ALGÈBRE LINÉAIRE - SYSTÈMES LINÉAIRES (FIN)

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1 ALGÈBRE LINÉAIRE - SYSTÈMES LINÉAIRES (FIN) Michel Rigo Année

2 THÉORÈME DE ROUCHÉ A K n p et b Kn Les conditions suivantes sont équivalentes I) Le système (S) : Ax = b est compatible, II) tout vecteur y K n satisfaisant ya = 0 est tel que yb = 0, III) le rang de A est égal au rang de (A b) COROLLAIRE Si le système (S) : Ax = b est compatible, il est équivalent à tout système (S ) obtenu en ne considérant que les lignes de la matrice A qui sont lin indép en nombre égal au rang de A

3 1) Toute solution de (S) est solution de (S ) ) Thèse : Toute solution de (S ) est solution de (S)? r = rg(a), quitte à permuter les équations de (S), on peut supposer que les r premières lignes L 1,, L r sont lin indép i {1,,n}, il existe des scalaires λ (i) k tels que r L i = λ (i) k L k k=1 Puisque (S) est compatible, vu II), on a b i = r k=1 λ (i) k b k Soit x une solution de (S ) : k {1,, r}, L k x = b k Ainsi, pour tout i {1,, n}, on a L i x = r k=1 λ (i) k L kx = Donc x est aussi solution de (S) r k=1 λ (i) k b k = b i

4 SYSTÈMES/FORMULES DE CRAMER (S) Ax = b est de Cramer, si A est une matrice carrée p p inversible (S) possède l unique solution A 1 b Il vient, x j = (A 1 b) j = 1 ) ( cof(a)b det A j Or, on a ( cof(a)b) j = p ) ( cof(a) k=1 jk b k = p cof kj (A)b k k=1 on obtient cof(a) kj en remplaçant la j-ième colonne de A par e k x j = 1 det A p b k det ( ) C 1 e k C p k=1 = det( C 1 b C p ) det A

5 Un exemple : 1 1 x y = z det det x = , y =, det det det z = det

6 RÉSOLUTION/STRUCTURE DES SOLUTIONS Système compatible (S) : Ax = b On peut considérer les lignes de A lin indép en nombre égal au rang A K n p et rg(a) = n p La matrice A possède n colonnes lin indép Supposons que C 1,, C n sont lin indép ( ) C1 C n { x + y + z = 1 x y + z = 4 x 1 x n = b x n+1 C n+1 x p C p ( )( ) 1 x = 1 1 y ( ) 1 z 4 ( ) 1

7 x 1 x n det ( ) C 1 C n 0 }{{} C = C 1 b x n+1 C 1 C n+1 x p C 1 C p { x + y + z = 1 x y + z = 4 ( ) ( ) 1 ( ) x 1 1 = z y ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( x 1 = y 1 1 z = λ 1 ) 1 ( ) 1 4 λ 1 ( ) 1 ( ) 1

8 Ainsi, toute solution de (S) peut s écrire x 1 x n x n+1 x p = C 1 b 0 0 +λ 1 C 1 C n λ p n C 1 C p avec λ 1,,λ p n K Inversement, il est clair que tout vecteur qui s écrit de cette façon est solution de (S)

9 x 1 x n x n+1 x p = C 1 b λ 1 C 1 C n λ p n C 1 C p REMARQUES Si λ 1 = = λ p n = 0, on trouve une solution particulière Si b = 0, les solutions sont les combinaisons linéaires de p rg(a) vecteurs linéairement indépendants Les solutions du système homogène Ax = 0 à p inconnues est un sous-espace vectoriel de dimension p rg(a) Les solutions d un système compatible s obtiennent en ajoutant à une solution particulière les solutions du système homogène associé

