TD1 : Interpolation et splines

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1 , Licence 3 ème année parcours Mathématiques M66, Modélisation et analyse numérique TD1 : Interpolation et splines Interpolation Exercice 1 (Différences divisées) Soient x 0, x 1,, x n des points distincts d un intervalle I, et f,g et h des applications réelles définies sur cette intervalle On note par f[x 0, x 1,, x n ] la différence divisée de f en x 0, x 1,, x n a) (1) Démontrer l identité f[x 0, x 1,, x n ] = f(x j ) j=0 n k=0 k j 1 x j x k (2) En déduire que la différence divisée f[x 0, x 1,, x n ] est une fonction symétrique, c est-à-dire, que pour toute permutation σ de l ensemble {0,, n} dans lui même, f[x σ(0), x σ(1),, x σ(n) ] = f[x 0, x 1,, x n ] b) Si f = αg + βh pour certains α, β R, alors f[x 0,, x n ] = αg[x 0,, x n ] + βh[x 0,, x n ] c) Si f = gh, alors on a la formule suivante (appelée formule de Leibniz) : f[x 0,, x n ] = g[x 0,, x j ]h[x j,, x n ] j=0 Exercice 2 (Interpolation quadratique) a) Soit I un intervalle et f C 3 (I) Soit h > 0, on note p 2 (x) le polynôme de degré 2 qui interpole la fonction f aux points x i = x 0 + ih I pour i = 0, 1, 2 Montrer que x [x 0, x 2 ] f(x) p 2 (x) h3 9 3 M, où M est une constante ne dépendant que de la restriction de f à I

2 b) On veut construire une table de valeurs de la fonction f(x) = x + 1 dans l intervalle [0, 1] pour des points équidistants x i+1 = x i + h Quelle valeur doit prendre h pour garantir 7 chiffres décimaux corrects en faisant une interpolation quadratique? Exercice 3 (Interpolation d Hermite) On se donne n + 1 abscisses distinctes x 0, x 1,, x n On considère les polynômes U i (x) et V i (x), 0 i n, de degré 2n + 1 qui vérifient les conditions suivantes : U i (x k ) = δ ik ; U i(x k ) = 0 i, k = 0,, n V i (x k ) = 0 ; V i (x k ) = δ ik i, k = 0,, n (1) a) Quelles conditions d interpolation vérifie le polynôme H(x) = U i (x)y i + V i (x)y i? b) En sachant que les polynômes de la base de Lagrange associée aux nœuds x i vérifient L i (x k ) = δ ik, montrer que U i (x) := [1 2L i(x i )(x x i )] (L i (x)) 2 V i (x) := (x x i )(L i (x)) 2 vérifient les conditions (1) c) On considère le cas particulier de n = 1, l intervalle I = [0, 1] et soient x 0 = 0 et x 1 = 1 Soit f(x) une fonction dans C 4 (I) et telle que f(x i ) = y i, f (x i ) = y i, i = 0, 1 On définit la fonction S(x), pour x I, par la relation f(x) = H(x) + x 2 (x 1) 2 S(x) (1) Soit x fixé dans I On introduit la fonction F définie par F (t) = f(t) H(t) t 2 (t 1) 2 S(x) (i) Montrer que F (t) s annule en (au moins) 3 points distincts que l on explicitera (ii) Montrer qu il existe 2 réels distincts t 1 1 et t 1 2 tels que F (t 1 1) = F (t 1 2) = 0 (2) Calculer F (t), F (0), F (1) En déduire qu il existe (au moins) 4 réels distincts t 2 i, i = 1, 2, 3, 4 tels que F (t 2 i ) = 0, i = 1,, 4

