre le système revient à trouver les bons coefficients x, y et z d une combinaison linéairexu+yv +zw des vecteursu,v etw pour quexu+yv +zw = b, avec : u =,v = 2 2 et w = 3 4 Le produit Ax s effectue par colonnes en calculant la combinaison linéaire : Ax = x(colonne)+y(colonne2)+z(colonne 3) Avec la matrice A ci-dessus, on remarque que b = 3(colonne3) On en déduit que la solution du système est (x, y, z) = (,, 3) (mais les choses ne sont évidemment pas toujours aussi simples!) 232 Elimination Un exemple2 2 Vous avez vu en secondaire comment résoudre un système par élimination et substitution On va étudier cette année une procédure systématique d élimination, celle qui est utilisée dans les programmes informatiques pour la résolution des systèmes linéaires, et qui est connue sous le nom de méthode de Gauss 3 Sur le système précédent, { x+2y = 4 2x 3y = devient { x+2y = 4 7y = 7 (multiplier la première équation par 2) (puis soustraire à la deuxième) (236) La deuxième équation donne alors y =, puis en substituant cette valeur dans la première x = 2 L étape d élimination produit un système dont la matrice est triangulaire supérieure (les coefficients sous la diagonale sont nuls) Une fois que la matrice du système est sous forme triangulaire supérieure, il est très facile de le résoudre par substitution La solution du système d origine et du système après élimination est la même, comme on peut le voir sur la vision en ligne des figures 2 et 23 y 7y = 7 x+2y = 4 x = 2,y = x FIGURE 23 le système après élimination dans la deuxième équation : Vision par lignes : la solution du système est l intersection des droites, elle n a pas changé Même si ce système est très simple à résoudre et que vous auriez très certainement réussi à le faire sans ce cours d algèbre linéaire, cela vaut le coup d analyser les opérations qu on a effectuées pour comprendre la méthode et l appliquer dans des cas plus compliqués Pour éliminer x dans la deuxième équation, on a multiplié la première équation par 2 et on l a soustraite à la deuxième On a utilisé pour cela le fait que le premier coefficient de la première ligne est, et en particulier non 3 Johann Carl Friedrich Gauss (3 avril février 855) est un mathématicien, astronome et physicien allemand Il est considéré comme l un des plus grands mathématiciens de tous les temps Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 8 Algèbre linéaire, Maths générales II

19 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 nul : on dit que c est le pivot Comme le coefficient devant x dans la deuxième équation est 2, le multiplicateur pour l élimination est donc aussi 2 Prenons le même système, mais où on a multiplié la première ligne par 5 : l élimination va se faire maintenant de la manière suivante : { 5x + y = 2 2x 3y = { 5x + y = 2 devient 7y = 7 (multiplier la première équation par 2 5 (puis soustraire à la deuxième) (237) La solution reste évidemment la même, mais maintenant, le premier coefficient de la première ligne est 5 Comme le coefficient devantxdans la deuxième équation reste égal 2, le multiplicateur est maintenant 2 5 La deuxième équation a elle aussi un pivot, qui est égal à -7, et qui permet d obtenir la solution (on l utiliserait pour éliminery dans la troisème équation s il y en avait une) Pour résoudre un système de deux équations à deux inconnues, on a utilisé 2 pivots Pour résoudre un système de n équations à n inconnues, on aura besoin de n pivots Notez qu à la fin de l élimination, le système obtenu a une forme triangulaire, et que les pivots sont sur la diagonale du triangle Voyons maintenant si les choses peuvent se passer plus mal (et oui elles le peuvent!) Echecs possibles de l élimination de Gauss Si on programme l algorithme de Gauss comme expliqué au paragraphe précédent et qu on l applique à n importe quelle matrice, il est possible que le résultat soit NaN ce qui veut dire en décodé Not a Number : l ordinateur vous répond que vous essayez de diviser par zéro et qu il ne sait pas faire petite explication sur trois exemples faciles, déduits du précédent Exemple 26 (Echec total de l élimination : pas de solution) Avec le système suivant : { x 2y = 4 2x 4y = devient { x 2y = 4 y = 7 (multiplier la première équation par 2) (puis soustraire à la deuxième) (238) l élimination ne marche pas parce qu arpès élimination de x, la deuxième équation a un zéro devant le y, et on ne peut pas diviser par (comme votre ordinateur vous le fera savoir si vous essayez ) ; on dit aussi qu on a un zéro en position pivotale, mais il est absolument interdit de dire un pivot nul, parce qu un pivot n est jamais nul Cet échec peut ḙtre interprété géométriquement (vision lignes ) par le fait que les deux équations du sytème sont les équations de deux droites parallèles et non confondues, et donc ont une intersection vide On peut aussi l interpréter vectoriellement (vision colonnes ) par le fait qu on ne peut pas atteindre le vecteur (4, ) par une combinaison linéaire des vecteurs(, 2) et ( 2, 4) Exemple 27 (Echec de l élimination, mais infinité de solution) Dans l exemple précédent, on remplace le second membre(4,) par(4,8) : { { x + 2y = 4 x + 2y = 4 (multiplier la première équation par 2) devient (239) 2x + 4y = 8 y = (puis soustraire à la deuxième) Là encore on a un zéro en position pivotale, et votre ordinateur risque de ne pas aimer si vous n avez pas mis de test dans votre programme Mais contrairement à l exemple précédent, on a maintenant une solution au système, et mḙme une infinité de solutions : en effet, tout y R satisfait la deuxième équation et une fois qu on a choisi un y, on obtient x par la première Dans la vision lignes, les droites qui étaient parallèles dans l exemple précédent sont maintenant confondues Dans la vision colonnes, le second membre b = (4, 8) est maintenant sur la mḙme droite que les vecteurs colonnes(,2) et (2,4) de la matrice du système Exemple 28 (Echec temporaire de l élimination : deux pivots obtenus par échange de ligne) Supposons qu on ait un zéro en position pivotale de la première ligne : { { x + 2y = 4 2x 3y = (devient, après échange) (des deux lignes) 2x 3y = x + 2y = 4 (23) Le nouveau système est sous forme triangulaire, et il est donc prḙt pour l étape de substitution, dite aussi étape de remontée La deuxième équation donney = 2 puis la premièrex = 7 2 Les pivots du système sont 2 et 2, mais pour les obtenir on a dṷ échanger les lignes Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 9 Algèbre linéaire, Maths générales II

20 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 Les deux premiers exemples sont des systèmes non inversibles (ou singuliers) : dans les deux cas on n a pas de pivot pour la seconde équation (zéro en position pivotale) Les systèmes singuliers ont soit solution, soit une infinité de solutions Le deuxième exemple fait apparaître un système inversible (ou régulier) On obtient les deux pivots souhaités (parce qu on a deux équations et deux inconnues) et on a une solution unique Théorie générale pour les systèmes2 2 Lemme 29 Soient a, b, c, d, α, β des réels On suppose a Alors le système { ax+ by = α cx+ dy = β est équivalent au système { ax+ by = α (d bc a )y = β c a α Démonstration : Soit (x,y) R 2 Si (x,y) est solution du premier système, alors dans ce premier système, on multiplie la première équation par c/a (on a le droit car a ) et on l additionne à la seconde équation On vérifie ainsi que (x, y) est solution du second système Réciproquement, si (x, y) est solution du second système, alors dans ce second système, on multiplie la première équation par c/a et on l additionne à la seconde équation On vérifie ainsi que(x, y) est solution du premier système On conclut que les deux systèmes ont même ensemble de solution Ils sont donc équivalents [ ] a b Théorème 2 Soient a,b,c,d des réels et A = Le système Ax = b admet une solution unique pour c d toutb R 2 si et seulement si la matriceaadmet deux pivots lors de l élimination de Gauss Démonstration : Dire que la matrice A admet deux pivots lors de l élimination de Gauss signifie que, quitte à échanger les deux lignes dea, le premier coefficient de la première ligne deaest non nul, et que après avoir fait apparaître un en première position de la seconde ligne de A, le coefficient en deuxième position est non nul Par le Lemme 29, on peut résumer cela en soit a etd bc/a, soit a =, et dans ce cas on intervertit les deux lignes et on ac et b da/c Dans chacun de ces deux cas, l étape de remontée montre par son procédé constructif qu il existe une unique solution au système On a ainsi montré que l existence de deux pivots entraîne l existence et unicité de la solution du système Montrons maintenant que si on n a pas deux pivots alors on n a pas existence et unicité Si on n a pas deux pivots en sortie de l élimination, on n est donc dans aucun des cas ci-dessus, et alors on est dans l une des situations suivantes : a = = c : on est ramené au système { by = α dy = β qui aou une infinité de solution, a et d bc/a = : on est ramené au système { ax+ by = α y = β c a α qui aou une infinité de solution, c et b da/c = : on est ramené au système { cx+ dy = β y = α a c β qui aou une infinité de solution Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 2 Algèbre linéaire, Maths générales II

21 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 Définition 2 Soient a, b, c, d des réels On appelle déterminant de la matrice A = le réel défini pardet(a) = ad bc [ ] a b et on notedet(a) c d [ ] a b Proposition 22 Si la matrice A = a deux pivots lors de l élimination de Gauss, le déterminant de la c d matriceaest égal au produit des pivots Si le nombre de pivots est strictement inférieur à 2,det(A) = Le système Ax = b admet donc une solution unique pour toutb R 2 si et seulement si det(a) Démonstration : Voir exercice Un système3 3 On va maintenant effectuer l élimination de Gauss sur le système3 3 suivant : 2x + 4x 2 2x 3 = 2 4x + 9x 2 3x 3 = 8 2x 3x 2 + 7x 3 = (23) Le premier pivot est le premier coefficient non nul de la première ligne, càd 2 On utilise ce pivot pour annuler les coefficients de x dans les lignes 2 et 3 On soustrait 2 fois la ligne à la ligne 2, et on soustrait (-) fois la ligne à la ligne 3 : 2x + 4x 2 2x 3 = 2 4x + 9x 2 3x 3 = 8 2x 3x 2 + 7x 3 = l 2 l 2 2l l 3 l 3 ( )l 2x + 4x 2 2x 3 = 2 x 2 + x 3 = 4 x 2 + 5x 3 = 2 Dans les formules ci-dessus la phrasel 2 l 2 2l est à comprendre par la ligne 2 est remplacée par la la ligne 2 - deux fois la ligne On cherche maintenant le pivot de la deuxième équation, il se trouve que c est le coefficient dex 2, égal à On utilise ce pivot pour annuler le coefficient dex 2 dans la ligne 3 : 2x + 4x 2 2x 3 = 2 x 2 + x 3 = 4 x 2 + 5x 3 = 2 l 3 l 3 l 2 2x + 4x 2 2x 3 = 2 x 2 + x 3 = 4 4x 3 = 8 La troisième ligne comporte un pivot égal à 4 devant x 3 et donc le système est transformé par l élimination de Gauss en un système triangulaire supérieur : 2x + 4x 2 2x 3 = 2 4x + 9x 2 3x 3 = 8 2x 3x 2 + 7x 3 = devient, après élimination de Gauss où les pivots sont écrits en gras Ceci peut encore s écrire 2x + 4x 2 2x 3 = 2 x 2 + x 3 = 4 4x 3 = 8 Ax = b Ux = c, aveca = , b = 2 8, C = 2 4 2, et c = (232) On effectue ensuite une remontée pour trouver la solutionxdu système : La troisième équation4x 3 = 8 donnex 3 = 2 La deuxième équationx 2 +x 3 = 4 donnex 2 = 2 La première équation2x +4x 2 2x 3 = 2 donnex = Dans la vision en lignes, ceci veut dire que l intersection des trois plans dont les équations sont celles du système (232) est le point(, 2, 2) Dans la vision en colonnes, ceci veut dire qu une combinaison linéaire de vecteurs colonnes donne le second membre b : Ax = ( ) = 2 8 = b Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 2 Algèbre linéaire, Maths générales II

22 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 ce qui s écrit sous forme matricielle : Ax = = 2 8 = b Dans le cas d un système4 4 oun n, la méthode d élimination de Gauss fonctionne selon les mêmes principes ; on part d une matrice, et de colonne en colonne, on transforme A en une matrice triangulaire U, si l élimination marche jusqu au bout, selon le schéma suivant : Etape Utiliser la première équation pour créer des zéros sous le premier pivot dans la colonne Etape 2 Utiliser la nouvelle équation 2 pour créer des zéros sous le deuxième pivot dans la colonne 2 Etape 3 à n Continuer à chercher lesnpivots et la matrice triangulaireu pour les colonnes 3 àn Après l étape 2, on a une matrice de la forme et on cherche une matrice de la forme 234 Géométrie affine et vectorielle Points et vecteurs Les points sont des éléments du plan ou de l espace Les vecteurs der 2 sont les éléments de R 2, c est-à dire des couples de nombres Les vecteurs der 3 sont les triplets de nombres Restons pour l instant dans le plan et donnons-nous un repère (O,i,j) Etant donnés deux points A et B de coordonnées (x A,y A ) et (x B,y B ), on peut définir le vecteur AB = (x B x A,y B y A ) Notez que (x A,y A ) désigne à la fois les coordonnées deaet le vecteuroa De plus, on a OA = x A i+y A j Vous saurez généraliser à l espace Le mot droite peut désigner 2 objets différents : lorsque c est un ensemble de points alignés, on parle de droite affine Lorsque c est un ensemble de vecteurs tous colinéaires à un vecteur fixé u, on parle de droite vectorielle Comme u =, on voit que toute droite vectorielle contient le vecteur nul On distingue de même les plans affines et les plans vectoriels (un plan vectoriel est l ensemble des combinaisons linéaires de 2 vecteurs non colinéaires) Dans les systèmes Considérons le système (S) { ax+by = α cx+dy = β On sait le réécrire sous la formeax = b avec [ ] a b A = c d [ x, x = y], b = [ α β] Et là, s agit-il de points ou de vecteurs? Comme c est écrit en gras, vous aurez deviné :xest un vecteur der 2 On est en train de chercher les x = (x,y) qui vérifient Ax = b La matrice A agit sur un vecteur de R 2 et le résultat est un vecteur der 2 Mais (x, y) désigne aussi les coordonnées d un point M qui (étant donné un repère) appartient aux deux droites dont les équations sont ax + by = α et cx + dy = β Dans la lecture en ligne du système (S), on a donc des équations de droites affines du plan Encore une fois, ce qui est un peu perturbant, c est que (x,y) désigne à la fois un vecteur x et les coordonnées d un pointm tel queom = x Dans la lecture en ligne d un système de3équations à3inconnues, chaque équation est l équation d un plan affine (constitué de points donc!) Dans ce cas, les inconnues (x,y,z) sont les coordonnées d un point (s il en existe ) qui appartient à ces3plans Mais(x,y,z) est aussi un vecteurx = (x,y,z) élement der 3 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

23 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 Une pause pour voir si on a compris Dans le plan muni d un repère, l équation ax + by + c = désigne (lorsque(a, b) (, ) ) une droite affine : l ensemble des points M de coordonnées(x, y) tels que (x, y) vérifie cette équation Mais rien n empêche de se demander quel est l ensemble des vecteurs x = (x,y), éléments de R 2, qui vérifient l équation ax + by + c = Ce n est pas une droite vectorielle sauf si c = (souvenez-vous que appartient toujours à une droite vectorielle!) C est tout simplement l ensemble des vecteursom lorsquem décrit la droite affine d équationax+by +c = Passer des droites affines aux droites vectorielles Si D est une droite affine, on définit la droite vectorielle D associée comme l ensemble D := {AB : A,B D} Notez que D est l ensemble des vecteurs directeurs de D auquel on a ajouté La même définition vaut pour passer des plans affines aux plans vectoriels Par exemple, dans l espace muni d un repère, considérons le plan affine P d équation ax + by + cz + d = (avec(a,b,c) (,,)) Prenons2 pointsaetb dep On note(x A,y A,z A ) et(x B,y B,z B ) leurs coordonnées respectives Alors le vecteur AB associé aux points A et B, qui est dans le plan vectoriel P est (x B x A,y B y A,z B z A ) On vérifie que a(x B x A )+b(y B y A )+c(z B z A ) = Réciproquement, soitu = (x,y,z) un vecteur tel queax+by+cz = Fixons un pointc dansp de coordonnées (x C,y C,z C ) On définit alors le pointd par ses coordonnées(x D,y D,z D ) = (x,y,z)+(x C,y C,z C ) On vérifie que ax D +bx D +cx D +d = DoncD est dansp De plus, u = (x D x C,y D y C,z D z C ) = CD Ainsi u s écrit bien sous la forme CD où les 2 points C et D appartiennent à P Conclusion : Le plan vectoriel P associé à P admet pour équation : ax + by + cz = Pour trouver des vecteurs directeurs de P, il suffit donc de prendre n importe quel vecteur (non nul)(x, y, z) qui vérifie ax + by + cz = Questions à se poser face à un exercice de géométrie Demandez-vous si vous savez bien : i) Quelle est l équation cartésienne/paramétrique d une droite dans le plan / dans l espace? Comment passer de l une à l autre? ii) Idem pour les plans iii) Comment en déduire un vecteur directeur, un vecteur normal? (Et si vous savez justifier pourquoi il s agit bien d un vecteur directeur, normal?) 235 Exercices Elimination par Gauss Exercice 6 (Pivots) [ ] 2 SiAest la matrice, quels sont ses pivots lors de l élimination par Gauss? 6 6 [ ] 2 Mḙme question poura = Mḙme question poura = Exercice 7 (Un système particulier) Soienta,αet β des réels On considère le système suivant : { ax+y = α x+ay = β Donner les valeurs dea,αet β pour lesquelles le système admet : Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

24 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 une solution unique, 2 une infinité de solutions, 3 pas de solution Exercice 8 (Un petit peu de réflexion) Montrer qu un système linéaire 2 2 (ou 3 3) ne peut pas avoir exactement deux solutions Exercice 9 SoitA = a 2 a a 3 Pour quelles valeurs de a l élimination de Gauss va-t-elle échouer? a a a Exercice 2 (Matrices A et U dans l algorithme de Gauss) On suppose que l élimination de Gauss sur Ax = b a produit le système triangulaire supérieur (équivalent) U x = c sans permutation de ligne De quelles lignes de A la ligne i de U est-elle une combinaison linéaire? 2 SiAx =, a-t-onux =? 3 SiAx = b, a-t-onux = b? 4 SiAest triangulaire inférieure, comment est la matriceu? Pour aller plus loin Exercice 2 (système linéaire et déterminant) Soient a, b, c, d α et β des réels On considère le système suivant : { ax+by = α Ecrire le système sous forme matricielleax = b cx+dy = β 2 Montrer que si a = et c =, il existe des seconds membres b pour lesquels le système n admet pas de solution 3 Montrer que la matrice admet deux pivots (lors de l élimination par Gauss) si et seulement si ad bc On appelle déterminant de la matrice A le nombre ad bc 4 En déduire que le système admet une solution unique pour tout second membre si et seulement si le déterminant de la matrice est non nul Algèbre linéaire et géométrie Exercice 22 (Intersection de droites dansr 2 ) Déterminer parmi les couples de droites suivantes, lesquelles sont sécantes, parallèles ou confondues Si elles sont sécantes, déterminer les coordonnées du point d intersection, si elles sont parallèles ou confondues donner un vecteur directeur et un vecteur normal Ecrire pour chaque couple de droites la vision par colonnes, càd en écrivant les systèmes linéaires à résoudre sous forme de combinaisons linéaires, puis sous forme matricielle D : 3x+5y 2 = et D 2 : x 2y +3 = 2 D : 2x 4y + = et D 2 : 5x+y+3 = { { x = 3+4t x = 5 s 3 D : t R etd y = 2 t 2 : y = 2+3s,s R { { x = +2t x = 3 4s 4 D :,t R etd y = 2 3t 2 : y = +6s,s R { x = 2+t 5 D : x 2y+3 = et D 2 :,t R y = 3 2t { x = 4t 6 D : 3x 2y + = et D 2 :,t R y = 2 6t Exercice 23 (Equations de droites dansr 2 ) On considère les droites D : x+2y = 5 et D : 3x y = et on noteale point d intersection des deux droites etb le point de coordonnées(5,2) Donner une équation cartésienne de la droite(ab) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

25 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 2 Donner une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à D et passant parb 3 Donner une équation cartésienne de la droite parallèle àd et passant parb 4 SoitC le point de coordonnées(2, 7) Donner une équation cartésienne de la médiatrice ( ) du segment [B,C] La droite( ) est elle parallèle àd? et àd? Exercice 24 (Plans et droites de R 3 ) On considère le planp d équationx y z 2 = et le planp d équation x 2y 3z + = Donner les composantes de deux vecteurs non colinéaires de chacun des plans vectoriels associés aux plans P et P 2 Donner les composantes d un vecteur normal à chacun de ces plans En déduire que ces deux plans sont sécants On noted l intersection de ces deux plans 3 Donner un vecteur directeur de cette droited et vérifier que le pointa = (5,3,) appartient à cette droite En déduire une équation paramétrique de cette droite 4 Ecrire l équation du plan orthogonal à la droited et passant par le pointb = (,,) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

26 23 Méthode du pivot de Gauss 2 Algèbre linéaire dansr 2 etr 3 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

27 Chapitre 3 Systèmes linéaires et matrices 3 Matrices et opérations sur les matrices Jusqu à présent, on n a introduit que des matrices réelles, càd avec des coefficients dans R Mais on peut très bien aussi vouloir travailler avec des matrices complexes ; dans tout ce qui suit, K est un corps qui est soit l ensemble des nombres réels R soit l ensemble des nombres complexes C 3 Définitions Définition 3 Pour tous entiers strictement positifs n et p, on appelle matrice de taille n p à coefficients dans K un tableau à n lignes et p colonnes : a, a,p a n, a n,p Les a i,j s appellent les coefficients de la matrice Le premier indice est celui de la ligne et le second celui de la colonne On notem n,p (K) l ensemble des matrices ànlignes etpcolonnes Lorsquen = p, on note simplementm n (K) = M n,n (K) et on parle alors de matrice carrée Pour n p, les matrices seront dites rectangulaires Si n > p, la forme de la matrice sera celle d un rectangle debout (plus haut que large), alors que si n < p, ce sera un rectangle couché (plus large que haut) Quelques matrices particulières : la matrice nulle O n,p = M n,p (K), qui peut être rectangulaire ou carrée si n = p Les matrices suivantes sont toutes des matrices carrées, ie des éléments dem n (K) la matrice identité Id n =, a, les matrices diagonales A = a 2,2, a n,n 27

28 3 Matrices et opérations sur les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices les matrices triangulaires supérieures U =, et inférieuresl = Des matrices très rectangulaires : les éléments dem,p (K) sont appelés matrices lignes ou vecteurs lignes, les éléments dem n, (K) sont appelés matrices colonnes ou vecteurs colonnes On peut extraire des matrices lignes ou colonnes de matrices à plusieurs lignes et colonnes : Définition 32 On appelle ième ligne de la matrice A = (a i,j ) M n,p (K) la matrice ligne [ ] a i, a i,p notée li (A) C est un élement dem,p (K) On appelle jème colonne de la matrice A = (a i,j ) M n,p (K) la matrice colonne un élement dem n, (K) 32 Opérations sur les matrices Somme de matrices a,j a n,j notée c j (A) C est Définition 33 La somme de deux matricesa = (a i,j ) M n,p (K) etb = (b i,j ) M n,p (K) de mḙme taille n p est la matrice C = A+B = B +A = (c i,j ) M n,p (K) avecc i,j = a i,j +b i,j Le produit d une matrice A = (a i,j ) M n,p (K) par un scalaire λ K est la matrice B = λa = Aλ = (b i,j ) M n,p (K) avecb i,j = λa i,j Remarque 34 (Attention aux tailles des matrices pour la somme!) On ne peut pas définir la somme de deux matrices de tailles différentes Produit de matrices Au premier chapitre, on a défini le produit d une matrice A par un vecteur x comme la combinaison linéaire des colonnes de A avec comme coefficients les composantes de x Par exemple, soit A une matrice3 3 de coefficientsa i,j,i =,,3,j =,,3; l indiceireprésente la ligne, et l indicej représente la colonne On notec (A),c 2 (A),c 3 (A) les colonnes de la matricea Soit x R 3, et (x,x 2,x 3 ) les composantes de x, alors Ax = x c (A) + x 2 c 2 (A) + x 3 c 3 (A) On peut à partir de là définir facilement le produit de deux matrices Soit la matriceb = (b i,j ) i=,,3 M 3 (K) dont les colonnes sont j=,,3 c (B) = b, b 2,, c 2 (B) = b,2 b 2,2, etc 3 (B) = b,3 b 2,3 b 3, b 3,2 b 3,3 On peut alors considérer chaque colonne c j (B), j =,2,3, comme un vecteur et effectuer le produit matrice vecteurac j (B) : Ac j (B) = b,j c (A)+b 2,j c 2 (A)+b 3,j c 3 (A) Chaque produit donne un vecteur colonne, qu il est naturel de définir comme la j-ème colonne de la matriceab Chaque colonne de la matrice AB est donc une combinaison linéaire des colonnes de la matrice A Calculons le coefficient (i,j) càd de la i-ème ligne et j-ème colonne de la matrice AB, qu on va noter (AB) i,j Il s agit donc de la i-ème composante du vecteur colonne Ac j (B) = b,j c (A) + b 2,j c 2 (A) + b 3,j c 3 (A) On a donc (AB) i,j = b,j a i, +b 2,j a i,2 +b 3,j a i,3 Ceci peut encore s écrire : (AB) i,j = a i, b,j +a i,2 b 2,j +a i,3 b 3,j = 3 a i,k b k,j De manière plus générale, on définit donc le produit de deux matrices quelconques de la maniére suivante : k= Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

29 3 Matrices et opérations sur les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Définition 35 Le produit de deux matrices A = (a i,j ) M n,p (K) et B = (b i,j ) M p,q (K) est la matrice C = (c i,j ) M n,q (K) avec p c i,j = a i, b,j + +a i,p b p,j = a i,k b k,j Remarque 36 (Attention aux tailles des matrices pour le produit!) Si A M n,p (K) et B M q,l (K) on ne peut effectuer le produit AB que si p = q et le produit BA que si l = n En général, mḙme si p = n = l = q,ab BA De la même façon qu on a remarqué que les colonnes de la matrice AB sont des combinaisons linéaires des colonnes de la matrice A, on peut aussi remarquer maintenant que les lignes de la matrice AB sont des combinaisons linéaires des lignes de la matrice B C est cette propriété qu on utilise dans les procédures d élimination du style de la méthode de Gauss, qu on verra prochainement Par exemple, pour le produit des deux matrices 3 3 A et B vues précédemment, on a (AB) i,j = a i, b,j +a i,2 b 2,j +a i,3 b 3,j, et donc, en notantl i (AB) et l i (B) les lignes respectives de AB etb, on a : k= l i (AB) = a i, l (B)+a i,2 l 2 (B)+a i,3 l 3 (B), ce qui montre bien que la ligneide AB est une combinaison linéaire des lignes deb En résumé, la multiplication de A à droite par une matrice opère sur les colonnes de la matrice A, tandis qu une multiplication deaàgauche par une matrice opère sur les lignes dea Une quatrième façon de voir le produit de deux matricesaet B est de dire que le produit deaet B est la somme des produits des colonnes deapar les lignes deb, voir à ce sujet l exercice 28 Remarque 37 (Quelques produits particuliers) Si A = (a i,j ) M n,p (K) et X = colonney = y y n M n, (K) avec x x p M p, (K) est un vecteur colonne, le produit AX est un vecteur y i = p a i,k x k, i =,,n k= Si A = (a i,j ) M n,p (K) et X = [ x x n ] M,n (K) est un vecteur ligne, le produit XA est un vecteur ligney = [ y y p ] M,p (K) avec y j = n x k a k,j, j =,,p k= Si X = [ x x n ] M,n (K) est un vecteur ligne et Y = alors le produitxy M, (K) est un nombre donné par x y + +x n y n = y y n n x i y i On reconnaˆıt le produit scalaire des2vecteursx = (x,,x n ) et y = (y,,y n ) Si maintenant X = x x n i= M n, (K) est un vecteur colonne M n, (K) est un vecteur colonne et Y = [ y y p ] M,p (K) est un vecteur colonne alors le produit XY M n,p (K) est une matrice dont le coefficient (XY) i,j est égal à x i y j Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

30 3 Matrices et opérations sur les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices La matrice XY ainsi obtenue est une matrice très spéciale, dont toutes les colonnes sont des multiples de X et toutes les lignes des multiples de Y! Par exemple : 2 [ 4 5 ] = SoitA = (a i,j ) M n,p (K), on notee j M p, (K),F i M,n (K) les matrices E j = jème ligne, F i = [ ] ième colonne Alors on a AE j = c j (A), c est-à-dire la jème colonne de la matrice A et F i A = l i (A), c est-à-dire la ième ligne de la matrice A Proposition 38 (Propriétés de l addition et de la multiplication) On se donne A,B,C M n,p (K), D,E M p,q (K), F M q,r (K) et λ,µ K A+(B +C) = (A+B)+C, 2 A+B = B +A, 3 A+ = A, A A =, 4 λ(a+b) = λa+λb, 5 (λµ)a = λ(µa), 6 Id n A = A, AId p = A, 7 λ(ad) = (λa)d = A(λD), 8 (A+B)E = AE +BE eta(d +E) = AD +AE, 9 A(EF) = (AE)F Définition 39 (Puissance d une matrice carrée) Soit A une matrice de M n (K) et k N On définit les puissances de la matriceade la façon suivante : A = Id n, A k = AA k pour tout entierk 33 Matrice inverse et matrice transposée Définition 3 On dit qu une matricea M n (K) est inversible s il existe une matriceb M n (K) telle que AB = BA = Id n SiB existe, elle est unique et on noteb = A eta est appelé l inverse dea On noteragl n (K) a l ensemble des matrices inversibles de taille n n a La notation GL veut dire groupe linéaire, et provient du fait que l ensemble des matrices inversibles muni de la multiplication des matrices est un groupe b non commutatif dont l élément neutre estid n ; voir l exercice 57 à ce sujet Démonstration : Il y a un point à montrer : l unicité de l inverse Soient B,B 2 M n (K) telles que AB = B 2 A = Id n On multiplie à droite l égalitéb 2 A = Id n parb Il vient(b 2 A)B = Id n B = B Par associativité de la multiplication dans le membre de gauche, on ab 2 (AB ) = B et doncb 2 = B D où l unicité (on a en fait montré un peu mieux : s il existe un inverse à gauche et un inverse à droite, alors ces deux matrices sont égales) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 3 Algèbre linéaire, Maths générales II

31 3 Matrices et opérations sur les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Remarque 3 (Groupe linéaire) La notation GL veut dire groupe linéaire, et provient du fait que l ensemble des matrices inversibles muni de la multiplication des matrices est un groupe non commutatif dont l élément neutre est Id n ; voir l exercice 57 à ce sujet Remarque 32 (Inverse à gauche et à droite) En fait on peut montrer que si A est une matrice carrée et s il existe une matrice inverse à gauche A telle quea A = Id, alorsa est aussi une inverse à droite,càd AA = Id La démonstration de ce résultat nécessite des outils qu on ne verra qu un peu plus tard Il est cependant bien pratique car il permet, lorsqu on veut calculer l inverse d une matrice, de ne calculer que l inverse à gauche (par l algorithme de Gauss-Jordan qu on verra prochainement) sans vérifier que c est aussi un inverse à droite Attention On ne parle de matrices inversibles que pour des matrices carrées!!! Proposition 33 SoientA,B GL n (K) Alors la matrice AB est inversible et (AB) = B A Démonstration : Par associativité de la multiplication matricielle, on a : B A AB = B IdB = Id = ABB A Définition 34 (Matrice transposée) On appelle transposée d une matrice A M n,p (K), la matrice de M p,n (K) que l on notea t = (α i,j ) i,j=,,n dont les coefficients sont définis parα i,j = a j,i Proposition 35 (Transposition et autres opérations) SoientA,B M n,p (K), alors(a+b) t M p,n (K) et(a+b) t = A t +B t 2 SoientA M n,p (K),B M p,q (K) Alors(AB) t M q,n (K) et(ab) t = B t A t 3 SiA M n (K) est inversible, alors(a ) t = (A t ) Démonstration : Le premier point est immédiat Pour le deuxième point, on a [(AB) t ] i,j = (AB) j,i = p a j,k b k,i = k= p (A t ) k,j (B t ) i,k = (B t A t ) i,j Enfin, si A est inversible alors AA = Id Donc (AA ) t = (Id) t = Id Par le point précédent, (AA ) t = (A ) t A t DoncA t est inversible et (A t ) = (A ) t k= Définition 36 (Matrices symétrique et antisymétrique) Soit A M n,n (K), on dit que A est symétrique si A t = A et antisymétrique si A t = A Définition 37 (Matrice de permutation) Soit P M n (R) On dit que P est une matrice de permutation si P a exactement un coefficient égal à dans chaque ligne et chaque colonne, et que tous ses autres coefficients sont nuls Une matrice de permutation a donc les mḙmes lignes que la matrice identité mais dans un ordre qui peut ḙtre différent Quelques proprétés des matrices de permutation : le produit de matrices de permutation est une matrice de permutation, 2 toute matrice de permutationp est inversible et P = P t Rappel : un groupe est un ensemble non vide muni d une loi de composition interne (ou opération) associative, qui admet un élément neutre et telle que chaque élément de l ensemble admet un inverse relativement à cette loi Le groupe est dit commutatif si la loi est commutative Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 3 Algèbre linéaire, Maths générales II