10 EXEMPLES : APPLICATION À LA GÉOMÉTRIE On considère un espace affin euclidien muni d un repère orthonormé d axes Ox et Oy Soit A, un point n appartenant ni à Ox ni à Oy On mène par ce point une droite variable D qui coupe Ox en B On désigne par P le point de Oy dont l ordonnée est égale à l abscisse de B Rechercher le lieu de la projection orthogonale de P sur la droite D P y A O B M x D

11 A : (a 1, a ), B : (λ, 0) et P : (0,λ) avec λ R Les génératrices du lieu ont pour équations a (x λ) y(λ a 1 ) = 0 x(λ a 1 ) a (y λ) = 0 Un point M de coordonnées(x, y) appartient au lieu si et seulement si il existe λ R tel que le système { (a y)λ = a x a 1 y (x + a )λ = a 1 x + a y possède une solution L élimination de λ revient à étudier la compatibilité du système (en l inconnue λ)

12 { (a y)λ = a x a 1 y (x + a )λ = a 1 x + a y ( ) ( ) a y a y a rg = rg x a 1 y x + a x + a a 1 x + a y Premier cas : le rang de la matrice du système est nul Ceci a lieu si y = a et x = a Le système est donc compatible si ( ) 0 a rg a 1 a 0 a 1 a + a = 0, donc, si a = 0, ce qui est impossible car A Ox On en conclut que le point ( a, a ) est à exclure du lieu

13 Second cas : le rang de la matrice du système vaut 1 La compatibilité du système revient à ce que la matrice augmentée ( ) a y a x a 1 y x + a a 1 x + a y soit de rang 1 donc à ce que son déterminant soit nul En annulant ce déterminant, on trouve ( x a ) 1 a +( y a ) 1 + a = a 1 + a Le point ( a, a ) vérifie nécessairement cette équation On en conclut que le lieu recherché est un cercle de centre ( a 1 a, a 1+a ) et de rayon a 1 + a privé du point ( a, a )

14 EXEMPLES : DISCUSSION DE SYSTÈMES a, b C, paramètres, x + iz = 1 ax + by = b bx az = b ay + z = a 1 0 i 1 AX = B avec A = a b 0 x b 0 a, X = y et B = b b z 0 a 1 a rg(a) 3 Le système est compatible SSI rga = rg(a B) Si la matrice (A B) est de rang maximal 4, càd si det(a B) = a (a+ib) 0, alors le système est incompatible Donc, si a 0 et a ib, le système est incompatible (Cas I)

15 si a = 0 ou a = ib, rg(a B) 3 (Cas II) La sous-matrice constituée des quatre coins de A est de déterminant non nul, rg(a) Elle ( est exactement ) de rang 1 i SSI les deux matrices qui bordent dans i A = a b 0 b 0 a 0 a 1 sont nuls Ces deux sous-matrices ont pour déterminant 1 0 i a b 0 0 a 1 = b+ia et 1 0 i b 0 a 0 a 1 = a(a+ib)

16 Ainsi, rga = { b + ia = 0 a(a+ib) = 0 (a = 0 et b = 0) ou (a = ib et b ib = 0) (a = b = 0) ou (b = i et a = 1) Si a = b = 0, alors 1 0 i 1 rg(a B) = rg = = rga (Cas IIi) et le système est compatible De plus, le nombre d inconnues moins le rang du système donne 3-=1 paramètre dans l expression des solutions Le système admet une infinité simple de solutions

17 Si a = 1 et b = i, alors (Cas IIii) 1 0 i 1 rg(a B) = rg 1 i 0 i 1 i 1 i 0 1 i = 3 car 1 0 i = Donc rg(a B) = 3 > = rg(a) Le système est incompatible

18 Il ne reste plus que le cas où la matrice du système est de rang 3 et où le système admet une solution unique (Cas IIiii) Ce cas se présente si et seulement si rg(a B) = rg(a) = 3, c est-à-dire si (a = 0 ou a = ib) et (a, b) (0, 0) et (a, b) ( 1, i) ou encore si (a = 0 et b 0) ou (a = ib et b 0 et b i)

