CONTRÔLE N 2. Exercice 2 : (sur la copie double)

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1 NOM : Prénom : Classe : 2nde CONTRÔLE N 2 Consignes : - l utilisation de la calculatrice est autorisée - sauf mention contraire, toutes les réponses devront être soigneusement justifiées. Le tableau suivant sera complété par le professeur lors de la correction. Capacités attendues Acquis En cours d acquisition Non acquis Repérer un point donné du plan Placer un point dans un repère connaissant ses coordonnées. Calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées. Calculer les coordonnées du milieu d un segment. Utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères, des cercles pour résoudre des problèmes. Utiliser les propriétés des symétries axiale ou centrale pour résoudre des problèmes. Exercice 1 : (sur la copie double) Sur la figure ci-contre, le plan est rapporté au repère (O,I,J). Ecrire les coordonnées des points A, B et C. / 1,5 points Exercice 2 : (sur la copie double) / 5 points 1. Construire un repère orthonormé (O,I,J) en prenant un carreau pour une unité. 2. Dans ce repère, placer les points suivants : A(2;3), B(7;1), et C(6;13). 3. Calculer les distances AB, AC et BC. 4. Le triangle ABC est-il rectangle? Justifiez la réponse. Tournez la page

2 Exercice 3 : (sur la copie double) / 3 points Dans un repère orthonormé (O,I,J), on considère les points A(1;3), B(7;2), C(4 ;-2) et D(-2 ;-1). 1. Calculer les coordonnées des milieux des segments [AC] et [BD]. 2. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifiez la réponse. Exercice 4 : (sur cette feuille) Compléter avec le vocabulaire de la leçon : 1. Dans le repère (O,I,J), O s appelle / 3,5 points 2. Dans le repère (O,I,J), la droite (OI) est 3. Dans le repère (O,I,J), la droite (OJ) est 4. Si OIJ est un triangle rectangle en O, alors le repère (O,I,J) est 5. Si OIJ est un triangle isocèle en O, alors le repère (O,I,J) est 6. Si le point A a pour coordonnées (5;18), alors 18 est son et 5 est son Exercice 5 : (sur la copie double) Le plan est muni d un repère orthonormé (O,I,J). On considère les points A(-2 ;-1), B(4;3) et F(3;4). 1. C est le cercle de diamètre [AB]. a. Calculer les coordonnées du centre de ce cercle. b. Calculer le rayon de ce cercle. 2. Démontrer que le point F appartient au cercle C. 3. Sans calcul, quelle est la nature du triangle ABF? Justifiez la réponse. / 5 points Exercice 6 : (sur la copie double) / 2 points ABC est un triangle isocèle en A. On note M le milieu de [BC]. D est le symétrique de A par rapport à M. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC? Justifiez la réponse.

3 CONTROLE N 2 Correction Exercice 1 : A(-3;3) B(1 ;-2) C(2;3) Exercice 2 : y C A 2 1 B x AB= (7 2) 2 +(1 3) 2 AB= 29 AC= (6 2) 2 +(13 3) 2 AC=2 29

4 BC= (6 7) 2 +(13 1) 2 BC= Dans le triangle ABC, [BC] est le plus grand côté. D une part, BC 2 =( 145) 2 BC 2 =145 D autre part, AB 2 +BC 2 =( 29) 2 +(2 29) 2 AB 2 +BC 2 = AB 2 +BC 2 =145 On constate que BC 2 =AB 2 +AC 2 donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. Exercice 3 : 1. Coordonnées du milieu de [AC] : Abscisse : =2,5 Ordonnées : 2+3 = =0,5 Les coordonnées du milieu de [AC] sont (2,5 ; 0,5). Coordonnées du milieu de [BD] : Abscisse : =2,5 Ordonnée : = 1 2 =0,5 Les coordonnées du milieu de [BD] sont (2,5 ; 0,5). On constate donc que le milieu de [AC] est aussi le milieu de [BD]. 2. On sait que les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu. Or si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ABCD est un parallélogramme. Exercice 4 : 1. Dans le repère (O,I,J), O s appelle l origine du repère. 2. Dans le repère (O,I,J), la droite (OI) est l axe des abscisses. 3. Dans le repère (O,I,J), la droite (OJ) est l axe des ordonnées. 4. Si OIJ est un triangle rectangle en O, alors le repère (O,I,J) est orthogonal. 5. Si OIJ est un triangle isocèle en O, alors le repère (O,I,J) est normé. 6. Si le point A a pour coordonnées (5;18), alors 18 est son ordonnée et 5 est son abscisse. Exercice 5 : 1. a. Le centre du cercle est le milieu de [AB]. On le note M. Abscisse de M : 2+4 =1 2 Ordonnée de M : =1 Donc les coordonnées du centre du cercle sont (1;1). b. AB= (4 ( 2)) 2 +(3 ( 1)) 2 AB=2 13 [AB] étant un diamètre du cercle, le rayon du cercle est égal à la moitié de AB = 13

5 Donc le rayon du cercle est MF= (3 1) 2 +(4 1) 2 MF= 13 La distance entre M et F étant égale au rayon du cercle, on en déduit que le point F appartient au cercle de diamètre [AB]. 3. On sait que le triangle ABF est inscrit dans le cercle de diamètre [AB]. Or si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et admet ce diamètre comme hypoténuse. Donc le triangle ABF est rectangle en F. Exercice 6 : On sait que les diagonales de ABDC se coupent en leur milieu. Or si les diagonales d un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme. Donc ABDC est un parallélogramme. On sait que dans le parallélogramme ABDC, AB = AC. Or si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur, alors c est un losange. Donc ABDC est un losange. Remarque : ce n était pas la seule manière de procéder. On pouvait aussi prouver que grâce à la symétrie centrale AB = BD et AC = CD et donc AB = BC = AC = CD (puisque ABC est isocèle en A). Comme ABDC a quatre côtés de même longueur, c est donc un losange.

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