Jeux de congestion dans les réseaux. Partie I. Modèles et équilibres

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1 Jeux de congestion dans les réseaux Partie I. Modèles et équilibres Cheng Wan Department of Economics and Nuffield College University of Oxford New Road, OX1 1NF, Oxford, United Kingdom RÉSUMÉ. Cet article constitue la première partie d une synthèse de résultats majeurs sur les jeux de congestion dans les réseaux. Nous présentons d abord les jeux de congestion à la Rosenthal, l exemple de Pigou et le paradoxe de Braess en guise de motivation. Puis nous introduisons des modèles de congestion avec différents types d acteurs : non atomique, atomique divisible et atomique indivisible. Nous formulons les définitions des équilibres puis nous examinons leurs propriétés statiques (caractérisation, existence et unicité). En particulier, nous exposons en détail la formulation des équilibres sous forme d inégalités variationnelles et de problèmes d optimisation. L optimum social est également abordé. ABSTRACT. This paper is the first part of a survey on important results concerning network congestion games. Rosenthal s congestion games, Pigou s example and Braess paradox are first presented as a motivation. Network congestion games are then introduced for different types of actors: nonatomic, atomic splittable and atomic unsplittable. The definitions of equilibrium are formulated and their static properties such as characterization, existence and uniqueness are investigated. In particular, the formulation of equilibria in terms of variational inequalities and optimization problems are detailed. Social optimum is also mentioned. MOTS-CLÉS : jeu de congestion dans les réseaux, jeu à la Rosenthal, jeu de potentiel, joueur atomique/non atomique, stock divisible/indivisible, équilibre de Wardrop, équilibre de Nash, équilibre composite, optimum social, inégalités variationnelles, programmation mathématique, fonction de potentiel. KEYWORDS: network congestion game, Rosenthal s game, potential game, nonatomic/atomic player, splittable/unsplittable stock, Wardrop equilibrium, Nash equilibrium, composite equilibrium, social optimum, variational equalities, mathematical programming, potential function. DOI: /TSI c 2013 Lavoisier Technique et science informatiques n o 9-10/2013,

2 952 TSI. Volume 32 n o 9-10/ Introduction, motivation et exemples 1.1. Introduction Nous proposons une synthèse de résultats majeurs sur les jeux de congestion dans les réseaux. Dans cette section, nous allons d abord évoquer, en guise de motivation, la définition du jeu à la Rosenthal qui est la première classe de jeux de congestion étudiée dans le cadre de la théorie des jeux, ainsi que deux exemples classiques : exemple de Pigou et paradoxe de Braess. Dans la section 2, nous développerons des modèles de congestion dans les réseaux avec des acteurs de différents types : joueurs atomiques indivisibles, joueurs atomiques divisibles, et joueurs non atomiques. Nous formulerons les définitions de l équilibre dans ces jeux puis discuterons leurs propriétés statiques (caractérisation, existence et unicité). Dans la section 1 de la partie II de cette synthèse, nous nous intéresserons à la comparaison des différents modèles sous trois aspects : passage d un nombre fini de joueurs à un continuum de joueurs, efficacité des équilibres au niveau social et au niveau individuel, et lien entre la composition de l ensemble des joueurs et les coûts à l équilibre. Enfin, dans la section 2 de la partie II, nous passerons en revue les études sur des processus dynamiques dans les différents modèles mentionnés précédemment, et nous aborderons l aspect algorithmique. Nous conclurons en évoquant des sujets connexes ainsi que des perspectives intéressantes Jeux à la Rosenthal Préliminaires de théorie des jeux Nous rappelons quelques notions de base de la théorie des jeux. Un jeu non coopératif fini Γ est la donnée d un ensemble fini de joueurs N et, pour chaque joueur i, d un ensemble fini de stratégies (dites pures) S i ainsi que d une fonction de coût u i définie sur l espace des profils de stratégies S = i N Si à valeurs dans R = R {+ }. Désignons le profil de stratégies des adversaires du joueur i par s i = (s j ) j N \{i}. Un concept fondamental dans la théorie des jeux est l équilibre de Nash. DÉFINITION 1. Dans le jeu fini non coopératif Γ, ɛ étant un nombre positif, un profil de stratégies pures s = (s i ) i N S est un ɛ-équilibre de Nash en stratégies pures (ou simplement ɛ-équilibre de Nash pur) si, pour tout joueur i N, u i (s i, s i ) u i (t i, s i ) + ɛ, t i S i. (1) Le profil s est un équilibre de Nash pur si ɛ = 0 dans (1). Autrement dit, dans un état d équilibre de Nash pur, aucun joueur ne peut diminuer son coût en choisissant une autre stratégie pure, si ses adversaires ne changent pas de stratégie. De façon similaire, dans un état d ɛ-équilibre de Nash pur, aucun joueur ne peut diminuer son coût d un montant supérieur à ɛ en déviant unilatéralement. Notons i le simplexe de dimension S i 1, i.e. i = {σ i = (σ i t) t S i R Si t S i, σ i t 0 ; t S i σi t = 1}. Nous appelons stratégie mixte du joueur i

3 Jeux de congestion dans les réseaux 953 un vecteur σ i i, dont la composante σ i t désigne la probabilité avec laquelle il joue la stratégie pure t. Lorsque le profil des stratégies mixtes jouées par les joueurs est σ = (σ i ) i N = i N i, la fonction de coût du joueur i, noté U i, est définie comme l espérance sous σ de son coût sur l espace des profils de stratégies pures : U i (σ) = s S u i (s) σ j s. j j N Un ɛ-équilibre de Nash en stratégies mixtes (ou simplement ɛ-équilibre de Nash mixte) σ est défini de la même manière qu un ɛ-équilibre de Nash pur en remplaçant, dans la définition 1, S i par i et S par. Contrairement à l équilibre de Nash pur, un équilibre de Nash mixte existe toujours dans un jeu fini (Nash, 1950). Un jeu non coopératif avec un nombre infini de joueurs et/ou avec des ensembles infinis de stratégies peut être défini de façon similaire Jeux à la Rosenthal Venons-en aux jeux de congestion. (Rosenthal, 1973) a introduit une classe de jeux non coopératifs finis dont la structure est très riche. DÉFINITION 2. Soit Γ(A, l, N, S) un jeu non coopératif dans lequel : N = {1, 2,..., N} est l ensemble fini des joueurs, A est un ensemble fini non vide de ressources, S = i N Si est l espace des profils de stratégies pures, où S i P(A) = 2 A est l ensemble des stratégies pures du joueur i N (donc une stratégie s i S i est un sous-ensemble de A), l = (l a ) a A, où l a : N = {0, 1, 2,...} R + est la fonction de coût de la ressource a A : l a (n) est le coût à payer par chaque utilisateur de a lorsque leur nombre total est n. Alors, Γ(A, l, N, S) est appelé jeu à la Rosenthal si, pour chaque joueur i N, sa fonction de coût u i : S R + est définie par u i (s) = a s i l a (φ a (s)), (2) où φ a (s) désigne le nombre d utilisateurs de la ressource a lorsque le profil de stratégies est s = (s i ) i N. DÉFINITION 3. Dans un jeu à la Rosenthal Γ(A, l, N, S), la fonction de coût social CS : S R + est définie comme la somme des coûts des joueurs : CS(s) = i N u i (s).