19 ALGORITHME DE GAUSS-JORDAN Soit un système (S) de n équations à p inconnues, a 11 x 1 + a 1 x + + a 1p x p = b 1 a n1 x 1 + a n x + + a np x p = b n Les opérations élémentaires suivantes transforment le système (S) en un système équivalent : multiplier une ligne par un scalaire non nul : L i λl i, λ K\{0}, ajouter à une ligne une combinaison linéaire d autres lignes : L i L i +λl j, λ K, i j, permuter deux lignes : L i L j, i j

20 ALGORITHME DE GAUSS-JORDAN PROPOSITION (PHASE D ÉLIMINATION) Par des opérations élémentaires sur les lignes, le système (S) peut être transformé en un système équivalent de la forme x µ1 + α 1µ x µ + + α 1µk x µk + + α 1µp x µp = β 1 x µ + + α µk x µk + + α µp x µp = β x µk + + α kµp x µp = β k 0 = β k+1 0 = β n où µ est une permutation de {1,, p} et k est le rang du système

21 ALGORITHME DE GAUSS-JORDAN PROPOSITION (PHASE DE SUBSTITUTION) Par des opérations élémentaires sur les lignes, un système de la forme x 1 + a 1 x + + a 1k x k + + a 1p x p = b 1 x + + a k x k + + a p x p = b x k + + a kp x p = b k peut être transformé en un système équivalent du type x 1 + α 1k+1 x k α 1p x p = β 1 x + α k+1 x k α p x p = β x k + α kk+1 x k α kp x p = β k

22 Exemple 1 : 3x + y z = 1 x + y z = 0 x + y + z = On effectue les transformations L L 1, L L 1 3 L 1 et L 3 L 3 3 L 1 pour obtenir le système x + 3 y 1 3 z = y 3 z = y z = 4 3 Si L 3L et L 3 L 3 L, il vient x + 3 y 1 3 z = 1 3 y z = 1 3z =

23 Pour terminer la phase d élimination, L L 3 donne En substituant, on trouve x + 3 y 1 3 z = 1 3 y z = 1 z = 3 z = 3, y = 1 3, x = 1 3 Le système possède une unique solution (système déterminé)

24 Exemple : 3x + y z = 1 x + y z = 0 4x + 3y z = 1 La phase d élimination donne d abord x + 3 y 1 3 z = y 3 z = y 3 z = 1 3 puis x + 3 y 1 3 z = 1 3 y z = 1 0 = 0 Ainsi, z peut prendre n importe quelle valeur et pour chacune d elles, on a { x = 1 z y = 1+z On est dans le cas d un système indéterminé (le système est de rang et on a trois inconnues),

25 Exemple 3 : 3x + y z = 1 x + y z = 0 4x + 3y z = La seule différence avec l exemple précédent est le second membre de la troisième équation La phase d élimination donne x + 3 y 1 3 z = 1 3 y z = 1 0 = 1 On s aperçoit donc que le système est incompatible

26 APPLICATION À LA RECHERCHE D INVERSE DE MATRICES Si A est une matrice carrée inversible de dimension n et X l inverse de A, alors AX = I Si X 1,, X n sont les colonnes de X, l équation matricielle précédente est équivalente aux n équations AX i = e i, i = 1,,n Rechercher X revient donc à résoudre n systèmes d équations linéaires ayant même matrice A

27 Exemple : 1 1 A = Effectuons les phases d élimination en parallèle On a tout d abord , et si L L L 1, L 3 L 3 L 1, Enfin, si L 1 L, L 3 L 3 3 L,

28 Pour la phase de substitution, si on s intéresse à la première colonne, on trouve x 31 = 1, x 1 = 1 et x 11 = 1 Pour la deuxième colonne, x 3 = 3, x = 1 et x 1 = 5 et enfin, avec la troisième colonne, x 33 = 1, x 3 = 0 et x 13 = 1 Donc 1 5 A 1 1 =