Aide-mémoire : Fonctions exponentielles et logarithmes

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1 Aide-mémoire : Fonctions exponentielles et logarithmes - Résumé RM-0G 9 septembre 00 Table des matières Avant-propos. Illustration : Population de bactéries Application numérique Illustration : L échelle de Richter Illustration 3 : Intérêts composés Introduction 4 3 La fonction exponentielle de base a 4 4 Le nombre e 6 4. Une approche de e Définition de e Fonction exponentielle 6 6 Fonction logarithme naturel 6 7 Fonction logarithme de base a 8 8 Remarques, formules et identités importantes 8 8. Fonction logarithme, expression générale Passage d une base à l autre Exemples Identités utiles

2 Avant-propos Les fonctions logarithmes et exponentielles sont sont des fonctions importantes non seulement en mathématiques mais également pour tous les phénomènes naturels.. Illustration : Population de bactéries Soit une population de bactéries. On s aperçoit, en observant le développement de la colonie, que l accroissement de cette dernière, par unité de temps, est directement proportionnelle à sa taille. La mise en équation de cette observation est : db dt B (B est la taille de la population et t est le temps) C est bien la traduction mathématique du fait que : la vitesse d accroissement ( db dt ) de la population est proportionnelle à sa taille B. En introduisant un facteur de proportionnalité k on a : db dt = kb C est une équation différentielle du premier ordre à variables séparables que l on résout de la manière suivante : db dt = kb db db = kdt B B = k dt lnb = kt+c () où c est la constante d intégration. Passons à la forme exponentielle de l équation : lnb = kt+c e lnb = e (kt+c ) e lnb = e kt e c B = C e kt Dans la dernière transformation j ai posé C = e c car les deux sont des constantes. Finalement la fonction B(t) = Ce kt nous donne la taille de la population de bactéries à l instant t... Application numérique Supposons qu à l instant t = 0, une population de bactéries dont la constante k est 0.3 est composée de 4500 individus. On aimerait savoir au bout de combien de temps la population initiale aura doublé, respectivement décuplé. On cherche d abord la valeur de la constante C, en posant B 0 = 4500, t 0 = 0. B 0 = Ce C = 4500 La fonction correspondant à notre situation est : B(t) = 4500e 0.3t Lorsque la population aura doublé nous aurons :.4500 = 4500e 0.3t = e 0.3t en prenant le logarithme naturel des deux membres de l équation : ln() = 0.3t t = ln() 0.3 =.305

3 La population de bactéries aura doublé au bout de.305 unités de temps. Utilisons un autre type de calcul pour voir au bout de combien de temps la population aura décuplé. Pour ce faire partons de la troisième équation de, db B = k dt et transformons la en intégrale définie tenant compte des conditions initiales : db B = 0.3 T 0 dt T = ln(0) 0.3 = 7.67 C est donc au bout de 7.67 unités de temps que la population aura décuplé B t t Figure La fonction donnant l accroissement de la population de bactéries, B(t) = 4500e 0.3t. Illustration : L échelle de Richter L échelle de Richter mesure la magnitude M d un tremblement de terre selon la formule empirique M(E) = 3 log E 0 E 0 où E est l énergie du séisme et E 0 l intensité du plus petit tremblement de terre mesurable. Soit E et E deux séismes séparés d une quantité de sur l échelle de Richter. Quel est le rapport entre l énergie des deux tremblements de terre? On pose : M M = 3 log E 0 E 0 3 log E 0 = E 0 En appliquant les propriétés des logarithmes on a : En élevant à la puissance 0 : 3 (log E E 0 log E 0 ) = log 0 E 0 ( E E 0 ) 3 = log 0 E 0 E 0 ( E ) 3 = E 0 (log 0 (E E ) 3) = 0 E E = 0 3 = 000 = 3,6 3