4 954 TSI. Volume 32 n o 9-10/2013 Avant de faire quelques remarques sur cette définition, regardons d abord deux classes particulières de jeux à la Rosenthal. EXEMPLE 4 (Jeu de biens publics). Chaque joueur choisit un et un seul bien public dans l ensemble A, i.e. toutes les stratégies sont des singletons de A. Le coût pour un joueur dépend du nombre de joueurs ayant fait le même choix que lui. EXEMPLE 5 (Jeu de congestion dans les réseaux). Il s agit d une des plus importantes familles de jeux de congestion. Dans un réseau (i.e. un graphe fini orienté), les ressources sont des arcs et les stratégies sont des chemins. A chaque joueur est associée une paire de sommets qui constituent respectivement son origine et sa destination. Chacune de ses stratégies est un chemin élémentaire (i.e. sans passer deux fois par le même sommet) et orienté, qui relie son origine à sa destination. Par exemple, dans la figure 1, les joueurs ayant o 1 /d 1 (resp. o 2 /d 2 ) comme origine/destination disposent de 7 (resp. 2) stratégies pures. Le coût lié à un arc peut être interprété comme le temps de parcours, qui est souvent croissant avec l intensité du trafic sur l arc. d 1 o 2 s o 1 d 2 Figure 1. Un réseau REMARQUE 6. Séparabilité et non-externalité du coût. Dans un jeu à la Rosenthal, le coût associé à une stratégie se calcule comme la somme des coûts de toutes les ressources qu elle utilise, et le coût d une ressource dépend seulement du nombre de ses propres utilisateurs. Ces deux propriétés, appelées respectivement séparabilité et non-externalité du coût, ne sont pas requises dans un jeu de congestion général. Jeu anonyme. D après (2), le coût pour le joueur i dépend seulement de sa stratégie s i et du profil de stratégies s, mais pas de l identité du porteur d une certaine stratégie s j. Autrement dit, un jeu de congestion à la Rosenthal est un jeu anonyme dans lequel le coût de chaque joueur ne dépend que de sa propre stratégie et du vecteur (n a ) a A, où n a est le nombre de joueurs utilisant la ressource a. Fonctions de coût et poids non spécifiques. Dans un jeu de congestion à la Rosenthal, les joueurs ont les mêmes fonctions de coût des ressources (i.e. l a ) et le même poids normalisé à 1 (cf. section 2.2 pour la définition du poids), ce qui n est nécessaire ni dans un jeu anonyme ni dans un jeu de congestion général. Lorsque le nombre de joueurs est si grand que l influence d un joueur sur les autres devient négligeable, nous pouvons les décrire par un continuum (par exemple, un intervalle réel muni de la mesure de Lebesgue). Chaque joueur se réduit à un point de

5 Jeux de congestion dans les réseaux 955 mesure nulle. Ils sont donc dits non atomiques. Nous développerons cette idée dans la section 2. Enfin, dans cette synthèse, nous nous concentrons sur les jeux de congestion dans les réseaux. Néanmoins, des jeux de congestion plus généraux sont intéressants. Par exemple, nous pouvons étudier les jeux où les joueurs choisissent un arbre couvrant ou un cycle au lieu d un chemin Paradoxe de Braess et exemple de Pigou Nous allons maintenant voir deux exemples particuliers de jeu à la Rosenthal, qui révèlent des particularités des jeux de congestion, d où l intérêt de les étudier comme une classe spécifique de jeux stratégiques Paradoxe de Braess L un des plus fameux paradoxes dans l analyse de transport est celui de Braess (Braess, 1968), qui montre que l ajout d un arc dans un réseau peut se révéler défavorable à tous les passagers, même si le coût pour l utiliser est nul. C C 1 x 2n+1 1 x 2n+1 B D B 0 D x 2n+1 1 x 2n+1 1 A Figure 2. Paradoxe de Braess A Considérons 2n joueurs qui partent du point A pour aller au point C dans le réseau de gauche de la figure 2. Deux chemins sont à leur disposition : A B C et A D C. Les fonctions de coût des arcs sont écrites sur le graphe, où x désigne le nombre d utilisateurs de l arc en question. Alors, à l unique équilibre de Nash pur, les joueurs se partagent les deux chemins équitablement, c est-à-dire, n joueurs prennent le chemin A B C alors que les autres prennent A D C. Le coût est commun pour tous, à savoir 1 + n 2n+1 = 3n+1 2n+1. Supposons qu un nouvel arc de coût zéro soit ajouté au réseau pour relier B à D, comme illustré à droite de la figure 2. A l unique équilibre de Nash pur, tous les joueurs empruntent le chemin A B D C. Leur coût commun est alors 2n 2n+1 + 2n 2n+1 = 4n 2n+1, qui est strictement supérieur à 3n+1 2n+1 dès que n > 1. Conclusion : l ajout d un arc, même de coût nul, a pour effet d augmenter le coût de tous les joueurs!

6 956 TSI. Volume 32 n o 9-10/ Exemple de Pigou Un exemple connu de la sous-optimalité de l équilibre de Nash a été remarqué par (Pigou, 1920) puis étudié par (Knight, 1924). 1 1 o d x 2n+1 Figure 3. Exemple de Pigou Considérons 2n joueurs dans un réseau composé de leur point de départ o, leur point d arrivée d et deux arcs parallèles entre les deux points. Les coûts des arcs sont écrits sur la figure 3. Il est facile de voir qu à l unique équilibre de Nash, tous les joueurs empruntent l arc du bas et que leur coût commun est 2n moyen vaut donc 2n+1 si les joueurs sont équitablement répartis sur les deux arcs. 2n 2n+1. Le coût social 3n+1. Néanmoins, le coût social moyen atteint son minimum 4n+2 L exemple de Pigou met en avant l éventuelle inefficacité de l équilibre de Nash au plan social dans les jeux de congestion, en l absence de coordination entre les joueurs. Enfin remarquons que les deux exemples précédents existent également en version non atomique. 2. Jeux de congestion 2.1. Modèle général de jeux de congestion Le réseau sous-jacent à un jeu est un graphe fini orienté G = (V, A, l), où V est l ensemble des sommets, A l ensemble des arcs orientés, et l = (l a ) a A le vecteur des coûts des arcs. La fonction de coût (unitaire) de l arc a, l a, est définie sur l intervalle ] η, + [ à valeurs dans R, où η > 0 1. Autrement dit, lorsque le poids total des joueurs sur l arc est x, le coût pour chaque unité de ce poids est l a (x). L ensemble des joueurs N peut être fini ou infini. Un joueur i est caractérisé par son poids m i et une paire de sommets (o i, d i ) V V, où o i et d i sont respectivement l origine et la destination de son stock : il doit envoyer une quantité m i de o i à d i. Dans cette synthèse, nous considérerons principalement le cas où les joueurs ont les mêmes fonctions de coût des arcs (l a ) a A. Le cas où les joueurs ont des coûts spécifiques sera discuté à part. 1. Les fonctions l a sont définies sur un voisinage de R + pour des raisons techniques : nous voulons que les l a soient régulières au voisinage de 0.

