1 Invariance de jauge

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Jérôme André
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1 M2 Physique Théorique Invariances en physique et théorie des groupes Opérateurs de translation magnétique et invariance de jauge 1 Invariance de jauge rappel: E r, t) = U r, t) A r, t) t B r, t) = A r, t) 1) Partant d une jauge G dans laquelle les potentiels sont notés U et A, les potentiels dans la nouvelle jauge G s écrivent 1.1 Mécanique classique U r, t) = U r, t) χ r, t) t A r, t) = A r, t) + χ r, t) On rappelle que le hamiltonien classique d une particule plongée dans un champ électromagnétique dérivant des potentiels A et U s écrit: H r, p, t) = 1 ) p qa r, 2 t) + qu r, t), 3) 2m les variables dynamiques r position) et p impulsion) satisfaisant aux équations de Hamilton d dt rt) = p H rt), pt), t) d dt pt) = r H rt), pt), t). On rappelle également que la quantité de mouvement s écrit 2) 4) π = m v = p q A r, t). 5) 1

2 1) Comment se transforment rt) et pt) dans la transformation de jauge G G utiliser les équations de Newton)? 2) Par définition une grandeur physique véritable F ne dépend pas du choix de jauge: F G rt), pt), t) = F G r t), p t), t ). 6) En déduire que toute fonction F r, π) est une grandeur physique véritable. Montrer que ) π r, p, t), γ r, p, t) = 1 2m p qa r, 2 ) t) énergie cinétique), λ r, p, t) = r p qa r, t) moment par rapport à O de la quantité de mouvement) sont des grandeurs physiques véritables. Le moment cinétique L r, p) = r p est-il une grandeur physique véritable? 1.2 Mécanique quantique 1) En utilisant les règles de quantification, écrire la loi de transformation des observables R G position) et P G impulsion) sous la transformation de jauge G G. En déduire que L ne dépend pas de la jauge, et que π et H dépendent de la jauge choisie. 2) On note Ψt) et Ψ t) les vecteurs d état relatifs aux jauges G et G. Donner l analogue quantique des lois de transformation de rt) et pt) en mécanique classique 1.1 1)) pour Ψt) R Ψt) et Ψt) P Ψt). 3) On pose Ψ t) = T χ t) Ψt) où T χ t) est une transformation unitaire. Déterminer T χ t) en fonction de χ R, t). On pourra utiliser la relation [P x, Gx)] = i hg x). 7) Généraliser au cas où le système est constitué par plusieurs particules de positions r 1, r 2,... et de charges q 1, q 2,... Quelle est la forme de la transformation de jauge G G en représentation r? 4) Montrer que l équation de Schrödinger est invariante de jauge. 5) On associe à toute observable K sa transformée K sous l effet de T χ t): K = T χ t) K T χ t). 8) Vérifier explicitement que { RG = R G Π G = Π G 9) et que P G P G. Montrer plus généralement qu à toute grandeur physique véritable est associé en mécanique quantique un opérateur G G t) qui vérifie G G t) = G G t) 10) 2

3 cette relation est l analogue quantique de la relation 6)). 6) En mécanique classique, l énergie totale d une particule se déplaçant dans un champ électromagnétique indépendant du temps est une constante du mouvement. Montrer que dans ce cas H est véritablement physique: en mécanique quantique H peut être interprété comme l énergie totale de la particule. 7) Soit G G une observable véritablement physique. Montrer que les prévisions physiques associées sont indépendantes de la jauge on montrera que les valeurs propres de G G et les probabilités associées ne dépendent pas de la jauge). 8) Densité et courant de probabilité: Vérifier que et sont invariants de jauge. 9) Opérateur vitesse: J r, t) = 1 m Re [Ψ r, t) ρ r, t) = Ψ r, t) 2 11) ) ] h i qa r, t) Ψ r, t) Justifier le fait que V Π = soit l analogue quantique de l opérateur vitesse. On utilisera pour m cela le Principe de Correspondance {f, g} 1 [f, g] i h mécanique analytique mécanique quantique et on partira des équations de Hamilton écrites à l aide des crochets de Poisson. Montrer que [V x, V y ] = i q h m 2B z [V y, V z ] = i q h m 2B x [V z, V x ] = i q h m 2B y 2 Opérateur de translation magnétique L étude des niveaux d énergie d une particule chargée plongée dans un champ magnétique constant est un problème invariant par translation. Cependant cette symétrie est brisée par 3 12) 13) 14)

4 le choix de jauge A = 1 2 B r puisque l on particularise l origine O), de sorte que H et les états propres ne sont plus invariants par translation. Cette symétrie est restaurée si l on accompagne une translation sur r d une transformation de jauge. 1) Soit τ la translation définie par le vecteur a : τ r) = r + a. 15) L état de la particule est caractérisé par le ket Ψ dans la jauge où A = 1 2 B r. Soit Ψ T r) défini par Ψ τ Ψ T = exp ī h P. a Ψ. 16) En utilisant les expressions de Ψ T et A T r), calculer ρ T r) et J T r). En déduire que Ψ T décrit, dans la nouvelle jauge A T r), un état dont les propriétés physiques se déduisent par la transformation τ de celles correspondant à ψ dans la jauge A r). Montrer que le translaté d un mouvement possible dans la jauge A r) est un mouvement possible dans la jauge A T r) considérer pour cela l équation de Schrödinger en représentation r ). 2) On souhaite continuer à décrire l état physique de la particule, après translation τ, dans la jauge A r). Soit ψ T le ket correspondant, et U a) la transformation unitaire telle que Ψ T = U a) Ψ. 17) Montrer que U a) = exp i q R. a 2 h B) ) exp ī P. a h ). 18) 3) Si a xoy, vérifier que avec R 0 = x 0 e x + y 0 e y. U a) = exp i q h a R 0 ). B ) 19) 4) Calculer [Ua x e x ), H] et [Ua y e y ), H]. 5) Montrer que Ua x e x ) Ua y e y ) = Ua y e y ) Ua x e x ) exp i q h ) a xa y B. 20) 4

5 Pour en savoir plus: C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, Mécanique quantique, compléments H-III et E-VI. L. Landau et E. Lifchitz, Mécanique quantique, Ch II 9 et Ch XV 110 E. Brown, Bloch Electrons in a Uniform Magnetic Field, Physical Review vol 133, 4 A 1964) p C. Kittel, Quantum Theory of Solids, Ch 11. 5

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