32 3 Matrices et opérations sur les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices 34 Exercices Opérations sur les matrices Exercice 25 (Peut-on le faire? si oui, on le fait!) Soient A une matrice 3 7, B une matrice 7 3, C une matrice 7, et D une matrice 3, dont tous les coefficients sont égaux à (On les appelle matrices d Attila, voir aussi exercice 47) Parmi les opérations suivantes, dire lesquelles sont autorisées, et dans ce cas, calculer la matrice résultante AB BA ABD DBA A(B +C) Exercice 26 (Produits de matrices particulières) CalculerPA et EA avec [ ] [ a b P =, A = c d ] [ ete = 2 Quelles sont les actions de P et E sur les lignes de A lorsqu on effectue ces produits? Calculer maintenant AP et AE Quelles sont les actions de P et E sur les colonnes de A lorsqu on effectue ces produits? Exercice 27 (Matrice d élimination) Soit A une matrice carrée d ordre 3 Ecrire la matrice T 2, ( 3) qui, lorsqu on effectue le produit T 2, ( 3)A, soustrait 3 fois la ligne de la ligne 2? Ecrire ensuite la matrice P 3,2 qui permute les lignes 2 et 3 Effectuer ensuite les produitsat 2, ( 3) etap 3,2 et décrire la matrice résultante On considère le système Ax = b avec A = 3 3 b = Ecrire le système T 2, ( 3)Ax = T 2, ( 3)b puis le système P 3,2 T 2, ( 3)Ax = P 3,2 T 2, ( 3)b Calculer le produitc = P 3,2 T 2, ( 3) puis écrire le système CAx = Cb Exercice 28 (Une autre façon de calculer le produit de matrices) Un exemple SoientC,C 2 M 3, (R) des matrices colonnes etl etl 2 M,2 (R) des matrices lignes définies par C =, C 2 = 3 4, L = [ 2 ], L 2 = [ 3 2 ] 2 5 CalculerC L,C 2 L 2, C L +C 2 L 2 SoitA = [ [ ] ] L C C 2 M3,2 et B = M L 2,2 CalculerAB 2 Comparer Le cas général Soient A M n,p (R) et B M p,q (R) Montrer que AB = p k= c k(a)l k (B), où c k (A) M n, (R) est lak-ième colonne deaet l k (B) M,q (R) lak-ième ligne deb Exercice 29 (Matrices qui commutent) Soient a et b deux nombres réels non nuls Trouver les matrices qui commutent avec la matrice [ ] a b A = a Exercice 3 (Produits de grosses matrices!) Calculer les produits de matrices suivants : [ ] [ ] ] Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

33 3 Matrices et opérations sur les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Exercice 3 (Produit de matrices) Calculer la matrice (A Id)(A 2Id)(A 3Id) avec A = Exercice 32 (Produit dematrices triangulaires) Un exemple : SoitA = 2 2 et B = CalculerAB etba 2 Cas général : Soient A et B des matrices triangulaires supérieures (resp inférieures), montrer que leur produit est une matrice triangulaire supérieure (inférieure) Exercice 33 (Un modèle de prédation à deux niveaux) Dans la chaˆıne alimentaire, sur une période, le lion consomme 4 gazelles,5gnous et2antilopes Le guépard, plus agile, consomme7gazelles etantilope Pour ne pas se laisser abattre, les gazelles, gnous et antilopes consomment quelques végétaux : arbres, pelouses, herbes hautes et racines Une gazelle consomme g de feuilles d arbres, 3g de pelouse, 5g d herbes hautes et 5g de racines Un gnou consomme 5g de feuilles d arbres, g de pelouse, 75g d herbes hautes et pas de racines Une antilope consomme 2g de feuilles d arbres, 4g de pelouse, 25g d herbes hautes et 5g de racines Malheureusement la pollution a affecté les arbres et la pelouse La concentration de pesticide est de c = 3 par gramme de feuille d arbre et dec 2 = 5 par gramme de pelouse Bien heureusement les racines et les herbes hautes sont préservées Calculer la masse totale de pesticide ingérée par le lion et le guépard en effectuant le produit de trois matrices que l on explicitera Exercice 34 (Puissance de matrice) On considère la matrice γ β M = γ α β α oùα, β et γ sont des nombres réels Etablir une relation simple entrem etm 3 Exercice 35 (Identités remarquables?) Quelles sont parmi les matrices suivantes celles qui sont égales à (A B) 2, pour toutes les matricesaetb carrées d ordren? A 2 B 2 (B A) 2 A 2 2AB +B 2 (A B)A (A B)B A 2 AB BA+B 2 Exercice 36 (Matrices nilpotentes) On dit qu une matricea M n (K) est nilpotente 2 d ordreq sia q et A q = Donner un exemple de matrices carrées2 2 et 3 3 nilpotentes d ordre 2 Donner ensuite un exemple de matrice carrée nilpotente d ordre 3 Exercice 37 Déterminer deux matricesaetb dem 2 (R) tels que : AB = et BA Exercice 38 Montrer que toute matrice carrée est la somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique Exercice 39 (Matrice d adjacence d un graphe) Un graphe est un ensemble de points, dont certaines paires sont directement reliées par un lien Ces liens peuvent ḙtre orientés, c est-à-dire qu un lien entre deux pointsu et v relie soit u vers v, soit v vers u : dans ce cas, le graphe est dit orienté Sinon, les liens sont symétriques, et le graphe est non-orienté Les points sont généralement appelés sommets, et les liens arḙtes On peut représenter le graphe par une matrice, qu on appelle matrice d adjacence : le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne est s il existe une arḙte entre les sommets i et j, et sinon Remarquer que si le graphe est non orienté, sa matrice d adjacence est symétrique On considère un graphe à trois sommets, dont la matrice d adjacence est A = Dessiner le graphe Calculer A 2 Expliquer pourquoi le coefficient i,j de de A 2 donne le nombre de chemins à deux arḙtes entreiet j Que donnent les coefficients dea 3? 2 nilpotente : du latin nihil : rien et potere pouvoir Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

34 3 Matrices et opérations sur les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Matrices inverses Exercice 4 Justifier si les assertions suivantes sont vraies ou fausses (dans cet exercice, A et B sont 2 matrices dem n,p (K)) : SiAX = BX pour toute matricex M p, (K), alorsa = B 2 La matriceid n est inversible mais la matrice n ne l est pas 3 SiAet B sont inversibles, alorsa+b est inversible Et réciproquement Exercice 4 (Inverse d une matrice d élimination) Soit E la matrice 3 3 qui lorsqu on effectue le produit EA soustrait la première ligne à la deuxième, et P la matrice qui échange les lignes 2 et 3 Quelle est l opération qui va ramener la matrice à son état initial? Ecrire E et E Vérifier queee = E E = Id 3 Exercice 42 (système linéaire et matrice inverse) Soit A une matrice 3 3 Supposons qu on sache trouver x, y et z tels que SoitX = [ x y z ] CalculerAX Ax = Ay = Az = Exercice 43 (CNS d inversibilité d une matrice 2 2) Soit [ ] a b A = c d avec a,b,c,d K On suppose que cette matrice est inversible Calculer la matrice A en fonction de a,b,c, et d par identification Exprimer la condition sur a, b, c, et d pour que la matrice soit inversible Exercice 44 SoitA M n (K) ) On suppose qu il existe un vecteur colonnex M n, (K) non nul tel que AX = Montrer que A n est pas inversible 2) On suppose qu il existe un vecteur colonney M n, (K) qui n est pas combinaison linéaire des colonnes de A Montrer quean est pas inversible (on pourra raisonner par l absurde et écrire Y = A(A Y)) Exercice 45 (Calcul de l inverse d une matrice par une puissance) Soit [ ] 3 2 A = 2 2 CalculerA 2 et montrer quea 2 = 2Id 2 A, en déduire queaest inversible et calculera Exercice 46 (Calcul de l inverse d une matrice par produit de matrice et produit scalaire) SoitAune matrice carrée d ordren On appelle trace dea, qu on notetr(a), la somme de ses éléments diagonaux SoitAla matrice carrée d ordre 3 suivante : A = CalculerB = A Tr(A)Id 3 2 CalculerB = B A 3 CalculerB 2 = B Tr(B) 2 Id 3 4 CalculerB 3 = B 2 A 5 En déduirea Cet algorithme 3 de calcul de l inverse dṷ à Jean-Marie Souriau 4 ne nécessite donc qu un seul produit matrice vecteur et deux calculs de trace Il peut se généraliser à une matrice n n et on peut démontrer qu il donne effectivement l inverse d une matrice si celle-ci est inversible 5 3 On appelle algorithme de calcul une méthode constructive de calcul d un objet mathématique, utilisant un nombre fini d instructions 4 Jean-Marie Souriau est un mathématicien marseillais, né en 922 Il est principalement connu pour ses travaux sur la géométrie symplectique dont il a été l un des pionniers Il a été professeur à l université d Aix Marseille depuis 958 jusqu à sa retraite 5 Voir Calcul linéaire, de J-M Souriau, Tome, deuxième édition, Euclide, Introduction aux études scientifiques, Presses Universitaires de France, Paris, 964, ou herbin/l/algo-souriaupdf pour un texte introductif Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

35 3 Matrices et opérations sur les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Exercice 47 (Puissance et inverse) SoitA une matrice carrée d ordren ; on suppose quea 2 est une combinaison linéaire deaet Id n :A 2 = αa+βid n Montrer quea p est également une combinaison linéaire deaetid n pour toutp N 2 Montrer que siβ est non nul, alorsaest inversible et quea est encore combinaison linéaire deaetid n 3 Application : soita = J n Id n, oùj n est la matrice Attila (envahie par les uns), avecn Montrer quea 2 = (n 2)A+(n )Id n ; en déduire queaest inversible, et déterminer son inverse 4 Application 2 : montrer que si n = 2, A 2 est toujours une combinaison linéaire de A et Id 2, et retrouver la formule donnanta en utilisant 2 Exercice 48 On rappelle que la tracetra d une matrice A M n (K) est la somme de ses éléments diagonaux SoientA,B M n (K) Montrer quetra = TrA t 2 Montrer que λ R,TrλA = λtra ettr(a+b) = TrA+TrB 3 Montrer quetrab = TrBA A-t-onTrAB = (TrA)(TrB)? 4 SoitP GL n (K) Montrer quetr(pap ) = TrA 5 On suppose dans cette questionn = 2 Montrer quea 2 (TrA)A+(detA)Id = Transposition, permutation Exercice 49 (Sans calcul) Effectuer le produit matriciel Exercice 5 (Décomposition symétrique-antisymétrique d une matrice carrée) Montrer que toute matrice carrée est la somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique Exercice 5 Verifier par le calcul sur les matrices suivantes que(ab) t = B t A t mais A t B t [ ] [ ] A = B = Exercice 52 (Transposition et produit scalaire) Soient X R n et Y R n On peut donc aussi voir X et Y comme des vecteurs colonnes :X M n, (R) et Y M n, (R) Montrer quex Y = X t Y Calculer ensuitexy t Exercice 53 (Opérations sur les matrices symétriques) Soient A et B deux matrices carrées symétriques Les matrices A 2, AB, A 2 B 2, (A+B)(A B), BAB et BABA sont elles symétriques? (si oui, justifier, sinon, contreexemple) Exercice 54 (Transposition et symétrie) Soit A une matrice n p Quelles sont les tailles respectives deaa t et A t A? 2 Montrer que les coefficients diagonaux deaa t et A t A sont forcément positifs ou nuls 3 SoitB une matrice p p symétrique Montrer que la matriceaba t est symétrique Exercice 55 (Matrices rigolotes) Ecrire la matrice A M 2 (R) dont les coefficients sont définis para i,j = i+j et la matrice B M 2 (R) dont les coefficients sont définis par b i,j = i j Calculer AB et BA, en utilisant les deux techniques pour le produit (combinaison linéaire des colonnes, produit scalaire des lignes) Ecrire les matricesaet B sous la formec +C t et C C t oùc est une matrice bien choisie Montrer que pour n importe quelle matrice C M n (R), si A = C +C t et B = C C t alors BA = (AB) t Dans quel cas a -t-onab = BA? (rép : si C et C t commutent) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

36 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Exercice 56 (Permutations et matrices) Soit n On note Σ n l ensemble des bijections de {,,n} dans lui-mḙme A tout élément σ Σ n, on associe la matrice P σ M n (K) dont les colonnes sont E σ(),,e σ(n) (On rappelle quee i est la matrice dem n, (K) donc tous les coefficients sont tous nuls, sauf lei-ème, qui est égal à ) ) Dans cette question seulement, on supposen = 2 Ecrire toutes les matrices de la formep σ 2) Mḙme question avec n = 3 3) Montrer que σ Σ n, P σ est une matrice de permutation 4) Montrer que si P est une matrice de permutation, alors il existe σ Σ n tel quep = P σ 5) Montrer que P σ x x n = x σ () x σ (n) 6) Montrer que si σ,σ 2 Σ n, alors P σ P σ2 = P σ2 σ En déduire que le produit de 2 matrices de permutation est une matrice de permutation 7) Montrer que P σ = (P σ ) t En déduire que toute matrice de permutation est inversible, d inverse sa transposée Exercice 57 (Groupe linéaire et sous groupes) Montrer que l ensemble des matrices inversibles GL n (R) muni de la multiplication des matrices est un groupe Quel est son élément neutre? Ce groupe est-il commutatif? Parmi les sous ensembles suivants dem n (R), dire quels sont ceux qui sont des sous-groupes 6 degl n (R) : les matrices triangulaires supérieures, les matrices triangulaires inférieures dont tous les coefficient sont égaux à, les matrices diagonales dont tous les coefficients sont non nuls, les matrices symétriques inversibles, les matrices inversiblesqtelles queq = Q t Pour les ensembles qui sont des sous-groupes, dire ceux qui sont commutatifs Trouver d autres ensembles de matrice qui sont des sous-groupes degl n (R) Exercice 58 On noteo n (R) l ensemble des matricesadegl n (R) telles quea = A t Montrer que c est un sous-groupe degl n (R) 2 SoitA GL n (R) Montrer quec i (A) c j (A) = δ i,j, i,j n 3 On suppose dans cette question n = 2 Montrer qu il existe θ R tel que A = ( cosθ sinθ sinθ cosθ 32 Elimination par les matrices ) oua = ( cosθ sinθ sinθ cosθ 32 Echelonnement d une matrice 3 3 et décomposition LU ) Commençons par un exemple On considère le systèmeax = b, avec A = 2 2 b = 2 2 On écrit la matrice augmentée, constituée de la matriceaet du second membreb à = [ A b ] = Un sous-groupe de GL n(r) est un sous-ensemble non vide degl n(r) qui est stable par multiplication et inverse Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

37 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Gauss et opérations matricielles Allons y pour Gauss : La première ligne a un en première position (en gras dans la matrice), on dit que c est un pivot On va pouvoir diviser toute la première ligne par ce nombre pour en soustraire un multiple à toutes les lignes d après, dans le but de faire apparaître des dans tout le bas de la colonne La deuxième équation a déjà un dessous, donc on n a rien besoin de faire On veut ensuite annuler le premier coefficient de la troisième ligne On retranche donc (-) fois la première ligne à la troisième 7 : 2 2 l3 l3+l Ceci revient à multiplierãàgauche par la matricet 3() = La deuxième ligne a un terme non nul en deuxième position (2) : c est un pivot On va maintenant annuler le deuxième terme de la troisième ligne ; pour cela, on retranche /2 fois la ligne 2 à la ligne 3 : 2 2 l3 l3 /2l Ceci revient à multiplier la matrice précédente à gauche par la matricet 32 ( 2 ) = On a ici obtenu 2 une matrice sous forme triangulaire supérieure à trois pivots : on peut donc faire la remontée pour obtenir la solution du système, et on obtient (en notantx i les composantes dex) : x 3 = puisx 2 = et enfinx = On a ainsi résolu le système linéaire Le fait de travailler sur la matrice augmentée est extrêmement pratique car il permet de travailler simultanément sur les coefficients du système linéaire et sur le second membre Finalement, au moyen des opérations décrites ci-dessus, on a transformé le système linéaire est une matrice triangulaire supérieure Ax = b en Ux = T 32 ( 2 )T 3()b, où U = T 32 ( 2 )T 3()A Factorisation LU Tout va donc très bien pour ce système, mais supposons maintenant qu on ait à résoudre 389 systèmes avec la même matrice A mais 389 seconds membres b différents 8 Il serait un peu dommage de recommencer les opérations ci-dessus 389 fois, alors qu on peut en éviter une bonne partie Comment faire? L idée est de factoriser la matricea, càd de l écrire comme un produita = LU, oùlest triangulaire inférieure (lower triangular) et U triangulaire supérieure (upper triangular) On reformule alors le système Ax = b sous la forme LU x = b et on résout maintenant deux systèmes faciles à résoudre car triangulaires : Ly = b et U x = y La factorisation LU de la matrice découle immédiatement de l algorithme de Gauss Voyons comment sur l exemple précédent / On remarque queu = T 32 ( 2 )T 3()A peut aussi s écrirea = LU, avecl = (T 32 ( 2 )T 3()) 2/ On sait que(t 32 ( 2 )T 3()) = (T 3 ()) (T 32 ( 2 ) 3/ Les matrices inversest 3 () et T 32 ( 2 ) sont faciles à déterminer : commet 32 ( 2 ) consiste à retrancher /2 fois la ligne 2 à la ligne 3, l opération inverse est d ajouter /2 fois la ligne 2 à la ligne 3, et donc T 32 ( 2 ) = T 32 ( 2 ) = 2 De mêmet 3 () = T 3 ( ) = et doncl = T 3 () T 32 ( 2 ) = 2 7 Bien sûr, ceci revient à ajouter la première ligne! il est cependant préférable de parler systématiquement de retrancher car c est ce qu on fait conceptuellement : pour l élimination on enlève un multiple de la ligne du pivot à la ligne courante 8 Ceci est courant dans les applications Par exemple on peut vouloir calculer la réponse d une structure de génie civil à 389 chargements différents Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

38 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices La matrice L est une matrice triangulaire inférieure (et c est d ailleurs pour cela qu on l appelle L, pour lowe in English) dont les coefficients sont particulièrement simplesà trouver : les termes diagonaux sont tous égaux à un, et chaque terme non nul sous-diagonall i,j est égal au coefficient par lequel on a multiplié la ligne pivotiavant de la retrancher à la lignej 4/ On a bien donc A = LU avec L triangulaire inférieure (lower triangular) et U triangulaire supérieure (upper triangular) La procédure qu on vient d expliquer s appelle méthode LU pour la résolution des systèmes linéaires, et elle est d une importance considérable dans les sciences de l ingénieur, puisqu elle est utilisée dans les programmes informatiques pour la résolution des systèmes linéaires Dans l exemple que nous avons étudié, tout se passait très bien car on n a pas eu de zéro en position pivotale Si on a un zéro en position pivotale, la factorisation peut quand même se faire, mais au prix d une permutation Le résultat général que l on peut démontrer est que si la matrice A est inversible, alors il existe une matrice de permutationp, une matrice triangulaire inférieurelet une matrice triangulaire supérieureu telles quepa = LU Théorème 38 (Factorisation LU) Soit A une matrice inversible, alors il existe une matrice P de permutation, une matrice L triangulaire inférieure et U une matrice triangulaire supérieure telle que P A = LU Le petit miracle de la décomposition LU est que la permutation P n a pas besoin d être connue avant de mettre en oeuvre la factorisation ; elle est calculée au cours de l algorithme, voir les algorithmes en annexe à la fin du polycopié Factorisation LDU On peut aussi procéder à une factorisation dite LDU en remarquant que si on divise chaque ligne de la matrice U obtenue par la décomposition LU par son coefficient diagonal (qui est non nul puisque la matrice est inversible) alors on obtient une matrice triangulaire supérieureũ avec que des sur la diagonale, et on peut écrireu = DŨ, oùd est la matrice diagonale contenant les pivots Lorsqu on parle de factorisation LDU on sous entend donc toujours que la matrice U a des sur la diagonale Sur l exemple précédent, cette nouvelle décomposition s écrit A = 2 2 = LDU = Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

39 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices 322 Matrices élémentaires dem n (K) Définition 39 Soit i {,,n}, on définit pour a K, a la matrice D i (a) M n (K) qui est diagonale et dont tous les coefficients diagonaux sont égaux àexcepté le ième qui est égal àa: D i (a) = a ième ligne Soienti,j deux entiers distincts de{,,n} (i j), on définit la matricee i,j comme la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficienti,j qui est egal à Soienti,j deux entiers distincts de {,,n} (i j), pour toutλ K la matrice T i,j (λ) = Id n +λe i,j : T i,j (λ) = λ jème colonne ième ligne Proposition 32 On a (D i (a)) t = D i (a), (T i,j (λ)) t = T j,i (λ) 2 Sia, (D i (a)) = D i ( a), (Ti,j (λ)) = T i,j ( λ) Démonstration : Le premier point est immédiat Montrons le deuxième point Pour les dilatations, on remarque que le produit de deux matrices diagonales D et D 2 est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les produits des coefficients diagonaux de D et D 2 Effectuons le produit des matricest i,j (λ)t i,j ( λ) On a T i,j (λ)t i,j ( λ) = (Id n +λe i,j )(Id n λe i,j ) = Id n λ 2 E i,j E i,j = Id n car lorsquei j, E i,j E i,j = Lemme 32 Si E M n (K) est le produit de matrices élémentaires, alors E est inversible et son inverse est encore un produit de matrices élémentaires Démonstration : On montre le résultat par récurrence sur le nombre de facteurs du produit, en utilisant la Proposition 33 et le fait que chaque matrice élémentaire est inversible et son inverse est une matrice élémentaire Théorème 322 (Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice) SoitA M n,p (K) La matriced i (a)a est la matrice obtenue à partir deaen multipliant laième ligne de A para 2 La matrice T i,j (λ)a est la matrice obtenue à partir de A en ajoutant à la ième ligne de A, λ fois la jème ligne Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

40 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Démonstration : On rappelle que la multiplication des matrices peut s effectuer par lignes Si on note l k (A) les lignes d une matricea, chaque ligne du produit de matricesma s écritl i (MA) = n k= M i,kl k (A), oùnest le nombre de colonnes de M (et de lignes de A) AvecM = D i (a) qui est diagonale, on a donc : l i (D i (a)a) = n (D i (a)) i,k l k (A) = D i (a)) i,i l i (A) = k= En prenant maintenantm = T i,j (λ), on obtient : l i (T i,j (λ)a) = n (T i,j (λ)) i,k l k (A) = k= { al i (A) si i = i, l i (A) sinon { λl j (A)+l i (A) si i = i, l i (A) sinon 323 Matrices échelonnées et pivot de Gauss Définition 323 (Matrice échelonnée) Soit A une matrice de M n,p (K) On dit que la matrice A est échelonnée si elle vérifie les deux conditions suivantes : Si une ligne est nulle, toutes les suivantes le sont 2 Si la ligne i a son premier coefficient non nul sur la colonne j, alors le premier coefficient non nul de la lignei+ se trouve sur une colonnek > j Autrement dit, une matrice n p est sous forme échelonnée si les deux conditions suivantes sont vérifiées : s il existe des lignes de zéros, alors elles sont toutes en bas de la matrice ; 2 si deux lignes successives sont non nulles, alors la seconde a plus de zéros à gauche que la première Voici à quoi ressemblent des matrices échelonnées : coefficients quelconques coefficients quelconques ou encore : coefficients quelconques coefficients quelconques Exemple 324 (Matrices échelonnées) DansM 2 (K) DansM 3 (K) Dans toutes les matrices ci dessous désigne n importe quel réel [ ] 2, [ ], [ ] 3, [ ], 5 4, 3 2, 2,, Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 4 Algèbre linéaire, Maths générales II

41 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices DansM 4 (K) ,, 4,,, 5 En revanche, la matrice 2 n est pas échelonnée 2 Dans le cas des matrices carrées, une matrice échelonnée est triangulaire supérieure : Proposition 325 Une matricea M n (K) échelonnée est triangulaire supérieure Démonstration : Soit donca = (a i,j ) M n (K) une matrice échelonnée On montre par récurrence sur2 i n quea i,j = si j < i Pour i = 2, si la ligne 2 est nulle, la propriété est trivialement vraie Si la ligne 2 n est pas nulle, le point 2 de la définition des matrices échelonnées montre que sur la ligne 2 le premier coefficient non nul se trouve sur une colonnek >, autrement dita 2 = La propriété est donc vraie pouri = 2 Supposons la propriété vraie pour2 i n et montrons-la pouri+ Si la lignei+ est nulle, la propriété est trivialement vraie Si la ligne i+n est pas nulle, la lignein est pas nulle (par le point de la définition des matrices échelonnées) Alors, comme a i,j = si j < i par hypothèse de récurrence, le premier terme non nul de la ligneise trouve sur une colonnej i D après le point 2, le premier terme non nul de la lignei+ se trouve donc sur une colonnej j + i+ Ainsi,a i+j = pour toutj < i+ La propriété est donc vraie pour touti:la matriceaest donc triangulaire supérieure 324 Existence de la forme échelonnée, algorithme d échelonnement Théorème 326 (Echelonnement d une matrice) SoitA M n,p (K) Il existe une matricee M n (K) produit de matrices élémentaires telle que la matrice EA est échelonnée Pour démontrer le théorème, on décrit un algorithme qui donne explicitement la matricee Avant de traiter le cas général, on va décrire l algorithme sur un exemple On veut échelonner la matrice A := L idée est de procéder colonne par colonne A l étape i de l algorithme, la matrice formée des i premières colonnes est échelonnée Lorsqu on arrive à l étape6(= le nombre de colonnes dea), la matrice obtenue est échelonnée On commence par l étape Il s agit d échelonner le premier vecteur colonne : C = Comme il est non nul, cela signifie qu on veut, par des manipulations de lignes (c est-à-dire en multipliant A à gauche par des matrices élémentaires), se ramener au vecteur : (Si le premier vecteur colonne était nul, en particulier il serait échelonné, on ne le modifierait pas et on passerait au vecteur colonne suivant) La première ligne de C est un donc on ne la change pas Ensuite, en se servant de Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 4 Algèbre linéaire, Maths générales II

42 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices ce, on fait apparaître dessur les lignes suivantes dec On commence par retrancher à la troisième lignefois la première Pour cela, on multiplie la matriceapart 3 ( ) avec T 3 ( ) = On obtient la matricea = T 3 ( )A, c est-à-dire : A = (pour obtenira à partir de A, on a effectivement ajouté à la troisième ligne fois la première) On a obtenu ce qu on voulait : unsur la troisième ligne du premier vecteur colonne Pour obtenir un zéro sur la quatrième ligne du premier vecteur colonne, on ajoute à la quatrième ligne fois la première, c est-à-dire on multiplie la matrice A part 4 ( ) : T 4 ( ) = On obtient la matricea 2 = T 4 ( )A = T 4 ( )T 3 ( )A : A 2 = La première colonne dea 2 est de la forme et donc on en a fini avec la première colonne, car celle-ci est échelonnée De plus, on note qu elle a3lignes nulles La deuxième étape consiste à échelonner la matrice formée des deux premières colonnes de A 2 Pour cela, on va échelonner le deuxième vecteur colonne de A 2 à partir de la deuxième ligne (noter que la deuxième ligne est la première ligne nulle de la première colonne) On verra que ça ne modifie pas la première colonne La deuxième colonne dea 2 est 2 2 Echelonner ce vecteur colonne à partir de la deuxième ligne veut dire qu on se ramène par des combinaisons linéaires de lignes à une deuxième colonne du type où représente un nombre quelconque Cette opération revient à multipliera 2 à gauche par des matrices élémentaires) Il y a déjà un sur la deuxième ligne Pour faire apparaître un sur la troisième ligne, on retranche à la troisième ligne 2 fois la seconde (on se sert ainsi duqui est sur la deuxième ligne) On obtient A 3 = T 32 (2)A 2 = T 32 (2)T 4 ( )T 3 ( )A = Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

43 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Noter qu on n a pas modifié la première colonne Ceci est dû au fait qu il y a un sur la deuxième ligne de la première colonne On poursuit le travail sur la deuxième colonne, en gagnant un sur la quatrième ligne Pour cela, on retranche à la quatrième ligne fois la deuxième, autrement dit, on multipliea 3 part 42 () pour obtenir A 4 := T 42 ()T 32 (2)T 4 ( )T 3 ( )A = La deuxième colonne a bien la forme qu on attendait La première colonne n a pas été modifiée La matrice formée des deux premières colonnes dea 4 est échelonnée, et on note qu elle a deux lignes nulles Passons à la troisième étape : on travaille sur la troisième colonne Il s agit de l échelonner à partir de la troisième ligne (qui est la première ligne nulle de la matrice formée des deux premières colonnes dea 4 ) La matrice formée des trois premières colonnes de A 4 sera ainsi échelonnée Comme le vecteur colonne constitué des 2 dernières lignes de la troisième colonne est nul, on n a rien à faire sur la troisième colonne : elle est déjà échelonnée à partir de la troisième ligne On remarque que la matrice formée des trois premières colonnes dea 4 a encore deux lignes nulles On passe à la quatrième colonne, qu on veut échelonner à partir de la troisième ligne car c est la première ligne nulle de la matrice formée des trois premières colonnes dea 4 Ainsi, on veut ramener le quatrième vecteur colonne à un vecteur colonne de la forme : a avec a non nul On voit que pour cela, il suffit de retrancher à la quatrième ligne 2/3 fois la troisième, autrement dit de multipliera 4 part 43 ( 2/3) On obtient A 5 := T 43 (2)T 42 ()T 32 (2)T 4 ( )T 3 ( )A = /3 Ceci achève le travail sur la quatrième colonne : la matrice formée des 4 premières colonnes est échelonnée De plus, elle a ligne nulle Pour la cinquième étape : le cinquième vecteur colonne est échelonné à partir de la quatrième ligne Donc on n y touche pas La matrice formée des 5 premières colonnes est échelonnée et n a pas de ligne nulle L algorithme s arrête donc ici : la matricea 5 elle-même est échelonnée De plus, on a A 5 = EA avec E := T 43 ( 2/3)T 42 ()T 32 (2)T 4 ( )T 3 ( ) Pour calculer simplemente, on part de la matricet 3 ( ), T 3 ( ) = On sait quet 4 ( )T 3 ( ) est obtenue à partir det 3 ( ) en retranchant à la quatrième lignefois la première (parce que c est l effet de la multiplication à gauche part 4 ( )) On obtient donc : T 4 ( )T 3 ( ) = De même,t 32 (2)T 4 ( )T 3 ( ) est obtenue à partir det 4 ( )T 3 ( ) en retranchant à la troisième ligne 2 fois la deuxième (parce que c est l effet de la multiplication à gauche part 32 (2)) On obtient donc : T 32 (2)T 4 ( )T 3 ( ) = 2 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

44 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Et ainsi de suite On trouve finalement E = 2 /3 /3 2/3 Pour obtenir E en même temps qu une matrice échelonnée à partir de A, on peut aussi échelonner directement la matrice augmentée [ A Id 4 ] jusqu à la dernière colonne de A Mais ceci n est jamais effectué en pratique D abord la matrice E n est pas très intéressante en soi ; c est la matrice L = E qui est utile en pratique : dans le cas où on n a pas besoin de permutation de lignes, on obtient la factorisation A = LU de la matrice avec une matrice L = E triangulaire inférieure et une matrice U triangulaire supérieure Dans le cas de l exemple cidessus, la matrice L s écrit : L = E = (T 32 (2)T 4 ( )T 3 ( )) = T 3 ()T 4 ()T 32 ( 2) Les coefficients de la matrice L s obtiennent donc très facilement à partir des coefficients utilisés lors de l échelonnement pour la construction de la matriceu On va maintenant démontrer le Théorème 326 en décrivant l algorithme d échelonnement dans le cas général On commence par considérer le cas d une matrice colonne (c est-à-dire p = ) Algorithme d échelonnement d un vecteur colonne Lemme 327 Soit A = (a i ) i=,,n M n, (K) un vecteur non nul Alors il existe une matrice E M n (K) a produit de matrices élémentaires et a K,a, tels queea = Démonstration : Sia alors on utilisea pour éliminer les coefficients qui sont en-dessous, à l aide des matrices élémentaires On commence par retrancher à la deuxième lignea 2 /a fois la première : On procède de même avec les lignes suivantes : a T 2, ( a 2 /a )A = a 3 a n T n, ( a n /a ) T 2, ( a 2 /a )A = Si a =, il existei 2 tel quea i car on a supposéa Auquel cas, si on ajoute à la première ligne fois la i ième ligne, on obtient On est alors ramené au cas précédent a i a 2 T,i ()A = a n T n, ( a n /a i ) T 2, ( a 2 /a i )T,i ()A = a a i Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

45 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Dans le cas oùa est nul, on aurait aussi pu intervertir les lignesetiau lieu d ajouter à la première ligne lai ième Pour passer au cas général, on a besoin de la généralisation suivante On dit qu un vecteur X M n, (K) est échelonné à partir de la ligne i n si le vecteur A M n i+, constitué des lignes i,,n du vecteurx est échelonné (au sens de la Définition 323) En particulier, un vecteur est échelonné s il est échelonné à partir de la ligne L algorithme d échelonnement d un vecteur colonne peut être généralisé pour obtenir un vecteur échelonné à partir d une ligne quelconque i n Pour cela, il suffit d éliminer les lignes qui sont au-dessous deien utilisant le coefficient qui est sur la lignei Plus précisément, Lemme 328 Soit A = (a k ) k=,,n M n, (K) et i n On suppose que l une des lignes i,,n de A n est pas nulle Alors il existe une matrice E M n (K) produit de matrices élémentaires et a K, a, tels queea = a a i a Démonstration : C est la même preuve que pour le lemme précédent sauf qu on ne regarde que les lignes qui sont au-dessous de la i ième Si a i alors en retranchant à la(i+) ième lignea i+ /a i fois la i ième ligne, on obtient ( ) ai+ T i+,i A = a i a a i a i a i+2 et en faisant de même pour toutes les lignes suivantes, on obtient finalement a n ( ) ( ) an ai+ T n,i T i+,i A = a i a i Si a i =, il existej i+ tel quea j Auquel cas, si on ajoute laj ième ligne à la i ième ligne, on obtient T i,j ()A = a a i a j a i+ a n a a i a i Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

46 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices On est alors ramené au cas précédent Finalement, T n,i ( a n /a j ) T i+,i ( a i+ /a j )T i,j ()A = a a i a j On observe que dans cet algorithme, on modifie seulement les lignesi,,n dea En effet, les matrices élémentaires par lesquelles on multiplie A n agissent que sur ces lignes : les coefficients non diagonaux et non nuls étant tous placés sur ces lignes-là Algorithme d échelonnement d une matrice et preuve du théorème 326 On rappelle que si A est une matrice,c j (A) désigne laj ième colonne dea On notera [ c (A) c j (A) ] la matrice constituée desj premières colonnes de la matricea Soit A M n,p (K) On montre par récurrence sur k p qu il existe une matrice E k M n (K) produit de matrices élémentaires telle que [ c (E k A) c k (E k A) ] est une matrice échelonnée Pourk =, sic (A) =, la propriété est trivialement vraie avece = Id Sic (A), on applique le lemme a 328 à c (A) avec i = : il existe E telle que E c (A) = Alors [c (E A)] = E c (A) est bien une matrice échelonnée Supposons la propriété vraie à l ordre k p et montrons-la à l ordre k + Par hypothèse de récurrence, il existe une matricee k M n (K) produit de matrices élémentaires telle que la matricea k := [ c (E k A) c k (E k A) ] est une matrice échelonnée On distingue plusieurs cas Si A k n a aucune ligne nulle, on pose E k+ = E k et on vérifie que [ c (E k+ A) c k+ (E k+ A) ] = [ A k c k+ (E k A) ] est bien une matrice échelonnée Sinon,A k a une ligne nulle Notonsi k l indice de la première ligne nulle dea k Alors les lignesi k+,,n de A k sont nulles, car A k est échelonnée Si les lignes i k,,n de c k+ (E k A) sont aussi toutes nulles, on peut poser E k+ = E k et on a bien [ c (E k+ A) c k+ (E k+ A) ] = [ A k c k+ (E k A) ] qui est échelonnée Si au contraire c k+ (E k A) a au moins une ligne non nulle parmi les lignes i k,,n, alors on applique le lemme 328 àc k+ (E k A) aveci = i k Il existe une matricef k+ M n (K) produit de matrices élémentaires telle que α α ik F k+ c k+ (E k A) = a On a déjà observé dans la preuve du lemme 328 que multiplier une matrice à gauche par F k+ ne modifiait pas les lignesi i k Comme les lignesi k,,n de A k sont nulles, on en déduitf k+ A k = A k Donc [ c (F k+ E k A) c k+ (F k+ E k A) ] = [ A k c k+ (F k+ E k A) ] est bien une matrice échelonnée Dans ce cas, on pose donce k+ = F k+ E k La propriété est vraie pour tout k, en particulier pour k = p Le Théorème 326 est démontré Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