7 Jeux de congestion dans les réseaux 957 Selon la composition de l ensemble des joueurs, quatre versions seront traitées : les jeux atomiques avec stocks indivisibles où chaque joueur contrôle une quantité finie de stock qu il ne peut pas diviser et ne peut envoyer que par un seul chemin ; les jeux atomiques avec stocks divisibles où chaque joueur contrôle une quantité finie de stock qu il peut diviser arbitrairement et envoyer simultanément par plusieurs chemins ; les jeux non atomiques où chaque joueur contrôle une quantité infinitésimale de stock (donc son poids est zéro) ; les jeux composites où des joueurs atomiques divisibles et des joueurs non atomiques coexistent. Dans la suite, afin d alléger l exposé, tout jeu sera un jeu de congestion sauf mention contraire Jeux atomiques avec stocks indivisibles Cas général : définition et existence d un équilibre de Nash mixte S il y a un nombre fini de joueurs ayant chacun une quantité finie de stock à envoyer par un seul chemin, alors les joueurs et le jeu sont dits atomiques avec stocks indivisibles ou simplement atomiques indivisibles. Désignons un tel jeu par Γ id (G, N, m, S). Il est la donnée de : G = (V, A, l), un graphe sous-jacent muni d une fonction de coût unitaire l a pour chaque arc a A ; N = {1,..., N}, l ensemble fini des joueurs ; m = (m i ) i N, le vecteur de leurs poids ; (o i, d i ) i N où o i, d i V, le vecteur de leurs origines/destinations ; S i, l ensemble des stratégies du joueur i N, qui consiste en l ensemble des chemins élémentaires orientés reliant o i à d i et qui lui sont disponibles ; S = i N Si, l ensemble des profils de stratégies pures ; u i, la fonction de coût du joueur i, définie par u i (s) = m i a s i l a (φ a (s)), où φ a (s) désigne le poids total des joueurs utilisant l arc a, lorsque le profil de stratégies est s = (s i ) i N. REMARQUE 7. C est une extension des jeux à la Rosenthal : les joueurs sont pondérés, i.e. de poids différents dans ce cas plus général. Comme un jeu atomique indivisible est un jeu fini, il admet toujours des équilibres de Nash mixtes, qui correspondent à des choix aléatoires de chemins dans le graphe. En revanche, sauf si les joueurs ont le même poids (et le jeu revient alors à un jeu à la Rosenthal), l existence d un équilibre de Nash pur n est pas garantie.

8 958 TSI. Volume 32 n o 9-10/ Existence d un équilibre de Nash pur Nous allons montrer d abord que les jeux à la Rosenthal possèdent des équilibres de Nash purs. La démonstration de (Rosenthal, 1973) repose sur une fonction de potentiel dont la présentation nécessite la définition suivante : DÉFINITION 8 (Monderer, Shapley, 1996). Dans un jeu non coopératif Γ(N, S) où N = {1,..., N} est l ensemble fini des joueurs, S = i N Si l espace des profils de stratégies pures, et S i l ensemble (éventuellement infini) des stratégies pures du joueur i, la fonction de coût du joueur i est notée u i. S il existe une fonction P : S R telle que, pour tout joueur i N, pour toutes stratégies s i et t i dans S i et pour tout profil s i dans S i = j N \{i} Sj, u i (s i, s i ) u i (t i, s i ) = P (s i, s i ) P (t i, s i ), (3) alors Γ(N, S) est appelé jeu de potentiel (à un nombre fini de joueurs) et P fonction de potentiel. Les deux théorèmes suivants retracent la démonstration originelle de Rosenthal. THÉORÈME 9. Un jeu à la Rosenthal Γ(A, l, N, S) est un jeu de potentiel, et une fonction de potentiel est : P (s) = a A φ a(s) k=0 l a (k). (4) PREUVE. Soit s i, t i S i deux stratégies du joueur i et s i S i le profil de stratégies de ses adversaires. Notons B = (s i t i ) (A \ (s i t i )) le sous-ensemble de A qui contient les éléments communs à s i et à t i ainsi que les ressources non utilisées par s i et t i. Alors, φ b, le nombre d utilisateurs d une ressource b B, reste le même sous les deux profils de stratégies (s i, s i ) et (t i, s i ). Notons s i \ t i = {a A a s i, a / t i }. Alors, d une part, P (s i, s i ) P (t i, s i ) = a s i \t i = b t i \s i a s i \t i ( φa(s i,s i ) k=0 ( φb (t i,s i ) k=0 l a (φ a (s i, s i )) φ a(t i,s i ) l a (k) k=0 φ b (s i,s i ) l b (k) k=0 l a (k) ) l b (k) ) b t i \s i l b (φ b (t i, s i )) ;

9 Jeux de congestion dans les réseaux 959 d autre part, u i (s i, s i ) u i (t i, s i ) = a s i l a (φ a (s i, s i )) b t i l b (φ b (t i, s i )) = l a (φ a (s i, s i )) a s i \t i b t i \s i l b (φ b (t i, s i )). D où le résultat. THÉORÈME 10. Tout jeu à la Rosenthal admet un équilibre de Nash pur. PREUVE. Dans un jeu à la Rosenthal Γ(A, l, N, S), il existe, selon le théorème 9, une fonction de potentiel P vérifiant l équation (3). Comme l ensemble S est fini et les fonctions de coût des arcs (l a ) a A sont positives, la fonction P admet un point de minimum global s dans S. Si s n était pas un équilibre de Nash pur, alors un joueur i aurait pu diminuer son coût en choisissant une autre stratégie t i, i.e. u i (s i, s i ) > u i (t i, s i ). Or, d après (3), cela signifie que P (s i, s i ) > P (t i, s i ), ce qui contredit la minimalité globale de s. REMARQUE 11 (Points d optimum du potentiel et équilibres du jeu). La démonstration du théorème 10 implique que, dans un jeu à la Rosenthal, un point de minimum global de la fonction de potentiel constitue un équilibre de Nash pur. La réciproque n est pas vraie ; en particulier, il n y a pas unicité. Dans l exemple suivant, un des deux équilibres de Nash purs ne minimise pas la fonction de potentiel. EXEMPLE 12 (Rosenthal, 1973). Les fonctions de coût des arcs sont écrites sur la figure 4. Le joueur 1 va du point A au point B et le joueur 2 de A à C. Les deux sont de poids 1. C 0 1 D 0 0 B E x 2 x 2 A Figure 4. Représentation de l Exemple 12 Le jeu admet deux équilibres de Nash purs. L un est établi lorsque le joueur 1 prend le chemin A E B et le joueur 2, A D C. La fonction de potentiel y atteint son minimum 2. L autre équilibre pur est obtenu si le joueur 1 prend A D B et le joueur 2, A E C. La fonction de potentiel vaut 4 dans ce cas, elle n est donc pas minimisée.

