Exercices de géométrie

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1 OMNE : Géométrie UTEUR : mbroise MRGOT NVEU : ébutants STGE : Grésillon 2011 ONTENU : Exercices Exercices de géométrie Exercice 1 Soient Γ et Γ deux cercles de même rayon, sécants en et. Une tangente commune aux deux cercles les touche en et. Montrer que () est orthogonale à (). Exercice 2 (Théorème du pôle Sud) Soit un triangle et Γ son cercle circonscrit. On note le centre de son cercle inscrit, et le centre du cercle exinscrit à. La bissectrice issue de coupe Γ en. Montrer que = = =. Exercice 3 (pplication) Soit un quadrilatère inscriptible. Montrer que les centres des cercles inscrits à,, et forment un rectangle. Exercice 4 (roite de Simson) Soit un triangle et Γ son cercle circonscrit. Soit un point du plan, et soient, et les projetés orthogonaux respectifs de sur (), () et (). Montrer que, et sont alignés si et seulement si Γ. Exercice 5 Soit un triangle, Γ son cercle inscrit et Γ son cercle exinscrit à. Γ touche () en, Γ touche () en J. Soit le point d intersection de Γ et (J) le plus proche de. Montrer que Ĵ est droit. Exercice 6 Soit un quadrilatère non croisé. Soient et les points du plan tels que et soient des triangles équilatéraux sortants par rapport à. Similairement, soient J et L les points du plan tels que J et L soient des triangles équilatéraux rentrants par rapport à. Montrer que JL est un parallélogramme. Exercice 7 (Théorème de Napoléon) Soit un triangle. On construit pour chaque côté du triangle un triangle équilatéral extérieur à ayant ce côté 1

2 comme base. Soient, et les centres respectifs des triangles équilatéraux de bases [], [] et []. Montrer que est équilatéral. Exercice 8 (Triangle orthique) Soit un triangle acutangle et H son orthocentre. Soient, et les pieds des hauteurs issues respectiement de, et. Montrer que H est le centre du cercle inscrit à. - orrection - Γ Γ O O FGURE 1 Exercices 1 et 2 Solution de l exercice 1 l suffit de montrer que + = 90. après le théorème de l angle inscrit, cela revient à prouver O + O = 180, avec O et O les centres respectifs de Γ et Γ. Or la symétrie centale de centre M le milieu de [] envoie sur, O sur O et sur le point diamétralement opposé à, donc O = O, ce qui donne le résultat demandé. Solution de l exercice 2 après le théorème de l angle inscrit, (O) est la bissectrice de O, donc la médiatrice de [], donc =. Montrons que est isocèle en. On a Î = β/2 et = = α/2, donc = α/2 + β/2. e plus, = 180 = Î + Î = α/2 + β/2. onc =. Enfin, comme les bissectrices intérieures et extérieures sont orthogonales, on peut obtenir comme l intersetion de () et de la perpendiculaire à () passant par. Le "théorème de l équerre" montre alors que est sur le cercle de centre et contenant. onc = = =. 2

3 J L FGURE 2 Exercices 3 et 4 Solution de l exercice 3 Soient,, et les centres des cercles inscrit respectivement à,, et. ppelons et J les milieux respectifs des arcs et. L exercice précédent montre que = = =, et comme (J) est la bissectrice de  (th. de l angle inscrit), c est la bissectrice de et donc la médiatrice de [ ]. On montre similairement que c est aussi la médiatrice de [ ], donc (J) est un axe de symétrie de qui échange et ainsi que et. est donc un trapèze isocèle. Si on appelle et L les milieux respectifs des arcs et, on montre de la même manière que (L) est un autre axe de symétrie de, qui échange et ainsi que et. ela prouve que est un rectangle. Solution de l exercice 4 car = 180.,, alignés = = = inscriptible, Solution de l exercice 5 L homotétie de centre qui envoie Γ sur Γ envoie J (le point d intersection de (J) et Γ le plus proche de ) sur, donc la tangente à Γ en est l image de () par cette homotétie et est donc parallèle à (). onc [] est un diamètre de Γ, donc () (). 3

4 J L J FGURE 3 Exercices 5 et 6 Solution de l exercice 6 La rotation de centre et d angle π/3 envoie sur et sur J. La rotation de centre et d angle π/3 envoie sur L et sur. onc J et L sont tous deux l image par rotation d angle π/3 de, donc sont égaux. onc JL est un parallélogramme. H FGURE 4 Exercices 7 et 8 Solution de l exercice 7 Supposons direct. Soient r 1, r 2 et r 3 les rotations de centres respectifs, et, et d angles 120. On a r 1 r 2 r 3 = d. En effet, cette transformation est la composée de trois rotations d angle 120, donc est une translation. Mais comme r 1 r 2 r 3 () = r 1 r 2 () = r 1 () =, est un point fixe de cette translation, donc la composée ci-dessus est l identité. Soit maintenant tel que soit équilatéral direct, et notons a, b et c les symétries axiales d axes respectifs ( ), ( ) et ( ). On a r 3 = a b et r 2 = c a, donc r 2 r 3 = c a a b = c b = r 1, où r 1 est défini par r 1 = c b et est donc la rotation de centre et d angle 120. Or on a r 1 r 1 = d, donc r 1 et r 1 sont l inverse l une de l autre. Entre autres, ce sont des rotations de même 4

5 centre, donc = et donc est équilatéral. Solution de l exercice 8 omme H est inscriptible, on a H = H = = 90 α. e même, comme H est inscriptible, on a H = H = 90 α. onc ( H) est la bissectrice de. Par symétrie (ou par la même technique), on montre que ( H) est la bissectrice de et que ( H) est la bissectrice de. onc H est le centre du cercle inscrit au triangle, dit triangle orthique du triangle. 5