47 32 Elimination par les matrices 3 Systèmes linéaires et matrices Remarque 329 Lorsque l on rencontre un zéro en position pivotale (et non pas un pivot nul, car, par définition, un pivot n est jamais nul) durant l échelonnement de la matrice on peut, au lieu de transformer la ligne en question, permuter la ligne où se trouve ce zéro avec une des lignes qui se trouve en dessous de celle où se trouve ce zéro C est d ailleurs ce qui est effectué en pratique dans les programmes informatiques qui effectuent la méthode de Gauss, ou qui effectuent la décomposition LU d une matrice telle qu on l a introduite dans la première partie de ce chapitre La matrice de permutationp i,j des lignesiet j est la matrice identité, sauf pour les lignesiet j : la ligneiades zéros partout sauf en colonnej où il y a un ; la ligne j a des zéros partout sauf en colonnei où il y a un Elle peut encore s écrire : P i,j = Id n E i,i E j,j +E i,j +E j,i Par exemple pourn = 2 : [ ] P 2 = et pourn = 6 : P 23 = P 25 = On peut vérifier facilement que multiplier une matrice A M n,p (K) par la matrice P i,j revient à intervertir les lignes i et j Evidemment lorsqu on permute les lignes de la matrice du système linéaire, on doit également permuter les lignes correspondantes du vecteur second membre lorsqu on résout un système linéaire Ceci se fait de manière automatique lorsqu on travaille sur la matrice augmentée Dans la suite, il sera utile de repérer quelles sont les colonnes pivotales d une matrice échelonnée, dont on a déjà parlé lors de l élimination de Gauss En voici une définition pour une matrice échelonnée rectangulaire n p Définition 33 (Pivots, colonnes pivotales, rang) On note r le nombre de lignes non nulles d une matrice n p échelonnée On appelle pivot le premier terme non nul de chaque ligne non nulle de la matrice échelonnée On appelle colonnes pivotales d une matrice échelonnée les colonnes dans lesquelles apparaissent les pivots des lignes non nulles (attention ce ne sont pas forcément les r premières colonnes de la matrice) On note k,,k r les indices de ces colonnes On appelle colonnes non pivotales les autres colonnes, dont les indices sont notés k r+,,k p Les colonnes pivotales sont donc les colonnes c j (A) telles que j J, où J = {k,,k r } est l ensemble des indices des colonnes dans lesquelles apparaissent les pivots On définit le rang de la matrice comme le nombre de lignes non nulles (ou de colonnes pivotales) 325 Exercices Exercice 59 (Des petits systèmes gentils) Résoudre les systèmes linéaires suivants en utilisant l échelonnement : { x + y = 2 x y = { 3x 2y = 6x + y = /2 Exercice 6 (Echelonnement et factorisation LU et LDU) Echelonner les matrices suivantes, et lorsqu elle existe, donner leur décomposition LU et LDU [ ] Exercice 6 (Des systèmes un peu plus gros) Résoudre en utilisant l algorithme du pivot de Gauss ( ou l échelonnement) les systèmes suivants : x +2y 2z = x +y +z = 2 5x +4y +3z = 2 6x +3y +2z = 4 x +3y = 2y +z = 3 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

48 33 Calcul de l inverse d une matrice, échelonnement total 3 Systèmes linéaires et matrices x +2y 2z +4t = 2 y +3z 4t = 2 z 2t = x +y z +2t = 2 x +2y 2z +4t +u = y +3z 4t +2u = x +z 2t +3u = x +y +4z 6t +5u = 3y +2t = Exercice 62 (Matrice à paramètre) Echelonner pour t R la matrice suivante : t +t 2 2 t 3 Pour quelles valeurs du paramètret, la matrice est-elle inversible? Exercice 63 (Exemples de matrices échelonnées) Ecrire une matrice échelonnée qui n a que des colonnes pivotales 2 Ecrire une matrice échelonnée qui n a que des colonnes non pivotales 3 Ecrire une matrice échelonnée dem 3 (R) dont les colonnes pivotales sont enère et3ème positions 4 Une matrice échelonnée peut-elle avoir plus de colonnes pivotales que de lignes? Et plus de colonnes non pivotales que de lignes? 5 Ecrire une matrice échelonnée qui a colonne non pivotale et ligne nulle 6 Une matrice échelonnée peut-elle avoir colonne non pivotale et ligne nulle? Et si elle est carrée? 33 Calcul de l inverse d une matrice, échelonnement total Soit A une matrice carrée d ordren inversible, dont on veut calculer l inverse On cherche donc une matrice A telle que AA = Id n Les colonnes de Id n sont les vecteurs (colonne) 9 e i dont la i-ème composante est égale à et toutes les autres nulles Supposons qu on connaisse A Quand on multiplie A par la première colonne de A, on obtient la première colonne de la matrice AA, qui est égale à la matrice Id n ; cette première colonne est le vecteur e De même, quand on multiplie A par la i-ème colonne de A, on obtient la i-ème colonne de AA = Id n, càd le vecteure i On a donc, en notantc i (A ) la i-ème colonne dea : Ac i (A ) = e i, i =,,n Le calcul dea peut donc s effectuer en résolvant lesnsystèmes linéaires avec matricea, inconnuec i (A ) et second membree i Remarquons donc tout de suite que l inversion d une matrice est beaucoup plus chère que la résolution d un système linéaire (n fois, très précisément) Il est donc idiot d inverser une matrice pour résoudre un système linéaire Par contre, il est intéressant de savoir comment on peut trouver l inverse d une matrice par la méthode de Gauss-Jordan, en s inspirant de celle effectuée pour résoudre le système linéaire Au lieu d introduire une matrice augmentée avec la matrice de départ et un vecteur second membre, on introduit maintenant une matrice augmentée avec la matrice de départ et n vecteurs second membre (les vecteurse i ) ; ceci revient à considérer la matrice augmentéen 2n constituée de la matriceaet la matriceid n : Ã = [ A Id n ] Si la matrice A est inversible, en appliquant l algorithme de Gauss-Jordan qu on décrit si dessous, on obtient alors l inverse de la matrice dans la partie droite (où se trouveait auparavant la matrice identité) de la forme totalement échelonné de la matrice augmentée SiAest inversible, sa forme totalement échelonnéer estid n, et l algorithme de Gauss-Jordan surã = [ A Id n ] = [ A e e n ] donne : Voyons ceci d abord sur un exemple R = [ R c (A ) c n (A ) ] = [ Id n A ] 9 Quand on dit vecteur sans préciser c est toujours vecteur colonne ; de même, on identifie les éléments de R n à l ensemble M n, des matrices à n lignes et colonne Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

49 33 Calcul de l inverse d une matrice, échelonnement total 3 Systèmes linéaires et matrices 33 Exemple de calcul de l inverse d une matrice 2 2 [ ] 2 Exemple 33 Prenons une matrice 2 2 : A = On écrit la matrice augmentée : 3 7 Ã = [ ] A Id 2 = [ ] 2, et on applique Gauss-Jordan On commence par Gauss : 3 7 [ ] [ ] 2 l 2 l 2 3l et on effectue ensuite la partie Jordan, qui consiste à rendre la matrice diagonale : [ ] [ ] 2 l l 2l Gauss Jordan donne donca = [ ] On vérifie qu on a bienaa = Id Inversion d une matrice 3 3 Exemple 332 Considérons la matrice 2 On écrit la matrice augmentée 2 On commence par appliquer l algorithme de Gauss, c est-à-dire se ramener à une matrice échelonnée : 2 l3 l3 l 2 l 3 l 3 (/2)l 2 2 /2 /2 On a obtenu une matrice échelonnée On reprend alors l algorithme à la fin de Gauss, et on écrit maintenant la partie Jordan de l algorithme dit de Gauss-Jordan Pour cela, on fait apparaˆıtre des au-dessus des pivots en commençant par les colonnes les plus à droite, et en progressant vers la gauche On multiplie la dernière ligne par -2 pour obtenir le pivot : 2 /2 /2 l3 2l Puis on met à zéro le troisième coefficient de la deuxième ligne (à l aide de la troisième) : 2 l2 l2+l On annule ensuite le troisième coefficient de la première ligne (toujours à l aide de la troisième) : l l l On multiplie enfin la deuxième ligne par /2 pour obtenir le pivot : l2 /2l Les trois premières colonnes forment la matrice identité Elle constitue la forme totalement échelonnée de la matrice A : c est le cas pour toute matrice inversible On verra plus loin que la réciproque est également vraie : si la forme totalement échelonnée de la matrice A est l identité, alorsaest inversible Marie Ennemond Camille Jordan, né le 5 janvier 838 à Lyon (Rhône) et mort le 22 janvier 922, est un mathématicien français, connu à la fois pour son travail fondamental dans la théorie des groupes et pour son cours d analyse Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

50 33 Calcul de l inverse d une matrice, échelonnement total 3 Systèmes linéaires et matrices 333 Echelonnement total Définition 333 (Matrice totalement échelonnée) SoitA M n,p (K) On dit queaest totalement échelonnée si : A est échelonnée, 2 le premier coefficient non nul de chaque ligne non nulle est égal à, 3 tous les éléments qui sont dans la colonne au dessus du premier coefficient non nul (et égal à ) d une ligne sont nuls Notons que dans une forme totalement échelonnée, les pivots sont toujours égaux à, ce qu on n a pas demandé pour les matrices échelonnées Exemple 334 (Matrices totalement échelonnées ou non) La matrice identitéid n est totalement échelonnée et ancolonnes pivotales :r = n La matrice nulleo n est totalement échelonnée et n a aucune colonne pivotale :r = La matrice suivante est totalement échelonnée : Elle a deux colonnes pivotales : la première, k =, et la troisième : k 2 = 3, et une colonne non pivotale, la seconde : k 3 = 2 La matrice 4 6 : est sous forme totalement échelonnée, et a trois colonnes pivotales k = 2, k 2 = 4,k 3 = 5, et trois colonnes non pivotales :k 4 =,k 5 = 3,k 6 = 6 La matrice suivante est échelonnée, mais pas totalement échelonnée : 2 La matrice suivante n est ni totalement échelonnée ni mḙme échelonnée : Théorème 335 (Echelonnement total) Soit A M n,p (K) Il existe une matrice E produit de matrices élémentaires telle que la matriceea est totalement échelonnée Encore une fois, la preuve du théorème donne un algorithme qui permet de calculer explicitement E D après le Théorème 326, on peut supposer queaest une matrice échelonnée Algorithme d échelonnement total On commence par le cas d une matrice colonne (p = ) a Lemme 336 Soit A = a i M n, (K) un vecteur échelonné avec a i Alors il existe une matrice E Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 5 Algèbre linéaire, Maths générales II

51 33 Calcul de l inverse d une matrice, échelonnement total 3 Systèmes linéaires et matrices M n (K) produit de matrices élémentaires telle queea =, le étant sur la lignei Il suffit de prendree = T,i ( a )T i,i ( a i )D i (/a i ) Une remarque importante pour la suite de l algorithme : Multiplier une matrice B à gauche par cette matrice E ne modifie pas ses lignesi+,,n Si de plus la ligneideb est nulle,eb = B On traite maintenant le cas général d une matrice échelonnéea M n,p (K) qu on veut totalement échelonner Il s agit de repérer les colonnes pivotales pour faire apparaître des au-dessus des pivots On commence par les colonnes pivotales les plus à droite, et on progresse vers la gauche Comme on va le voir, cela permet, lorsqu on s occupe de la colonne pivotale i, de ne pas modifier les colonnes situées à gauche de la colonne i, et de ne pas modifier non plus les colonnes pivotales situées à droite de la colonne i La raison en est simple : lorsqu on fait des manipulations sur la colonne i, dont le pivot est sur la ligne notée j, on ajoute un multiple de cette ligne j à des lignes situées au-dessus de la ligne j Toutes les colonnes à gauche de i ont un sur la ligne j (car la matrice est échelonnée) donc ces colonnes ne sont pas modifiées Toutes les colonnes pivotales situées à droite de i ont un sur la ligne j (car on les a totalement échelonnées aux étapes précédentes) donc elles ne sont pas modifiées Voyons l algorithme en détail On note J = (j,,j r ) l ensemble des indices des colonnes pivotales de A (rangés par ordre croissant) On définit par récurrence sur l r des matricesa r l échelonnées et telles que : pour tout i r, A i est de la forme E i A, où E i est un produit de matrices élémentaires, A i a pour ensemble de colonnes pivotales celui indexé parj et A i a ses colonnes pivotalesj i,,j r totalement échelonnée Pour construire A r, on applique le Lemme 336 à c jr (A) : il existe E r produit de matrices élémentaires telle que E r c jr (A) = [ ] t où leest situé sur la ligner Alors la matricear := E r A a ses lignes r+,,n égales à celles de la matriceaet sont donc nulles De plus, comme la matrice [ c (A) c jr (A) ] a ses lignes r,,n nulles, la matrice A r a ses colonnes,,j r égales à celles de A En particulier, A r est une matrice échelonnée Supposons que les matrices A r,,a i+ ont été construites On définit alors A i := F i A i+ où F i est la matrice du Lemme 336 appliqué à c ji (A i+ ) Comme précédemment, les colonnes,,j i de A i sont égales à celles de A i+ De plus, c est aussi le cas des colonnes pivotalesj i+,,j r (car elles ont un sur la lignei) Donc A i vérifie bien les conditions exigées et on posee i = F i E i+ La matricea est alors totalement échelonnée et de la formee A, oùe est un produit de matrices élémentaires Le Théorème 335 est démontré 334 Exercices Exercice 64 (Matrices 2 2 totalement échelonnées) Donner toutes les matrices 2 2 de coefficients égaux à ou et qui soient totalement échelonnées Exercice 65 (Inverse de matrices par échelonnement total) Echelonner les matrices suivantes et dire si elles sont inversibles ; le cas échéant calculer leurs inverses par échelonnement total : 3 2, , et pour ceux qui en veulent encore , , Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 5 Algèbre linéaire, Maths générales II

52 33 Calcul de l inverse d une matrice, échelonnement total 3 Systèmes linéaires et matrices Exercice 66 (Matrices2 2 totalement échelonnées) Soit A GL 2 (R) Montrer que les formes totalement échelonnées deaet A sont identiques Exercice [ 67 (Une matrice ] connue en géométrie) Soit θ un nombre réel dans [, 2π[ On considère la matrice cosθ sinθ R θ = pourθ R sinθ cosθ Montrer quer θ est inversible et calculer son inverse 2 CalculerRθ n pourn Z 3 On considère la matrice A = cos(θ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) Vérifier queaest inversible et que son inversea s écrit [ ] A (Rθ ) = 2 2 Quelle est la nature géométrique de l application u Au? Exercice 68 Soit A une matrice carrée échelonnée (et donc triangulaire supérieure) qui n a que des colonnes pivotales Montrer que les éléments diagonaux de A sont non nuls 2 On applique l algorithme d échelonnement total à A Quelle matrice obtient-on? 3 En déduire que A est inversible Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

53 Chapitre 4 Espaces et sous espaces vectoriels 4 Espaces et sous-espaces On a déjà beaucoup parlé dans les chapitres précédents des sous-espaces de R 2 et R 3 : les droites et plans passant par l origine sont des sous-espaces vectoriels, au sens où ils sont stables par combinaison linéaire Mais R n luimême est aussi stable par combinaison linéaire : muni de l addition et de la multiplication par un scalaire, on dit qu il a une structure d espace vectoriel, dont on va maintenant donner une définition précise 4 Définitions Définition 4 (Espace vectoriel) SoitKun corps,k = R ouc On dit quee est un espace vectoriel surksi E muni d une loi de composition interne+appelée addition (càd une application dee E E) est un groupe commutatif, ie les propriétés suivantes sont vérifiées : (a) Il existe un élément appelé élément neutre pour l addition E E tel que pour toutu E, E +u = u+ E = u (b) Pour tousu, v E, on au+v = v +u E (c) Pour tousu,v,w E,(u+v)+w = u+(v +w) (d) Pour tout u E, il existe un v E tel que u+v = v +u = E Un tel v est unique et on le note v = u 2 E est muni d une loi de composition externe appelée multiplication, càd une application de E K E (λx E, λ K, x E) telle que pour tousu,v E,λ,µ K, (a) Il existe un élément appelé élément neutre pour la multiplication K K tel que K u = u K = u, (b) λ(u+v) = λu+λv, (c) (λ+µ)u = λu+µu, (d) λ(µu) = (λµ)u On dira plus brièvement que E est un K-espace vectoriel ou K-ev Cette définition paraît longue et compliquée en fait il suffit de retenir qu un espace vectoriel est un ensemble sur lequel on a défini 2 opérations : l addition entre 2 éléments de cet ensemble et la multiplication entre élément et nombre (réel ou complexe selon le cas) Il y a 8 propriétés à vérifier, 4 liées à l addition (les propriétés de groupe commutatif) et 4 liées à la multiplication par un scalaire (élément neutre, distributivité dans les deux sens, associativité) Exemple 42 Quelques exemples typiques d espaces vectoriels : R,R 2 et plus généralementr n,n sont desr-ev lorsqu on les munit de l addition habituelle de 2 vecteurs, et de la multiplication d un vecteur par un nombre De mḙme,c n, n est unc-ev et unr-ev M 2 (K),M 2, (K),M,2 (K),M n,p (K) munis de l addition des matrices et de la multiplication par un scalaire (dek = R ouc) sont desk-ev L ensemble des polynˆomes à coefficients danskest un espace vectoriel sur K (pour l addition et la multiplication habituelles) 53

54 4 Espaces et sous-espaces 4 Espaces et sous espaces vectoriels L ensemble des fonctions continues sur un intervalle [a,b] est un espace vectoriel sur R (l addition de 2 fonctionsf et g continues sur [a,b] étant la fonction h : [a,b] R définie par h(x) = f(x)+g(x) pour tout x [a, b] On définit similairement la multiplication d une fonction par un nombre) L ensemble des fonctionsu : R R solutions de l équationu +u +u = (pour les mḙmes opérations que dans l exemple ci-dessus) Ensembles qui ne sont pas des espaces vectoriels : Zmuni de l addition est un groupe, mais n est pas unr-ev lorsqu on rajoute la multiplication par les nombres réels (R + ) 2 n est pas unr-ev pour les opérations habituelles, L ensemble des fonctions derdansrqui valent en pour les opérations habituelles, L ensemble des fonctionsu : R R solutions de l équationu +u +u = pour les opérations habituelles Définition 43 (Sous-espace vectoriel) Soit E un K-espace vectoriel On dit que F E est un sous-espace vectoriel de E si F et si F est stable par combinaison linéaire, càd pour tous u,v F, λ,µ K, λu+µv F Proposition 44 Un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel est un espace vectoriel Cette proposition est facile à démontrer et laissée à titre d exercice, mais elle est extrêmement utile : dans la plupart des cas, lorsqu on vous demandera de montrer qu un ensemble est un espace vectoriel, il suffira de montrer que c est un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel que vous aurez bien choisi et dans lequel cet ensemble est inclus Par exemple, si on vous demande de montrer que l ensemble des couples(x,y) de R 2 vérifiant x+y = est unr-espace vectoriel, il vous suffira de montrer que c est un sous-espace vectoriel der 2 Définition 45 (Espace vectoriel engendré) Soientu,,u k k éléments d unk-espace vectoriele On appelle espace vectoriel engendré par la famille (u i ) i=,,k la partie de E constituée des combinaisons linéaires des élémentsu i : { } Vect(u,u k ) def = x E,x = α u + +α k u k = k α i u i,α,,α k R Soit P une partie de E, on appelle sous-espace vectoriel engendré par P l ensemble des combinaisons linéaires des éléments dep La terminologie et la notation suggèrent que l ensemble des combinaisons linéaires d une famille de vecteurs est un sous-espace vectoriel : c est effectivement le cas (exercice!) i= 42 Espace des colonnes ou image d une matrice Définition 46 (Espace des colonnes d une matrice) Soit une matrice A d ordre n p On appelle espace des colonnes de de A M n,p (K), noté C(A), l ensemble des combinaisons linéaires des colonnes de la matrice A L ensemblec(a) est donc le sous-espace vectoriel dek n engendré par les vecteurs colonnes dea C est donc un sous-espace vectoriel C(A) = Vect{c (A),c p (A)} Définition 47 (Image d une matrice) Soit une matrice A d ordre n p On appelle image de A M n,p (K), notéim(a), l ensemble desy K n tels qu il existe x K p vérifiantax = y Proposition 48 Soit A M n,p (K) Alors l image Im(A) de la matrice A est un sous-espace vectoriel de M n, (K) Démonstration : Soient y,y 2 Im(A) et λ,µ K Il existe x, x 2 M p, (K) tels que Ax = y et Ax 2 = y 2 Alorsλy +µy 2 = A(λx +µx 2 ), ce qui montre queλy +µy 2 Im(A) En fait l espace des colonnes d une matrice A et son image sont un seul et même sous-espace vectoriel, comme nous allons maintenant le voir Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

55 4 Espaces et sous-espaces 4 Espaces et sous espaces vectoriels En fait l espace des colonnes d une matrice A et son image sont un seul et même sous-espace vectoriel Pour montrer ceci, on rappelle que sia M n,p (K), x = x x p M p, (K) ety = [ y y p ] M,n (K), alors le vecteur colonneax est la combinaison linéaire des vecteurs colonnes de la matriceaassociée aux coefficients x,,x p Proposition 49 Soit une matrice de taille n p L image de A M n,p (K) est égal à l espace des colonnes C(A) Démonstration : Pour montrer que les ensemblesim(a) etc(a) sont égaux, il faut montrer quec(a) Im(A) et Im(A) C(A) Soit c i (A) la i-ème colonne de A Alors c i (A) = Ae i, où e i est le vecteur de K p dont les composantes sont toutes nulles sauf la i-ème qui est égale à On a donc bien c i (A) Im(A) pour tout i =,,p Toutes les colonnes deasont donc dansim(a) et commeim(a) est un sous-espace vectoriel, toutes les combinaisons linéaires de ces colonnes aussi On a donc bien C(A) Im(A) Réciproquement, si y Im(A), alors il existe x K p tel que y = Ax, et donc y est une combinaison linéaire des colonnes dea, ce qui prouve quey C(A) On a donc bien montréim(a) C(A) et doncim(a) = C(A) L image Im(A) de la matrice A est l ensemble C(A) des combinaisons linéaires des vecteurs colonnes de A C est donc aussi le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de la matricea Exemple [ Déterminons ] [ l image ] des [ matrices ] suivantes : Id 2 =,A =,B = Im(Id 2 ) = R 2, Im(A) est la droite passant par l origine et de vecteur directeur { [ } Im(A) = λ,λ R 3] { [ [ } Im(B) = λ +µ,λ,µ R = R ] ] 2 [ 3] 43 Exercices Espaces et sous-espaces Exercice 69 (Le R-espace vectoriel C) Montrer que l espace C muni de l addition de 2 complexes, et de la multiplication d un complexe par un réel, est unr-espace vectoriel Exercice 7 (Espace vectoriel : oui ou non?) Pour les ensembles E et F suivants, préciser si F est un sous espace vectoriel dee (qui est muni des opérations d addition et de multiplication usuelles) E = R 3 etf := {x = (x,x 2,x 3 ) R 3 tels quex 3 } E = R 2 etf = R 2 \{(,)} Un cercle F dans le plan E, une sphère F dans l espace E, un rectangle F dans le plan E L unionf de deux droites du plane Un planf passant par l origine danse = R 3 Exercice 7 (Et si on changeait de lois?) On remplace l addition habituelle dansr 2 par(x,x 2 )+(y,y 2 ) = (x +y 2,x 2 +y ), en gardant la définition habituelle pour la multiplication par un scalaire : α(x,x 2 ) = (αx,αx 2 ) PourquoiR 2 muni de ces deux lois n est il pas un sous espace vectoriel? On remplace la multiplication par un scalaire habituelle parα(x,x 2 ) = (αx,), en gardant l addition normale PourquoiR 2 muni de ces deux lois n est il pas un sous espace vectoriel? Exercice 72 (Sous espaces vectoriels : oui ou non?) Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels (préciser de quel espace vectoriel)? {(x,y,z) R 3 ; x+y +z = } Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

56 4 Espaces et sous-espaces 4 Espaces et sous espaces vectoriels {(x,y,z) R 3 ; 4x+y z = } {(x,y,z,t) R 4 ; x 2 y +z = } {(x,y,z,t) R 4 ; x+y +z =, t x = } {(x,y,z,t) R 4 ; x+y +z =, t y = } {(x,y,z) R 3 ; 4x+y z =, x 4y +z = } Le sous ensemble des matrices inversibles dem n (R) Le sous ensemble des matrices non inversibles dem n (R) Le sous ensemble des matrices symétriques dem n (R) Le sous ensemble des matrices anti-symétriques dem n (R) Le sous ensemble des matrices non symétriques dem n (R) Exercice 73 (Construction de sous-espaces) Pour chacun des espaces vectoriels E suivants, trouver un sousespace F de E puis un sous-espace G de F E est l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs, et 2 E est l ensemble des matrices symétriques2 2 (rappel, une matricen n est symétrique si ses coefficients sont tels quea i,j = a j,i pouri,j =,,n) 3 E est l ensemble des fonctions y de R dans R dont la dérivée troisième est nulle Décrire chacun des espaces E précédents de deux manières différentes : E est l ensemble de toutes les combinaisons linéaires de et E est l ensemble de toutes les solutions de l équation Exercice 74 (Droite dansr 2 ) Donner une équation cartésienne et une équation paramétrique de la droite D de R 2 qui passe paret qui a pour vecteur directeur(, 3) Montrer qued est un sous-espace vectoriel der 2 Exercice 75 (Espace vectoriel des polynômes) Soit E l ensemble des polynˆomes réels de degré inférieur ou égal à4 Montrer quee est un espace vectoriel Montrer que l ensemble des polynˆomes admettant les racinesx = a et x = b a est un sous-espace vectorielf dee Exercice 76 (Commutant d une matrice) Soit A M 2 (R) On nomme commutant de A et on note Com(A) l ensemble desb M 2 (R) telles queab = BA Montrer quecom(a) est un sous-espace vectoriel dem 2 (R) 2 Montrer que, pour toutk N,A k Com(A) 3 Déterminer Com(A) pour A = 3 2 Exercice 77 (Sous-espaces engendrés) Dans R 3 montrer que les vecteurs V = (,2,3) et V 2 = (2,,) engendrent le mḙme sous-espace vectoriel que les vecteursu = (,,) et U 2 = (,,) Exercice 78 (Espace engendré dans C) On note E le R-espace vectoriel des nombres complexes On considère les partiesh,h 2,H 3,H 4 ci-dessous, et pouri =,4, on notef i le sous-espace vectoriel dee engendré par H i H = { z C, z = 3 } H 2 = { z C, Arg(z) = π/3 ou Arg(z) = 2π/3 } H 3 = { z C, z = iz } H 4 = { z C, z +z R } Représenter graphiquement les sous-ensemblesh i,i =,4 2 Déterminer lesquels sont des sous-espaces vectoriels dee 3 Déterminer les sous-espacesf i, i =,4 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

57 42 Systèmes linéaires homogènes 4 Espaces et sous espaces vectoriels Espace des colonnes et image d une matrice Exercice 79 (Espace des colonnes de matrices 3 2) Décrire l espace des colonnes (droite ou plan) pour les matrices suivantes : A = A = C = Exercice 8 (Systèmes linéaires) Pour quels seconds membres (trouver une condition sur a, b, c) ces systèmes linéaires admettent ils au moins une solution? x y = a b 4 [ 2 9 x = y] a b 4 2 z c 4 c Exercice 8 (Ajout de colonne) Si on ajoute une colonne b a une matricea, dans quel cas l espace des colonnes devient-il plus grand? Donner un exemple pour lequel il devient plus grand, et un exemple où ce n est pas le cas Exercice 82 (Image d une matrice) On suppose donnés trois vecteurs de R n : b, b 2 et b 3 On se demande si on peut construire une matrice A (dont on peut choisir les dimensions) telle que les systèmes linéaires Ax = b et Ax = b 2 admettent une solution, et le système Ax = b 3 n en admette pas Comment vérifier que ceci est possible? Comment construirea? Prendre comme exemples : n = 3,b =,b 2 = et b 3 = 2 n = 3,b =,b 2 = et b 3 = Exercice 83 (Sous espace vectoriel) SoitA M n,p (R) L ensemble{x R n ;x C(A)} est il un sous-espace vectoriel? Exercice 84 (Espace des colonnes) SoientA M n,p (R) etb M p,q (R) Montrer que C(AB) C(A) 2 Donner un exemple pour lequel C(AB) C(A) 3 Montrer que les matricesaet [ A AB ] ont mḙme espaces colonnes 4 SiA M n (R), a -t-onc(a 2 ) = C(A)? Exercice 85 (Somme de deux sous-espaces vectoriels) Soient E un espace vectoriel, F et G des sous-espaces vectoriels de E On note F +G l ensemble des vecteurs de E qui s écrivent comme la somme d un vecteur de F et d un vecteur deg Montrer quef +G est un sous-espace vectoriel de E 2 Montrer par un contre exemple (dansr 2 ) que l ensemblef G n est pas forcément un sous-espace vectoriel 3 Montrer que l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de F G qu on notera Vect(F G) (pourquoi?) est égal àf +G (rappel : pour montrer l égalité de deux ensembles il faut montrer l inclusion dans les deux sens) 4 SoientAet B M n,p (R), E = C(A) et F = C(B) De quelle matrice E +F est il l espace des colonnes? 42 Systèmes linéaires homogènes Un système linéaire homogène est un système de la forme Ax = On a déjà vu que si A est une matrice carrée inversible, alors la seule solution de ce système est x = Mais si A n est pas inversible, ou si A n est même pas carrée, il peut exister desxnon nuls tels queax = Ces vecteurs constituent le noyau de la matricea Résoudre le système Ax = revient à déterminer le noyau de A Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

58 42 Systèmes linéaires homogènes 4 Espaces et sous espaces vectoriels 42 Noyau d une matrice Définition 4 (Noyau d une matrice) SoitAune matrice de taille n p On appelle noyau dea M n,p (K), noté Ker(A), l ensemble des x K p tels que Ax = (où désigne le vecteur colonne de K n dont toutes les composantes sont nulles) Proposition 4 Soit une matrice de taillen p Le noyau dea M n,p (K) est un sous-espace vectoriel dek p Remarquez que le noyau d une matricea M n,p (K) est un sous-espace vectoriel dek p alors que son image (ou espace des colonnes) est un sous-espace vectoriel dek n Par contre, sib, l ensemble des solutions du système linéaire Ax = b, qui est donc l ensemble {x R p tels que Ax = b} n est pas un sous-espace vectoriel, car n est pas solution du sysèmeax = b Déterminer le noyau de A revient à résoudre le système linéaire Ax = On appelle système linéaire homogène un tel système linéaire, dont le second membre est nul Un système linéaire homogène admet toujours au moins une solution, le vecteur nul (de K p ) puisque A p = n D autre part, lorsqu on multiplie une matrice n p par un vecteur colonnep, on obtient un vecteurn qui est une combinaison linéaire des colonnes de A Donc, résoudre Ax =, c est trouver les combinaisons linéaires des colonnes de A qui donnent un vecteur nul ; les composantesx i des solutionsxsont les coefficients des combinaisons linéaires qui conviennent Il sera très utile, pour trouver le noyau d une matrice, d utiliser sa forme totalement échelonnée que nous avons introduite au chapitre précédent A ce propos, on rappelle que le rang d une matrice échelonnée est le nombre r de colonnes pivotales de la matrice Une matrice ànlignes etpcolonnes a doncr colonnes pivotales etp r colonnes non pivotales Remarquons que les noyaux de A et de sa forme totalement échelonnée R sont identiques En effet, les lignes de R sont obtenues par combinaisons linéaires des lignes de A et les systèmes linéaires Ax = et Rx = sont équivalents Plus précisément : Proposition 42 SoitA M n,p (K) et R sa forme totalement échelonnée AlorsKerA = KerR Démonstration : Par le théorème 335, R = EA où E est une matrice inversible et donc dire que Ax = est équivalent à dire querx = On verra plus loin (Proposition 48) que si on connaît les dimensions n et p d une matrice A et son noyau KerA, alors on peut déterminer complètement la forme totalement échelonnée de A En particulier, la forme totalement échelonnée d une matrice est unique 422 Détermination du noyau On va maintenant voir comment on peut déterminer le noyau d une matrice à partir de sa forme totalement échelonnée Commençons par le cas d une matrice A carrée (n = p) Cas d une matrice A carrée (n = p) inversible On a déjà vu dans le chapitre précédent que si A est inversible, la seule solution du système Ax = est x = En effet, en mutipliant les deux membres du système par A, on obtient immédiatement x = On verra que la matrice A est inversible si et seulement si la forme totalement échelonnée de A est R = Id n (voir Lemme 428 et Corollaire 429) Dans ce cas, la matrice R a donc r = n colonnes pivotales et aucune colonne non pivotale, et donc son rang est r = n Le système Ax = est équivalent au système Rx =, ce qui donne encore que x = est l unique solution du système linéaire Ax = On a donc Ker(A) = {} Cas d une matrice A carrée (n = p) non inversible Dans ce cas, la forme totalement échelonnée de A est R Id n, et son rang (le nombre de colonnes pivotales)r < n : la matricerpossède au moins une ligne de (en bas), et la matrice augmentée R également (puisque le second membre est nul) [ ] 2 Exemple 43 Considérons par exemple la matrice A =, et cherchons à déterminer le noyau de A C est 2 4 l ensemble desxtels queax =, càd les solutions du système : { x +2x 2 = 2x +4x 2 = Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