10 960 TSI. Volume 32 n o 9-10/2013 Lorsqu un jeu atomique divisible est pondéré, l existence d une fonction de potentiel et par conséquent celle d un équilibre de Nash pur ne sont plus garanties. En voici un exemple. EXEMPLE 13 (Libman, Orda, 2001). Les fonctions de coût des arcs dans la figure 5 sont indiquées dans le tableau 1. Le poids du joueur 1 est 2, celui du joueur 2 est 1. Tous deux vont du point O au point D. Nous pouvons vérifier qu il n existe pas d équilibre de Nash pur. e 4 e 5 e 1 e 2 e 3 O A C D e 6 Figure 5. Représentation de l Exemple 13 Tableau 1. Fonctions de coût des arcs arc a l a (1) l a (2) l a (3) e e e e e e Cependant, il existe des cas particuliers où un jeu pondéré admet une fonction de potentiel : par exemple, si les fonctions de coût des arcs sont affines (Fotakis et al., 2005 ; Mavronicolas et al., 2007). REMARQUE 14 (Fonctions de coût spécifiques). Si les joueurs ont le même poids mais des fonctions de coût des arcs différentes, une fonction de potentiel n existe pas nécessairement non plus. Il y a une exception lorsque les fonctions de coût des différents joueurs pour un arc a sont identiques à une constante additive près, c est-àdire qu il existe une fonction l a ( ) telle que, pour tout joueur i, sa fonction de coût de l arc a est la( ) i = l a ( ) + θa i pour un certain θa i > 0 (Mavronicolas et al., 2007) Jeux atomiques avec stocks divisibles Définitions et notations Si les joueurs atomiques peuvent diviser leur stock arbitrairement en plusieurs parties puis les envoyer par des chemins différents, les joueurs et le jeu sont dits atomiques avec stocks divisibles ou simplement atomiques divisibles. Dans un tel jeu Γ d (G, N, m, S), pour le joueur i N de poids m i, d origine o i et de destination d i,

11 Jeux de congestion dans les réseaux 961 S i désigne toujours l ensemble des chemins élémentaires de o i en d i à sa disposition. Néanmoins, une stratégie θ i du joueur i est maintenant une répartition de son stock sur les chemins dans S i. Plus précisément, pour le chemin p dans S i, notons fp i la quantité qu il envoie par p. Le vecteur f i = (fp) i p S i est ainsi appelé configuration sur les chemins du joueur i. Une configuration sur les chemins induit une configuration sur les arcs. Pour l arc a, notons x i a = fp, i p: p S i, a p le poids total du stock envoyé par le joueur i sur l arc a. Pour distinguer, appelons le vecteur x i = (x i a) a A flux du joueur i, et réservons le terme configuration pour les chemins. Définissons la matrice d incidence D i R A Si par D i a,p = (δ a,p ) a A, p S i, où δ a,p = 1 si l arc a appartient au chemin p, et 0 sinon. Alors, le lien entre une configuration et le flux qu elle induit est donné par : x i = D i f i. (5) Contrairement à f i, x i ne caractérise pas la stratégie pure du joueur i. Différentes configurations peuvent induire le même flux, car la matrice D i n est pas inversible en général. L ensemble de configurations réalisables du joueur i consiste en son ensemble de stratégies. C est un sous-ensemble convexe compact de R Si, défini par F i = { f i = (f i p) p S i R Si f i p 0 p S i ; p S i f i p = m i }. (6) L ensemble de flux réalisables du joueur i est un convexe compact de R A, défini par Fl i = { x i R A f i F i telle que x i = D i f i }. (7) Le profil de stratégies des N joueurs est résumé par le vecteur des configurations des joueurs, f = (f i ) i N, aussi appelé configuration du système. Il induit le vecteur des flux des joueurs, x = (x i ) i N, aussi appelé flux du système. Définissons la matrice d incidence du système par D = diag {D 1,..., D N }. Alors, x = Df. (8) L ensemble de profils de stratégies ou, l ensemble de configurations réalisables du système, est un convexe compact de R i N Si, défini par F = F 1 F N.

12 962 TSI. Volume 32 n o 9-10/2013 L ensemble de flux réalisables du système est un convexe compact de R A N, défini par F l = Fl 1 Fl N. Définissons le vecteur des flux agrégés sur les arcs ou simplement le flux agrégé par ξ = (ξ a ) a A, où ξ a = i N x i a. (9) Il décrit le poids total sur chaque arc induit par le flux du système x. Etant donnés une configuration du système f, le flux du système x et le flux agrégé ξ qu elle induit, le vecteur des coûts des arcs est l(x) = (l a (ξ a )) a A. Cela détermine le coût d un chemin p i N Si : c p (f) = a p l a (ξ a ). Le vecteur des coûts des chemins du joueur i est défini par c i (f) = (c p (f)) p S i = τ D i l(x), (10) où la notation τ M désigne la transposée d une matrice M. Définissons le vecteur des coûts des chemins du système en fonction de la configuration du système f par c(f) = (c i (f)) i N, et le vecteur des coûts des arcs du système par l(x) = ( l(x),..., l(x) ). Alors, }{{} N fois c(f) = τ D l(x). (11) Nous pouvons enfin définir les fonctions de coût des joueurs. Etant donné un profil de stratégies f, définissons la fonction de coût du joueur i par u i (f) = f i, c i (f) = p S i f i p c p (f), (12) où, désigne le produit scalaire. Définissons également le coût du joueur i par le flux du système : v i (x) = x i, l(x) = a A x i a l a (ξ a ). (13) Nous vérifions sans difficulté que u i (f) = v i (Df). Ceci clôt la définition du jeu atomique divisible Γ d (G, N, m, S). REMARQUE 15. A première vue, i (le simplexe de dimension S i 1) qui représente l espace de stratégies mixtes d un joueur i dans un jeu atomique indivisible,