4 Donc un tremblement de terre de magnitude 7 libère 30 fois plus d énergie qu un tremblement de magnitude 6. Une différence de 3 sur l échelle de Richter nous donnera un rapport énergétique de.3 Illustration 3 : Intérêts composés E E = = 0 6 = 3 6 A l école primaire on apprend que si l on dépose 000 Fr. à la banque et que le taux d intérêt pour une période est de % alors nous aurons 00 Fr. sur notre compte au bout de cette période. Imaginons maintenant le procédé suivant. Chaque seconde, la banque effectue le calcul des intérêts, c est à dire qu à chaque seconde la banque fait le calcul précédent (au pro rata des intérêts et de la période) et place les intérêts sur un compte qui à son tour nous rapporte caque seconde des intérêts et ainsi de suite... Maintenant supposons que l on effectue ce qu on appelle un passage à la limite et qu au lieu de faire le calcul chaque seconde on l effectue à chaque instant, c.à.d pour une période de temps infinitésimale. Ce procédé se traduit mathématiquement par la formule : dc dt = i C où C est le capital i le taux d intérêt et dc dt le taux d accroissement instantané de notre capital. En résolvant l équation différentielle de la même manière que dans l exemple de l accroissement d une population de bactéries, on obtient pour le capital : C = C 0 e i t En reprenant les chiffres ci-dessus on arrive alors à C = 000 e 0.0 c.à.d 00.0 Fr. Supposons à présent que l on trouve un banquier miraculeusement sympa qui nous offre un intérêt de 00%! On recevra alors pour chaque franc déposé la somme de C = e =, Fr., c.à.d. le nombre e. Introduction Les notions de logarithme et d exponentielle sont des notions étroitement liées. Il est indispensable de lire ce résumé entièrement pour bien les comprendre. Dans un premier temps on définira la fonction exponentielle générale (de base quelconque) et à partir de celle-ci le nombre e. 3 La fonction exponentielle de base a Définition 3. (Fonction exponentielle de base a). Soit a > 0 et a. La fonction définie par f : x a x de R dans R + () est appelée fonction exponentielle de base a. Propriétés:. x,y R : a x+y = a x a y et (a x ) y = a xy. x R : a x = a x 4

5 8 y a x a 0.3 a a 0.5 Figure 0<a< 3. x R : (ab) x = a x b x et ( a b )x = ax b x 8 y a x a 5 6 a 3 4 a Figure 3 a>0 Remarque: On note également f : x exp a x de R dans R + 5

6 4 Le nombre e Le nombre exponentielle irrationnel, introduit par Neper, dont la valeur est a été baptisé e par Euler. 4. Une approche de e Dérivons la fonction f(x) = a x en utilisant la définition même de la dérivée d une fonction : f (x) = lim h 0 f(x+h) f(x) h (a x ) = lim h 0 a x+h a x h = a x lim h 0 a h h a On est en droit de se demander si il existe une valeur pour a telle que lim h h 0 h =. Cette valeur est le nombre e. e h lim = h 0 h La fonction donnée par f(x) = e x, qui a pour dérivée f (x) = e x lim h 0 e h h = e x, est appelée fonction exponentielle. Le taux d accroissement de cette fonction est en tout point égal à sa valeur. 4. Définition de e Définition 4. (Le nombre e). On peut définir le nombre e de deux manières, à l aide d une série donnée par : e = (3) n! ou par une limite : 5 Fonction exponentielle n=0 ( lim + n = e (4) n n) Définition 5. (Fonction exponentielle). On appelle fonction exponentielle de base e ou fonction exponentielle la fonction définie par f : x e x de R dans R + avec e x x n = (5) n! n=0 Propriétés:. x R, e x > 0. x,y R, e x+y = e x e y 6 Fonction logarithme naturel Définition 6. (Fonction logarithme naturel). La fonction exponentielle étant bijective, elle a une fonction réciproque. Cette fonction est appelée fonction logarithme naturel, c est la fonction logarithme de base e, notée en général lnx ou encore log e x f : x lnx de R + dans R (6) 6

7 0 y x Figure 4 Fonction exponentielle y ln x Figure 5 Fonction logarithme naturel Propriétés:. ln = 0 et lne =. x,y R +, lnxy = lnx+lny 3. x,y R +, ln x y = lnx lny 4. x R +, lnex = x 7

8 7 Fonction logarithme de base a Définition 7.. Soit a > 0 et a. La fonction définie par : f : x log a x de R + dans R avec log est appelée fonction logarithme de base a. ax = lnx lna (7) a a a Figure 6 Propriétés:. log a = 0 et log a a =. x,y R +, log axy = log a x+log a y 3. x,y R +, log x a y = log ax log a y 4. x R +, log a a x = x 8 Remarques, formules et identités importantes 8. Fonction logarithme, expression générale Toute fonction f vérifiant l égalité suivante : est une fonction logarithme. 8. Passage d une base à l autre x,y R + : f(x y) = f(x)+f(y) En faisant quelques calculs de logarithmes à l aide d une calculette on s aperçoit que la relation entre deux logarithmes d un même chiffre, mais de bases différentes est donnée par : log b x = k log a x (8) 8

9 où k est une constante. En posant, log b b = k log a b k = log a b 8.. Exemples. Si on désire passer d un logarithme de base à un logarithme de base 0, alors k = log log 0x = log x. Pour le passage de base naturelle à la base 0 la constante k vaut : k = ln(0) log 0x = lnx 3. Pour passer de la base naturelle e à une base... disons de.75 : 8.3 Identités utiles. a log a x = x log = ln00 ln.75 = = 00. log 0 x = lnx 3. lnx = log 0x =.305 log 0 x 4. b x = e x lnb 9