59 42 Systèmes linéaires homogènes 4 Espaces et sous espaces vectoriels Faisons l élimination : l 2 l 2 2l On obtient : { x +2x 2 = = La deuxième équation est toujours satisfaite, et donc il n y a en fait qu une seule équation Le noyau de A est la droite d équationx +2x 2 = Un moyen simple de décrire cette droite de solutions est de choisir un point de la droite : si on connaˆıt un tel point, on connaˆıt donc une solution de Ax =, qu on appelle solution spéciale Alors les points de la droite sont tous des multiples de ce point (parce que la droite passe par ) Choisissons par exemple x 2 =, dans ce cas on a x = 2, et donc une solution particulière est s = [ ] 2 s = { Ker(A) = t [ 2 [ ] } 2,t R ] Le noyau de A contient tous les multiples de Cas d une matrice rectangulaire quelconque Si on connait une solution spéciale s de Ax =, alors tous les multiples de s (càd les vecteurs de la forme λs avec λ R) sont solutions de Ax = Exemple 44 Le système linéaire à inconnue et 3 équationsx +x 2 +x 3 =, s écrit aussi Ax = où A est une matrice à une ligne et 3 colonnes :A = [ ], dont la forme totalement échelonnée est R = [ ], qui n a donc qu un pivot (r = ) Le noyau de A est le planp de R 3 d équationx +x 2 +x 3 =, dont on peut trouver deux solutions spéciales non colinéaires, qu on trouve en choissant d abordx 2 = etx 3 = puisx 2 = et x 3 = : s = ets 2 = Notons que les variablesx 2 et x 3 correspondant aux colonnes non pivotales, que nous appellerons variables non pivotales, peuvent ḙtre choisies de manière arbitraires Mais une fois qu elles sont choisies, la première (et unique) ligne de la matrice totalement échelonnéer nous donnex = x 2 x 3 La première colonne de A contient le pivot, et donc la première composante n est pas arbitraire On choisit des solutions spéciales grˆace aux variables non pivotales, correspondant aux colonnes non pivotales Remarquons enfin qu à partir des solutions spéciales s et s 2, on peut obtenir, par combinaison linéaire, tout le planp d équationx +x 2 +x 3 = En effet, pour n importe quel vecteur x du planp, on peut écrire x 2 x 3 x x 2 = x 2 +x 3 = x 2 s +x 3 s 2, x 3 grˆace au fait que x 2 x 3 = x Les vecteurss ets 2 engendrent le plan, au sens où le sous-espace vectoriel engendré pars et s 2 est le planp d équationx +x 2 +x 3 = On peut donc décrire KerA (le plan P) comme l ensemble des combinaisons linéaires des solutions spéciales qu on vient de calculer : KerA = λ +µ, λ R,µ R Les solutions spéciales de Ax = peuvent en fait se calculer très simplement à partir de la forme totalement échelonnéer dea:si on regarde comment sont faites les colonnes der, on se rend compte qu une colonne non pivotale peut s écrire comme combinaison linéaire des colonnes pivotales précédentes comme on va le démontrer dans la proposition suivante Et ce sont justement les coefficients de cette combinaison linéaire qui donnent une solution de Ax = (qu on appelle solution spéciale), puisque (rappel) le produit Ax est une combinaison linéaire des colonnes dea! Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

60 42 Systèmes linéaires homogènes 4 Espaces et sous espaces vectoriels Proposition 45 SoitA M n,p (K) une matrice échelonnée Alors toute colonne non pivotale est ) nulle si elle est située à gauche de la première colonne pivotale, 2) combinaison linéaire des colonnes pivotales qui la précèdent sinon Démonstration : On commence par le cas où A est totalement échelonnée On note r le nombre de lignes non nulles Soit J = (j,,j r ) les indices de ses colonnes pivotales (plus précisément, la colonne j i est celle qui contient le premier terme non nul de la ligne i) Le point 2 de la définition des matrices échelonnées dit que j < < j r Alors c ji (A) = (42) où leest sur la i ème ligne En effet, ) il y a des en dessous du, car le premier terme non nul de la ligne i + est sur la colonne j i+ > j i, le premier terme non nul de la lignei+2 est sur la colonnej i+2 > j i, etc 2) il y a des en-dessus du car dans une matrice totalement échelonnée, il y a des au-dessus d un pivot (= le premier terme non nul d une ligne) Soit j / J Si j < j, c j (A) = et le résultat est trivial Si j > j r, c j (A) est de la forme a r,j (car seules les r premières lignes sont non nulles) On peut écrirec j (A) = a,j c j (A)+ +a r,j c jr (A), d où le résultat dans ce cas Enfin, dans le cas où j vérifie j i < j < j i+, c j (A) est de la forme a i,j En effet, toutes les lignes à partir de i+sont nulles puisque le premier terme non nul de la ligne i+ est sur la colonnej i+ > j, le premier terme non nul de la lignei+2 est sur la colonnej i+2 > j, etc On peut écrirec j (A) = a,j c j (A)+ +a i,ji c ji (A) Dans ce cas aussi,c j (A) s écrit comme combinaison linéaire des colonnes qui la précèdent On considère maintenant le cas où A est simplement (et pas forcément totalement) échelonnée Alors l algorithme d échelonnement total montre qu il existe une matrice inversiblee telle queea soit totalement échelonnée et de plus A et EA ont les mêmes indices de colonnes pivotales (puisque l échelonnement total consiste simplement à faire apparaître des au-dessus des premiers termes non nuls de chaque ligne de A : les colonnes contenant le premier terme non nul d une ligne restent donc les mêmes) On note J l ensemble des indices des colonnes pivotales et soit j / J Si j < j, alors c j (EA) = et donc c j (A) = E c j (EA) = Sinon soient j,,j k l ensemble des indices de J qui sont inférieurs à j Par le cas précédent, il existe α,,α k tels que c j (EA) = α c j (EA)+ +α k c jk (EA) Donc c j (A) = c j (E EA) = E c j (EA) = E (α c j (EA)+ +α k c jk (EA)) = α E c j (EA)+ +α k E c jk (EA) = α c j (A)+ +α k c jk (A) a,j a,j Exemple 46 Prenons par exemple la matrice 3 4 sous forme totalement échelonnée R = 2 3 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 6 Algèbre linéaire, Maths générales II

61 42 Systèmes linéaires homogènes 4 Espaces et sous espaces vectoriels où on a écrit en gras les colonnes non pivotales Notonsc j (R), j =,,4 les 4 colonnes der Les deux colonnes pivotales sontc (R) et c 3 (R), et les deux non pivotalesc 2 (R) et c 4 (R) Chercherxtel querx = revient à chercherx,,x 4 tels que 4 i= x ic i (R) = Or la lecture de la matrice totalement échelonnée R donne c 2 (R) = 2c (R) et c 4 (R) = 3c (R) c 3 (R) ce qui s écrit aussi (pour bien faire apparaˆıtre le produit matrice vecteur) : 2c (R)+c 2 (R)+ c 3 (R)+ c 4 (R) = et 3c (R)+c 2 (R)+c 3 (R)+ c 4 (R) = On a donc trouvé ainsi deux solutions qui vérifientax =, qui sont 2 3 s = et s 2 = Ici encore, on peut remarquer que tout vecteur x qui vérifie Ax = peut s écrire comme combinaison linéaire de s et s 2 En effet, pour n importe quel vecteurx = (x,x 2,x 3,x 4 ) vérifiantax =, on a :x = 2x 2 3x 4 et x 3 = x 4 ; on peut donc écrire x = x x 2 x 3 x 4 = x 2 2 +x 4 3 = x 2s +x 4 s 2 Les vecteurss ets 2 engendrent l espace des solutions deax = Le noyau de A (ou de manière équivalente, l ensemble des solutions du systèmeax = ) s écrit alors : 2 3 KerA = λ +µ λ R, µ R Rappelons que si R est la forme totalement échelonnée de A, les systèmes Ax = et Rx = sont équivalents Les noyaux de A et de R sont donc identiques (voir proposition 42) et égaux à l ensemble des combinaisons linéaires des solutions spéciales obtenues comme expliqué dans l exemple précédent à partir des colonnes non pivotales de la matricer Il y a autant de solutions spéciales àax = que de colonnes non pivotales, càdp r Dans l exemple ci-dessus : p = 4,r = 2, donc il y a 2 solutions spéciales Cas d une matrice n p avec p > n Remarquons que dans le dernier exemple ci-dessus, on a une matrice rectangulaire couchée, càd avec plus d inconnues que de lignes : p > n Dans ce cas, le noyau de la matrice est forcément non réduit à En effet le nombre r de pivots (ou de lignes non nulles) est forcément inférieur aux nombres de lignes, n Comme p > n, il existe au moins une colonne non pivotale, et cette colonne est une combinaison linéaire d autres colonnes de A Ce qui montre qu il existe s non nul (ses composantes sont les coefficients de la combinaison linéaire écrite sous la forme combinaison = ) tel que Ax = Il y a donc une infinité de solutions au système Ax = (tous les multiples de s), comme dans l exemple 46 ci-dessus Unicité de la forme totalement échelonnée Question : la forme totalement échelonnée d une matrice A est elle unique? La réponse est oui, et on a même un résultat plus fort que cela : une matrice totalement échelonnée est entièrement déterminée par ses dimensions et son noyau Exemple 47 Soit A une matrice 3 4 dont le noyau est l ensemble {x R 2 ;x = x 4 =,x 2 2x 3 = } Construisons sa forme totalement échelonnée La première colonne de R est donc non nulle, sinon le vecteur (,,,) serait dans KerS On a donc forcément c (R) = Pour la mḙme raison, la deuxième colonne Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 6 Algèbre linéaire, Maths générales II

62 42 Systèmes linéaires homogènes 4 Espaces et sous espaces vectoriels est aussi non nulle De plus, le vecteur (,,,) n est pas dans le noyau Donc forcément c 2 (R) = La troisième colonne est entièrement déterminée par l équation du noyau : c 3 (R) = 2c 2 (R) Enfin, la quatrième colonne ne dépend pas des trois premières puisque x 4 n est pas lié aux autres variables dans les équations du noyau dea On a donc un seul choix possible pourr : R = 2 La construction qu on vient de faire dans cet exemple peut se généraliser à n importe quelle matrice Proposition 48 Soient A,B M n,p (K) deux matrices de mḙme noyau et R, S des matrices totalement échelonnées à partir de A et B respectivement Alors R = S Démonstration : Dans la suite, on note E i M p, (K) le vecteur colonne qui a des partout sauf un sur la lignei CommeKerA = KerR etkerb = KerS, il suffit de montrer que si deux matrices totalement échelonnées R ets ont même noyau, alors elles sont égales On montre par récurrence sur j p que pour tout k j, c k (R) = c k (S) ) Pour j =, si c (R) =, alors le vecteur E est dans le noyau de R, donc dans le noyau de S, donc c (S) = Même observation en échangeant les rôles deret S Doncc (R) et c (S) sont simultanément nuls ou simultanément non nuls Dans les2cas, ils sont égaux 2) Supposons la propriété vraie jusqu à l ordre j p et montrons-la pour j + Par hypothèse de récurrence, c k (R) = c k (S) pour tout k j Notons l le nombre de colonnes pivotales à droite de j + et k < < k l les indices de ces colonnes (pourr et pours) Sic j+ (R) est non pivotale, alors c est une combinaison linéaire des colonnes pivotales précédentes : c j+ (R) = l R i,j+ c ki (R) i= On en déduit que le vecteur s j+ := l i= R i,j+e ki E j+ est dans le noyau de R (on utilise que RE i = c i (R)) Doncs j+ est dans le noyau des Donc (en faisant le calcul dans le sens contraire), c j+ (S) = l R i,j+ c ki (S) i= Donc c j+ (S) = c j+ (R) Même observation en échangeant R et S Donc c j+ (R) et c j+ (S) sont simultanément non pivotales ou simulatnément pivotales Dans le premier cas, le calcul précédent montre qu elles sont égales Dans le second cas, elles sont aussi égales puisque c est la colonne pivotalel+ (qui a despartout sauf unsur la lignel+) 3) Conclusion : pour tout j p, c j (R) = c j (S) Autrement dit, R = S On déduit immédiatement de la Proposition 48 que pour toute matrice A, il existe une unique matrice totalement échelonnéer telle qu il existee GL n (K) vérifiantea = R Cette proposition permet également de définir le rang d une matrice quelconque A (qu on n a défini jusqu à présent que pour des matrices échelonnées) Définition 49 Le rang deaest le rang de la matrice totalement échelonnéer associée àa(càd le nombre de lignes non nulles ou de colonnes pivotales de la matrice R) 423 Familles libres, Indépendance des colonnes pivotales Définition 42 Soientx,,x p p éléments d un espace vectoriele On dit que la famille(x,,x p ) est libre (ou encore que les vecteursx,,x p sont linéairement independants) si pour tout(α,,α p ) K p, α x + +α p x p = = α = = α p = Autrement dit, une famille de vecteurs est libre si la seule manière d écrire une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs est de prendre tous les coefficients égaux à Il revient au même de dire qu aucun des vecteurs de la famille ne peut s écrire comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

63 42 Systèmes linéaires homogènes 4 Espaces et sous espaces vectoriels Exemples ) Les vecteurs colonnese i M n, (K) (composés deàl exception d unsur laième ligne) sont linéairement indépendants dansm n, (K) 2) Les matrices élémentairese i,j M n,p (K) forment une famille libre dem n,p (K) 3) La famille{x i } i n est libre dans l ensemble des polynômes de degré n Proposition 42 Soit A M n,p (K) Alors les vecteurs colonnes de A forment une famille libre si et seulement si Ker(A) = Démonstration : Pour tout X = x x p dans M p, (K), on a X Ker(A) ssi AX = ssi x c (A) + + x p c p (A) = Donc Ker(A) = {} ssi la seule combinaison linéaire de c (A),,c p (A) égale à est celle où tous les coefficients sont nuls, autrement dit ssi les vecteurs colonnesc (A),,c p (A) sont indépendants Proposition 422 SoitA M n,p (K) une matrice échelonnée non nulle Alors les colonnes pivotales deaforment une famille libre Démonstration : Soit r n le nombre de lignes non nulles de A Pour i r, on note j i l indice de la colonne qui contient le premier terme non nul de la lignei Par le point 2 de la définition d une matrice échelonnée, j < < j r Pour i r, la colonne d indice j i est de la forme c ji (A) = a,ji a i,ji avec a i,ji Soient α,,α r K tels que le vecteur colonnex := α c j (A)+ +α r c jr (A) soit nul La ligner de X estα r a r,jr Donc α r = On montre de même (par récurrence) que α r = = α = Donc la famille des colonnes pivotales est libre 424 Construction du noyau par les solutions spéciales Proposition 423 Soit A M n,p (K) Soit r le nombre de colonnes pivotales (ou de lignes non nulles) de la matrice totalement échelonnée à partir de A (càd le rang de A) et J l ensemble des indices des colonnes non pivotales Alors il existe p r vecteurs colonness j M,p (K), j J qui sont des éléments du noyau de A, et qu on appelle solutions spéciales du système linéaire homogène AX = tels que () tout élément deker(a) peut s écrire comme une combinaison linéaire de la famille(s j ) j J, (2) la famille(s j ) j J est libre Démonstration : Il existe E GL n (K) telle que R := EA soit totalement échelonnée On a vu à la proposition 42 que Ker(A) = Ker(R) Maintenant, on noter le nombre de colonnes pivotales (ou rang) deretj = (j,,j r ) les indices des colonnes pivotales, J les indices des colonnes non pivotales On note égalemente j M p, (K) le vecteur colonne (qui a donc p lignes) dont tous les coefficients sont nuls sauf le jème qui est égal à On note enfin R i,j les coefficients der Etape - Construction de la famille des solutions spéciales (S j ) j J On reproduit ici dans le cas général la construction effectuée dans les exemples 43, 44 et 46 Pour chaque colonne non pivotale j J, on va construire une solution spéciales j du système linéaire homogèneax = Soit doncj J Considérons d abord le cas oùj < j ; comme la matrice est totalement échelonnée, et quej est la première colonne pivotale, la colonnec j (A) est donc nulle En posants j = E j, on obtient : AS j = c j (A) = 2 Supposons maintenant quej est tel qu il existe i r tel quej i < j < j i+ ; alors on sait quec j (R) peut s écrire comme combinaison linéaire des colonnes pivotales précédentes :c j (R) = R,j c j (R)+ + R i,j c ji (R) On définits j = R,j E j + R i,j E ji +E j Alors RS j = a,j c j (R) a i,j c ji (R)+c j (R) = Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

64 42 Systèmes linéaires homogènes 4 Espaces et sous espaces vectoriels 3 Enfin, si j > j r, on définits j = R,j E j R r,j E jr +E j et on vérifie de même quers j = Etape 2 - La famille des solutions spéciales(s j ) j J est libre CommeKer(A) = Ker(R), la famille (S j ) j/ J est une famille de vecteurs deker(a) Montrons que la famille{s,,s p } est libre Soientα j K,j J tels que j J α j S j = Fixonsi J La ligneide S i est alors que pour toutj i, la ligneide S j est On obtient donc en calculant la ligne i dans l égalité précédente que α i = Comme cela est vrai pour tout i, on a bien montré que la famille (S i ) i J est libre Etape 3 - La famille des solutions spéciales(s j ) j J engendrekera Montrons que la famille{s,,s p } vérifie la condition () Soit X M p, (K) On va d abord montrer qu il existeα,,α p K tels que En effet, notons X = x x p existe des nombresγ j pourj J tels que On en déduit que X = j J α j S j + j Jα j E j (422) = p j= x je j Pour chaque j J, S j est de la forme E j + l J β le l Donc il x j S j = x j E j + γ j E j j J j J p X = j E j = j=x x j E j + j E j = j J j Jx ( x j S j γ j E j )+ x j E j j J j J j J ce qui prouve (422) Si on suppose de plus que X Ker(A), alors (422) implique j J = RX = j J α j RS j + j J α j RE j = j Jα j RE j puisqu on a vu que les S j étaient dans le noyau de R Ainsi, = j J α jc j (R) Or les colonnes pivotales de R forment une famille libre, donc on a α j = pour toutj J En reportant dans (422), il vient X = j J α j S j, ce qui est exactement la condition () 425 Exercices Résolution de systèmes linéaires homogènes et noyau Exercice 86 (Solutions spéciales et noyau) Pour les trois matrices suivantes, A = [ ] 2 4 B = C = [ B B ] 2 Donner les colonnes pivotales et non pivotales 2 Donner les solutions spéciales du système linéaire homogène associé 3 Donner le noyau de la matrice Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

65 43 Résolution d un système linéaire général 4 Espaces et sous espaces vectoriels Exercice 87 (Résolution de système) Soit les matrices : 2 A = B = 2 Quelles sont les colonnes pivotales et les colonnes non pivotales? 2 Déterminer des solutions spéciales de Ax = en prenant pour chaque variable non pivotale et pour toutes les autres variables 3 Déterminer le noyau de A en l écrivant comme l ensemble des combinaisons linéaires de solutions spéciales puis en donnant les équations qui le définissent Exercice 88 (Résolution de systèmes homogènes) Résoudre les systèmes linéaires suivants, en procédant de la mḙme façon que dans l exercice 87 : { 2x + y z = 4x y = x y + z = y + w = 3x 2y + 3z + w = y w = x z = y + 2z w = x + 2y + 3z w = { a b + 3c + d e = 2a b + c + d + e = Exercice 89 (Noyau et matrice totalement échelonnée) Construire la matrice totalement échelonnée R des matrices suivantes, donc on connaˆıt les dimensions et le noyau A M 3 (R),Ker(A) = {} 2 A M 3 (R),Ker(A) = {t 2,t R} 3 3 A M 3 (R),Ker(A) = {x = (x,x 2,x 3 ) R 3 ;x +x 2 +x 3 = } 4 A M 3,5 (R),Ker(A) = {x = (x,x 2,x 3,x 4,x 5 ) R 5 ;x +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = } 5 A M 4,3 (R),Ker(A) = {λ +µ,λ,µ R} Exercice 9 (Construction de matrices) Construire une matrice dont le noyau contient le vecteur de composantes(, 2, ) et l image les vecteurs de composantes(,, ) et (,, ) Exercice 9 (Noyau et image) Construire une matrice A carrée d ordre 2 dont le noyau est égal à son image 2 Peut-on construire une matriceacarrée d ordre 3 dont le noyau est égal à son image? 43 Résolution d un système linéaire général Soit le système linéaire à n équations et p inconnues : a, x +a,2 x 2 ++a,p x p = b a 2, x +a 2,2 x 2 ++a 2,p x p = b 2 a i, x +a i,2 x 2 ++a i,p x p = b i a n, x +a n,2 x 2 ++a n,p x p = b n Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

66 43 Résolution d un système linéaire général 4 Espaces et sous espaces vectoriels a, a,2 a,p On met le système sous forme matricielle :Ax = b, aveca = a 2, a 2,2 a 2,p, A M n,p(k) a n, a n,2 a n,p Rappelons que résoudreax = b revient également à demander que b soit une combinaison linéaire des colonnes dea ; en effet, le produitax s écrit aussix c (A)+x 2 c 2 (A)+ +x p c p (A) oùc i (A) désigne lai-ème colonne dea Donc le systèmeax = b admet une solution si et seulement si le second membrebest dansim(a) Exemple 424 Soit A = AlorsAx = [ x x 2 ] = x 2 3 +x 2 2 Donc Im(A) est un plan dans R 3 Pour un b quelconque, il n y pas de raison qu il y ait une solution au système Ax = b, sauf si b est dans le plan Im(A) Par contre si b =, alors il y a une solution, car Im(A) car (rappel) A = On rappelle d ailleurs en passant que Im(A) est un sous-espace vectoriel et à ce titre, doit contenir le vecteur nul ATTENTION : ne pas confondre Im(A) avec l ensemble des solutions de Ax = b, Im(A) est un sous-espace vectoriel der n, alors que l ensemble des solutions deax = b est un sous ensemble der p qui n est un sous-espace vectoriel der p que si b = L étude du noyau de la matrice nous permet d énoncer le résultat suivant : Proposition 425 (Solutions du système généralax = b) Soit A M n,p (R) une matrice réelle à n lignes et p colonnes Soitb R n Alors : Sib Im(A), le système linéaire admet au moins une solution 2 Sib Im(A), le système linéaire n admet aucune solution 3 SiKer(A) = {}, toutes les colonnes sont pivotales,r = p et le système linéaire admet au plus une solution 4 Si b Im(A) et Ker(A) = {}, toutes les colonnes sont pivotales, r = p et le système linéaire admet une solution unique 5 Si b Im(A) et Ker(A) {}, le système linéaire admet une infinité de solutions Démonstration : Dire qu il existex R p tel queax = b est équivalent à dire quebest une combinaison linéaire des colonnes dea, et donc queb C(A) oub Im(A) Ceci démontre les points et 2 Supposons que x et y sont des solutions de Ax = b Alors A(x y) =, càd x y Ker(A) On en déduit le point 3 Le point 4 découle des points et 3 Supposons maintenant que b Im(A) et Ker(A) {} Donc par le point, il existe x p qu on va appeler solution particulière, telle que Ax p = b Par hypothèse, il existe x n tel que Ax n = Il est alors facile de voir quex p +sx n est solution deax = b pour touts R Pour résoudre pratiquement le système Ax = b dans le cas général, on va procéder comme dans le cas où A était inversible, càd par élimination (ou échelonnement), grâce au résultat suivant : Proposition 426 Soit A M n,p (K), E GL n (K) et b M n, (K) (càdr n dans le cas K = R) Alors x M p, (K) (càdr p dans le cask=r)est solution du système linéaireax = b si et seulement si X M p, (K) est solution du système linéaireeax = Eb Le plan d action pour résoudre pratiquement le système Ax = b est le suivant : on commence par échelonner totalement la matrice augmentée [ A b ] La forme totalement échelonnée de la matrice augmentée [ R c ] nous permet de vérifier si le second membre est dans l image Si c est le cas, elle nous permet de construire une solution particulièrex p R p telle querx p = c, ce qui est équivalent (par la proposition 426) à Ax p = b Ensuite, la forme totalement échelonnée de la matricer nous permet de construire les solutions spéciales et donc tout le noyau, comme on l a vu au paragraphe précédent On a ainsi construit l ensembles des solutions du système : Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

67 43 Résolution d un système linéaire général 4 Espaces et sous espaces vectoriels p r S = {x p +x n,x n Ker(A)} = {x p + α k s k }, où les vecteurss k sont les solutions spéciales du système homogèneax = construites au paragraphe précédent Nous allons maintenant étudier quelques exemples pour illustrer cette démarche k= 43 Exemples de résolution de systèmes Exemple 427 2x +2x 2 2x 3 = 5 7x +7x 2 +x 3 = 5x +5x 2 x 3 = 5 On a ici n = p = 3, et la matrice du système est donca = La matrice augmentée est :à = , et sa forme totalement échelonnée (exo) : R = La dernière ligne deademande = : on lit dans cette dernière ligne de la matrice que le vecteurbn est pas dans l image dea, et que le système n admet pas de solution Dans le cas où b est dans l image de A, on sait qu on a au moins une solution au système linéaire Pour trouver les solutions d un système linéaire AX = b, l idée est de chercher une solution particulière x p par l algorithme d échelonnement total Une fois cette solution calculée, on remarque ensuite que si on a une autre solution b du même systèmeax = b, alorsa(x x p ) = Ax Ax p = b b = La différencex x p est donc dans le noyau dea On obtient donc toutes les solutions du système linéaire Ax = b sous la forme x p + x n, x n Ker(A) En particulier, il existe une unique solution lorsque Ker(A) = {} (et b Im(A)) Il est facile de trouver une solution particulièrex p du systèmeax = b à partir de sa forme totalement échelonnée : on met toutes les variables correspondant aux colonnes non pivotales à, et on résout (si c est possible) le système des variables pivotales : on obtient ainsi une solution particulièrex p Soit à la matrice augmentée du système, d ordren (p+) (n lignes,p+ colonnes), définie par à = [ A b ] a, a,2 a,p b = a 2, a 2,2 a 2,p b 2 a n, a n,2 a n,p b n On effectue l algorithme d échelonnement total sur la matrice à = [ A b ] pour arriver à la forme totalement échelonnée R = [ R d ] Examinons les différents cas possibles selon les valeurs de n,p et r, où r est le rang de la matrice A (càd le nombre de lignes non nulles de R et donc aussi de colonnes pivotales) Cas d une matrice carrée :n = p, avecr = Id n, ier = n, alors la matriceaest inversible et le système admet une solution unique x = d Exemple { x +2x 2 = 4 3x +7x 2 = 3 [ ] [ ] 2 4 Forme matricielle :Ax = b aveca = etb = [ ] totalement échelonnée (exo) : R 2 = Matrice augmentée :à = [ ] Forme Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

68 43 Résolution d un système linéaire général 4 Espaces et sous espaces vectoriels On a donc R = Id n (R est la forme totalement échelonnée de A, R est la forme totalement échelonnée de Ã) et on lit donc une solutionx p du système dans la matrice R qui représente le système linéaire : { x = 2 x 2 = Remarquons que la matrice [ est ] inversible et que son noyau est réduit à {} La solution unique du système 2 est doncx = x p + = 2 Cas d une matrice carrée telle que R Id n, r < n alors R a au moins une ligne nulle Si toutes les composantes de d correspondantes aux lignes nulles de R sont nulles, les équations sont compatibles et le système admet une infinité de solutions (parce que le noyau de A n est pas réduit à {}) S il existe une composante de d non nulle et qui correspond à une ligne nulle de R, alors le système n a pas de solution (parce qued Im(A)) Exemple x +2x 3 = b x +x 3 = b 2 x 3 = b 3 2 b Le système s écrit sous forme matricielle AX = b, avec A = et b = b 2 La matrice b 3 augmentée du système s écritã = 2 b b 2 L algorithme d échelonnement total donne : b 3 2 b b 2 T2( ) 2 b b 2 b T32() 2 b b 2 b b 3 b 3 b 3 +b 2 b A ce stade, on a effectué seulement l échelonnement de la matrice En écrivant l équation donnée par la dernière ligne de la matrice augmentée : ( b 3 + b 2 b ), on voit déjà que pour espérer avoir une solution, il faut quebsatisfasse la condition de compatibilité = b 3 +b 2 b (a) Si b ne satisfait pas cette condition, alors b n est pas dans Im(A) et le système linéaire n admet pas de solution (b) Si maintenantbsatisfait la condition de compatibilité = b 3 +b 2 b (b est dansim(a)), on continue la procédure d échelonnement total pour calculer la solution du système : 2 b b 2 b D2( ) T2( 2) b 3 +b 2 b 2 b b b 2 b 3 +b 2 b 2b 2 b b b 2 b 3 +b 2 b On lit alors une solution dans les deux premières lignes de la matrice totalement échelonnée qu on a ainsi obtenue : x = 2b 2 b, x 3 = b b 2 Notons que l on peut choisir x 2 de manière arbitraire Si on choisit x 2 =, on obtient une solution particulièrex p = 2b 2 b du système Ax = b, à laquelle on peut ajouter n importe quel élémentx n deker(a) On détermine alors la solution spéciale du b b 2 système homogène (c est-à-dire avec second membre nul) en remarquant qu il n y a qu une seule colonne non pivotale, la deuxième, et on peut écrire la combinaison linéairec (R)+c 2 (R)+c 3 (R) = Une solution spéciale est doncs = Le système admet une infinité de solutions, qui sont de la forme : x p +λs = 2b 2 b λ, λ R b b 2 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

69 43 Résolution d un système linéaire général 4 Espaces et sous espaces vectoriels Exemple Résoudre le système : 2x +2x 2 2x 3 = 5 7x +7x 2 +x 3 = 5x +5x 2 x 3 = 5 On a icin = p = 3, et la matrice augmentée du système estã = , et sa forme totalement échelonée (exo) : R = On lit alors dans la forme totalement échelonnée que le second membre n est pas dans l image de A (parce que la dernière ligne donne = ) donc le système n a pas de solution Remarquons que les solutions du système AX = se trouvent en remarquant que la matrice R totalement échelonnée dea(les 3 premières colonnes de R) a 2 colonnes pivotales et une non pivotale, la seconde On remarque quec 2 (R) = c (R) (la seconde colonne est identique à la première) ce qui donne comme solution spéciale Les solutions deax = sont les multiples de cette solution spéciale Ker(A) = λ,λ R 3 Cas n > p et r = p On a dans ce cas une matrice rectangulaire debout, plus haute que large, et aucune ligne nulle Donc on n a aucune colonne non pivotale (puisque r = p) Le noyau de la matrice est réduit à {} Prenons un exemple : A = et b = b b b 3 Cherchons pour quel b le système Ax = b admet une solution L échelonnement total de la matrice augmentée s écrit : b b 2 T2( ) b b 2 b T3( 2) b b 2 b 2 3 b b 3 b 3 2b T 32() b b 2 b T2() b 2 b 2 b D2( ) b 2 b b 2 b 3 3b +b 2 b 3 3b +b 2 b 3 3b +b 2 La lecture de la forme totalement échelonnée donne que : (a) Les deux colonnes sont pivotales, donc le noyau de la matrice est réduit à {} (b) Le second membrebest dans l image deasi l équation de compatibilitéb 3 3b +b 2 = est vérifiée [ ] b2 (c) Si b Im(A) alors il y a une unique solution x = b b 2 4 Cas n < p et r = n Il s agit d une matrice plus large que haute rectangulaire couchée, dont toutes les lignes sont non nulles Il y a donc forcément des colonnes non pivotales, et le noyau de la matrice n est donc pas réduit à Comme r = n, toutes les lignes sont non nulles, et il n y a donc pas d équation de compatibilité ; le second membre est dans l image de A, et on a donc une infinité de solutions, de la forme x p +x n, x n Ker(A) Exemple Résoudre le système : { x +x 3 = 2 x +x 2 +x 3 = 4 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

70 43 Résolution d un système linéaire général 4 Espaces et sous espaces vectoriels [ ] 2 La matrice augmentée du système est alors : L échelonnement total donne 4 On lit alors dans la matrice totalement échelonnée : [ ] 2 2 (a) Une solution particulière du système est donné par le second membre (l inconnue arbitraire est x 3, qu on prend égale à ) : x p = 2 2 (b) Le noyau de la matrice du système s obtient en remarquant que la troisième colonne est non pivotale et égale à la première On a donc comme solution spéciale du système homogènes = (c) On a donc une infinité de solutions, qui sont de la forme x = x p +λs = 2 2 +λ, λ R En résumé, il y a quatre possiblités pour les solutions d un système linéaire, selon le rangr de la matrice : r = n et r = p matrice carrée inversible Ax = b a une solution unique r = n et r < p matrice rectangulaire couchée Ax = b a une infinité de solutions r < n et r = p matrice rectangulaire debout Ax = b a ou solution (unique) r < n et r < p matrice quelconque Ax = b a ou une infinité de solutions 432 Caractérisation d une matrice inversible Lemme 428 SoitA M n (K) une matrice totalement échelonnée telle queker(a) = {} AlorsA=Id n Démonstration : Par la proposition 423, A n a pas de colonne non pivotale Donc l ensemble des indices J des colonnes pivotales estj = (,,n) (autrement dit,j i = i pour touti) De plus, on a (voir (42))c j (A) = où leest sur la j ème ligne DoncA = Id n Corollaire 429 SoitA M n (K), on a équivalence des propriétés suivantes A est inversible 2 Ker(A) = {} 3 Im(A) = M n, (K) (= R n dans le cas de matrices réelles) Démonstration : SupposonsA inversible Montrons queker(a) = {} SoitX Ker(A) AlorsAX =, donc A AX =, d oùx = Montrons qu on a aussi Im(A) = M n, (K) Notons B l inverse de A Soit Y M n, (K) Alors Y = A(BY) ce qui montre quey Im(A) DoncIm(A) = M n, (K) Supposons maintenant queker(a) = {} et montrons queaest inversible Soit E GL n (K) telle queea soit totalement échelonnée Comme Ker(E) = {} (car E est inversible), on a Ker(EA) = Ker(A) = {} On en déduit par le Lemme 428 queea = Id n, donca = E EA = E est inversible Supposons enfin que Im(A) = M n, (K) et montrons que A est inversible Soit E GL n (K) telle que EA soit totalement échelonnée Comme Im(E) = M n, (K) (car E est inversible), on a Im(EA) = M n, (K) Donc EA n a pas de lignes nulles ; autrement dit, les n lignes de EA ont un premier coefficient non nul On en déduit, en notant comme toujours j < < j n les indices des colonnes pivotales, que j =,,j n = n (car il y a exactement n lignes non nulles et n colonnes dans la matrice) Comme EA est totalement échelonnée, Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 7 Algèbre linéaire, Maths générales II