13 Jeux de congestion dans les réseaux 963 est identique à F i, l ensemble de stratégies pures du joueur i dans un jeu atomique divisible. Plus rigoureusement, F i = m i i, dans le sens où σ i f i = m i σ i est une bijection de i dans F i. Pourtant, l interprétation est très différente : dans le premier cas, σ i p est la probabilité pour i d envoyer une quantité m i sur le chemin p, donc il s agit d un choix aléatoire, tandis que dans le second cas, f i = m i σ i p est la quantité déposée par i sur le chemin p, donc il s agit d un choix déterministe. En particulier, les fonctions de coût pour le joueur i sont très spécifiques dans les deux cas et les deux jeux sont de nature différente. Voyons un exemple simple pour saisir la différence. EXEMPLE 16. Un seul joueur atomique de poids 1 doit envoyer son stock du point o au point d. Deux arcs parallèles entre o et d sont disponibles. Si le stock est indivisible, une stratégie mixte ( 1 2, 1 2 ) signifie qu avec probabilité 1 2 le joueur envoie l intégralité de son stock par l arc 1, et avec probabilité 1 2 par l arc 2. Si le stock est divisible, une stratégie pure ( 1 2, 1 2 ) représente le choix d envoyer une moitié du stock par l arc 1 et l autre moitié par l arc 2. Si les fonctions de coût unitaire des deux arcs sont tous z z, alors le coût espéré du joueur est 1 dans le cas indivisible mais 1 2 dans le cas divisible Equilibre de Nash : définition et caractérisation Rappelons la définition d un équilibre de Nash (pur) dans le cadre spécial des jeux atomiques avec stocks divisibles dans deux formulations : par chemins et par arcs. DÉFINITION 17. Dans un jeu atomique divisible Γ d (G, N, m, S), une configuration du système f F est un équilibre de Nash si pour tout joueur i, sa configuration f i F i est solution du programme suivant : où f i = (f j ) j N \{i} F i = j N \{i} F j. min f i F ui (f i, f i ), (14) i Dans le même jeu, un flux du système x F l est dit induit par un équilibre de Nash si pour tout joueur i, x i Fl i est solution du programme suivant : où x i = (x j ) j N \{i} F i l min v i (x i, x i ), (15) x i Fl i = j N \{i} F j l. Nous allons énoncer deux hypothèses sur les fonctions de coût des arcs qui seront récurrentes dans cet article. Notons M = i N mi le poids total de tous les joueurs. HYPOTHÈSE 18. Pour tout arc a A, la fonction de coût l a est continue et finie sur un voisinage U de l intervalle [0, M] 2, et positive sur U R +. Nous supposerons l hypothèse 18 dans le reste de l article. 2. Nous considérons l a dans un voisinage de l intervalle [0, M] encore pour la raison technique.

14 964 TSI. Volume 32 n o 9-10/2013 HYPOTHÈSE 19. Pour tout arc a A, la fonction de coût l a est de classe C 1 sur U. REMARQUE 20. Sous l hypothèse 19, nous pouvons déduire de la relation x = Df et de la définition c p (f) = a p l a(ξ a ) que c p (f) est une fonction de classe C 1 sur un voisinage de F pour tout chemin p. Nous pouvons maintenant définir les coûts marginaux des chemins et ceux des arcs pour chaque joueur. DÉFINITION 21. Dans un jeu atomique divisible Γ d (G, N, m, S), sous l hypothèse 19, le coût marginal du chemin p S i pour le joueur i est une fonction de la configuration du système f définie par ĉ i p(f) = c p (f) + q S i f i q c q (f) fp i. Le vecteur des coûts marginaux des chemins pour le joueur i est ĉ i (f) = (ĉ i p(f)) p S i et le vecteur des coûts marginaux des chemins du système, ĉ(f) = (ĉ i (f)) i N. Le coût marginal de l arc a A pour le joueur i est une fonction du flux du système x définie par ˆli a (x) = l a (ξ a ) + x i al a(ξ a ), où l a désigne la dérivée de l a, i.e. l a(z) = d la(z) d z pour z U. Le vecteur des coûts marginaux des arcs pour le joueur i est ˆl i (x) = ( ˆl a(x)) i a A et le vecteur des coûts marginaux des arcs du système, ˆl(x) = ( ˆl i (x)) i N. REMARQUE 22. Il n est pas difficile de vérifier que ĉ i (f) = i u i (f), ˆli (x) = i v i (x), (16) où i u i (f) désigne le gradient de u i (f i, f i ) par rapport à f i et i v i (x), le gradient de v i (x i, x i ) par rapport à x i. Nous allons ensuite formuler les conditions d équilibre à l aide d inégalités variationnelles. Pour ce faire, nous rappelons d abord un résultat classique qui caractérise les solutions d un programme (convexe) par des inégalités variationnelles. PROPOSITION 23 (Kinderlehrer, Stampacchia, 2000). Soit X un ensemble de R n qui est convexe et fermé, et h une fonction réelle de classe C 1 définie sur X. 1. Tout point minimum local x de h sur X vérifie l inégalité variationnelle suivante : h(x ), x x 0, x X. (17) 2. Si h est convexe sur X, alors tout point x X qui vérifie (17) est un point minimum global de h sur X. Le théorème suivant caractérise les équilibres de Nash dans un jeu atomique divisible par une famille d inégalités variationnelles.

15 Jeux de congestion dans les réseaux 965 THÉORÈME 24. Soit Γ d (G, N, m, S) un jeu atomique divisible où l hypothèse 19 est vérifiée. 1. Tout équilibre de Nash f F vérifie : ĉ(f ), f f 0, f F. (18) Réciproquement, si pour tout joueur i et pour tout f i F i fixé, u i (f i, f i ) est convexe par rapport à f i sur F i, alors toute f F vérifiant (18) est un équilibre de Nash. 2. Tout flux du système x F l induit par un équilibre de Nash vérifie : ˆl(x ), x x 0, x F l. (19) Réciproquement, si pour tout joueur i et pour tout x i F i l fixé, v i (x i, x i ) est convexe par rapport à x i sur Fl i, alors tout x vérifiant (19) est induit par un équilibre de Nash. PREUVE. Nous allons seulement démontrer la partie 1. La partie 2 se démontre d une manière similaire. D une part, si f i est solution de (14), alors d après la première partie de la proposition 23, ĉ i (f i, f i ), f i f i 0, f i F i. (20) D autre part, si u i (f i, f i ) est convexe par rapport à f i, alors d après la deuxième partie de la proposition 23, toute f i F i vérifiant (18) est solution de (14). Il ne reste qu à montrer que la famille d inégalités (20) est équivalente à l inégalité (18). D une part, si (20) est vraie, alors (18) en découle immédiatement ; d autre part, si (18) est vraie, prenons une configuration particulière f F telle que f j = f j pour tout j i, et nous obtenons (20). REMARQUE 25. Des inégalités variationnelles ont été employées dans (Haurie, Marcotte, 1985) pour caractériser les équilibres de Nash dans les jeux atomiques divisibles Equilibre de Nash : existence et unicité La formulation de l équilibre de Nash à l aide d inégalités variationnelles est importante pour étudier leur existence et unicité. Nous rappelons d abord la définition d une application monotone, puis nous donnerons des résultats classiques sur l existence et l unicité des solutions dans un problème d inégalités variationnelles. DÉFINITION 26. Soit X un sous-ensemble de R n et H une application définie sur X à valeurs dans R n.