3 (3) En déduire alors qu il existe un réel ξ x I tel que S(x) = f (4) (ξ x ) 4! (4) Donner alors une majoration de l erreur d interpolation f(x) H(x) d) Application : Une déviation entre deux voies de chemin de fer parallèles doit être une fonction f C 4 ([0, 4]) qui unit les positions (0, 0) et (4, 2) et est tangent dans ces points, aux droites y = 0 et y = 2 respectivement Déterminer le polynôme H de degré 3 qui satisfait les mêmes conditions Utiliser la question précédente pour majorer l erreur f(x) H(x) dans l intervalle [1, 2] Méthode des moindres carrés Exercice 4 (Droite de régression) Considérons les données {(x i, y i ) i = 0,, n} où y i peut être vue comme la valeur f(x i ) prise par une fonction f au nœud x i Soit Φ(b 0, b 1 ) = a) Déterminer b 0 et b 1 qui minimise Φ [ yi (b 0 + b 1 x i ) ] 2 La droite ainsi déterminée x b 0 + b 1 x, est dite droite des moindres carrés, ou de régression linéaire Elle est la solution de degré 1 du problème des moindres carrées pour les données {(x i, y i )} b) Exprimer les coefficients b 0 et b 1 en fonction des moyennes M = 1 n x (n+1) i et N = 1 n y (n+1) i, de la variance V = 1 n (x (n+1) i M) 2 et de la covariance C = 1 n (x (n+1) i M)(y i N) c) Vérifier que la droite de régression linéaire passe par le point dont l abscisse est la moyenne des {x i } et l ordonnée est la moyenne des {y i } Exercice 5 (Le cas général) Étant donnée {(x i, y i ) i = 0,, n}, une solution du problème des moindres carrées de degré m est la donnée d un polynôme P P m [R] qui minimise la quantité : [ yi P (x i ) ] 2 a) Montrer que pour m = n il y a une solution unique et déterminer la b) Que peut on dire de l ensemble des solutions dans le cas m > n?

4 c) On munit P m [R] de la base canonique 1, X,, X m Soit (a 0,, a n ) les coordonnées de P dans cette base et P = (a 0,, a n ) R n ça représentation dans R n Soit la matrice V m = [ ] x k i et le vecteur Y = (y 0,, y n ) En considérant P et Y comme des,,n k=0,,m vecteurs colonnes, montrer que [ yi P (x i ) ] 2 = Vm P Y 2 2 d) Montrer que pour m n la solution du problème des moindres carrées existe et est unique e) Justifié que V n est inversible, puis montrer que les coefficients du polynôme de Lagrange sont les coefficients du vecteur V 1 n Y f) Redémontrer la question b) en utilisant la question c) Splines Exercice 6 (Base de splines) Soient a = x 0 < x 1 < < x n = b des points de l intervalle [a, b] et S k [a, b] l ensemble des splines de degré k relativement à ces (n + 1) points Vérifier que tout s k S k [a, b] admet une écriture de la forme k n 1 s k (x) = b i x i + c i (x x i ) k +, i=1 où (t) + = t+ t 2 et (t) k + = [(t) + ] k Puis conclure que est une base de S k [a, b] - Exercice 7 (Splines normalisées) {1, x, x 2,, x k, (x x 1 ) k +,, (x x n 1 ) k +} Soit a = x 0 < x 2 < < x n = b les n + 1 nœuds des splines cubiques S 3 (Y ) qui interpolent les valeurs Y = (y 0, y 1,, y n ) a) Montrer qu il existe une unique spline s S 3 (Y ), dit naturelle, telle que s (a) = s (b) = 0 b) Étant donnés deux nombre d a et d b, montrer qu il existe une unique spline s S 3 (Y ), dit serrée ou tendue, telle que s (a) = d a et s (b) = d b c) Si y 0 = y n, montrer qu il existe une unique spline s S 3 (Y ), dit cyclique ou périodique, telle que s (k) (a) = s (k) (b) pour k = 0, 1, 2

5 Exercice 8 (Splines cubiques à peu de nœuds) Soit a = x 0 < x 2 < < x n = b les n + 1 nœuds des splines cubiques S 3 Soit s S 3 qui satisfait les conditions aux bords s (k) (a) = s (k) (b) = 0 pour k = 0, 1, 2 a) Montrer que si n < 4 alors s = 0 b) Montrer que si n = 4 alors s est uniquement déterminée par sa valeur en x 2 c) Calculer explicitement s dans le cas des nœuds { 2, 1, 0, 1, 2} en fonction de sa valeur c en 0 Exercice 9 (Base cardinale des splines cubiques) Soit a = x 0 < x 2 < < x n = b les n + 1 nœuds des splines cubiques S 3 Pour i = 0,, n on note par ϕ i la spline tendues telle que ϕ i (x j ) = δ ij et ϕ i(x 0 ) = ϕ i(x n ) = 0 Ainsi que les deux splines tendues ϕ k pour k {n + 1, n + 2} définies par ϕ k (x i ) = 0 pour i = 0,, n, ϕ n+1(x 0 ) = 1, ϕ n+1(x n ) = 0, ϕ n+2(x 0 ) = 0 et ϕ n+2(x n ) = 1 a) Montrer que les {ϕ k } k=0,,n+2 forment une base de S 3 Cette base est appeler base cardinale b) Soit x i = i pour i = 0, 1, 2 Calculer la base cardinale dans ce cas Exercice 10 (B-splines) Soit a = x 0 < x 2 < < x n = b les n + 1 nœuds des splines S k de degré k Soit les fonctions B i,j définies par récurrence comme suit 1 si x [x i, x i+1 [ B i,0 (x) = 0 sinon B i,k (x) = x x i x i+k x i B i,k 1 (x) + x i+k+1 x x i+k+1 x i+1 B i+1,k 1 (x) pour i = 0,, n 1 pour k 1, i 0 i + k + 1 n a) Calculer et tracer les B i,1 pour i = 0,, n 2 b) Montrer que la restriction des B i,1 à I 1 = [x 1, x n 1 ] est une base de 1-splines respectivement aux nœuds {x 1,, x n 1 } c) Soit x i = i pour i = 0,, n Calculer et tracer les B i,2 pour i = 0,, n 3 d) Montrer que le support de B i,k est contenu dans [x i, x i+k+1 ] e) Montrer que k+1 B i,k (x) = (x i+k+1 x i ) j=0 m=k+1 m=0 m j (x i+j x) k + (x i+j x i+m ) f) En déduire que les B i,k sont des splines de degré k linéairement indépendant On appelle les B i,k les B-splines de degré k