71 43 Résolution d un système linéaire général 4 Espaces et sous espaces vectoriels c j (EA) = où le est sur la j ème ligne (voir (42) ) DoncEA = Id n, ce qui montre queaest inversible On déduit des deux précédents corollaires qu une matrice carrée est inversible si et seulement si elle admet une forme totalement échelonnée égale à l identité Corollaire 43 SoitA GL n (K) AlorsApeut s écrire comme le produit de matrices élémentaires Démonstration : L algorithme d échelonnement total (Théorème 335) montre qu il existe P produit de matrices élémentaires telle que PA soit totalement échelonnée Comme PA est inversible, on en déduit PA = Id n par le Corollaire 428 DoncA = P On conclut par le corollaire Exercices Exercice 92 (Ecrire une matrice et résoudre un système) Ecrire sous forme matricielle le problème suivant Trouver deux quadruplets différents de 4 entiers a, b, c et d tels que : Exercice 93 Calculer le rang des matrices A = La moyenne deaet b est 35, la moyenne debetcest 22, la moyenne de c et d est 39, et la moyenne deaet d est Exercice 94 Calculer le rang des matrices , 2 et B =, Exercice 95 (Suite de l exercice 87) Soit la matrice :A = (a) Quel est le rang de la matricea? (b) Soitb R 4 Résoudre le système linéaireax = b , Exercice 96 Calculer, pour toutt R le rang des matricesm t = t t et N t = t t t t Exercice 97 (Ligne Attila) Si une matrice totalement échelonnée a toute sa première ligne remplie de, quel est son rang? Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 7 Algèbre linéaire, Maths générales II

72 43 Résolution d un système linéaire général 4 Espaces et sous espaces vectoriels Exercice 98 SoitA = et b = b b b 3 Echelonner la matrice augmentée [ A b ] pour la transformer en [ U c ] oùu est échelonnée 2 Trouver les conditions surb,b 2 et b 3 pour queax = b ait une solution 3 Décrire ImA (plan? droite? tout l espace?) 4 Décrire KerA Trouver les solutions spéciales deax = 5 Trouver une solution particulière au système Ax = b = (4, 3, 5) 6 Trouver la forme totalement échelonnée [ R d ] et y lire directement les solutions spéciales et particulière Exercice 99 Résoudre les systèmes linéaires suivants : { 2x + y z = 4x y = 3 x y + z = y + w = 2 3x 2y + 3z + w = 3 y w = 4 x z = y + 2z w = 3 x + 2y + 3z w = 7 { a b + 3c + d e = 2a b + c + d + e = 3 Exercice (Solution spéciale et forme totalement échelonnée) Soit A M 3,4 (R) telle que le vecteur s = (3, 2,, ) soit la seule solution spéciale du système linéaire homogène Ax = Quel est le rang de la matricea? 2 Quelle est la forme totalement échelonnée dea? 3 Existe-t-il une solution au système Ax = b pour toutb R 3? Exercice (Même ensemble de solutions même matrice? ) Soient A et B des matrices telles que que les syst `mesax = b et Bx = b ont le mḙme ensemble de solutions pour toutb Est ce quea = B? Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

73 Chapitre 5 Bases, dimension et sous-espaces On s intéresse ici à la dimension des espaces et sous espaces et aux relations entre certains sous espaces Vous avez déjà une idée assez claire de ce qu on entend par 2D (deux dimensions d espace) ou 3D (ne serait-ce que par les jeux vidéo!) : en 2D, on est dans un plan, en 3D, on est dans l espace On va maintenant relier cette notion de dimension à celle de vecteurs libres et liés (ou linéairement indépendants et linéairement dépendants) En gros, si l on dispose de vecteurs libres (ou linéairement indépendants) d un espace vectoriel, cela veut dire qu il n y en a pas trop ; si l on dispose de vecteurs liés (ou linéairement dépendants), cela veut dire qu il y en a assez Pas trop ou assez pour quoi? Pour former ce qu on appelle une base, qui a exactement le bon nombre de vecteurs, et ce bon nombre est la dimension de l espace Vous connaissez d ailleurs bien la base(i,j,k) der 3 : trois vecteurs de base pour un espace de dimension 3 5 Bases et dimension 5 Familles libres, liées, génératrices, bases On a déjà vu au chapitre précédent que des vecteurs, ou éléments d un espace vectoriel E, sont dits linéairement indépendants si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs égale à E (le vecteur nul de l espace vectoriel) est la combinaison linéaire dont tous les coefficients sont nuls Une autre manière équivalente de le dire : aucun des vecteurs ne peut s écrire comme combinaison linéaire des autres vecteurs En particulier, les vecteurs colonnes d une matrice A sont linéairement indépendants si la seule solution du système Ax = est x =, càd si le noyau de la matrice est réduit à {}, qui est ici le vecteur nul de R p, si A est une matrice n p Il n y a aucune autre combinaison linéaire des colonnes qui donne le vecteur nul Sinon, ils sont linéairement dépendants Définition 5 (Indépendance et dépendance linéaire) Soit E un K-espace vectoriel Soit (e,,e n ) une famille d éléments dee On dit que la famille (e,,e n ) est libre, ou que les vecteurse,,e n sont linéairement indépendants, si (α,,α n ) K n et α e + +α n e n = entraˆıneα = = α n = 2 On dit que la famille (e,,e n ) est liée si elle n est pas libre, ou que les vecteurs e,,e n sont linéairement dépendants s ils ne sont pas linéairement indépendants Si on prend trois vecteurs dans R 2, ils sont forcément dépendants De manière générale, si u et v E, la famille (u,v) est liée si, et seulement si,u = ouv =, ou il existeα K tel quev = αu : on dit aussi queuetv sont colinéaires Si maintenant on prend trois vecteurs dans R 3, et si l un d entre eux est multiple d un autre, alors ils sont dépendants Mais s ils sont coplanaires, ils sont aussi dépendants, parce qu on peut écrire l un d entre eux comme combinaison linéaire des deux autres Si on prend trois vecteurs non coplanaires, la seule combinaison linéaire de ces trois vecteurs qui donne est la combinaison nulle, et donc ils sont libres Pour voir si une famille de p vecteurs de R n est libre ou liée, on met chacun des vecteurs comme colonne d une matricen p, et on cherche le noyau dea, ou, de manière équivalente, on cherche à résoudre le systèmeax = On a vu cela en détail au paragraphe 42 73

74 5 Bases et dimension 5 Bases, dimension et sous-espaces Dans le chapitre précédent, on a vu également que les colonnes pivotales d une matrice échelonnée sont linéairement indépendantes Donc les colonnes d une matrice échelonnée qui n a que des colonnes pivotales sont linéairement indépendantes On va voir dans la suite de ce chapitre que ce résultat reste vrai pour toutes les matrices : les colonnes d une matrice A M n,p (K) sont linéairement indépendantes lorsque toutes les colonnes d une matrice échelonnée à partir de A sont pivotales, autrement dit lorsque p = r, (r étant le rang de la matrice, c est-à-dire le nombre de colonnes pivotales ou encore le nombre de lignes non nulles) Dans le cas où p > n, alors forcément les vecteurs sont linéairement dépendants En effet, dans ce cas le rang de la matricer, ie le nombre de lignes non nulles, est forcément inférieur strictement àp, puisquer n < p Donc il existe des colonnes non pivotales qui permettent de définir les solutions spéciales associées du système Ax = En particulier, le noyau de A n est pas réduit à{} et il existe une combinaison linéaire des colonnes qui donne La famille est liée Définition 52 (Famille génératrice) On dit que la famille(e,,e n ) est génératrice si Vect(e,,e n ) = E Ceci revient à dire que pour toutx E, il existe α,,α n K tels que x = α e + +α n e n = n α k e k On a vu au chapitre précédent que les colonnes d une matrice A engendrent l espace des colonnes de A (c est la définition de C(A)), et donc engendrent l image de A (car Im(A) = C(A)) On définit maintenant un nouvel espace associé à la matricea, qui est l espace des lignes de la matricea Définition 53 (Espace des lignes d une matrice) Soit une matrice A d ordre n p On appelle espace des lignes dea M n,p (K), notél(a), le sous-espace vectoriel dek n engendré par les vecteurs lignes dea oùl i (A) représente lai-ème ligne de la matricea Il est facile de voir quel(a) = C(A t ) k= L(A) = Vect{l (A),l p (A)}, Attention, l ensemble C(A) (= Im(A)) est un sous-espace vectoriel de R n, alors que l ensemble L(A) (= C(A t ) = Im(A t )) est un sous-espace vectoriel der p Exemple 54 (Espace des colonnes et espace des lignes) CherchonsC(A) etl(a) pour la matricea M 3,2 (R) définie par A = [ ] La matrice transposée de A est donc A t = L espace C(A) = Im(A) = L(A t ) est un sous-espace vectoriel de R 3 qui est engendré par les colonnes de A, càd les vecteurs (,,) et (,,) C est un plan der 3 L espacel(a) = C(A t ) = Im(A t ) est un sous-espace vectoriel der 2 qui est engendré par les lignes dea, càd les vecteurs(,),(,) et(,) C est R 2 tout entier Les familles génératrices sont utiles pour décrire un espace vectoriel comme l ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de cette famille Par exemple, le plan horizontal dans R 3 est engendré par la famille {(,,), (,,)} En fait, il est aussi engendré par la famille{(,,),(,,),(,,)} ; et aussi par la famille{(,,), (,, ),(,, ),(2, 6, )} d où la question naturelle : peut-on trouver des familles génératrices les plus petites possibles? On aura alors le bon nombre de vecteurs qui permettent d obtenir tous les vecteurs de l espace par combinaison linéaire Pour cet exemple, on se convainc facilement qu on a besoin au minimum de 2 vecteurs pour engendrer le plan horizontal Pour traiter le cas général, on utilise la notion suivante Définition 55 (Base) On dit que la famille (e,,e n ) est une base si elle libre et génératrice Exemple 56 (Base canonique de R n ) Les vecteurs i = (,) et j = (,) forment une base de R 2 De mḙme, les vecteurs i = (,,), j = (,,) et k = (,,) forment une base de R 3 Plus géneralement, on appelle base canonique de R n la famille de vecteurs (e i ) i=,,n, avec e i = (,,,,,,), où le est placé en i-ème position Les vecteurs de la base canonique sont les vecteurs colonnes de la matrice identitéid n La base canonique est une base der n, mais ce n est pas la seule! En fait, on peut observer que Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

75 5 Bases et dimension 5 Bases, dimension et sous-espaces Exemple 57 (Base de R n et matrice inversible) Les colonnes d une matricen n forment une base der n si et seulement si la matrice est inversible (exercice : voir corollaire 429) On voit donc quer n a un nombre de bases infini Exemple 58 (Base de Ker(A)) SoitA M n,p (R) La proposition 423 dit exactement que les solutions spéciales de Ax = forment une famille libre et génératrice de l espace des solutions de Ax = Les solutions spéciales sont donc une base dekera Comptons le nombre de vecteurs dans cette base ; soit r le rang de la matrice, càd le nombre de lignes non nulles de la matrice R totalement échelonnée à partir de A Le rang r est aussi le nombre de colonnes pivotales der On a donc doncp r colonnes non pivotales,p r solutions spéciales,p r vecteurs de base pourker(a) Dans le cas d une matrice échelonnée, ce sont les colonnes pivotales de la matrice qui forment une base de C(A) : Proposition 59 Soit A M n,p (K) une matrice échelonnée Alors les colonnes pivotales de A forment une base deim(a) Démonstration : On se souvient (proposition 422) que les colonnes pivotales c j (A),,c jr (A) forment une famille libre De plus (proposition 45), les colonnes non pivotales sont soit nulles soit combinaison linéaire des colonnes pivotales Donc toutes les colonnes appartiennent à Vect(c j (A),,c jr (A)) Donc l espace des colonnes est égal àvect(c j (A),,c jr (A)) Autrement dit, {c j (A),,c jr (A)} est une famille génératrice de Im(A) En résumé, c est une base deim(a) En fait, cette propriété est conservée par échelonnement, càd que les colonnes de la matrice A dont les indices sont ceux des colonnes pivotales de sa forme échelonnée forment également une base de C(A) ou Im(A) On démontre ce résultat grâce au petit lemme suivant, qu on va d ailleurs utiliser plusieurs fois par la suite Lemme 5 Soient A M n,p (K), P GL n (K) et i < < i k p Si (c i (A),,c ik (A)) est une famille libre, resp génératrice, resp une base de Im(A), alors (c i (PA),,c ik (PA)) est une famille libre, resp génératrice, resp une base deim(pa) Démonstration : Il suffit de remarquer que c i (PA) = Pc i (A) puis d appliquer les définitions de famille libre, génératrice, base Proposition 5 SoientA M n,p (K) et P GL n (K) telle quepa soit échelonnée Notons i < < i r les indices des colonnes pivotales depa Alors(c i (A),,c ir (A)) est une base deim(a) Démonstration : Par le lemme 5, il suffit d observer que (c i (PA),,c ir (PA)) est une base de Im(PA), ce qui est le cas puisque dans une matrice échelonnée, les colonnes pivotales forment une base de l espace des colonnes L intérêt principal de trouver une base d un espace vectoriel est que l on peut décrire précisément tout élément de l espace vectoriel grâce à la base On écrit le vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs de la base Cette combinaison linéaire donne les composantes du vecteur dans la base, de manière unique, comme on le montre maintenant Proposition 52 (Composantes d un vecteur dans une base) Soient E un K-espace vectoriel et B = (e,, e n ) une base de E Pour tout x E, il existe un uniquen uplet(α,,α n ) K n appelé les composantes de x dans la base B tel que n x = α e + +α n e n = α k e k Démonstration : L existence des composantes x i provient du caractère générateur de la famille L unicité du caractère libre Plus précisément : La famille (e,,e n ) étant une base, elle est génératrice Par conséquent pour tout x E, il existe un n uplet α = (α,,α n ) K n tel que n x = α e + +α n e n = α k e k k= k= Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

76 5 Bases et dimension 5 Bases, dimension et sous-espaces Soit β = (β,,β n ) K n tel que On a x = β e + +β n e n = (α β )e + +(α n β n )e n = n β k e k k= n (α k β k )e k = Or la famille(e,,e n ) est libre Doncα k β k = pour toutk =,,n On en déduit l unicité dun uplet α Remarque 53 (Famille génératrice et espace engendré) Par définition, toute famille (f i ) i p de vecteurs est une famille génératrice de l espace vectoriel engendré Vect(f,,f p ) (qui est l ensemble des combinaisons linéaires def,,f p ) C est une base devect(f,,f p ) si et seulement si la famille est libre Soit (u,,u n ) une base de R n, et v,,v p p vecteurs de R n Puisque (u,,u n ) est une base, on peut écrire chaque vecteurv i comme combinaison linéaire des vecteursu i : v j = k= n a k,j u j ou encorev = [ ] [ ] v v p = u u n A = UA k= On appelle A la matrice de la de la famille (v,,v p ) dans la base (u,,u n ) Attention à l ordre de la multiplication des matrices dans l égalité ci-dessus Noter que les matrices Plus généralement, on peut définir la matrice d une famille de vecteurs dans une base d un espace vectoriel qui n est pas forcémentr n de la manière suivante : Définition 54 (Matrice d une famille de vecteurs dans une base) Soit (e,,e n ) une base d un K-espace vectoriele Soient f,,f p p éléments de E La matrice A M n,p (K) de la famille (f,,f p ) dans la base (e,,e n ) est la matrice dont la i ème colonne est constituée des coordonnées du vecteur f i dans la base (e,,e n ) Explicitement, si f j = n k= a k,je i pour tout j p, alorsa=(a k,j ) Réciproquement, si on se donne une matrice A M n,p (K), on peut lui associer une famille de vecteurs (f,f p ) dont les composantes dans la base(e,,e n ) sont les vecteurs colonnes de la matrice A Exemple 55 (Matrice d une familles de polynômes) Considérons l espace vectoriel des polynˆomes de degré 3 La famille {,X,X 2,X 3 } en est une base Soient P(X) = X 3 + 2X, Q(X) = X 2 et R = 3X 3 +2X 2 +X + Alors la matrice A associée à la famille {P,Q,R} dans la base{,x,x 2,X 3 } est A := La proposition suivante est très importante en pratique : supposons donnée une famille de vecteurs On se demande si elle est libre ou génératrice On est ramené à la détermination du noyau ou de l image d une matrice construite à partir de cette famille de vecteurs : Proposition 56 Soit (e,,e n ) une base d un K-espace vectoriel E Soient f,,f p p éléments de E et A M n,p (K) la matrice de la famille(f,,f p ) dans la base(e,,e n ) Alors la famille (f,,f p ) est libre ssi Ker(A) = {} ssi (c (A),,c p (A)) est libre 2 la famille (f,,f p ) est génératrice ssi Im(A) = K n ssi (c (A),,c p (A)) est génératrice dek n Démonstration : Pour le point, le fait que la famille des vecteurs colonnes (c (A),,c p (A)) est libre ssi Ker(A) = {} résulte de la proposition 42 Il reste donc à voir que(c (A),,c p (A)) est libre ssi(f,,f p ) est libre Soit(α,,α p ) K p Alors p j= α jf j = p j= α j( n i= a i,je i ) = n i= ( p j= α ja i,j )e i = pour tout i n, p j= α ja i,j = (car la famille (e i ) est libre) p j= α jc j (A) = Ainsi, (c (A),,c p (A)) est libre ssi (f,,f p ) est libre Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

77 5 Bases et dimension 5 Bases, dimension et sous-espaces Montrons le point 2 On a vu au chapitre précédent que Im(A) est l ensemble des combinaisons linéaires des c (A),,c p (A) Donc Im(A) = K n ssi la famille (c (A),,c p (A)) est génératrice de K n Soit Y := y y n j= α jf j y = dans K n et y = y e + + y n e n E Alors il existe (α,,α p ) K p tel que y = p p j= α j( n i= a i,je i ) n i= ( p j= α ja i,j )e i = y pour tout i n, y i = p j= α ja i,j Y = p j= α jc j (A) Donc (c (A),,c p (A)) est génératrice dans K n ssi (f,,f p ) est génératrice dans E Le point 2 est démontré Ainsi, pour savoir si la famille(p, Q, R) donnée dans l exemple précédant la proposition est libre ou génératrice, on calcule le noyau et l image de la matrice A, par exemple en l échelonnant Ici, on trouve (exercice) que le noyau est nul donc les colonnes de la matrice sont linéairement indépendantes, donc la famille (P,Q,R) est libre En revanche, l image de la matrice n est pas toutr 4 (par exemple,(,,,) n y est pas) Donc la famille(p,q,r) n est pas génératrice de l ensemble des polynômes de degré 3 (les polynômes constants ne peuvent s écrire comme combinaison linéaire de P, Q et R) 52 Dimension d un espace vectoriel Définition 57 (Dimension finie) Soit E un K-espace vectoriel S il existe une famille génératrice finie de E, alors on dit quee est de dimension finie Sinon on dit qu il est de dimension infinie Par exemple, l espace vectorielr n est de dimension finie, et l espace vectoriel des fonctions continues de R dans R est de dimension infinie Théorème 58 (Existence d une base) SoitE unk-espace vectoriel de dimension finie Alors il existe une base (finie) dee Démonstration : On commence par l observation suivante Soit F = {f,,f p } une famille génératrice finie dee qui n est pas libre Alors l un des vecteursf i F s écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs de F On en déduit que tous les vecteurs def appartiennent àvect(f,,f i,f i+,,f p ) Donc Vect(f,,f p ) = Vect(f,,f i,f i+,,f p ) Donc la famillef = {f,,f i,f i+,,f p } est encore génératrice On prouve alors le théorème On montre par récurrence sur k que pour tout espace vectoriele contenant une famille génératricef = {f,,f k } dee, il existe une base dee Pourk = : soite tel qu il existef = {f } génératrice, alors ou bien f auquel cas F est libre et donc une base, ou bien f = ce qui veut dire que E = {} et la famille àéléments est une base de E (c est une convention) Supposons le résultat vrai pour k, montrons-le pour k + Soit E un espace vectoriel qui contient une famille génératrice à k + éléments F = {f,,f k+ } Si elle est libre, c est une base, et l hypothèse est vérifiée au rangk+ Si elle n est pas libre, par l observation préliminaire, il existef i tel que la famillef := F \{f i } soit encore génératrice On applique l hypothèse de récurrence à l ordre k On en déduit l existence d une base Conclusion : S il existe une famille génératrice finie, il existe une base Théorème 59 (Dimension et bases) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie Toutes les bases ont mḙme nombre d éléments Ce nombre est appelé dimension de l espace vectoriele Démonstration : Notons (e,,e n ) et (f,,f p ) deux bases de E Montrons que n = p On introduit la matrice A M n,p (K) de la famille (f,,f p ) dans la base (e,,e n ) Par la Proposition 56, Ker(A) = {} et Im(A) = K n Soit E GL n (K) telle que EA soit totalement échelonnée Alors Ker(EA) = {} Donc les colonnes de EA forment une famille libre Donc il n y pas de colonne non pivotale (par la Proposition 45) Donc le nombrer de colonnes pivotales est p On a aussi Im(EA) = K n DoncEA n a pas de ligne nulle (sinon ne serait pas dansim(ea)) Doncr = n On en déduitp = n Dans la preuve précédente, on a montré que si une matricea M n,p (K) vérifieker(a) = {} et Im(A) = K n alorsn = p Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

78 5 Bases et dimension 5 Bases, dimension et sous-espaces Exemples : K n est unk-espace vectoriel de dimensionn (penser à la base canonique!) [ ] L espacem 2 (R) est unr-espace vectoriel de dimension4dont une base est formée des matricese =, [ ] [ ] [ ] E 2 =, E 2 =,E 22 = Cette base(e,e 2,E 2,E 22 ) est appelée base canonique K n [X] est l espace des polynômes de degré n Une base est formée par les polynômes,x,,x n La dimension dek n [X] est doncn+ Remarque 52 Un sous espace vectoriel d un K-espace vectoriel est un K-espace vectoriel On peut donc parler de dimension d un sous espace vectoriel Définition 52 SoitE unk-espace vectoriel de dimensionn Les sous espaces vectoriels de dimension sont appelés des droites Les sous espaces vectoriels de dimension 2 sont appelés des plans Les sous espaces vectoriels de dimension n sont appelés des hyperplans 53 Théorème de la base incomplète et conséquences Théorème 522 (Théorème de la base incomplète) Soit p un entier positif, (f,,f p ) une famille libre d un espace vectoriel E de dimension n Soit (g,,g q ) une famille génératrice de E Alors il existe une base (e,,e n ) dee telle quee i = f i pour touti p et e i {g,,g q } pour touti > p Démonstration : Soit B une base de E On note A la matrice de la famille (f,,f p ) dans B, A 2 celle de (g,,g q ) et A celle de (f,,f p,g,,g q ) Il existe P GL n (K) telle que PA soit totalement échelonnée On note J := (j,,j r ) l ensemble des indices des colonnes pivotales de PA Alors (Proposition 59) (c j (PA),,c jr (PA)) est une base de Im(PA), donc (c j (A),,c jr (A)) est une base de Im(A) (par le lemme 5) Comme (f,,f p ) est libre, les colonnes de A forment une famille libre (Proposition 56) donc aussi celles depa (par le lemme 5), donc toutes les colonnes depa sont pivotales (Proposition 45) Ainsi j =,,j p = p, c est-à-dire c j (A) = c (A ),,c jp (A) = c p (A ) Comme (g,,g q ) est une famille génératrice, Im(A 2 ) = K n L espace des colonnes de A contient l espace des colonnes de A 2 Donc Im(A) Im(A 2 ) = K n Donc(c j (A),,c jr (A)) = (c (A ),,c p (A ),c jp+ (A),,c jr (A)) est une base dek n On en déduit que(f,,f p,g jp+ p,,g jr p) est une base dee (Proposition 56) La preuve donne un moyen pratique pour choisir des vecteurs d une famille(g,,g q ) permettant de compléter une famille libre (f,,f p ) en une base de E Il suffit d écrire la matrice A des coordonnées de (f,,f p, g,,g q ) dans une base et de ne retenir que les colonnes pivotales dans une matrice échelonnée à partir dea Corollaire 523 Soit E un espace vectoriel de dimension n Si(f,,f p ) est une famille libre dee, alorsp n Si de plusp = n, alors(f,,f p ) est une base 2 Si (g,,g q ) est une famille génératrice de E, alors q n et il existe une sous-famille de (g,,g q ) formant une base dee Si de plusq = n, alors(g,,g q ) est une base dee Démonstration : Pour, appliquer le Théorème 522 à (f,,f p ) et à une base quelconque (g,,g n ) de E Pour 2, c est le cas p = dans l énoncé du théorème Corollaire 524 Soit E un espace vectoriel de dimension n Soit F un sous-espace de E Alors ) F est de dimension finie 2) dim F n 3) Sidim F = n, alorse = F Démonstration : Toutes les familles libres de F ont un cardinal n, d après le corollaire précédent Soit p le nombre maximal d éléments que peut contenir une famille libre de F On a donc p n et en particulier, toute famille def qui ap+ éléments est nécessairement liée Soit(f,,f p ) une famille libre def àpéléments On va montrer qu elle est génératrice def, c est-à-dire que tout élément def est combinaison linéaire def,,f p Soit x F et considérons la famille (f,,f p,x) Elle est liée car elle a p + éléments Donc il existe λ,,λ p,µ non tous nuls tels que λ f ++λ p f p +µx = Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

79 5 Bases et dimension 5 Bases, dimension et sous-espaces Nécessairement µ car sinon i λ if i = avec les λ i non tous nuls, ce qui contredit que la famille (f,,f p ) est libre On peut donc écrire x = µ (λ f ++λ p f p ) Donc la famille (f,,f p ) est génératrice Comme elle est libre, c est donc une base de F Donc F est de dimension finie p, avec p n Si p = n, alors (f,,f n ) est une famille libre de E qui a n éléments, donc est une base de E par le corollaire précédent Donc tout élément de E peut s écrire comme combinaison linéaire des f i qui sont des éléments def Donc tout élément dee est dansf DoncE = F 54 Rang d une famille de vecteurs Au chapitre précédent, on a déjà introduit le rang d une matrice En particulier, pour une matrice échelonnée, il s agit du nombre de colonnes pivotales, c est-à-dire aussi du nombre de lignes non nulles On a vu à la proposition 5 que les colonnes (c i (A),,c ir (A)) d une matrice A dont les indices i < < i r sont les indices des colonnes pivotales d une de ses formes échelonnéesea oùe est une matrice inversible, forment une base de C(A) ou Im(A) En particulier r = rg(p A) est la dimension de Im(A) On en déduit une autre définition possible du rang : Corollaire 525 Le rang d une matrice A est la dimension de C(A) = Im(A) L échelonnement (partiel ou total) d une matrice A permet donc de déterminer son rang et son image (en comptant le nombre de colonnes pivotales d une matrice échelonnée B associée à A) De plus, on obtient en même temps une base de l image de A en sélectionnant les colonnes de A ayant les indices des colonnes pivotales Proposition 526 SoitA M n,p (K) etp GL n (K),Q GL p (K) deux matrices inversibles Alors le rang des matricesa,pa et AQ sont égaux : rg(a) = rg(pa) = rg(aq) Démonstration : Notons r le rang de A Il existe une sous-famille de la famille des colonnes de A formant une base de Im(A) Soient j < < j r tels que (c j (A),,c jr (A)) est une base de Im(A) Alors par le lemme 5,(c j (PA),,c jr (PA)) est une base deim(pa) Doncrg(A) = rg(pa) Remarquons ensuite que Im(AQ) Im(A) et Im(A) = Im(AQQ ) Im(AQ) La première inclusion donne rg(aq) rg(a) et la deuxième donne rg(a) rg(aq) D où le résultat On définit maintenant le rang d une famille de vecteurs : Définition 527 (Rang d une famille de vecteurs) Soit (f,,f p ) une famille de p vecteurs d un espace vectoriel E On appelle rang de la famille(f i ) i, la dimension de l espace vectoriel Vect(f,,f p ) Remarque 528 Le rang de la famille(f,,f p ) est au plus égal àp(car(f,,f p ) est une famille génératrice devect(f,,f p )) Une famille depvecteurs est libre si le rang de cette famille est égal àp Comment déterminer en pratique le rang d une famille de vecteurs? Si on connaît les coordonnées de ces vecteurs dans une base, il suffit d écrire la matrice de cette famille de vecteurs dans cette base, et de calculer le rang de cette matrice en l échelonnant C est ce que dit la proposition suivante : Proposition 529 Soit B une base de E Le rang de la famille (f,,f p ) est égal au rang de la matrice des composantes des vecteursf i dans la baseb Démonstration : On rappelle (proposition 56) qu une famille de vecteurs est libre ssi les colonnes de la matrice de cette famille dans une base sont linéairement indépendantes On note X i le vecteur colonne des composantes de f i dans la base B et A la matrice [X X p ] Soit r le rang de A Il existe j < < j r p tels que X j,,x jr soit une base de Im(A) En particulier, c est une famille libre Alors les vecteurs (f j,,f jr ) forment une famille libre Soit j / {j,,j r } Alors (X j,,x jr,x j ) n est pas libre, donc les vecteurs (f j,,f jr,f j ) forment une famille liée On en déduit que f j Vect(f j,,f jr ) et finalement que (f j,,f jr ) est génératrice Donc (f j,,f jr ) est une base devect(f,,f p ) et finalementrg(x,,x p ) = rg(f,,f p ) La preuve précédente donne en plus un moyen de trouver une base devect(f,,f p ) On écrit la matriceade {f,,f p } dans une base On l échelonne On repère les indices des colonnes pivotalesj < < j r Alors la famille{f j,,f jr } est une base devect(f,,f p ) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

80 5 Bases et dimension 5 Bases, dimension et sous-espaces Proposition 53 Le rang dea M n,p (K) est égal au rang dea t M p,n (K) Le rang deaest aussi égal à la dimension de l espace vectoriel L(A) engendré par les vecteurs lignes de A Démonstration : On peut supposer que A est totalement échelonnée En effet, si A n est pas totalement échelonnée, soit P M n (K) telle que PA soit totalement échelonnée Alors rg(pa) = rg(a) et rg(a t P t ) = rg(a t ) On suppose donc désormais A totalement échelonnée Montrons que la famille des lignes non nulles de A forment une base de l ensemble des vecteurs lignes de A Notonsr le nombre de lignes non nulles de A et j < < j r p les indices des colonnes pivotales Alors pour k {,,r}, la k-ième ligne l k (A) est de la forme l k (A) = [ ] où le est placé sur la colonne j k De plus, les nombres à droite du sont nuls lorsqu ils sont sur une colonne pivotale (car la matrice est totalement échelonnée) Soient α,,α r K tels que α l (A) + +α r l r (A) = Montrons que α = = α r = Le vecteur ligneα l (A)+ +α r l r (A) a dans sa colonne d indicej le nombreα, dans sa colonne d indicej 2 le nombreα 2, etc Donc on a bienα = = α r = Comme les lignes non nulles deadonnent par transposition une base des colonnes dea t, r = rg(a t ) Maisrest aussi le nombre de colonnes pivotales dea, et doncr = rg(a) Doncrg(A) = rg(a t ) 55 Exercices Exercice 2 Les familles de vecteurs suivantes sont-elles libres ou liées? {(,), (, ),(,)} dansr 2 2 {(,), (,3)} dansr 2 3 {(,2, ), ( 2,,),(,,2)} dansr 3 4 {(,2, ), ( 2,,)} dansr 3 5 {, u, u n },u i R n 6 {u, u, u n },u i R n 7 {e, e n } avece i les vecteurs canoniques der n Exercice 3 Soientu,u 2 etu 3 trois vecteurs linéairement indépendants der n Soitα R On pose : v = u +u 2 v 2 = u +2u 2 +u 3 v 3 = u 2 +αu 3 Pour quelles valeurs de α les vecteursv,v 2,v 3, sont ils linéairement indépendants? SoitU = [ u u 2 u 3 ] et V = [ v v 2 v 3 ] Ecrire V sous la formev = UM oùm est une matrice carrée d ordre 3, et montrer que les vecteurs v, v 2, v 3 sont linéairement indépendants si et seulement si la matrice M est inversible Exercice 4 Trouver le plus grand nombre possible de vecteurs linéairement indépendants parmi les vecteurs suivants : u = u 2 = u 3 = u 4 = u 5 = u 6 = Exercice 5 SoientE un espace vectoriel et v, v 2, v 3 trois vecteurs non nuls Montrer que si les sous-espaces vectoriels engendrés respectivement par v, v 2 et par v, v 3 coïncident, alors la famille{v, v 2, v 3 } est liée 2 La réciproque est elle vraie? Exercice 6 DansR 3 vérifier que les vecteurs{a,b,c} forment une base : a = (2,, 3),b = (3,2, 5),c = (,,) 2 a = (,,),b = (,,2),c = (,2,3) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 8 Algèbre linéaire, Maths générales II

81 5 Bases et dimension 5 Bases, dimension et sous-espaces Exprimer les vecteurs(6, 2, 7) et (6, 9, 4) dans ces bases Exercice 7 Dans l espace vectoriel R 3, les vecteurs suivants constituent-ils une base? (On pourra utiliser la méthode de l échelonnement) u = (,,), u 2 = (,,), u 3 = (,2,3) 2 u = (,, ), u 2 = (,,), u 3 = (,,) 3 u = (,2,3), u 2 = (2,3,), u 3 = (,,) 4 u = (,,), u 2 = (,,), u 3 = (,,) 5 u = (,, ), u 2 = (,,), u 3 = (,,) Exercice 8 Montrer que si(u,,u n ) est une base der n etaest une matrice inversible, alors(au,,au n ) est aussi une baser n Exercice 9 Montrer que les vecteurs u = (,,,), u 2 = (,,,), u 3 = (,,,), u 4 = (,,,) forment une base der 4 Dans cette base, calculer les composantes des vecteurs u = (,,,) et u = (,,,) Exercice On considère, dans l espace vectorielr 3, la famille de vecteurs suivants : (,,α), (,α,), (α,,) Déterminer en fonction deαle rang de cette famille de vecteurs Exercice Quel est le rang des systèmes de vecteurs suivants? (On pourra utiliser la méthode de l échelonnement) Dire si les vecteurs sont linéairement indépendants et s ils forment une base u = (,,),u 2 = (,,),u 3 = (,,) 2 u = (,,,),u 2 = (,,,),u 3 = (,,,),u 4 = (,,,) 3 u = (,,,),u 2 = (,,,),u 3 = (,,,),u 4 = (,,,) 4 u = (,,,),u 2 = (,,,),u 3 = (,,,),u 4 = (,,,) 5 u = (,,,2,5),u 2 = (,,,3,4),u 3 = (,,,4,7),u 4 = (2, 3,4,,2) Exercice 2 Déterminer la dimension des sous-espaces vectoriels engendrés par chacune des 4 familles de vecteurs ci-dessous Donnez en une base et exprimer les coordonnées de chacun des vecteurs de la famille dans la base trouvée la famille{u,u 2,u 3,u 4,u 5 } avec : u = 2 3 4, u 2 = , u 3 = , u 4 = , u 5 = , 2 la famille{v,v 2,v 3,v 4 } avec : v = 3, v 2 = 2 3, v 3 = 4, v 4 = 3, Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 8 Algèbre linéaire, Maths générales II