16 966 TSI. Volume 32 n o 9-10/2013 L application H est (faiblement) monotone sur X si H(x) H(y), x y 0, (x, y) X X; L application H est strictement monotone sur X si H(x) H(y), x y > 0, (x, y) X X t.q. x y. THÉORÈME 27. Soit X un sous-ensemble non vide, compact et convexe de R n et H une application continue définie sur X à valeurs dans R n. Alors, il existe x X qui vérifie l inégalité variationnelle suivante : H(x ), x x 0, x X. (21) Si H est strictement monotone sur X, alors la solution de (21) est unique. PREUVE. Pour l existence, voir le théorème 3.1 dans le chapitre 1 de (Kinderlehrer, Stampacchia, 2000). Pour l unicité sous l hypothèse de la stricte monotonie de H sur X, supposons que x et y dans X soient deux solutions de (21), alors H(x), y x 0, H(y), x y 0 H(x) H(y), x y 0. D après la définition 26, x = y. Le théorème suivant résulte immédiatement du théorème 27. THÉORÈME 28. Dans un jeu atomique divisible Γ d (G, N, m, S), sous l hypothèse 19, si pour tout joueur i et pour tout profil f i F i (resp. x i F i l ), u i (f i, f i ) (resp. v i (x i, x i )) est convexe par rapport à f i (resp. x i ) sur F i (resp. ), alors le jeu admet un équilibre de Nash. F i l Si, de plus, ˆl( ) est strictement monotone sur F l, alors le flux induit par les équilibres de Nash est unique. PREUVE. Sous l hypothèse 19, le problème d inégalités variationnelles (18) admet une solution f dans F. D après le théorème 24, si pour tout i et tout f i F i, u i (f i, f i ) est convexe par rapport à f i, alors f constitue un équilibre de Nash du jeu. Si ˆl( ) est strictement monotone, alors (18) n admet qu une seule solution. Or, d après le théorème 24, tout flux induit par un équilibre de Nash du jeu est solution de (18). Par conséquent, le flux induit par les équilibres de Nash est unique. Naturellement, nous nous demandons quand u i (f i, f i ) (resp. v i (x i, x i )) est convexe par rapport à f i (resp. x i ). En voici deux exemples. LEMME 29. Dans Γ d (G, N, m, S), sous l hypothèse 19, si pour tout arc a A, la fonction de coût l a est (faiblement) croissante et convexe sur U, alors v i (x i, x i ) est convexe par rapport à x i sur un voisinage de F i pour tout x i F i l fixé.

17 Jeux de congestion dans les réseaux 967 PREUVE. Rappelons que i v i (x i, x i ) désigne le gradient de v i (x i, x i ) par rapport à x i, i.e. i v i (x) = (l a (ξ a ) + x i al a(ξ a )) a A. Afin de montrer que v i (x i, x i ) est convexe par rapport à x i, il suffit de montrer v i (y i, x i ) v i (x i, x i )+ i v i (x i, x i ), y i x i, (x i, y i ) F i l F i l. (22) Pour tout arc a, la fonction l a est convexe et croissante, ce qui implique l a (y i a + x i a ) l a (x i a + x i a ) + (y i a x i a) l a(x i a + x i a ) y i a l a (y i a + x i a ) y i a l a (ξ a ) + y i a (y i a x i a) l a(ξ a ) y i a l a (ξ a ) + x i a (y i a x i a) l a(ξ a ) a A = x i a l a (ξ a ) + (y i a x i a) [ l a (ξ a ) + x i a l a(ξ a ) ]. ya i l a (ya i + x i a ) x i a l a (ξ a ) + (ya i x i a) [ l a (ξ a ) + x i a l a(ξ a ) ], a A a A ce qui est simplement une réécriture de (22). LEMME 30. Dans Γ d (G, N, m, S), si pour tout arc a A, la fonction de coût l a est de classe C 2 sur U, et 2 l a(z) + w l a(z) 0, z U R +, w [0, z], où l a désigne la dérivée seconde de l a, i.e. l a = d2 l a(z) dz pour z U, alors v i (x i, x i ) 2 est convexe par rapport à x i pour tout x i F i l fixé. PREUVE. Ces conditions impliquent que la matrice hessienne de v i (x i, x i ), en tant que fonction de x i, est une matrice diagonale dont l élément correspondant à l arc a est 2 l a(ξ a ) + x i a l (ξ a ) 0. Donc, v i (, x i ) est convexe sur Fl i. Le théorème 28 et les lemmes 29 et 30 entraînent immédiatement les théorèmes suivants. THÉORÈME 31. Dans Γ d (G, N, m, S), sous l hypothèse 19, si la fonction de coût l a est (faiblement) croissante et convexe sur U pour tout arc a A, alors le jeu admet un équilibre de Nash. THÉORÈME 32. Dans Γ d (G, N, m, S), si les conditions dans le lemme 30 sont vérifiées, le jeu admet un équilibre de Nash. Ensuite, nous nous interrogeons sur les conditions sous lesquelles l application ˆl est strictement monotone. En voici un cas particulier. THÉORÈME 33. Dans Γ d (G, N, m, S), si pour tout a A, l a (z) = b a z +c a pour z U avec b a 0 et c a 0, et s il existe â A tel que bâ > 0, alors le flux du système induit par les équilibres de Nash est unique.

18 968 TSI. Volume 32 n o 9-10/2013 PREUVE. Pour tout x F l et tout a A, ˆl i a(x) = b a (ξ a + x i a) + c a. Soit x et x deux flux distincts dans F l. Alors, ˆl(x) ˆl(x ), x x = [ b a (ξ a + x i a) b a (ξ a + x i a) ] (x i a x i a) a A i N = [ b a (ξa ξ a) (x i a x i a) + (x i a x i a) 2] a A i N i N = [ b a (ξa ξ a) 2 + (x i a x i a) 2] a A i N > 0. La dernière inégalité est due à l hypothèse qui assure l existence de â A tel que bâ > 0. Le résultat découle du théorème 28. REMARQUE 34. Si pour tout a A, la fonction de coût l a est affine comme dans l hypothèse du théorème 33, le jeu Γ d (G, N, m, S) est en fait un jeu de potentiel au sens de Monderer et Shapley (cf. définition 8). Une fonction de potentiel est P (x) = 1 ( b a ξ 2 2 a + a A i N x i2 a ) + c a ξ a, x F l. En effet, la fonction de coût du joueur i s écrit : v i (x) = x i a(b a ξ a + c a ) = b a x i 2 a + ( b a x i a + c a )x i a, x F l, a A a A a A où x i a = j N \{i} xi a. a A Nous vérifions que pour tout x i et y i dans F i l et tout x i dans F i l, v i (x i, x i ) v i (y i, x i ) = P (x i, x i ) P (y i, x i ) = b a (x i 2 a y i 2 a ) + (b a x i a + c a )(x i a ya). i a A REMARQUE 35. Dans le cas général où les fonctions de coût des arcs ne sont pas affines ou si les joueurs ont des coûts spécifiques, l unicité des équilibres de Nash n est plus garantie. Néanmoins, (Orda et al., 1993) ont démontré que si le réseau est constitué de deux sommets reliés par des arcs parallèles ou si les joueurs atomiques ont des stocks interchangeables, alors l équilibre est unique sous des conditions beaucoup moins restrictives sur la convexité des fonctions de coût des arcs. (Richman, Shimkin, 2007) et (Bhaskar et al., 2009) ont respectivement étendu ce résultat aux réseaux parallèles ou presque parallèles (notion introduite dans (Milchtaich, 2005)), et aux réseaux presque parallèles généralisés. (Altman et al., 2002) ont établi l unicité de l équilibre de Nash pour une classe particulière de fonctions de coût des arcs. a A