6 g) Soit I k = [x k, x n k ] et S k [I k ] les splines de degré k sur I k ayant pour nœuds {x k,, x n k } Montrer {B i,k Ik i = k + 1,, n 1} forme une base de S k [I k ] h) Comment peut on construire une base de S k avec des B-splines? Examen du 11 mars 2015 Exercice 11 (Question de cours) Pour toute fonction f : [a, b] R, on se donne la subdivision uniforme = {x 0, x 1,, x n } de l intervalle [a, b] et les valeurs F = {f(x 0 ), f(x 1 ),, f(x n )} à interpoler a) Donner la définition d une spline de degré k, k 1, et donner une base de l espace vectoriel S k [a, b] des splines de degré k relativement à la subdivision Expliquer pourquoi il s agit d une base et préciser le support de ces fonctions de base b) Etant données f (x 0 ) et f (x n ), déterminer la spline cubique s S k [a, b] qui vérifie s(x 0 ) = f (x 0 ) et s(x n ) = f (x n ) (il suffit de donner le système linéaire à résoudre et de préciser pourquoi la solution est unique) Exercice 12 (B-splines uniformes) On pose pour tout i Z, x i = i Les fonctions B-splines B i,k de degré k sont définies par récurrence comme suit 1 si x [x i, x i+1 [ B i,0 (x) = 0 sinon i Z, B i,k (x) = ω i,k (x)b i,k 1 (x) + (1 ω i+1,k (x))b i+1,k 1 (x) k 1, i Z, avec ω i,k (x) = x x i x i+k x i pour k 1 a) Montrer que pour tout i Z, k 0 et x R, on a la relation de symétrie suivante : B i,k (x + 1) = B i 1,k (x) b) Déduire que B 0,k (x) = x k B 0,k 1(x) + k+1 x k B 0,k 1 (x 1) c) Ces propriétés permettent de calculer les B-splines uniformes par translation de la B- spline B 0,k Calculer B 0,k (x) pour k 3 puis dessiner B i,k (x) pour i = 0, 1, 2 et k 3 d) Vérifier que B 0,k (k + 1 x) = B 0,k (x) pour k 3 e) Montrer que pour tout i Z, k 1 et x R, on a la relation de symétrie suivante : B 0,k (k + 1 x) = B 0,k (x)

7 Exercice 13 (Polynômes de Bernstein et courbe de Bézier) On pose x 0 = = x k = 0 et x k+1 = x 2k+1 = 1 Les polynômes de Bernstein d ordre k sont les polynômes B i,k (x) = C i k x i (1 x) k i pour i = 0,, k, avec C i k = a) Montrer que b) Montrer que k B i,k (x) = 1 (1 x)b 0,k 1 (x) = B 0,k (x), (1 x)b i,k 1 (x) + xb i 1,k 1 (x) = B i,k (x), xb k 1,k 1 (x) = B k,k (x) c) Montrer que pour i = 0,, k, B i,k n a qu un seul maximum sur [0, 1] ( ) k et x [0, 1] i d) Montrer que x = k i k B i,k(x) e) Soit M : [0, 1] R 2 la courbe paramétrée de Bézier associée aux points de contrôle A i, i = 0,, k qu on peut écrire M(x) = k B i,k (x)a i Montrer que la courbe dérivée est M (x) = k k 1 B i,k 1 (x)(a i+1 A i )