82 5 Bases et dimension 5 Bases, dimension et sous-espaces 3 la famille{w,w 2,w 3,w 4,w 5 } avec : 5 2 w = 8 2, w 2 = 2 2 3, w 3 = 2 2 5, w 4 = 2, w 5 = 8 6 3, 4 la famille{z,z 2,z 3,z 4 } avec : z = 8 4, z 2 = 2, z 3 = Exercice 3 (Bases et dimension de sous-espaces de matrices) 3, z 4 = {[ ] [ ] [ ] [ ]} Montrer que,,, est une base de l espace des matrices carrées réelles d ordre2 ; en déduire la dimension de cet espace 2 Donner une base et la dimension des matrices carrées d ordren 3 Donner une base et la dimension des matrices carrées d ordrendiagonales 4 Donner une base et la dimension des matrices carrées d ordrensymétriques 5 Donner une base et la dimension des matrices carrées d ordre n triangulaires supérieures Exercice 4 (Familles de fonctions) Soit E l espace vectoriel des fonctions de R dans R Dire parmi les familles suivantes celles qui sont libres et celles qui sont liées Ici les vecteurs (au sens éléments d un espace vectoriel) sont donc des fonctions {f,g,h}, avecf(x) = 2,g(x) = 4sin 2 (x), h(x) = cos 2 (x) 2 {f,g,h}, avecf(x) =,g(x) = sin(x),h(x) = sin(2x) 3 {f,g}, avecf(x) = x,g(x) = cos(x) 4 {f,g,h,k}, avecf(x) = (+x) 2, g(x) = x 2 +2x, h(x) = 3 etk(x) = x 5 {f,g,h}, avecf(x) = cos(2x),g(x) = sin 2 (x) ;h(x) = cos 2 (x) 6 {f,g,h}, avecf(x) =,g(x) = x, h(x) = x 2 Exercice 5 (Sous espaces vectoriels et bases) Soient E un espace vectoriel, F et G des sous espaces vectoriels Montrer quef G est un sous espace vectoriel dee 2 On prend ici E = R 3,F = Vect(u,v) et G = Vect(w,z) avec : u =,v =,w =,etz = (a) Trouver des bases def etg (b) Déterminer le sous espacef G et en donner une base 3 On prend toujours E = R 3, F = Vect(u,v) et G = Vect(w,z) mais avec : u = w =, et z = (a) Trouver des bases def etg (b) Déterminer le sous espacef G Ce sous espace admet-il une base?, v = 2, Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

83 5 Bases et dimension 5 Bases, dimension et sous-espaces Exercice 6 (Sous espace vectoriel de polynômes) Soit E l ensemble des polynˆomes réels de degré inférieur ou égal à 4 On a montré dans l exercice 75 quee est un espace vectoriel Donner une base dee Soit F l ensemble des polynˆomes admettant les racines x = a et x = b a On a montré dans l exercice 75 que F est un sous espace vectoriel dee 2 Donner une base dee 3 Etudier le casa = b Exercice 7 Quelle partie du plan décrivent les points(x,y) R 2 tels que les vecteurs (,+x) et ( x,y) forment une base de l espace vectorielr 2? Exercice 8 SoitE un espace vectoriel et P,P deux familles finies dee On suppose quep P Montrez que si P est libre alorsp est libre Montrer que si P est génératrice alorsp est génératrice Peut-on avoir une réciproque? Donner une démonstration ou un contre exemple Exercice 9 Proposer une preuve du théorème 522 inspirée de celle du théorème 58 Exercice 2 (Solutions d une équation différentielle) Montrer que l ensemble des solutions S de l équation différentielle y = y est un sous espace vectoriel de l ensemble des fonctions continues de R dans R 2 On admettra (théorème de Cauchy Lipschitz) que la fonction identiquement nulle est la seule solution de l équation avec données initiales : y (t) = y(t),t R + y() =, y () = En déduire la solution (unique) de l équation différentielle avec données initiales : Trouver la solution générale de l équationy = y y (t) = y(t),t R + y() = a, y () = b 3 En déduire ques est un sous espace vectoriel de dimension 2 dont on donnera une base 4 Trouver une solution particulière de l équationy = y+ Donner la solution du problème de Cauchy suivant : y (t) = y(t)+,t R + y() =, y () = Exercice 2 (Sous espace de matrices) Quelle est la dimension de l espace vectorielm 3 (R)? 2 Donner les six matrices de permutation dem 3 (R) 3 Montrer queid 3 est une combinaison linéaire des cinq autres matrices de permutation, qu on notep,,p 5 3 Montrer que{p,,p 5 } est une famille libre de l espace vectoriel M 3 (R) 4 Montrer que {P,,P 5 } engendre le sous-espace S des matrices dont toutes les sommes de coefficients par ligne et colonne sont égales 5 En déduire la dimension des Exercice 22 (Intersection de deux sous espaces) SoientE etf deux sous espaces vectoriels der n On suppose que dim(e) + dim(f) > n Montrer que E F n est pas réduit au vecteur nul En analyse, un problème de Cauchy est un problème constitué d une équation différentielle avec condition initiale Augustin Louis Cauchy, mathématicien français On lui doit en particulier la notion de fonction holomorphe et des critères de convergence des suites et des séries entières Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes Il a également travaillé sur la propagation des ondes électromagnétiques Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

84 52 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité 5 Bases, dimension et sous-espaces 52 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité 52 Somme et intersection de deux espaces vectoriels Proposition 53 (Intersection de sous espaces vectoriels) Soient F et G deux sous espaces vectoriels d un K- espace vectoriele, alorsh = F G est un sous espace vectoriel dee Démonstration : On remarque tout d abord que E F G Soitx,y F G et(λ,µ) K 2 CommeF etg sont des sous espaces vectoriels dee, on sait queλx+µy F etλx+µy G Par conséquent,λx+µy F G, donc F G est bien un sous espace vectoriel de E On rappelle que l union de deux sous espaces vectoriels n est pas forcément un sous espace vectoriel, voir exercice 85 Mais on a vu au même exercice qu on peut définir la somme de deux sous espaces vectoriels, qui est aussi l espace engendré par l union des deux sous espaces Définition 532 (Somme de sous espaces vectoriels) Soient F et G deux sous espaces vectoriels d un K-espace vectoriele On note H = F +G = {x E tels quex = y +z avecy F, z G} L espaceh est un sous espace vectoriel dee appelé somme def etg Démonstration : Comme E F G, on a bien E + E = E F + G Soit z,z 2 F + G On a z = x +y et z 2 = x 2 +y 2 avecx,x 2 F,y,y 2 G On a alors pour tout(λ,µ) K 2, λz +µz 2 = λ(x +y )+µ(x 2 +y 2 ) = (λx +µx 2 ) +(λy } {{ } +µy 2 ) F +G } {{ } F G On conclut quef +G est un sous espace vectoriel dee Proposition 533 (Famille génératrice de F + G) Soient F et G deux sous espaces vectoriels d un K-espace vectoriel E Si (f,,f p ) est une famille génératrice de F et (g,,g q ) est une famille génératrice de G alors la famille(f,,f p,g,,g q ) est une famille génératrice deh = F +G Démonstration : Soit z F +G On a z = x+y avec x F et y G Comme(f,,f p ) est une famille génératrice def et (g,,g q ) est une famille génératrice deg, on a Par suite, on peut écrire x = α f + +α p f p et y = β g + +β q g q z = α f + +α p f p +β g + +β q g q La famille(f,,f p,g,,g q ) est donc une famille génératrice deh = F +G Définition 534 (Somme directe) Soient F et G deux sous espaces vectoriels d un K-espace vectoriel E On dit quef et G sont en somme directe si F G = {} Définition 535 (Sous-espaces supplémentaires) Soient F et G deux sous espaces vectoriels d un K-espace vectoriele On dit quef etgsont supplémentaires danse, et on notee = F G, sie = F +G et sif etgsont en somme directe Proposition 536 (Première CNS pour les sous-espaces supplémentaires) Soient F et G deux sous espaces vectoriels d un K-espace vectoriel E Les espaces F et G sont supplémentaires si et seulement si tout vecteur x E s écrit de façon unique comme somme d un vecteur de F et d un vecteur de G Démonstration : Supposons que tout vecteur x E s écrit de façon unique comme somme d un vecteur de F et d un vecteur de G et montrons que F et G sont supplémentaires On a bien E = F + G De plus, supposons par l absurde qu il existe z F G { E } Alors on peut écrirez de deux façons différentesz = }{{} z + }{{} E F G Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

85 52 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité 5 Bases, dimension et sous-espaces et z = }{{} E + }{{} z ce qui contredit l unicité de l écriture Par conséquent, F G = { E } Réciproquement si F G E = F + G et F G = { E }, tout z E s écrit sous la forme z = x + y avec x F et y G Si cette décomposition n est pas unique, on a z = x }{{} F + y }{{} G = x }{{} 2 F Comme F G = { E }, on en déduit que x x } {{ } 2 = y 2 y } {{ } F G Ainsi E = F G + y }{{} 2 On en déduit que x x 2 = y } {{ } 2 y } {{ } G F G = E La décomposition de z est donc unique Proposition 537 (Sous espaces supplémentaires et dimension) Soient F et G deux sous espaces vectoriels supplémentaires d un K-espace vectoriel E de dimension finie On a dim(e) = dim(f)+dim(g) Démonstration : Soit (f,,f n ) une base de F et (g,,g p ) une base de G On a vu que (f,,f n, g,,g p ) est une famille génératrice dee = F +G Montrons que c est aussi une famille libre On suppose que Par conséquent, Par suite α f + +α n f n +β g + +β p g p = E α f + +α n f } {{ n = β g } β p g p F G = { E } } {{ } F G α f + +α n f n = E et β g + +β p g p = E Comme (f,,f n ) est une base de F et (g,,g p ) est une base de G, ce sont des familles libres et par conséquent, α = = α n = β = = β p = On conclut quedim(e) = n+p = dim(f)+dim(g) Proposition 538 (Existence d un supplémentaire) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E Alors il existe un sous-espace vectoriel G de E tel que F et G soient supplémentaires Démonstration : Soient (e,,e n ) une base de E et (f,,f p ) une base de F La famille (f,,f p ) est une famille libre de E Le théorème de la base incomplète (on applique le théorème 522 à la famille libre (f,,f p ) et à la famille génératrice(e,,e n )) nous dit que l on peut compléter la famille(f,,f p ) par e i,,e in p pour en faire une base de E On vérifie alors que G = Vect(e i,,e in p ) est un sous espace supplémentaire de F dans E Proposition 539 (Sous espaces et dimension) Soient F et G deux sous espaces vectoriels d un K-espace vectoriel E On a dim(f +G) = dim(f)+dim(g) dim(f G) Démonstration : SoientF un supplémentaire def G dansf etg un supplémentaire def G dansg Alors F = F (F G) et G = G (F G) On en déduit Par conséquent, F +G = F G (F G) dim(f +G) = dim(f )+dim(g )+dim(f G) = (dim(f) dim(f G))+(dim(G) dim(f G))+dim(F G) = dim(f)+dim(g) dim(f G) Proposition 54 (Deuxième CNS pour les sous espaces supplémentaires) Soient F et G des sous espaces vectoriels dee AlorsE = F G si et seulement si F G = { E } et dimf +dimg = dime Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

86 52 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité 5 Bases, dimension et sous-espaces Démonstration : On a déjà démontré le sens direct (proposition 537) Il reste à démontrer la réciproque Supposons quef G = { E } et dimf +dimg = dime Il reste à voir quee = F +G Par la proposition 539, on a dim(f +G) = dimf +dimg = dime DoncF +G est un sous espace dee qui a même dimension quee Cela montre quee = F +G (voir Proposition 524) 522 Sous espaces liés aux matrices SoitA M n,p (K) On va étudier dans ce paragraphe les relations entre les sous espaces suivants liés à la matrice A On a déjà introduit : ) l espace des colonnesc(a), qui est égal à Im(A), sous espace der n, 2) l espace des lignesl(a), qui est égal àim(a t ) sous espace der p, 3) le noyauker(a), sous espace der p On introduit de plus le noyau de la transposée,ker(a t ), qui est un sous espace der n On peut établir des relations importantes entre ces différents espaces On a déjà vu que dim C(A) = dim L(A) = r n (c est une réécriture du fait qu une matrice et sa transposée ont même rang) Avec les résultats qu on a déjà obtenus, on peut facilement obtenir une relation entre les dimensions deker(a) et Im(A) Théorème 54 (Théorème du rang, version matricielle) SoitA M n,p (K) Alors dim(ker(a))+dim(im(a)) = p Démonstration : Ce résultat est une conséquence du fait que les solutions spéciales forment une base de Ker(A), ce qu on a démontré à la proposition 423 (sans utiliser le mot base car à l époque on n avait pas introduit les bases) En effet, on sait que si r est le rang de A, il existe p r solutions spéciales formant une base de KerA On rappelle que les r colonnes pivotales de A forment une base de Im(A) et qu on a dimim(a) = r On a donc dimkera+dimim(a) = p r+r = p Définition 542 (Orthogonalité) On dit que deux sous espacesf etgder p sont orthogonaux si pour toutu F et v G, u v = Un vecteur x de Ker(A) est orthogonal à n importe quelle ligne de A car Ax =, ce qui est équivalent à dire que l i (A) x = pouri =,,n Proposition 543 (Somme de sous espaces orthogonaux) SoientF etgder n des sous espaces orthogonaux de R p, alors ils sont en somme directe On parle dans ce cas de somme directe orthogonale Démonstration : Soit u F G CommeF et G sont orthogonaux, on a doncu u = u 2 = (On rappelle que u désigne la norme euclidienne du vecteur u) On en déduit que u = En particulier on ne peut avoir deux plans orthogonaux dansr 3 Théorème 544 (Orthogonalité de Ker(A) et Im(A t )) Soit A M n,p (R) Alors les ensembles Ker(A) et Im(A t ) sont des sous espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux der p De plus, les ensemblesker(a t ) et Im(A) sont des sous espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux der n Démonstration : On a déjà vu que tout vecteur x Ker(A) est orthogonal à n importe quelle ligne de A car Ax = Donc les sous espacesker(a) etl(a) = Im(A t ) sont orthogonaux, et leur intersection réduite à{ E } De plusdimim(a t ) = dimim(a) = r, et donc par le théorème du rang,dimker(a)+dimim(a t ) = p On en déduit par la proposition 54 queker(a) et Im(A t ) sont des sous espaces vectoriels supplémentaires dansr p Par transposition, on obtient immédiatement que les ensemblesker(a t ) etim(a) sont des sous espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux der n Les applications de ce théorème sont multiples Pour l instant, nous remarquerons simplement que si x R n, alors x se décompose de manière unique en x = x K + x L, où x K Ker(A) et x L L(A) On a donc Ax = Ax K + Ax L = Ax L Donc tout vecteur b Im(A) peut s écrire comme Ax L où x L L(A) On a même unicité : tout vecteur b Im(A) peut s écrire de manière unique comme Ax L où x L L(A) ; en effet si b = Ax L = Ax L, alorsx L x L Ker(A) Or on sait queker(a) L(A) = { E} On en déduitx L x L = Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

87 52 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité 5 Bases, dimension et sous-espaces 523 Les sous-espaces de R p Les droites dansr p On rappelle que les droites sont les sous espaces vectoriels de dimension, donc engendrés par un vecteure R p Ce sont aussi les noyaux de matrices à p colonnes et de rangp En effet, par le théorème du rang, si A est une matrice de rangp, son noyau est de dimension L équation paramétrique d une droite est {x = λe,λ R}, oùeest une solution (spéciale, par exemple) du système Ax = Les équations cartésiennes de cette droite sont constituées de p équations linéaires qu on peut par exemple obtenir en écrivant Rx =, où R est la forme échelonnée de A, qui a n lignes non nulles Exemple 545 (Exemple dansr 3 ) Les équations cartésiennes d une droite sont données par { ax+by +cz = ax +b y +c z =, avec a b a b c Notons qu une droite vectorielle est l intersection de deux plans vectoriels distincts [ ] a b c Les équations ci dessus peuvent ḙtre écrites sous la forme Ax = avec A = a b c La droite en question est donc bien le noyau de A Un vecteur directeur de cette droite est un vecteur qui est orthogonal aux deux lignes de la matrice A ; il peut ḙtre obtenu en prenant par exemple le produit vectoriel e = a b a b = bc cb ca ac c c ab ba Réciproquement on obtient facilement les équations cartésiennes à partir de l équation paramétrique x = x y = z λe = λ α β : il suffit d éliminer λ pour obtenir des équations cartésiennes de la droite γ Les hyperplans dansr p Proposition 546 Soitp 2 et a,,a p R non tous nuls L ensemblef défini par F = {x R p, x = (x,,x p ), tel quex a +x 2 a 2 ++x p a p = } est un sous-espace vectoriel der p de dimensionp On dit quef est un hyperplan de R p Démonstration : Soit A = [ ] a a p M,p (R) Cette matrice est de rang Par le théorème du rang, son noyau est de rang p, et c est justement l ensemble F L équation a x +a 2 x 2 + +a p x p = est appelée équation cartésienne de l hyperplan Si (f,,f p ) est une base def, par exemple obtenue en calculant les solutions spéciales deax =, alors C est l équation paramétrique def x F x = λ f + +λ p f p Proposition 547 (Droite et plan supplémentaires) Si F est un sous-espace vectoriel de R p, alors F est un hyperplan si et seulement si il existe une droite D telle quef etd soient supplémentaires Démonstration : Le sous espace F est un hyperplan de R n d équation a x + a 2 x a p x p = ssi F = Ker(A) où A = [ a a p ] M,p (R) On en déduit par le théorème 544 que F Im(A t ) = R p (en fait les sous espacesf et Im(A t ) sont orthogonaux), et par le théorème du rang,dimim(a t ) = : le sous-espace vectorielim(a t ) est donc une droite La réciproque est immédiate c Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

88 52 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité 5 Bases, dimension et sous-espaces Exemple 548 (Le cas particulier d un plan de R 3 ) On consid ère le plan (P) dans R 3 d équation : x 2y 3z = Ceci peut encore s écrire Ax =, où A = [ 2 3 ] Cette matrice est sous forme totalement échelonée (on l a fait exprès) Les solutions spéciales de Ax = sont s = (2,,) et s 2 = (3,,) Le plan (P) est engendré par les vecteurss et s 2 L équation paramétrique du plan est donc x = λ s +λ 2 s 2 cà d x y = 2λ +3λ 2 λ z Notons que si l on connaˆıt les vecteurs s et s 2 qui engendrent le plan, on retrouve facilement l équation du plan en posant(a,b,c) = s s 2 qui est orthogonal à s ets 2 (le vérifier avec notre exemple) 524 Exercices Exercice 23 (Suite de l exercice 87 ) Soit la matrice : (a) Déterminer une base du noyau dea (b) Déterminer une base de l image dea A = 2 Exercice 24 Donner un système d équations pour caractériser la droite de R 3 qui passe par et qui a pour vecteur directeur(2,, 4) Mḙme question avec le plan der 3 qui passe paret qui a pour vecteurs directeurs(2,,4) et(,2,) Exercice 25 Soit F le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par les vecteurs (,,), (,, ) et (4,2,) Quelle est la dimension de F? Faire un dessin Trouver un supplémentaire def dansr 3 Exercice 26 SoitF le sous-espace vectoriel der 3 donné par : Donner une équation paramétrique de F Mḙme question avec λ 2 F = {(x,y,z),x+y +z = et 3x = 2z} G = {(x,y,z,t) R 4,x+y z = et y +2z = t} Exercice 27 Dans l espace vectorielr 4 on considère le sous-espace vectorielf engendré par les vecteursf = (,,,), f 2 = (,,,) et f 3 = (,2,,) On considère aussi le sous-espace vectoriel G engendré par g = (,2,,2),g 2 = (,,,),g 3 = (,3, 2,3) etg 4 = (,,,) Vérifier que dim(f +G)+dim(F G) = dim(f)+dim(g) Exercice 28 Déterminer si les sous-espaces vectoriels der 3 suivants sont supplémentaires, en somme directe : F = {(x,y,z) tels quex+2y +z =, x z = } et G = Vect{(,a,b)}, selon le choix dea,b R F = Vect{(,2, ),(,,)} et G = Vect{(,,2)} F = {(x,y,z) tels quex+2y +z = } etg = Vect{(,, )} F = {(x,y,z) tels quex+2y +z = } etg = Vect{(,2,)} Exercice 29 Soientx,y,u,v des éléments der 4 On notef etgles sous-espaces vectoriels engendrés respectivement par{x,y} et{u,v} Dans quels cas a-t-onf G = R 4? x = (,,,),y = (,,,),u = (,,,),v = (,,,) 2 x = (,,,),y = (,,,),u = (,,,),v = (,,,) 3 x = (,,,),y = (,,,),u = (,,,),v = (,,,) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

89 52 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité 5 Bases, dimension et sous-espaces Exercice 3 SoitF un sous-espace vectoriel de dimension 4 de l espace vectoriele = R 7 SoitGun sous-espace vectoriel def orthogonal àe Quelles sont les dimensions possibles deg? 2 Mḙme question si maintenantg est un supplémentaire orthogonal àf 3 Quelle est la plus petite taille possible d une matriceadont l espace des lignes est F? 4 Dans ce cas, combien de vecteurs a une base dekera, et combien de composantes ont ces vecteurs de base? Exercice 3 SoitP le plan vectoriel d équationx 2y 3z = dansr 3 Trouver la matrice A M,3 (R) dontp est le noyau 2 Trouver une base formée par des solutions spéciales du planp 3 Trouver une base dep 4 Décomposer le vecteurx = (5,4,3) enx = y +z, oùy Ker(A) et z L(A)(= Im(A t )) Exercice 32 (Noyau de A t A) SoitA M n,p (R) Montrer queker(a t A) = Ker(A) Exercice 33 (Base d un hyperplan) Soit P l hyperplan de R 4 déquationx +x 2 +x 3 +x 4 = Donner une base dep et une base de la droite orthogonale àp Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

90 52 Sous espaces vectoriels supplémentaires, orthogonalité 5 Bases, dimension et sous-espaces Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 9 Algèbre linéaire, Maths générales II

91 Chapitre 6 Applications linéaires 6 Définitions et exemples 6 Application linéaire dee dans F Définition 6 Soient E et F deux K-espaces vectoriels On dit qu une application T : E F est linéaire si Pour toutx,y E,T(x+y) = T(x)+T(y) 2 Pour toutx E et toutλ K,T(λx) = λt(x) On note L(E,F) l ensemble des applications linéaires de E dans F Si E = F, on parle d endomorphisme de E et on note simplement L(E, F) = L(E) On remarque tout de suite que si T est une application linéaire, alorst( E ) = F ; en effet,t( E ) = T( K x) = K T(x) = F L application { E E Id E : x x est une application linéaire appelée l identité Exemple 62 (Produit scalaire et norme) Soit a R 2 fixé, alors l application de R 2 dans R définie par u u a est une application linéaire Par contre, l application u u ne l est pas Exemple 63 (Transposition) L application de M 2 (R) dans M 2 (R) définie par A A t est une application linéaire Exemple 64 (Dérivation et intégration) L application dérivation dec ([,]) dansc([,]) définie parf f est une application linéaire De mḙme l application intégration de C([,]) dans C ([,]) définie par f x f(y)dy est une application linéaire Proposition 65 (Propriétés de linéarité) Soient E et F deux K-espaces vectoriels et T : E F une application dee dansf AlorsT est une application linéaire dee dansf si et seulement si, pour tousλ,µ K, etx,y E, T(λx+µy) = λt(x)+µt(y) De plus, si E est de dimension finie, (e,,e n ) une base de E et T une application linéaire de E dans F, alors pour tout x E, on a T(x) = x T(e ) +x n T(e n ) où les x i sont les composantes de x dans la base (e,,e n ) Démonstration : Preuve laissée à titre d exercice On montre facilement par récurrence surnque sit est une application linéaire dee dansf, alors pour toutn N et tousλ,,λ n K et x,,x n E, on a ( n ) n T λ i x i = λ i T(x i ) (6) i= 9 i=

92 6 Définitions et exemples 6 Applications linéaires Proposition 66 (L espace vectoriel L(E, F)) Soient E, F des K-espaces vectoriels L ensemble L(E, F) est un espace vectoriel En particulier, la somme de deux applications linéaires est une application linéaire : si S,T L(E,F), alorss +T L(E,F), Le produit d une application linéaire par un scalaire est une application linéaire : si T L(E,F) et α K, alorsαt L(E,F) Démonstration : On va montrer que L(E,F) est un sous espace vectoriel de l ensemble des applications de E dansf On remarque que l application nulle (x E F ) est bien un élément del(e,f) Soientx,y E et λ,µ K et S,T L(E,F) On a (S+T)(λx+µy) = S(λx+µy)+T(λx+µy) = λs(x)+µs(y)+λt(x)+µt(y) = λ(s+t)(x)+µ(s+t)(y) Par conséquent,s +T L(E,F) Soientx,y E et α,λ,µ K et T L(E,F) On a (αt)(λx+µy) = αt(λx+µy) = α(λt(x)+µt(y)) = λ(αt)(x)+µ(αt)(y) Par conséquent,αt L(E,F) Proposition 67 (Composée de deux applications linéaires) Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels La composée de deux applications linéaires est une application linéaire : si S L(F,G), T L(E,F), alors S T L(E,G) avecs T(x) = S(T(x)), x E Démonstration : Soientx,y E et λ,µ K Si S L(F,G), T L(E,F), on a S T(λx+µy) = S(T(λx+µy)) = S λt(x) +µt(y) = λs(t(x))+µs(t(y)) = λs T(x)+µS T(y) }{{} }{{} F F Par conséquent,s T L(E,G) Attention, en général, les applications linéaires ne commutent pas (comme les matrices) : si S L(E) et T L(E), S T T S Prendre par exemplee = R 2 et S(x,x 2 ) = (x +x 2,x 2 ) ett(x,x 2 ) = (,x 2 ) 62 Image, noyau et rang Définition 68 SoitE et F deuxk-espaces vectoriels SoitT une application linéaire dee dansf On appelle Noyau de T l ensemble noté KerT defini par Image de T l ensemble noté ImT defini par KerT = {x E tel quet(x) = F } ImT = {y F tel qu il existe x E tel quey = T(x)} Proposition 69 Soient E et F deux K-espaces vectoriels Soit T une application linéaire de E dans F L espace KerT est un sous-espace vectoriel dee et l espaceimt est sous-espace vectoriel def Démonstration : On sait quet( E ) = F Donc E KerT Pour montrer quekert est un sous-espace vectoriel dee, il reste donc à montrer que pour tousx,y KerT,λ,µ K, on aλx+y KerT Par conséquent,λx+µy KerT T(λx+µy) = λt(x)+µt(y) = λ F +µ F = F Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

93 6 Définitions et exemples 6 Applications linéaires Soienty,y 2 ImT F Il existex,x 2 E tels quey = T(x ) et y 2 = T(x 2 ) On remarque alors que Doncλy +µy 2 ImT T(λx +µx 2 ) = λt(x )+µt(x 2 ) = λy +µy 2 Définition 6 Soit E et F deux K-espaces vectoriels Soit T une application linéaire de E sur F On appelle rang de T la dimension de l espace vectoriel Im(T) et on le noterg(t) On donne maintenant le théorème du rang pour les applications linéaires Il peut se démontrer à partir de celui sur les matrices (voir remarque 68 plus loin) mais on donne ici une démonstration directe, sans passer par les matrices Théorème 6 (Théorème du rang) Soient E, F deux K-espaces vectoriels de dimension finie et T L(E, F), on a dim(e) = dim(ker(t))+dim(im(t)) Démonstration : Soient (u,,u p ) une base de kert et (w,,w q ) une base de Im(T) On veut montrer quep+q = dim(e) Soientv,,v q E des antécédents dew,,w q part : T(v i ) = w i Montrons que la famille(u,,u p,v,,v q ) est une base dee Si c est le cas on aura bien montré quep+q = dim(e) Montrons que la famille(u,,u p,v,,v q ) est libre Supposonsα u ++α p u p +β v ++β q v q = E On a alors ( p ) q p q T α i u i + β i v i = α i T(u i )+ β i T(v i ) = F, i= et commet(u i ) = F et T(v i ) = w i, i= i= q β i w i = F i= Mais (w,,w q ) est une base de Im(T), c est donc une famille libre On en déduit β i = pour tout i =,,q On écrit alors que α u + +α p u p = E, et comme la famille (u,,u p ) est libre, on a aussi α = = α p = Conclusion : (u,,u p,v,,v q ) est libre Montrons maintenant que la famille (u,,u p,v,,v q ) est génératrice Soit x E Notonsy = T(x) Im(T) On a donc y = q i= γ iw i, où les sont les γ i sont les composantes de y dans la base (w,,w q ) Posons alors q x I = γ i v i et x K = x x I Par linéarité, on a i= T(x K ) = T(x) T(x I ) = y et doncx K kert On en déduit que i= q γ i T(v i ) = y i= x = x K + q γ i v i, i= q γ i w i = F, et commex K peut s écrire comme combinaison linéaire desu,,u p, la famille(u,,u p,v,,v q ) est génératrice i= Proposition 62 Soit E et F deux K-espaces vectoriels Soit T une application linéaire de E dans F L applicationt est injective si et seulement si KerT = { E } L application T est surjective si et seulement si ImT = F L applicationt est bijective si et seulement si KerT = { E } et ImT = F On parle alors d isomorphisme, et d automorphisme si F = E Démonstration : Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

94 6 Définitions et exemples 6 Applications linéaires L application T est injective si et seulement si pour tous x,y E tels que T(x) = T(y) alors x = y, càd si et seulement si T(x y) = F implique x y = E, soit encore si et seulement si T(z) = F implique z = E, ce qui équivaut à KerT = { E } L applicationt est surjective si et seulement si pour tout y F, il existe x E tel que T(x) = y, càd si et seulement si F = ImT Par conséquent,t est bijective si et seulement si KerT = { E } et ImT = F On déduit alors du théorème du rang que : Si dim(e) = dim(f), T bijective T injective T surjective 63 Exercices Exercice 34 (Applications linéaires ou non?) Déterminer parmi les applications définies de R 2 R suivantes, celles qui sont linéaires : Π (x,y) = x, Π 2 (x,y) = y, 2 T (x,y) = xy, T 2 (x,y) = x+y, T 3 (x,y) = x+y +, T 4 (x,y) = x 2 y 2, 3 T 5 (x,y) = x+y, T 6 (x,y) = sinx,t 7 (x,y) = x 3y 2 Déterminer parmi les applications définies de R 2 R 2 suivantes, celles qui sont linéaires : S (x,y) = (y,x), S 2 (x,y) = (x,y 2 ), S 3 (x,y) = (,x) Exercice 35 (ApplicationsR 2 dansr 2 ) Parmi les applicationst de R 2 dansr 2 ou dansrsuivantes, quelles sont celles qui satisfont T(λx) = λt(x), et quelles sont celles qui satisfont T(x + y) = T(x) + T(y)? T(x) = x x, T(x) = x +x 2, T(x) = (2x,3x 2 ), T(x) = max(x,x 2 ) Exercice 36 (Application linéaire dansr 2 ) Soit T une application linéaire de R 2 dansr 2 telle quet(,) = (2, 2), T(2, ) = (, ) Déterminer T(u) pour les vecteurs u suivants : u = (2,2), u = (3,), u = (,), u = (a,b) Exercice 37 DansR 3, vérifier que les vecteurs suivants forment une base : a = (4,2,), b = (,2, 3), c = (,2,5) Trouver les images de la base canonique par l application linéairet : R 3 R définie par : T(a) = 2, T(b) = 7, T(c) = Exercice 38 (Composition d applications linéaires) Soient S et T les deux applications linéaires de R 2 dans R 2 définies par : S(x,y) = (4x y,x y) et T(x,y) = (x+y,2x y) CalculerS T et T S Et vérifier (rapidement!) que ces applications sont linéaires Exercice 39 SoientS et T les deux applications linéaires der 2 dansr 2 définies par : S(x,y) = (x+y,x) et T(x,y) = (5x 4y,6x+5y) Montrer que ce sont des automorphismes der 2 (càd des applications linéaires bijectives der 2 dansr 2 ) Exercice 4 (Linéarité et continuité) Vérifier qu une application linéaire derdansr est continue Soit T une application continue de R dans R telle que : Montrer quet est linéaire T(x+y) = T(x)+T(y) pour toutx,y R Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

95 62 Applications linéaires et matrices 6 Applications linéaires Exercice 4 (Noyau et image d applications linéaires) Pour chacune des applications linéaires T suivantes, répondre aux questions suivantes : Vérifier que l application T est linéaire 2 Déterminer le noyau et l image det Donner la dimension et une base de chacun des sous-espaces (a) T : R 2 R 2 définie part(x,y) = (3x+y,x y) (b) T : R 2 R 2 définie part(x,y) = (x+2y,2x+4y) (c) T α : R 2 R 2 définie part α (x,y) = (x+αy,2+4y), (selon les valeurs deα R) (d) T : R 3 R 3 définie part(x,y,z) = (z,y,) (e) T : R 2 R 3 définie part(x,y,z) = (x y,x+y,x+2y) Exercice 42 (Image réciproque) Déterminer l application linéaire T : R 3 R 2 telle que, si e,e 2,e 3 désignent les vecteurs de la base canonique, on ait : T(e ) = (,), T(e 2 ) = (,), T(e 3 ) = (,) Trouver une base deker(t) Quelle est l image réciproque du vecteur(,)? Quelle est l image réciproque du sous espace vectoriel engendré par(,)? Exercice 43 On considère l application linéairet der 4 dansr 6 donnée par : T(,,,) = (,,,,,) T(,,,) = (,,,,,) T(,,,) = (,,,,, ) T(,,,) = (,,,,,) Déterminer l image d un vecteur(x,x 2,x 3,x 4 ) der 4 Déterminer le rang de T 62 Applications linéaires et matrices 62 Matrice d une application linéaire Définition 63 SoientE etf deuxk-espaces vectoriels de dimensionpetn On se donneb = (e,,e p ) une base dee etb = (f,,f n ) une base def SoitT L(E,F) On appelle matrice det dans les basesb,b la matrice notée M B,B (T) M n,p (K) dont les coefficients de la jème colonne sont les composantes de T(e j ) dans la baseb : M B,B (T) = (a i,j ), avect(e j ) = a,j f + +a n,j f n SiE = F etb = B on notera simplementm B (T) Proposition 64 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension p et n On se donne B = (e,,e p ) une base de E et B = (f,,f n ) une base de F Soit M M n,p (K) Alors il existe une unique application linéairet L(E,F) telle quem = M B,B (T) Proposition 65 Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels de dimension finie On se donne B = (e,,e p ) une base de E, B = (f,,f n ) une base de F et B = (g,,g q ) une base de G Soit R L(E,F), S L(E,F), T L(F,G) et λ K On a M B,B (R+S) = M B,B (R)+M B,B (S) 2 M B,B (λr) = λm B,B (R) 3 M B,B (T R) = M B,B (T) M B,B (R) Corollaire 66 Soient E,F deux K-espaces vectoriels de mḙme dimension n, B une base de E, B une base de F, ett L(E,F) inversible Alors M B,B(T ) = (M B,B (T)) Réciproquement, si M B,B (T) est inversible, alorst est inversible Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