19 Jeux de congestion dans les réseaux Jeux non atomiques Modèle Nous avons évoqué à la fin de la section 1.2 le fait que si le nombre de joueurs est tel que l influence d un seul joueur devient négligeable, nous pouvons les décrire par un continuum, que nous considérerons comme une population. Nous allons maintenant préciser cette idée. Un jeu non atomique Γ n (G, N, m, S) est la donnée de : G = (V, A, l), un graphe sous-jacent muni d une fonction de coût l a pour chaque arc a A ; N = {1, 2,..., N}, l ensemble fini des populations de joueurs non atomiques ; m = (m i ) i N, le vecteur des poids des populations, c est-à-dire que la population i, décrite par l intervalle réel I i = [0, m i ] muni de la mesure de Lebesgue λ, est de poids m i = λ(i i ) ; (o i, d i ) i N, le vecteur des origines/destinations des populations, i.e. les joueurs non atomiques dans la population i ont tous pour origine/destination (o i, d i ) ; S = i N Si, où S i 2 A est l ensemble de stratégies des joueurs dans la population i, qui consiste en l ensemble des chemins élémentaires de o i à d i qui leur sont disponibles. REMARQUE 36. Chaque joueur dans la population i étant représenté par un point dans I i, les joueurs de la même population sont identiques et anonymes. Nous allons définir les fonctions de coût pour les joueurs. Remarquons d abord qu une stratégie (pure) pour un joueur non-atomique dans la population i est un chemin dans S i. Un profil de stratégies pures de la population i peut être décrit par une fonction mesurable θ i : I i S i telle que le joueur t I i prenne le chemin θ i (t). La fonction θ i induit une configuration f i = (fp) i p S i de la population i, où fp i = λ(θ i (p)) est le poids total des joueurs dans la population i sur le chemin p. Etant donné que les joueurs de la population i sont identiques et anonymes, la configuration f i caractérise le profil de stratégies θ i au sens où tous les profils induisant la même configuration sont équivalents. Désormais, nous appellerons par profil de stratégies de la population i sa configuration. REMARQUE 37. Nous remarquons immédiatement la ressemblance entre une configuration d une population dans un jeu non atomique et celle d un joueur dans un jeu atomique divisible. Certes, une population et un joueur atomique divisible ont des objectifs stratégiquement différents. Or, les deux ont le même type de comportement, à savoir de répartir le stock sous contrôle sur les chemins disponibles. C est la raison pour laquelle nous adoptons les mêmes notations dans les deux cas. Nous définissons également le flux x i = D i f i de la population i. Son ensemble de configurations réalisables F i, celui de flux réalisables Fl i, la configuration du système f, le flux du système x, l ensemble de configurations réalisables du système F, celui de flux réalisables du système F l et le flux agrégé ξ sont également définis comme

20 970 TSI. Volume 32 n o 9-10/2013 leur analogues dans le jeu atomique divisible Γ d (G, N, m, S). Par ailleurs, le flux x i de la population i ne caractérise pas son profil de stratégies f i. Enfin, le coût du chemin p est défini par c p (f) = a p l a(ξ a ). Nous définissons également le vecteur des coûts des chemins pour la population i par c i (f), le vecteur des coûts des chemins du système c(f), le vecteur des coûts des arcs l(x) et le vecteur des coûts des arcs du système l(x) comme leur analogues dans Γ d (G, N, m, S) Equilibre de Wardrop : définition et caractérisation Dans un état d équilibre d un jeu non atomique, aucun joueur n a intérêt à changer unilatéralement de chemin. En d autres termes, le chemin p choisi par un joueur a un coût inférieur ou égal au coût d un autre chemin q qu il aurait choisi, avec le coût de p calculé selon la configuration actuelle, notée f, et le coût de q calculé selon la configuration après déviation, notée g. Cependant, le fait qu un joueur de mesure nulle change de chemin n a aucun impact sur la configuration du système. Autrement dit, f = g. Par conséquent, la condition d équilibre de Nash s écrit : c p (f) c q (g) = c q (f). Nous en concluons qu un chemin utilisé à l équilibre a un coût inférieur ou égal au coût d un autre chemin entre la même paire d origine/destination. Cette conclusion a été d abord formulée par (Wardrop, 1952), qui a donné son nom à cet équilibre 3. DÉFINITION 38. Dans un jeu non atomique Γ n (G, N, m, S), une configuration du système f est un équilibre de Wardrop si, pour toute population i et tout chemin p S i, f i p > 0 c p (f) c q (f) q S i. (23) Comme pour un équilibre de Nash dans un jeu atomique divisible, un équilibre de Wardrop peut être caractérisé comme solution d un problème d inégalité variationnelle. THÉORÈME 39. Dans un jeu non atomique Γ n (G, N, m, S), 1. une configuration du système f F constitue un équilibre de Wardrop si et seulement si elle vérifie : c(f ), f f 0, f F ; (24) 2. un flux du système x F l est induit par un équilibre de Wardrop si et seulement s il vérifie : l(x ), x x 0, x F l. (25) PREUVE. 1. Soit f un équilibre de Wardrop. Fixons les coûts des chemins par µ p c p (f ). Selon (23), seuls les chemins de moindre coût sont utilisés en configuration f, alors que ce n est pas toujours le cas pour les autres configurations dans F. 3. L équivalence entre un équilibre de Wardrop et un équilibre de Nash avec un continuum de joueurs non atomiques a été remarquée plus tard dans (Charnes, Cooper, 1958).