96 62 Applications linéaires et matrices 6 Applications linéaires Démonstration : Pour le sens direct, on applique la proposition précédente : on a Id n = M B (Id E ) = M B (T T ) = M B (T) M B (T ) Pour la réciproque, soit S L(F,E) telle que M B,B(S) = (M B,B (T)) (l existence de S est assurée par la Proposition 64) On a alors M B,B (T S) = M B,B(S)M B,B (T) = Id n Par la Proposition 64, le seul endomorphisme de matriceid n dans la baseb est l application identité DoncS T = Id E De même,t S = Id F DoncT est inversible Lemme 67 Soient E et F des espaces vectoriels de dimensions respectives p et n, et T une application linéaire de E dans F Soient B = (e,,e p ) une base de E, B = (f,,f n ) une base de F et A la matrice de T dans les basesb etb Alorsdim(Ker(A)) = dim(ker(t)) et rg(a) = rg(t) Démonstration : La matrice A a p colonnes et n lignes Montrons par exemple la première égalité Notons q = dim(ker(a)) et soit (s,,s q ) une base de Ker(A) Notons s i,j les composantes de s j dans la base canonique der p : s j = (s,j,,s p,j ) On définita j := p i= s i,je i pour j q Alors pour toutx = (x,,x p ) R p, on a Ax = i =,,n, p a i,j x j = j= j= n p ( a i,j x j )f i = i= j= p n ( a i,j f i )x j = i= p p x j T(e j ) = T( x j e j ) = (622) Doncx = (x,,x p ) Ker(A) ssi T(a) = avec a = p j= x je j En particulier, la famille (a,,a q ) est contenue dansker(t) On vérifie comme ci-dessus que siλ,,λ q K, alors q i= λ is i = ssi q i= λ ia i = Donc la famille(a,,a q ) est libre Par le même argument, pour toutx = (x,x p ) R p, (s,,s q,x) est libre ssi (a,,a q,a) est libre, oùa = p i= x ie i On en déduit que la famille (a,,a q ) est génératrice de Ker(T) Finalement, (a,,a q ) est une base de Ker(T), donc dim(ker(t)) = q On montre de même que dim(im(a)) = dim(im(t)) Le théorème est démontré j= j= Remarque 68 (Théorèmes du rang pour les applications linéaires et pour les matrices) Par le lemme précédent, on démontre facilement le théorème du rang pour les applications linéaires (théorème 6), à partir du théorème du rang pour les matrices En effet, supposons que T est une application linéaire de E dans F, et soient B = (e,,e p ) une base de E, B = (f,,f n ) une base de F et A la matrice de T dans les basesb et B ; alors, par le théorème 54 on a : dim(e) = dim(ker(a)) + rg(a) On en déduit par le lemme ci-dessus que dim(e) = dim(ker(t))+rg(t) 622 Changement de bases Définition 69 (Matrice de passage) SiB etb sont deux bases dee, alorsm B,B(Id E ) s appelle la matrice de passage P B,B de B à B C est la matrice dont les colonnes sont constituées des composantes des vecteurs de la baseb dans la baseb Par le Corollaire 66, on ap B,B = (P B,B) Théorème 62 Soit E un K-espace vectoriel, B et B deux bases de E et x E Alors si X et X désignent les composantes dexdans respectivement la baseb et la baseb et sip B,B désigne la matrice de passage de la base B à la baseb, alorsx = P B,B X Théorème 62 Soit E un K-espace vectoriel, B et B deux bases de E et T L(E), alors si P B,B désigne la matrice de passage de la baseb à la baseb, on a M B (T) = P B,B M B(T)P B,B = P B,BM B (T)P B,B On a aussi M B,B (T) = P B,B M B(T) = P B,BM B (T) et M B,B (T) = M B (T)P B,B Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

97 62 Applications linéaires et matrices 6 Applications linéaires (E,B ) Id E (E,B) T T (E,B ) Id E (E,B) (E,B ) M B (T) (E,B ) P B,B (E,B) MB(T) (E,B) P B,B =P B,B (E,B) T T Id E (E,B) (E,B ) (E,B) M B,B (T) (E,B ) M B(T) P B,B (E,B) 623 Exercices Exercice 44 (Changement de base) DansR 3, on considère les vecteurs a = (,,), b = (,,), c = (,2, ) Soit T une application linéaire T telle quet(a) = (2,3, ),T(b) = (3,, 2),T(c) = (2,7, ) Pour (x,y,x) R 3, exprimert(x,y,z) en fonction de(x,y,z) 2 Mḙme question pour l application linéaire T telle que T(a) = 2a 2b, T(b) = 2c, T(c) = a b c 3 Déterminer le noyau et l image de ces deux applications linéaires ainsi que des bases de ces sous espaces Exercice 45 (Isomorphisme) SoitT : R 3 R 2 l application linéaire définie par : T(,,) = (,), T(,,) = (,), T(,,) = (,) Trouver une base de Ker(T) Déterminer un supplémentaire de Ker(T) dans R 3 et vérifier qu il est isomorphe à Im(T) (càd qu il existe un isomorphisme, ie une application linéaire bijective du supplémentaire de Ker(T) dansim(t)) Exercice 46 (Famille d applications linéaires de R 3 ) Soitmun paramètre réel On considère l application linéaire T m der 3 dansr 3 définie part m (x,y,z) = (X,Y,Z) avec : X = (m 2)x + 2y z Y = 2x + my + 2z Z = 2mx + 2(m+)y + (m+)z Montrer que le rang de T m est égal à 3 sauf pour des valeurs particulières de m que l on déterminera Pour ces valeurs particulières, préciser la valeur du rang et donner les équations cartésiennes des sous espaces Ker(T m ) et Im(T m ) ainsi que des bases de chacun d eux Exercice 47 (Application linéaire sur un espace des matrices) Soit E l espace vectoriel des matrices réelles 2 2 ( Dans cet) espace on considère le vecteur (au sens élément de l espace vectoriel, qui est donc ici une matrice) P = On va considérer l endomorphisme S de E (application linéaire de E dans E) donné par la multiplication (à gauche) parp C est à diret(a) = PA (Vérifier que c est bien une application linéaire) On rappelle que la base canonique dee est l ensemble des matrices : B = { ( M = ) (, M 2 = ) (, M 3 = ) (, M 4 = Quelles sont les images des matricesm i par l applicationt? En déduire alors la matrice de l applicationt dans la base B (qui est donc une matrice 4 4 ; pourquoi?) Faire la mḙme chose pour l endomorphisme T de E qui est la multiplication à droite parp )} Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

98 63 Applications linéaires remarquables : formes linéaires, projecteurs 6 Applications linéaires Matrice d une application linéaire, changement de bases Exercice 48 (Changements de base) On considère l application linéairet : R 2 R 2 définie part(x,x 2 ) = (x 2,x ) Ecrire la matriceade l application linéairet dans la baseb = (e,e 2 ) canonique 2 (a) Montrer que la famille de vecteursb = (e,e 2) avece = (,),e 2 = (,) est une base der 2 (b) Ecrire la matrice de passagep de la baseb à la baseb et calculer son inverse P (c) Ecrire la matrice A de l application linéairet dans la baseb (d) Vérifier quea = P AP 3 Mḙmes questions avec la famille de vecteursb = (e,e 2) avece = (,),e 2 = (, ) Exercice 49 (Changements de base, encore) On considère l application linéairet : R 2 R 2 définie par T(x,x 2 ) = (x +2x 2,x ) Ecrire la matriceade l application linéairet dans la baseb = (e,e 2 ) canonique 2 Montrer que la famille de vecteursb = (e,e 2 ) avece = (2,),e 2 = (, ) est une base der2 3 Ecrire la matricem B,B (Id 2 ) de l application identique de(r 2,B) dans(r 2,B ) 4 En déduire la matrice de passagep de la baseb à la baseb et calculer son inverse P 5 Ecrire la matricea de l application linéairet dans la baseb 6 Vérifier quea = P AP Exercice 5 (Changements de base, toujours) DansR 3, on considère les vecteurs u = (,,), v = (,,), w = (,,) Montrer que la famille {u,v,w} forme une baseb de R 3 2 Ecrire la matrice de passagep de la base canoniqueb à la baseb CalculerP 3 On considère l application linéairet définie surr 3 par T(x,y,z) = (x+3y 3z,x y +z,x+y z) 3a Déterminer la matrice de T dans la base canonique 3b Déterminer la matrice det dans la baseb 3c DéterminerKer(T) Quelle est sa dimension? 3d En déduire le rang det et donner une base deim(t) 63 Applications linéaires remarquables : formes linéaires, projecteurs 63 Homothéties Définition 622 Pourλ K, on appelle homothétie de rapportλl endomorphismet λ L(E) qui à toutx E associet λ (x) = λx Proposition 623 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n Pour toute base B, la matrice d une homothétie T λ de rapportλest donnée par M B (T λ ) = λid n Démonstration : Il suffit d écrire que pour tout élément e de la base B, H(e) = λe Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

99 63 Applications linéaires remarquables : formes linéaires, projecteurs 6 Applications linéaires 632 Formes linéaires Définition 624 SoitE unk-espace vectoriel On appelle forme linéaire sure, une application de L(E,K) Proposition 625 SoitE unk-espace vectoriel ett une forme linéaire sure SoitB = (e,,e n ) une base de E, il existe (α,α n ) K n tel que pour toutx = x e + +x n e n on ait T(x) = α x + +α n x n Notons que si K = R, f(x) est le produit scalaire dans R n des deux vecteurs (α,,α n ) et (x,,x n ) Attention de ne pas confondre le vecteurx E et le vecteur(x,,x n ) R n Démonstration : On noteα i = f(e i ) On a donc T(x) = T(x e + +x n e n ) = x T(e )+ +x n T(e n ) = x α + +x n α n Proposition 626 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et T une forme linéaire non nulle sur E On a dim(im(t)) = etdim(ker(t)) = n Démonstration : On sait queim(t) est un sous-espace vectoriel deknon réduit à{} Par conséquentim(t) = K On en déduit que dim(im(t)) = et par le théorème du rang que dim(ker(t)) = n Ainsi, le noyau d une forme linéaire non nulle sure est un hyperplan dee Réciproquement, sif est un hyperplan dee, il existe une forme linéaire non nulle sure dont le noyau est F Exemple 627 (Forme linéaire de R 3 ) La forme linéaire définie part(x,y,z) = x+y+z peut aussi s écrire Ax = avec A = [ ] et x = (x,y,z) et on a déjà vu que le noyau de A est l hyperplan d équation x+y +z = La forme linéairet a donc aussi pour noyau le planp d équationx+y +z = 633 Projecteur Définition 628 Soit E un K-espace vectoriel On dit que p L(E) est un projecteur si p p = p SiE est un ensemble etf un sous-ensemble dee, et sit est une application dee dans un ensembleg, on appelle restriction de T au sous ensemblef l application de F dansgqui à u F associe T(u) G On notet F cette restriction C est donc la même application que T, sauf qu on la considère maintenant sur un espace de départ plus petit Proposition 629 Soit E un K-espace vectoriel Si p L(E) est un projecteur alors E = Im(p) Ker(p) T Im(p) = Id Im(p), oùid Im(p) désigne l endomorphisme identité sur l espace vectoriel Im(p) On dit aussi quepest une projection surim(p) parallèlement àker(p) : x E, x = x Im +x Ker, avecx Im Im(p), x Ker Ker(p) etp(x) = x Im Démonstration : Soitx E on peut écrirex = p(x)+x p(x) Il est clair quep(x) Im(p) etx p(x) Ker(p) car p(x p(x)) = p(x) p 2 (x) = On en déduit que Im(p) +Ker(p) = E Soit x Ker(p) Im(p), on a x = p(y) etp(x) = ou encorep(p(y)) = p(y) = = x On en déduit queim(p) etker(p) sont supplémentaires danse De plus, si x Im(p), x = p(y) et p(x) = p 2 (y) = p(y) = x Doncp Im(p) = Id Im(p) Exemples dansr 3 Projection p sur une droite D de vecteur directeur f : dim(im(t)) = Il existe alors deux vecteurs f 2,f 3 linéairement indépendants deker(p) tel queb = (f,f 2,f 3 ) soit une base der 3 De plus M B (p) = Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

100 63 Applications linéaires remarquables : formes linéaires, projecteurs 6 Applications linéaires Exemple 63 si f = (,,), f 2 = (,,) f 3 = (,, ), la matrice de cette projection dans la base canonique est donnée par M B (p) = 2 En effet,m B (p) = P B,B M B (p)p B,B avec P B,B = et P B,B = (P B,B ) = 2 Projection p sur un plan P parallèlement à une droite D On note (f,f 2 ) une base de P et f 3 un vecteur directeur ded La familleb = (f,f 2,f 3 ) est alors une base der 3 et M B (p) = Exemple 63 si f = (,,), f 2 = (,,) f 3 = (,, ), la matrice de cette projection dans la base canonique est donnée par M B (p) = Symétrie Définition 632 Soit E un K-espace vectoriel On dit que S L(E) est une symétrie si S S = Id Exemples dansr 3 Symétrie S par rapport à un plan P parallèlement à une droite D On note (f,f 2 ) une base de P et f 3 un vecteur directeur ded La familleb = (f,f 2,f 3 ) est alors une base der 3 et M B (S) = Exemple 633 si f = (,,), f 2 = (,,) f 3 = (,, ), la matrice de cette projection dans la base canonique est donnée par M B (S) = On remarquera que S est alors la symétrie par rapport à la droited parallèlement au planp 635 Exercices Exercice 5 (Homothétie) Soit E un K-espace vectoriel et a K donné On considère l homothétie de rapport a H a : E E définie parh a (x) = ax, x E Vérifier queh a L(E) 2 Montrer queh a est un automorphisme dee si et seulement si a Calculer alorsh a 3 CalculerH a H b, avecβ K Exercice 52 (Homothétie) Soient E un espace vectoriel et T un endomorphisme de E Montrer que, si la famille {x,t(x)} est liée pour tout x E alors T est une homothétie, c est-à-dire il existe λ R tel que T(x) = λx pour toutx E Exercice 53 (Endomorphisme nilpotent) SoitE un espace vectoriel ett un endomorphisme dee tel quet 2 = Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 Algèbre linéaire, Maths générales II

101 63 Applications linéaires remarquables : formes linéaires, projecteurs 6 Applications linéaires Montrer queim(t) Ker(T) 2 Montrer queid E +T est un automorphisme dee Exercice 54 (CNS pour un projecteur) Soit T une application linéaire du R-espace vectoriel E sur lui-mḙme Montrer quet 2 = Id si et seulement si 2 (T +Id E) est un projecteur Exercice 55 (Image d un projecteur) Soientp etq deux projecteurs dee unk-ev Montrer quep etq ont mḙme image si et seulement si p q = q etq p = p Donner une condition nécessaire et suffisante pour quepetq aient mḙme direction, cad mḙme noyau Exercice 56 Soit T une application linéaire sur E de dimension finie Montrer que les propriétés() à(3) sont équivalentes () E = Im(T) Ker(T) (2) Im(T) = Im(T 2 ) (3) Ker(T) = Ker(T 2 ) Indications : Si vous souhaitez montrer(2) () vous pourrez considérer la restriction det au sevim(t) Si vous souhaitez montrer(2) (3) il peut ḙtre utile d utiliser la formule du rang 2 Donner un exemple d application linéairet vérifiant ImT = ImT 2 et qui ne soit pas un projecteur Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 Algèbre linéaire, Maths générales II

102 63 Applications linéaires remarquables : formes linéaires, projecteurs 6 Applications linéaires Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 2 Algèbre linéaire, Maths générales II

103 Chapitre 7 Déterminants Le déterminant d une matrice carrée est un nombre réel ou complexe, selon que l on considère les matrices réelles ou complexes Il n est défini que pour les matrices carrées C est donc une application de M n (K) dans K On a déjà défini le déterminant (définition 2) d une matrice carrée d ordre 2 [ ] a b Si A = son déterminant est det(a) = c d a b c d = ad bc De plus, on a vu qu une matrice2 2 est inversible (exercice 43) si et seulement sidet(a), et dans ce cas son inverse est [ ] A d b = det(a) c a En fait, le déterminant est un excellent test pour l inversibilité des matrices ; dans le cas général d une matrice A M n (K), le test du déterminant permet aussi de s assurer de l inversibilité de la matrice Certains d entre vous ont peut-être déjà vu des formules donnant le déterminant d une matrice carrée d ordren, soit par une formule de récurrence, soit par une formule portant sur les permutations Nous les verrons par la suite, mais, pour plus de clarté, nous allons commencer par définir le déterminant par trois propriétés fondamentales, desquelles découlent toutes les autres 7 Propriétés du déterminant 7 Les trois propriétés fondamentales Soit A M n,n (K), oùk = R ouc On cherche une application qui vérifie : (D) Le déterminant de la matrice identité est égal à (D2) Si la matriceãest obtenue à partir deapar échange de deux lignes, alorsdetã = deta (D3) Le déterminant est une fonction linéaire de chacune des lignes de la matricea: (D3a) (multiplication par un scalaire) si à est obtenue à partir deaen multipliant tous les coefficients d une ligne parλ R, alorsdet(ã) = λdet(a) l (A) l (A) l (A) (D3b) (addition) si A = l k (A), à = l k (A) et B = l k (A)+ l k (A), alors det(b) = det(a) + l n (A) l n (A) l n (A) det(ã) On peut facilement vérifier que ces trois propriétés sont vérifiées par le déterminant des matrices 2 2, voir exercice Nous admettrons pour l instant le résultat suivant Théorème 7 (Existence et unicité) Il existe une unique application dem n,n (K) danskqui vérifie (D), (D2), (D3) 3

104 7 Propriétés du déterminant 7 Déterminants On note souvent poura = (a i,j ) M n (K) det(a) = a, a,n a n, a n,n 72 Les autres propriétés principales De ces trois premières propriétés, on en déduit les six suivantes : (D4) Si A a deux lignes identiques, deta = Démonstration : Si une matrice A a deux lignes l i et l j identiques, alors la matrice A obtenue en échangeant ces deux lignes est égale à la matricea Mais d après la proposition précédente, on a det(a) = det(a ) = det(a) On en déduit quedet(a) = (D5) Le déterminant deane change pas si on ajoute à une ligne de A le produit parλd une autre ligne dea On en d duit que si U est une matrice triangulaire obtenue à partir de A par élimination de Gauss sans permutation, alors det(a) = det(u) Démonstration : On suppose que n 2 Soit λ K et A,A M n (K) On suppose qu il existe i et k tel quei j l i = l i, i i etl i = l i +λl k, on veut montrer que det(a) = det(a ) La matrice A dont les lignes telles que pour tout i i, l i = l i et l i = l k a deux lignes identiques (les lignesi et k et donc par la propriété (D4), on a det(a ) = On multiplie maintenant cette ligne l i par λ, la matrice obtenue A est toujours de déterminant nul par la propriété (D3a) On utilise maintenant la propriété (D3b) pour les matricesa, A et A et on obtient quedet(a) = det(a )+det(a ) = det(a ) (D6) Si la matriceaaune ligne nulle, alorsdeta = Démonstration : Ceci découle de la propriété (D3a) en prenant λ = (D7) Si U est une matrice triangulaire, alorsdetu = n i= d i, où lesd i sont les termes diagonaux Démonstration : A partir d une matrice triangulaire, on se ramène à une matrice diagonale par élimination La propriété (D7) découle donc de (D5), (D3a) et (D) (D8) det(a) = ssi la matrice A est inversible (régulière) det(a) ssi la matrice A est non inversible (singulière) Démonstration : Par la propriété (D5), l algorithme de Gauss appliqué à A ne change pas le déterminant Par la propriété (D7), le déterminant est donc le produit des termes diagonaux de la matrice triangulaire obtenue : il est donc égal au produit des pivots de Gauss si la matrice est inversible, et il est nul sinon (car dans ce cas il y au moins une ligne nulle dans la matrice triangulaire) (D9) Si A et B sont deux matrices carrées d ordre n, alors det(ab) = det(a)det(b) En particulier, si A est inversible,det(a ) = det(a) Démonstration : Dans le cas n = 2, on peut le vérifier à la main Dans le cas général, c est un peu plus compliqué une démonstration est proposée plus loin (théorème 76) On peut aussi s en tirer plus facilement en utilisant l unicité de l application déterminant définie par (D) (D2) (D3) (qu on n a pas encore démontrée, mais qui ne dépend que des propriétés (D) (D2) (D3), et pas des suivantes) En effet, supposons det(b) (le cas det(b) = est immédiat car dans ce cas B et AB sont non inversibles et leurs déterminants sont tous les deux égaux à ) On peut alors définir δ(a) = det(ab) det(b) On vérifie ensuite que l application δ satisfait bien les propriétés (D) (D2) (D3) (exercice ), et du coup par unicité de cette application,δ(a) = det(a), ce qui prouve le résultat On déduit par la formule pour le produit quedet(aa ) = det(a)det(a ), d où le résultat Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 4 Algèbre linéaire, Maths générales II

105 7 Propriétés du déterminant 7 Déterminants (D) det(a) = det(a t ) Si A est non inversible, alors A t ne l est pas non plus, et donc les deux déterminants sont nuls Sinon, le théorème de décompositionlu entraîne qu il existe une matrice de permutationp, une matrice triangulaire L avec que des uns sur la diagonale et une matrice triangulaire supérieure U telles que : PA = LU, et donc A t P t = U t L t On a donc det(p)det(a) = det(l)det(u), et det(a t )det(p t ) = det(l t )det(u t ) Les matricesp etp t sont des matrices de permutation, obtenues à partir de l identité avec le même nombre d échanges de lignes Donc leur déterminant sont égaux (et égaux à ou -) Les matrices L et L t sont des matrices triangulaires inférieures dont tous les éléments diagonaux sont égaux à Leurs déterminants sont donc égaux à (propriété (D7) Il ne reste plus donc qu à montrer quedet(u t ) = det(u) Or ceci est encore vrai grâce à la propriété (D7) 73 Construction du déterminant dans le cas 2 2 Voyons sur une matrice [ 2 ] 2 si l on peut trouver une formule explicite pour une application satisfaisant (D)- a b (D2)-(D3) Soit A = On suppose qu on ne connaît pas la formule du déterminant d une matrice 2 2 et c d on cherche à la retrouver par les propriétés (D)-(D2)-(D3) Par (D) on a detid 2 = =, et par (D2) on a = Par (D3b), en décomposant [ a b ] = [ a ] + [ b ], on a a b c d = a c d + b c d En faisant la même chose pour la deuxième ligne, on a : a b c d = a c + a d + b d + b c Par les propriétés (D) et (D6), a c = a c = Par les propriétés (D3a) et (D), a d = ad = ad On obtient donc finalement : a b c d = ad bc 74 Exercices Exercice 57 (Propriétés fondamentales du déterminant) Montrer que les propriétés (D) (D2) (D3) sont bien vérifiées par le déterminant des matrices 2 2 [ ] a b 2 Soit δ l application de M 2 (R) dans R définie par δ(a) = ad +bc si A = Montrer que δ vérifie c d les proprétés (D) et (D3) mais pas (D2) Exercice 58 (Modifications sur des matrices) SoitAune matrice réelle 4 4 telle quedeta = 2 Calculerdet(2A), det( A), det(a2 ), det(a ) 2 Mḙme question si A est une matrice réelle 3 3 telle que deta = Exercice 59 (Opérations sur des matrices) Soit A = (a i,j ) i,j=,2,3 une matrice réelle 3 3 On notea i,j les coefficients de A, et l (A),l 2 (A),l 3 (A) les trois lignes de A On note K L et M les matrices définies à partir de A : K = (k i,j ) i,j=,2,3 aveck i,j = ( ) i+j a i,j 2 L = l (A) l 3 (A) l 2 (A) l (A) l 3 (A) l 2 (A) 3 M = l (A)+l 3 (A) l 2 (A)+l (A) l 3 (A)+l 2 (A) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 5 Algèbre linéaire, Maths générales II

106 72 Définition par des formules 7 Déterminants Expliquer pourquoi det(k) = det(a), det(l) =, det(m) = 2det(A) a Exercice 6 (Opérations sur les lignes) Expliquer comment trouver que a a = a2 (3 a) en effectuant des opérations sur les lignes et les colonnes 72 Définition par des formules 72 Formule des pivots On a vu dans les propriétés ci-dessus que le déterminant d une matrice triangulaire est le produit de ses termes diagonaux Une manière naturelle de calculer le déterminant d une matrice carrée A d ordre n est d effectuer la factorisation LU de A (ou l algorithme de Gauss) On a donc P A = LU, où P est une matrice de permutation, L une matrice triangulaire inférieure dont tous les termes diagonaux sont égaux à etu est une matrice triangulaire inférieure On a donc par la propriété (D9) que det(p)det(a) = det(l)det(u) Comme P est une matrice de permutation, par la propriété (D2), on a det(p) = ± selon le nombre d échanges de lignes par rapport à la matriceid Par la propriété (D7), on adet(l) = etdetu = n i= d i, où lesd i sont les termes diagonaux On en déduit que : Proposition 72 (Déterminant par la formule du pivot) Soit A une matrice inversible et deta défini par le théorème 7 alors : Si A est non inversible, deta = 2 Si A est inversible, deta = ± n i= d i où les d i sont les pivots, et le signe est le déterminant de la matrice de permutationp telle quepa = LU Cette proposition est très importante En effet, c est de cette manière qu est implémenté le calcul de déterminant dans n importe quel logiciel raisonnable Les formules que nous allons voir par la suite, si elles ont bien sûr leur intérêt mathématique, ne permettent pas d aboutir à des calculs pour des déterminants de grosses matrices en un temps raisonnable 722 Formule des permutations Dans la construction du déterminant2 2, on a vu que sur les 4 déterminants qu on a obtenus par la propriété de multilinéarité, deux d entre eux sont nuls car ils ont des colonnes nulles Soit maintenant A = a, a,2 a,3 a 2, a 2,2 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,3 On se convaincra assez facilement que dans le cas 3 3, sur les 27 déterminants qu on aurait à calculer si on développait chaque ligne [ ] [ ai, a i,2 a i,3 = ai, ] + [ a i,2 ] + [ ] a i,3, il y en a beaucoup qui sont nuls car ils ont des colonnes nulles Plus précisément, il n en existe que 6 qui sont non nuls, et qui correspondent d ailleurs au nombre de permutations d un ensemble à 3 éléments Ceci est dû au fait que lorqu on développe le déterminant, pour qu un des déterminants développés soit non nul, il faut que chaque ligne et chaque colonne de la matriceaysoit représenté On peut donc écrire : a, a,2 a,3 a 2, a 2,2 a 2,3 a 3, a 3,2 a 3,3 = a, a 2,2 a 3,3 + a, a 2,3 a 3,2 + a,2 a 2, a 3,3 a,2 + a 2,3 a 3, + a,3 a 2, a 3,2 + a,3 a 2,2 a 3, (72) Et donc det(a) = a, a 2,2 a 3,3 a, a 2,3 a 3,2 a,2 a 2, a 3,3 +a,2 a 2,3 a 3, +a,3 a 2, a 3,2 a,3 a 2,2 a 3, (722) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 6 Algèbre linéaire, Maths générales II

107 72 Définition par des formules 7 Déterminants Pour une matricen n, si on calcule tous les déterminants par décomposition de toutes les lignes, on en auraitn 2 Mais on ne veut considérer que ceux qui sont non nuls A la première ligne on a n choix possibles de coefficients Une fois le premier choisi, à la deuxième ligne on n en a plus quen, puisqu on ne peut pas prendre de coefficient dans la même que le premier (sinon on se retrouvera avec une colonne nulle dans ce déterminant particulier, qui sera donc nul) De même, pour la troisième ligne, on n a maintenant plus que n 2 colonnes possibles etc On a donc n! déterminants non nuls La formule du déterminant par permutations est donnée par : det(a) = (α,β,,ω) permutation de (,2,,n) ε(α,β,,ω)a,α a 2,β a ω,n, où ε(α,β,,ω) est le signe de la permutation, càd si la permutation est paire (nombre pair déchanges par rapport à l identité) et - si la permutation est impaire (nombre impair déchanges par rapport à l identité) 723 Formule des cofacteurs Reprenons le calcul du déterminant 3 3 (formule (722)) Si on met les coefficients de la première ligne en facteur, on obtient : avec det(a) = a, (a 2,2 a 3,3 a 2,3 a 3,2 )+a,2 ( a 2, a 3,3 +a 2,3 a 3, )+a,3 (a 2, a 3,2 a 2,2 a 3, ) (723) = a, det(m, )++a,2 ( det(m,2 ))+a,3 det(m,3 ), (724) M, = [ ] [ ] [ ] a2,2 a 2,3 a2, a,m a 3,2 a,2 = 2,3 a2, a etm 3,3 a 3, a,3 = 2,2 3,3 a 3, a 3,2 La matricem, (respm,2,m,3 ) est donc une matrice2 2 obtenue à partir deaen supprimant la ligne et la colonne (resp 2, 3) On écrit encore cette formule : oùc i,j, appelé cofacteur dea i,j est égal à ( ) i+j det(m i,j ) det(a) = a, c, +a,2 c,2 +a,3 c,3, (725) Si on reprend le cas des matrices 2 2 étudié au paragraphe précédent, on a la formule : det(a) = ad bc = a(d)+b( c) le termedest le cofacteur deaet le terme c le cofacteur deb On peut définir de manière plus générale le déterminant d une matrice n n par la formule des cofacteurs : Proposition 73 (Formule des cofacteurs) Soit A = (a i,j ) M n (K), on appelle déterminant de la matrice A un élément dek, notédet(a) que l on définit par récurrence de la façon suivante : Sin = et A = (a), alorsdet(a) = a Sin 2, alors det(a) = a, c, +a 2, c 2, + +a n, c n,, où c i,j est le cofacteur associé au coefficient a i,j, défini par : c i,j = ( ) i+j i,j = ( ) i+j det(m i,j ) et M i,j M n (K) est la matrice obtenue à partir de la matrice A en supprimant la ième ligne et la jème colonne Ce déterminant satisfait les propriétés (D)-(D2)-(D3) Démonstration : Montrons que cette construction du déterminant vérifie bien les propriétés (D)-(D2)-(D3) (D) Pour n = on a bien det(id) = On en déduit que det(id n ) = par récurrence sur n grâce à la formule des cofacteurs (D2) On montre le résultat par récurrence sur la dimension de la matrice Soit A,A M n (K) On suppose que A est obtenue à partir de A par un échange de lignes Plus précisément, on note l i,l i les lignes respectives de ces matrices, et on suppose qu il existei et j tel quei j l i = l i, i i,j et l i = l j,l j = l i, On veut montrer que det(a) = det(a ) On note c i,j les cofacteurs de la matrice A et c i,j les cofacteurs de la matricea Par définition, on a : det(a ) = a, c, +a 2,c 2, + +a j,c i, + +a i,c j, + +a n, c n, Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 7 Algèbre linéaire, Maths générales II

108 72 Définition par des formules 7 Déterminants Par hypothèse de récurrence, pour toutj i,j, on ac j, = c j, Par ailleurs,c i =, ( )i+ det(m i ), où M i est la matrice extraite de, A lorsqu on enlève la ligne i et la colonne Mais les lignes de A sont égales à celles de A sauf les lignes i et j qui sont échangées Donc M i, est aussi la matrice obtenue à partir de A lorsqu on enlève la première colonne et la i ème ligne et qu on remplace la ligne l j par la ligne l i Pour ramener cette ligne l i à sa position il faut alors faire j i + échanges de lignes Par hypothèse de récurrence, on a donc det(m i ) =, ( )j i+ det(m j,) De même on a det(m j ) =, ( )i j+ det(m i,) On en déduit c i = c, j, et c j = c, i, On en déduit le résultat (D3a) Soit λ K On veut montrer que i on multiplie par λ une ligne d une matrice de M n (K) alors son déterminant est multiplié parλ On montre le résultat par récurence sur la taille de la matrice Pour n = 2 le résultat est immédiat On suppose le résultat vrai pour toute matrice de taille n Soit A une matrice de taille n et A λ = D i (λ)a On utilise la définition du déterminant pour calculerdet(d i (λ)a) On a det(d i (λ)a) = a, λ, a 2, λ 2, + +( )i a i, λ i, +( ) i+ λa i, λ i, +( ) i+2 a i+, λ i+, + +( ) n+ a n, λ n, Remarquons que λ i, = i, et que λ j, = λ j, si j i en utilisant l hypothèse de réccurence On en déduit que det(d i (λ)a) = λdet(a) (D3b) On considère trois matrices A,A,A M n (K) On note l i,l i,l i On suppose qu il existei tel que l i = l i = l i, i i etl i = l i +l i, les lignes respectives de ces matrices on veut montrer que det(a) = det(a )+det(a ) On raisonne là encore par récurence sur la taille de la matrice Le résultat est vrai pourn = 2 On a det(a) = a, A, a 2, A 2, + +( ) i+ a i, A i, + +( ) n+ a n, A n, Ora i, = a i, +a i,, A i, = A i, = A i, De plus si i i, en utilisant la récurrence on a On en déduit immédiatement que A i, = A i, + A i, det(a) = det(a )+det(a ) Démontrons maintenant quelques autres des propriétés directement par la formule des cofacteurs : Proposition 74 (Propriété (D7)) Si A M n (K) est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure, alors le déterminant deaest égal au produit des coefficients diagonaux de la matrice Démonstration : On montre le résultat par récurrence sur la taille de la matrice Lorsque n = 2 le résultat est immédiat Supposons le résultat vrai pour toute matrice triangulaire de taille n Si A est une matrice triangulaire supérieure de taille n Commea i, = pour tout i 2 on a det(a) = a,, avec, déterminant d une matrice triangulaire supérieure de taillen dont les coefficients diagonaux sont les coefficients diagonaux dea, a i,i pouri 2 D où le résultat Si la matrice A est triangulaire inférieure, la matrice A, est une matrice triangulaire inférieure, l hypothèse de récurrence assure que, = n i=2 a i,i Si i >, alors la matrice A i, a une ligne identiquement nulle, par suite son déterminant i, est nul (proppriété (D6)) Le résultat suit immédiatement Corollaire 75 Le déterminant de la matrice D i (a) est égal àaet si i j, le déterminant det i,j (λ) est égal à Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 8 Algèbre linéaire, Maths générales II

109 72 Définition par des formules 7 Déterminants Théorème 76 (Propriété (D9)) Si A etb sont deux matrices dem n (K) alors det(ab) = det(a)det(b) Démonstration : Première étape Notons que ce résultat est démontré si A est une matrice de dilatation (propriété (D3a)) ou si A est une matrice de transvection (propriété (D5)) Par conséquent le résultat est également démontré si A est un produit de matrices de dilatation ou de transvection Deuxième étape Notons que si A est une matrice inversible alors A est un produit de matrices élémentaires (Corollaire 43) Donc si A est inversible det(ab) = det(a)det(b) Troisième étape Supposons maintenant que la matrice A soit non inversible Il existe une matrice E inversible telle que EA soit échelonnée, en particulier triangulaire supérieure Or EA n est pas inversible Donc la dernière ligne de la matriceea est une ligne de zéros On déduit de la propriété (D6) quedet(ea) = et d après l étape précédente, comme E est inversible,det(a) = det(e EA) = det(e )det(a) = Remarquons alors que la dernière ligne de la matriceeab est nulle de sorte que (propriété (D6))det(EAB) = A nouveau comme E est inversible on sait que det(e EAB) = det(e )det(eab), on en déduit que det(ab) = et donc que l on a bien det(ab) = det(a)det(b) = Théorème 77 SiAest une matrice dem n (K) inversible alors det(a ) = Démonstration : On utilise le résultat précédent On a Par suite det(a) det(aa ) = det(a)det(a ) = det(id) = det(a ) = det(a) Théorème 78 (Propriété (D), transposée) Si A est une matrice dem n (K) alorsdet(a t ) = det(a) Démonstration : On remarque que le résultat est vrai pour les matrices élémentaires et pour les matrices triangulaires Pour une matriceaquelconque on utilise une forme échelonnéea = EA On adet(a ) = det((a ) t ) car A est triangulaire supérieure et det(e ) = det((e ) t ) car E est un produit de matrices élémentaires On en déduit que det(a t ) = det((a ) t (E ) t ) = det((a ) t )det((e ) t ) = det(a )det(e ) = det(e A ) = det(a) Corollaire 79 SoitA = (a i,j ) M n (K), on a pour toutj =,,n et pour touti =,,n det(a) = ( ) j+( a,j,j a 2,j 2,j + +( ) n+ a n,j n,j ) (726) det(a) = ( ) i+( a i, i, a i,2 i,2 + +( ) n+ a i,n i,n ) (727) Autrement dit, on peut développer le déterminant par rapport à n importe quelle ligne ou colonne Démonstration : L équation 726 découle de la propriété (D2), tandis que l équation 727 est une conséquence de la propriété (D) Remarque 7 Soit A M n (K) Le déterminant ( ) i+j i,j est appelé cofacteur de a i,j La comatrice de A, notéeco(a) est la matrice dem n (K) dont le coefficienti,j est le cofacteur( ) i+j i,j On a en fait pour touti =,,n et pour toutj =,,n det(a) = ( ) i+ i, a i, +( ) i+2 i,2 a i,2 + +( ) i+n i,n a i,n, det(a) = ( ) j+,j a,j +( ) j+2 2,j a 2,j + +( ) j+n n,j a n,j Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 9 Algèbre linéaire, Maths générales II

110 73 Applications du déterminant 7 Déterminants 73 Applications du déterminant 73 Résolution de systèmes linéaires et formules de Cramer Les formules de Cramer permettent de calculer le déterminant sans procéder à l élimination Prenons d abord un exemple en dimension 3 On cherche à résoudre le systèmeax = b oùa est une matrice3 3 etb = (b,b 2,b 3 ) Supposons que det A La matrice est donc inversible Li dée pour trouver les formules de Cramer est de se souvenir que Ax = b veut dire que b est le produit de la matrice A par le vecteur x On peut donc écrire : A x x 2 = a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 x x 2 = b a 2 a 3 b 2 a 22 a 23 = B x 3 a 3 a 32 a 33 x 3 b 3 a 32 a 33 Par la règle du produit des déterminants, on obtient alors : det(a)x = det(b ) soit encorex = det(b ) det(a) De même, pour trouverx 2, on met le vecteurx dans la seconde colonne de la matrice identité ; en notantc (A),c 2 (A) et c 3 (A) les colonnes dea, on obtient : [ c (A) c 2 (A) c 3 (A) ] x x 2 = [ c (A) b c 3 (A) ] = B 2 x 3 On en déduit que det(a)x 2 = det(b 2 ) soit encorex 2 = det(b 2) det(a) Et de même pourx 3 Dans le cas généraln 2,A M n (K) inversible et b M n, (K), la solutionx = (x i ) M n, (K) du système linéaireax = b est donnée par : x i = det(b i) det(a) = = det(a) det(a) C est ce que l on appelle les formules de Cramer a, a,i b a,i+ a,n a n, a n,i b n a n,i+ a n,n ( ( ) i+,i b +( ) i+2 2,i b 2 + +( ) i+n ) n,i b n En fait, on n utilise ces formules que pour n = 2 ou n = 3 Pour n 4, il est plus rapide d utiliser l algorithme du pivot de Gauss 732 Inversibilité Proposition 7 Soitn 2 et A M n (K) Alors on a (Co(A)) t A = A(Co(A)) t = det(a)id n Autrement dit, la matricea M n (K) est inversible si et seulement si det(a) et alors on a Démonstration : On a A = det(a) (Co(A))t ((Co(A)) t A) i,j = ( ) i+,i a,j +( ) i+2 2,i a 2,j + +( ) i+n n,i a n,j Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 Algèbre linéaire, Maths générales II

111 73 Applications du déterminant 7 Déterminants En utilisant la formule (726), on déduit que ((Co(A)) t A) i,i = det(a) De plus si i j, on reconnaît dans ((Co(A)) t A) i,j le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant dans A a,i,,a n,i par a,j,,a n,j, autrement dit la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la colonne i par la colonne j La matrice ainsi obtenue a deux colonnes identiques, son déterminant est donc nul Par conséquent si i j ((Co(A)) t A) i,j = On a donc bien montré que(co(a)) t A = A(Co(A)) t = det(a)id n Proposition 72 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension n On se donne B = (e,,e n ) une base dee etb = (ε,,ε n ) une base def SoitT L(E,F) AlorsT est bijective dee dansf si et seulement si det(m B,B (f)) On rappelle que dans ce cas, on dit quet est un isomorphisme dee surf et quee et F sont isomorphes Démonstration : On a vu dans le Corollaire 66 quet est un isomorphisme si et seulement si la matricem B,B (f) est inversible On utilise ensuite la Proposition Calculs d aires et de volumes L aire d un parallélogramme dont les deux côtés sont définis par les vecteurs (x,y ) et (x 2,y 2 ) est égale au déterminant x x 2 y y 2 Le volume d un parallélépipède dont les trois côtés sont définis par les vecteurs(x,y,z ),(x 2,y 2,z 2 ) et(x 3,y 3,z 3 ) x x 2 x 3 est égale au déterminant y y 2 y 3 z z 2 z 3 SUITE A ECRIRE 734 Le produit vectoriel Le produit vectoriel est un outil tri-dimensionnel qui est apparenté au déterminant Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v, qu on note u v, est un vecteur (contrairement au produit scalaire u v qui est lui, comme son nom l indique, un scalaire Définition 73 (Produit vectoriel) Soient u = (u,u 2,u 3 ) et v = (v,v 2,v 3 ), Alors on pose u v = (u 2 v 3 u 3 v 2 )i+(u 3 v u v 3 )j +(u v 2 u 2 v )k, ce qu on écrit aussi (de manière assez illégale il est vrai) : i j k u v = u u 2 u 3 v v 2 v 3 Le vecteur u v est orthogonal aux deux vecteurs u et v La formule avec le déterminant est assez illégale au sens où le déterminant a été défini pour des nombres, pas pour des vecteurs Mais elle représente bien la première formule, elle est très facile à retenir et permet également de retenir facilement les propriétés suivantes : (PV)v u = u v puisqu on échange les deux lignes dans le déterminant (PV2) Le produit vectoriel u v est orthogonal aux deux vecteurs u et v/ En effet, u (u v) = u (u 2 v 3 u 3 v 2 )+u 2 (u 3 v u v 3 )+u 3 (u v 2 u 2 v ) = Le déterminant a maintenant comme lignes u, u et v et donc il est nul (PV3) Le produit vectoriel u u est nul (deux lignes identiques dans le déterminant) Si u et v sont parallèles, leur produit vectoriel est nul Si u et v sont orthogonaux, c est leur produit scalaire qui est nul De fait, on a : u v = u v sinθ et u v = u v cosθ Les physiciens préfèrent cette dernière définition, qui a l avantage de ne pas faire intervenir les composantes Supposons que u = (u,u 2,u 3 ) donne la position d une masse et F = (F,F 2,F 3 ) la force qui s exerce sur Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 Algèbre linéaire, Maths générales II

112 73 Applications du déterminant 7 Déterminants celle-ci Si F est parallèle à u, alorsu f = : ça ne tourne pas Le vecteuru F est le couple, càd la force qui fait tourner Sa direction est celle de l axe de rotation, perpendiculaire à u et F Sa longueur u F sin θ est le moment du couple (qui produit la rotation) Attention, le produit vectoriel se note u v en anglais (cross product) 735 Produit mixte Commeu v est un vecteur, on peut prendre son produit scalaire avec un autre vecteurw Ceci donne exactement le déterminant des trois vecteurs, et c est le volume d un parallépipède formé par les trois vecteurs w w 2 w 3 (u v) w = u u 2 u 3 v v 2 v 3 = u u 2 u 3 v v 2 v 3 w w 2 w 3 = w (u v) Ce déterminant est nul lorsque les vecteurs u v et w sont coplanaires On peut vérifier ce fait de trois manières différentes (au moins) : Le vecteuru v est orthogonal à ce plan donc son produit scalaire avecw est nul 2 Trois vecteurs dans un même plan sont forcément liés, donc la matrice est non inversible et son déterminant est nul 3 Le volume est nul puisque le parallélépipède est écrasé sur un plan 736 Le polynôme caratéristique d une matrice : calcul des valeurs propres Proposition 74 On définit pour une matrice A M n (R), P A (X) = det(a XId n ) C est un polynˆome de degrénappelé polynˆome caractéristique Démonstration : Il suffit de remarquer par réccurence que le déterminant d une matrice de taille n est une somme de produits de n termes distincts de la matrice Par conséquent c est bien un polynôme en X On montre alors par réccurence que son terme dominant est ( ) n X n On verra plus loin (next year) que les valeurs propres d une matrice A sont les racines (dans C) du polynôme caractéristique Les valeurs propres et vecteurs propres sont des notions très importantes pour comprendre la structure d une matrice et de l application linéaire qui lui est associée 737 Exercices Exercice 6 La famille(2,, ),(, 3, ),(5, 2, ) est-elle libre? Exercice 62 (Matrices inversibles) Déterminer les valeurs du param`tre t R pour lesquelles matrices M t = t t etn t = t t sont inversibles t t Exercice 63 (Condition d inversibilité) Calculer x y z et déterminer la condition d inversibilité de la x 2 y 2 z 2 matrice Exercice 64 (Inverses de matrice par le déterminant) En utilisant la comatrice, inverser les matrices 2 2 et 2 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 2 Algèbre linéaire, Maths générales II

113 74 Quelques calculs de déterminants 7 Déterminants ainsi que leurs produits Exercice 65 SoitE un espace vectoriel réel de dimension finienet ϕ L(E) telle queϕ 2 = id E Donner des exemples de telles applications dans le cas n = 2 ou 4 2 Montrer que de telles applications existent si et seulement si n est pair [ On pourra utiliser le déterminant deφ] Exercice 66 (Applications du déterminant aux systèmes linéaires) Combien de solutions a le système linéaire suivant : 3x +y +z = 2x y +z = x +y 2z = 2 Et ce système? Ou bien encore ce système? Et celui-là? Et pour finir ce système? 3x +y +z = 2x y +z = x +y 2z = +y +z = 2x +4z = x +y z = +y +z = 2x +4z = x +y z = +y +z = 2 2x +4z = 2 x +y z = 74 Quelques calculs de déterminants 74 Matrice de Froebenius Proposition 75 (Déterminant d une matrice de Frobenius) Le polynˆome P(X) = ( ) n+( X n+ a n X n a a ) est le polynˆome caractéristique de la matrice de Frobenius de taille n+ a a2 A = a n a n Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 3 Algèbre linéaire, Maths générales II

114 74 Quelques calculs de déterminants 7 Déterminants Démonstration : On doit calculer X a X a = X a n a n X Pour cela on va ajouter à la première ligne une combinaison linéaire des précédentes : L L +XL 2 +X 2 L 3 + +X n L n +X n L n On obtient a +a X + +a n X n +(a n X)X n X a = X a n a n X En développant le déterminant obtenu par rapport à la première ligne, on a X = ( ) n+2 (a +a X + +a n X n +(a n X)X n ) X Par suite on a bien = P(X) 742 Déterminant de Van der Monde On s intéresse pour quatre réels distinctsx,x 2,x 3,x 4 au déterminant suivant : (x,x 2,x 3,x 4 ) = x x 2 x 3 x 4 (x ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 (x 4 ) 2 (x ) 3 (x 2 ) 3 (x 3 ) 3 (x 4 ) 3 En developpant ce déterminant par rapport à la première colonne on remarque que (x,x 2,x 3,x 4 ) est un polynôme de degré 3 en la variable x De plus si x = x 2 ou x = x 3 ou x = x 4, c est le déterminant d une matrice qui a deux colonnes identiques et par conséquent (x i,x 2,x 3,x 4 ) = pouri = 2,3,4 On en déduit que x 2,x 3,x 4 sont les racines de ce polynôme de degré3et qu il existe une fonctionδ(x 2,x 3,x 4 ) telle que (x,x 2,x 3,x 4 ) = δ(x 2,x 3,x 4 )(x x 2 )(x x 3 )(x x 4 ) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 4 Algèbre linéaire, Maths générales II

115 74 Quelques calculs de déterminants 7 Déterminants Si on développe par rapport à la première colonne ce déterminant on vérifie que δ(x 2,x 3,x 4 ) = x 2 x 3 x 4 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 (x 4 ) 2 On recommence le même raisonnement δ(x 2,x 3,x 4 ) = x 3 x 4 (x 2 x 3 )(x 2 x 4 ) = (x 3 x 4 )(x 2 x 3 )(x 2 x 4 ) Autrement dit (x,x 2,x 3,x 4 ) = x x 2 x 3 x 4 (x ) 2 (x 2 ) 2 (x 3 ) 2 (x 4 ) 2 = (x ) 3 (x 2 ) 3 (x 3 ) 3 (x 4 ) 3 Ce résultat se généralise par récurrence à la dimensionn 743 Déterminant d une matrice tridiagonale On s intéresse au déterminant de la matrice tridiagonale suivante a b b a b b a b b a b b a i 4j>i (x i x j ) On a en développant par rapport à la première colonne a b 5 a,b = b a b a b b b a b = a b a b b a b b a b b b a b b a b b a b a b a a b = a b a b a b b a b b 2 b a b b a b a De même = a 4 a,b b2 3 a,b 4 a,b = a 3 a,b b2 2 a,b 3 a,b = a 2 a,b b 2 a,b 2 a,b = a 2 b 2 a,b = a On en déduit que 3 a,b = a(a 2 b 2 ) b 2 a = a 3 2b 2 a 4 a,b = a(a 3 2b 2 a) b 2 (a 2 b 2 ) = a 4 3b 2 a 2 +b 4 5 a,b = a(a 4 3b 2 a 2 +b 4 ) b 2 (a 3 2b 2 a) = a 5 4b 2 a 3 +3ab 4 Le cas classique est a = 2b, on trouve alors 3 a,b = = 4b 3 4 a,b = a(a 3 2b 2 a) b 2 (a 2 b 2 ) = 5b 4 5 a,b = a(a 4 3b 2 a 2 +b 4 ) b 2 (a 3 2b 2 a) = 6b 5 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 5 Algèbre linéaire, Maths générales II

116 74 Quelques calculs de déterminants 7 Déterminants 744 Exercices Exercice 67 Calculer de plusieurs façons le déterminant suivant Exercice 68 Sans calcul, montrer que est divisible par 2 et calculer le plus rapidement possible ce déterminant 2 4 Exercice 69 Sans calcul, montrer que est divisible par Exercice 7 Calculer les déterminants suivants et a b c Exercice 7 Calculer c a b b c a Exercice 72 Calculer les déterminants des matrices suivantes : a c c b c a b c a x y z x y z t c a b c c b a c, a c c b b c c a, b x y z c x y z, y x t z z t x y b c c a c b a c d x y z t z y x +a b a b a a a 2 b +a b a a b +a b, a b b 2 a c c 2 b a b +a a d d 2 b+c+d a a 2 c+d+a d+a+b, b b 2 c c 2 a+b+c d d 2 Exercice 73 (Déterminants de Vandermonde) On note a,,a n des réels Calculer les déterminantsn n suivants a a 2 a 3 a n a a 2 a n a 2 a 2 a 3 a n D = a 2 a 2 2 a 2 n, D 2 = a 3 a 3 a 3 a n a n a2 n an n a n a n a n a n Exercice 74 Montrer que cosa cosb cosc sina sinb sinc = sin(c b)+sin(b a)+sin(a c) = 4sin c b 2 sin b a 2 Exercice 75 Soit(a,b) R 2 aveca b Pourn N,n 2, on noteb n le déterminant suivant : a+b a B n = b a b a+b sin a c 2 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 6 Algèbre linéaire, Maths générales II

117 74 Quelques calculs de déterminants 7 Déterminants Montrer que n N,n 4, B n = (a+b)b n abb n 2 Montrer que n N,n 2, B n = an+ b n+ a b Exercice 76 Calculer le déterminant de la matrice tridiagonale suivante Applications du déterminant Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 7 Algèbre linéaire, Maths générales II

118 74 Quelques calculs de déterminants 7 Déterminants Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier 22 8 Algèbre linéaire, Maths générales II

119 Appendices 9

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121 Annexe A Corrigés d exercices A Chapitre Exercice 24 (Plans et droites de R 3 ) (Corrigé par Maximilien Rigaut) SoientP et P deux plans d équations respectivesx y z 2 = et x 2y 3z ) Un vecteur appartient au plan (vectoriel associé à) P à condition que ses composantes soient solution de l équation du planx y z = On a donc a et b deux vecteurs du planp non colinéaires, d équation : a = 2 De même on a c = et b = et d = 2 Le vecteur u = 4 a b est normal au plan formé par les vecteur a et b : P (car a et b ne sont pas colinéaires) u = = Le vecteur v = 2 c d est normal au plan formé par ces derniers soit P : v = 2 2 = Comme u et v ne sont pas colinéaires, les plans sont sécants et se coupent en une droite D Soit w = (x,y,z) un vecteur directeur de la droite CommeD P on a u w = et commed P on a v w = { { { x+y +z = x+y +z = x = z x+2y +3z = 2y y +3z z = y = 2z On posez = t on a donc : x = t y = 2t z = t Le vecteur directeur ded a pour coefficients -, -2 et : w = 2 2

122 A2 Chapitre 2 A Corrigés d exercices On cherche l équation de la droite D de vecteur directeur w et passant par le point A = (5,3,) La droite D a pour équation : x = t+5 y = 2t+3 z = t 4 Le plan orthogonal a la droited et passant par B = (,,) a pour vecteur normal le vecteur directeur de D soit w On a doncp d équation x 2y+z+ρ =, où la constanteρest déterminée par le fait que le planp passe par par le pointb L équation du planp est donc x 2y +z +2 = A2 Chapitre 2 Exercice 3 (Grosses matrices) (Corrigé par Maximilien Rigaut) Exercice [ ] [ ] = = = [ ] B = B 2 = ,B = 2 3, ,B 2 A = 8 8 A = Exercice 39 (Matrice d adjacence d un graphe) (avec la participation de Maximilien Rigaut) SoitA = SoientP,P 2 et P 3 les points d un graphe dont la matrice d adjacence est A Alors par définition de la matrice : P est relié à lui même et à P 2, P 2 est relié àp, P 3 est relié àp et à P 3 ce qui donne le graphe suivant : CalculonsA 2 : A 2 = 2 2 Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

123 A3 Chapitre 3 A Corrigés d exercices P P 2 P 3 Démontrons que les coefficients dea 2 représentent le nombre de chemin à deux arêtes entrei etj En effet soitc = A 2, on ac i,j = 3 k= A i,ka k,j Or par définition de la matricea,a i,k A k,j = si et seulement si il existe une arête entre i et k et une arête entre k et j ; donc A i,k A k,j = si et seulement si il existe un chemin à deux arêtes entreiet j Sinon,A i,k A k,j = CommeC i,j = 3 k= A i,ka k,j, on en déduit quec i,j est exactement le nombre de chemin à deux arêtes entre i et k CalculonsA 3 : A 3 = Par définition, (A 3 ) i,j = 3 k= (A2 ) i,k A k,j Or (A 2 ) i,k est le nombre de chemin à deux arêtes entre i et k Mais A k,j = si et seulement si il existe une arête entre k et j Donc (A 2 ) i,k A k,j est le nombre de chemins à trois arêtes entre i et j passant par k On en déduit finalement que (A 3 ) i,j = 3 k= (A2 ) i,k A k,j est le nombre total de chemins à trois arêtes entreiet j A3 Chapitre 3 Exercice 85 (Somme de deux sous-espaces vectoriels) D abord, on a évidemment F + G Montrons que F + G est stable par combinaison linéaire Si u et v F+G, alors on peut écrireu = u F +u G etv = v F +v G, avecu F,v F F etu G,v G G Soientαet β R On aαu+βv = α(u F +u G )+β(v F +v G ) = αu F +βv F +αu G +βv G Orαu F +βv F F etαu G +βv G G Donc OK ( ) 2 Dans E = R 2 : on prend F la droite de vecteur directeur i = et G la droite de vecteur directeur ( ) ( ) j Le vecteuri+j = n appartient pas à F G Exercice 97 (Une ligne avec que des uns) Si la première ligne est remplie de, comme la matrice est totalement échelonnée, il n y a pas de pivot dans les autres lignes, qui sont donc toutes nulles Le rang de la matrice, qui est égal au nombre de pivots, au nombre de lignes non nulles ou encore au nombre de colonnes pivotales) est donc égal à Exercice 82 (Image d une matrice et solution du sysème linéaire) Dire qu il existe une solution au système Ax = b, c est équivalent à dire qu il existe x tel que b s écrive comme le produit de la matrice A avec le vecteur x, et donc que b soit une combinaison linéaire des colonnes de A Le plus simple pour obtenir cela pourb et b 2 est de prendre les colonnes deaégales à b et b 2 On veut de plus que le système Ax = b 3 n admette pas de solution Pour cela, il faut que b 3 ne soit pas dans l espace C(A) (ou Im(A)) des combinaisons linéaires des colonnes de A Donc si b 3 est une combinaison linéaire de b et b 2, il n est pas possible de trouver A telle que les systèmes linéairesax = b et Ax = b 2 admettent une solution, et le systèmeax = b 3 n en admette pas Sib 3 n est pas une combinaison linéaire deb etb 2, alors la matricen 2 dont la première colonne est égale àb et la seconde àb 2 convient Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

124 A3 Chapitre 3 A Corrigés d exercices Exercice 73 (Construction de sous-espaces) Exemple : La matrice A = convient 2 Exemple 2 : b 3 = b +b 2 et donc il n existe pas de matrice A telle que les systèmes linéaires Ax = b et Ax = b 2 admettent une solution, et le systèmeax = b 3 n en admette pas F : ensemble des combinaisons lin?aires des vecteurs, et G : ensemble des multiples du vecteur 2 F : ensemble des matrices diagonales G : ensemble des matrices multiples de l identit? 3 F : ensemble des fonctions y de R dans R dont la d?riv?e seconde est nulle G : ensemble des fonctions constantes Exercice 3 (Bases et dimension de sous-espaces de matrices) Toute matrice carrée2 2 s écrit de la forme ( ) ( ) ( a b = a +b c d ) ( +c ) ( +d La famille est donc génératrice Il est facile de voir qu elle est libre : c est donc une base (en fait, c est la base canonique sur l ev des matrices carrées d ordre 2, qu on a vue en cours) Il y a 4 vecteurs (qui sont en fait des matrices) de base, donc l espace est de dimension 4 2 Une base de l ev des matrices carréesn n est la base canonique(e ij ) i=,,n,j=,,n dont les coefficients sont tous égaux à, sauf celui de lai- ème ligne et j-ème colonne, qui est égal à Or card ((E ij ) i=,,n ) j=,,n =n n Il y a doncn 2 vecteurs de base, et donc la dimension de l espace des matrices carréesn n estn 2 3 Commençons par le cas2 2 : si la matrice est diagonale, elle s écrit : ( ) ( ) ( a = a +d d ( ) ( ) La famille consituée des matrices et est libre, et c est donc une base de l espace des matrices diagonales On en déduit que le sous-espace des matrices diagonales est de dimension 2 Une matrice diagonale de dimension n s écrit comme combinaisons linéaires des n matrices E ii définies à la première question Ces matrices sont libres, forment un base de l espace des matrices diagonales, qui est donc de dimension n 4 Commençons par le cas2 2 : si la matrice est symétrique, elle s écrit : ( ) ( ) ( ) ( a b = a +b +d b d ( ) ( ) ( ) La famille consituée des matrices, et est libre (vérifiez le), et c est donc une base de l espace des matrices symétriques On en déduit que le sous-espace des matrices diagonales est de dimension 3 Une matrice symétrique de dimension n s écrit comme combinaisons linéaires des n matrices E ii, i =,,n et des matricese ij +E ij, j > i, où lese ij sont définies à la première question Or le nombre des ) ) ) Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

125 A3 Chapitre 3 A Corrigés d exercices matrices E ij + E ij, j > i est le cardinal de l ensemble des couples (i,j) vérifiant j > i Comptons les : pouri =, il y en a : n Pour i = 2, il y en a n 2 Pour i = k, il y en a n k (dessinez les matrices pour n = 3 si vous ne comprenez pas) Donc en tout, il y en a n +n 2+ + n (n ), soit encore n i= (n i) = n(n ) n n(n i= i = n(n ) 2 = n(n ) 2 Si on ajoute les n matrices diagonales, on a doncn+ n(n ) 2 = n(n+) 2 Ces matrices sont libres, forment un base de l espace des matrices diagonales, qui est donc de dimensionn Exercice 4 (Espace de fonctions) Ici, vous pouvez avoir un petit doute sur l indṕendance de la famille à cause de la relationcos 2 x+sin 2 x = En effet, on a4h(x) = 2f(x) g(x) pour toutx, et donc2f g+4h =, ce qui montre que la famille est liée 2 Là, il n y a pas de relation simple entre les fonctions, on va donc essayer de montrer que c est une famille libre : on suppose αf(x) + βg(x) + γh(x) =, càd α + βsin(x) + γsin(2x) pour tout x En prenant x = on obtient α = En prenant x = π 2 on obtient β = et en prenant x = π 4 on obtient γ = On a donc bien une famille libre 3 Même chose que précédemment ; on supposeαf +βg =, càdαx+βcosx = pour toutx En prenant x = on obtientβ = En prenantx = π 2 on trouveα = 4 On remarque que 3f(x) = 3x 2 +6x+3 = 3(x 2 +2x)+3 = 3g(x)+h(x) pour tout x Ceci montre que la famille{f,g,h} est liée et donc a fortiori la famille {f,g,h,k} 5 cos(2x) = cos 2 (x) sin 2 (x) pour toutx, donc la famille est liée 6 La famille est liée car elle contient le vecteur nul (et donc on peut mettre n importe quel coefficient non nul devant celui-ci et obtenir une combinaison linéaire nulle) Exercice 5 On remarque d abord que F et G ; on a donc F G Il reste à montrer que F G est stable par combinaison linéaire Soient u et v F G et soient λ et µ R Comme F et G sont des sev, ils ont stables par combinaison linéaire, et doncλu+µv F etλu+µv G, ce qui montre queλu+µv F G, qui est donc bien un sev 2 (a) On vérifie facilement que les familles {u,v} et {w,z} sont libres Elles sont donc des bases des espaces qu elles engendrent Donc{u,v} est une base def et {w,z} est une base deg (b) Soit x F G, alorsxest de la forme : x = αu+βv et x = α w +β z x = α+β α+β = α +β β β On en déduit que les vecteurs x de F G sont de la forme : x = β et une base def G est le vecteur Le sous-espacef G est donc de dimension 3 (a) L espacef est une droite (dimesion ) dont une base est le vecteuru, et l espacegun plan (dimension 2) dont une base est la famille{w,z} (b) On vérifie facilement que F G est réduit à {}, dont la base est : on ne peut pas avoir dans la base, et donc il n y aucun élément dans la base Le sev {} est de dimension Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

126 A3 Chapitre 3 A Corrigés d exercices Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II

127 Annexe B Algorithmes et programmes informatiques B Algorithmes de Gauss et LU On donne dans ce paragraphe la version programmable de l algorithme de Gauss et de la maéthodelu pour une matrice carrée d ordre n On souhaite résoudreax = b, aveca M n (R) inversible et un ou plusieurs second membresb R n Méthode de Gauss sans pivot (Factorisation et descente) Pouriallant deàn, on effectue les calculs suivants : (a) On ne change pas la i-ème ligne u i,j = a i,j pourj = i,,n, y i = b i (b) On change les lignesi+ àn(et le second membre) en utilisant la lignei Pourj allant dei+ àn: l j,i = aj,i a i,i (si a i,i =, prendre la méthode avec pivot partiel) pourk allant dei+ à n,a j,k = a j,k l j,i a i,k (noter quea j,i = ) b j = b j l j,i y i 2 (Remontée) On calculex Pouriallant denà, x i = u i,i (y i n j=i+ u i,jx j ) MéthodeLU sans pivot La méthodelu se déduit de la méthode de Gauss en remarquant simplement que, ayant conservé la matricel, on peut effectuer les calculs surbaprès les calculs sur A Ce qui donne : (Factorisation) Pour i allant de à n, on effectue les calculs suivants : (a) On ne change pas la i-ème ligne u i,j = a i,j pourj = i,,n, (b) On change les lignesi+ àn(et le second membre) en utilisant la lignei Pourj allant dei+ àn: l j,i = aj,i a i,i (si a i,i =, prendre la méthode avec pivot partiel) pourk dei+ à n,a j,k = a j,k l j,i a i,k (noter quea j,i = ) 2 (Descente) On calcule y (avec Ly = b) Pouriallant deàn, y i = b i i k= l i,ky k (on a implicitementl i,i = ) 3 (Remontée) On calculex(avecux = y) Pouriallant denà, x i = u i,i (y i n j=i+ u i,jx j ) 27

128 B Algorithmes de Gauss et LU B Algorithmes et programmes informatiques MéthodeLU avec pivot partiel La méthode LU avec pivot partiel consiste simplement à remarquer que l ordre dans lequel les équations sont prises n a aucune importance pour l algorithme Au départ de l algorithme, on se donne la bijection t de{,, n} dans {,,n} définie par t(i) = i, et qui va étre modfiée au cours de l algorithme pour tenir compte du choix du pivot On écrit l algorithme précédent avec les nouveaux indices de lignet(i), ce qui donne : (Factorisation) Pour i allant de à n, on effectue les calculs suivants : (a) Choix du pivot (et de t(i)) : on cherche k {i,,n} tq a t(k),i = max{ a t(l),i,l {i,,n}} On change alorsten prenantt(i) = t(k) et t(k) = t(i) On ne change pas la lignet(i) u t(i),j = a t(i),j pourj = i,,n, (b) On modifie les lignes t(j) autres que les lignes t(),,t(n) (et le second membre), en utilisant la ligne t(i) Donc pour t(j) {t(i + ),,t(n)} (noter qu on a uniquement besoin de connaétre l ensemble, et pas l ordre) : l t(j),i = a t(j),i a t(i),i pourk dei+ à n,a t(j),k = a t(j),k l t(j),i a t(i),k (noter quea t(j),i = ) 2 (Descente) On calculey Pouriallant deàn, y i = b t(i) i j= l t(j),ky k 3 (Remontée) On calculex Pouriallant denà, x i = u t(i),i (y i n j=i+ u t(i),jx j ) NB : On a change l ordre dans lequel les équations sont considérées (le tableau t donne cet ordre) Donc, on a aussi changé l ordre dans lequel interviennent les composantes du second membre Par contre, on n a pas touché à l ordre dans lequel interviennent les composantes de x et y Il reste maintenant à signaler le miracle de cet algorithme Il est inutile de connaitre complètement t pour faire cet algorithme A l étape i de l item (et d ailleurs aussi à l étape i de l item 2), il suffit de connaître t(j) pour j allant de à i, les opérations de (b) se faisant alors sur toutes les autres lignes (dans un ordre quelconque) Il suffit donc de partir d une bijection arbitraire de {,,n} dans {,,n} (par exemple l identité) et de la modifier à chaque étape Pour que l algorithme aboutisse, il suffit que a t(i),i (ce qui toujours possible car A est inversible) Pour minimiser des erreurs d arrondis, on a intérêt à choisirt(i) pour que a t(i),i soit le plus grand possible Ceci suggère de faire le choix suivant de t(i) à l étape i de l item (a) de l algorithme (et c est à cette étape quet(i) doit être défini) : on cherchek {i,,n} tq a t(k),i = max{ a t(l),i,l {i,,n}} On change alorsten prenantt(i) = t(k) et t(k) = t(i) Remarque : L introduction des matrices L et U et des vecteurs y et x n est pas nécessaire (tout peut s écrire avec la matrice A et le vecteur b, que l on modifie au cours de l algorithme) L introduction de L, U, x et y peut toutefois aider à comprendre la méthode Le principe retenu est que, dans les algorithmes (Gauss ou LU), on modifie la matriceaet le second membreb (en remplaçant le système à résoudre par un système équivalent) mais on ne modifie jamaisl,u,y etx(qui sont définis au cours de l algorithme) Remarque L algorithme se ramene donc à résoudre LUx = b, en faisant Ly = b et Ux = y Quand on fait Ly = b les equations sont dans l ordret(),,t(n) (les composantes debsont donc aussi prises dans cet ordre), mais le vecteur y est bien (y,,y n ) t (t signifie ici transposé pour obtenir un vecteur colonne) Puis, on fait Ux = y, les equations sont toujours dans l ordre t(),,t(n) mais les vecteurs x et y sont (x,,x n ) t et (y,,y n ) t Université Aix-Marseille,PEIP-L, 6 janvier Algèbre linéaire, Maths générales II