21 Jeux de congestion dans les réseaux 971 En conséquence, le coût total des joueurs µ, f est minimisé lorsque f = f. D où (24). Réciproquement, soit f F qui vérifie (24). Fixons les coûts des chemins par µ p c p (f ). Supposons que (23) ne soit pas vérifié, i.e. il existe i N et p, q S i tels que fp i > 0 et µ p > µ q. Soit f F une configuration définie par: fr j = fr j si j est différent de i ou si r est différent de p et q ; fp i = 0 ; fq i = fp i + fq i. Alors, par hypothèse, Cela contredit (24). µ, f f = f i p (µ q µ p ) < Soit x = Df, flux du système induit par un équilibre de Wardrop f. D après le résultat précédent, f vérifie (24). Prenons x F l quelconque. Il existe alors f F tel que x = Df. D après (24) et (11), c(f ), f f 0 τ D l(x ), f f 0 l(x ), Df Df 0 l(x ), x x 0. Réciproquement, supposons que x F l vérifie (25). D abord, il existe f F (non nécessairement unique) tel que x = Df. Soit f F quelconque et x = Df. Selon (25) et (11), l(x ), x x 0 l(x ), Df Df 0 τ D l(x ), f f 0 c(f ), f f 0. Nous déduisons alors du résultat précédent que f est un équilibre de Wardrop. REMARQUE 40. Bien qu un équilibre de Nash dans un jeu atomique divisible et un équilibre de Wardrop dans un jeu non atomique se représentent tous deux sous forme d inégalités variationnelles, les deux formulations ont des origines différentes. Rappelons que les inégalités (18) et (19) pour l équilibre de Nash sont obtenues comme conditions du premier ordre dans des programmes non linéaires, tandis que (24) et (25) pour l équilibre de Wardrop ont leur source dans sa définition même, comme l a montré la démonstration du théorème précédent. REMARQUE 41. (Smith, 1979) et (Dafermos, 1980) ont caractérisé l équilibre de Wardrop par un problème d inégalités variationnelles et (Aashtiani, Magnanti, 1981) par un problème de complémentarité non linéaire. Outre la caractérisation sous forme d inégalités variationnelles, l équilibre de Wardrop peut encore être caractérisé comme solution d un programme convexe. Il s agit de la minimisation d une fonction de potentiel. Cette formulation est apparue pour la première fois dans (Beckmann et al., 1956).

22 972 TSI. Volume 32 n o 9-10/2013 DÉFINITION 42. Dans un jeu non atomique Γ n (G, N, m, S), une fonction de potentiel P : F l R est définie par : P (x) = a A ξa 0 l a (z) dz. (26) THÉORÈME 43. Dans un jeu non atomique Γ n (G, N, m, S), soit P la fonction de potentiel définie par (26). 1. Tout point minimum local de P sur F l constitue un flux du système induit par un équilibre de Wardrop. 2. Si la fonction de coût l a est (faiblement) croissante ou décroissante sur U pour tout arc a A, alors tout flux du système induit par un équilibre de Wardrop est un point minimum global de P sur F l. PREUVE. Selon la définition de la fonction de potentiel P, son gradient par rapport à x est le vecteur des coûts des arcs du système l(x). Si pour tout arc a A, la fonction de coût l a est (faiblement) croissante ou décroissante sur U, alors l est une application monotone sur F l. En fait, étant donnés x et x dans F l, l(x) l(x ), x x = a A i N (l(ξ a ) l(ξ a))(x i a x i a) = a A(l(ξ a ) l(ξ a))(ξ a ξ a) 0. Par conséquent, la fonction de potentiel P est convexe sur F l. La démonstration s achève par une application des théorèmes 23 et 39. REMARQUE 44. Si la caractérisation de l équilibre de Wardrop sous forme d inégalités variationnelles s étend facilement au cas dit «asymétrique» où les populations ont des coûts spécifiques ou le coût d un arc dépend du flux du système entier (Smith, 1981 ; Dafermos, 1982), ce n est pas le cas pour la caractérisation comme point de minimum d une fonction de potentiel. En particulier, une telle fonction dont le gradient est l n existe plus nécessairement. Nous rappelons que la fonction de potentiel dans un jeu à la Rosenthal prend la forme (4), qui est une version discrète de (26). En fait, pour qu il existe une fonction de potentiel dans un jeu atomique indivisible, il est nécessaire que les joueurs aient le même poids et qu ils aient les mêmes fonctions de coût des arcs. L analogue de la première condition est automatiquement vérifié dans un jeu non atomique car les stocks sont continus. L analogue de la seconde condition est simplement que les populations ont les mêmes fonctions de coût des arcs. Comme dans les jeux à la Rosenthal, si les fonctions de coût des différentes populations pour un même arc sont identiques à une constante additive près, alors une fonction de potentiel existe (cf. remarque 14).

23 Jeux de congestion dans les réseaux 973 Enfin, soulignons que la fonction de potentiel dans ce jeu non atomique (donc avec un continuum de joueurs) ne vérifie pas la propriété (3) comme dans un jeu de potentiel à N joueurs au sens de Monderer et Shapley Equilibre de Wardrop : existence et unicité Deux approches peuvent être utilisées afin d étudier l existence et l unicité des équilibres de Wardrop : inégalités variationnelles et fonction de potentiel. Pour la deuxième approche, nous aurons recours au lemme suivant. LEMME 45 (Mangasarian, 1988). Soit X une partie convexe de R n, et Ω un voisinage de X. Soit h une fonction convexe et de classe C 2 définie sur Ω à valeurs dans R. Si X est l ensemble des solutions du programme minx X h(x), alors le gradient h : Ω R n est constant sur X. Nous sommes prêts pour étudier l existence et l unicité des équilibres de Wardrop. THÉORÈME 46. Tout jeu non atomique Γ n (G, N, m, S) admet un équilibre de Wardrop. PREUVE. Approche inégalités variationnelles : Puisque F l est non vide, compact et convexe, et que l application l est continue sur F l, le théorème 27 entraîne que le système d inégalités variationnelles (25) admet une solution, qui est un flux induit par un équilibre de Wardrop par le théorème 39. Approche fonction de potentiel : Le théorème 43 affirme que tout point de minimum de la fonction de potentiel P (définie par (26)) sur F l est induit par un équilibre de Wardrop. Or, P est continue sur le convexe compact F l, donc un point de minimum existe. THÉORÈME 47. Dans un jeu non atomique Γ n (G, N, m, S) où l hypothèse 19 est vérifiée, si le vecteur des coûts des arcs du système l est strictement monotone sur F l, alors le flux induit par les équilibres de Wardrop est unique ; si la fonction de coût l a est (faiblement) croissante ou décroissante sur U pour tout arc a A, alors pour toute population i, le coût commun de ses joueurs non atomiques induit par tous les équilibres de Wardrop est unique ; de plus, s il existe un arc b A tel que la fonction l b soit strictement croissante ou décroissante sur U, alors le flux du système induit par les équilibres de Wardrop est unique. PREUVE. 1. Le résultat résulte immédiatement du théorème Remarquons que les points de minimum de la fonction de potentiel P sur F l et les flux induits par les équilibres de Wardrop coïncident dans ce cas, d après le théorème 43. D une part, le fait que la fonction l a est (faiblement) croissante ou décroissante sur U pour tout a A implique que la fonction de potentiel P est convexe sur F l (cf. démonstration du théorème 43). D autre part, l hypothèse 19 implique que P est