Schéma d Euler pour les EDS
|
|
|
- Sabine Malo
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Schéma d Euler pour les EDS Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) ENSA AGADIR Décembre 2008 hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
2 Plan Chapitre 1: Le schéma d Euler pour les EDO Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Le schéma d Euler Résultats de convergence Le cas du CIR Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
3 Bibliographie BALLY, V. AND TALAY, D. : The law of the Euler scheme for stochastic differential equations (I) : convergence rate of the distribution function. Probability Theory and Related Fields, 104 :43-60, N. BOULEAU, D. TALAY : Probabilités numériques, INRIA, D. LAMBERTON, B. LAPEYRE: Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Second edition, Ellipses, Paris, B. LAPEYRE, E TEMAM: Competitive Monte Carlo Method for the pricing of asian options, Journal of computational finance, PAGÈS G., Multi-step Richardson-Romberg Extrapolation : Remarks on Variance Control and Complexity, prépublication PMA, L.C.G ROGERS, D. WILLIAMS : Diffusions, Marvov processes and Martingales, Vol 1. Foundations, Springer, Cambridge University Press, Cambridge, second edition, TALAY, D. AND TUBARO, L. : Expansion of the global error for numerical schemes solving stochastic differential equations. Stochastic Anal. Appl. 8(4) : , Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
4 Plan 1 Le schéma d Euler pour les EDO Le schéma d Euler pour les EDO 2 Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Résultat d existence Le schéma d Euler Le schéma d Euler Résultats de convergence 3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
5 Le schéma d Euler pour les EDO On considère l équation differentielle ordinaire (EDO) suivante : y (t) = f (t, y(t)); y(0) = x 0. Lorsque qu il n y a pas de solution explicite on peut construire un schéma d approximation sur [0, T ] : On se donne une subdivision, ici, {t 0 = 0, t 1 = T N,..., t N = T }. On approxime la solution aux points de la subdivision ŷ(0) = x 0 ŷ(t k ) = ŷ(t k 1 ) + T N f (t k 1, ŷ(t k 1 )). On approxime la solution sur [0, T ] par le processus linéaire par morceaux passant par les points (t k, ŷ(t k )) 0 k N. Sous des hypothèses très faible sur la régularité de f y ŷ 0 N Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
6 Le schéma d Euler pour les EDO hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
7 Plan 1 Le schéma d Euler pour les EDO Le schéma d Euler pour les EDO 2 Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Résultat d existence Le schéma d Euler Le schéma d Euler Résultats de convergence 3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
8 Les EDS On considère un mouvement Brownien (MB) d dimensionnel (W t ) t [0,T ] i.e W t = B 1 t.. B d t où B 1,..., B d sont des Browniens indépendants. Une équation differentielle stochastique (EDS) est une équation de la forme X 0 = x 0 R n (E) dx t = b(t, X t )dt + σ(t, X t )dw t où b : R + R n R n σ : R + R n M n d (R). Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
9 Les EDS Exemples: Black-Scholes (d = 1, n = 1, b(t, x) = rx, σ(t, x) = σx) ds t = rs t dt + σs t dw t. Modèles à volatilité locale (d = 1, n = 1) ds t = rs t dt + σ(t, X t )X t dw t. Modèles à volatilité stochastique (d = 2, n = 2, ρ [0, 1]) [ ] [ ] [ ] St µ(t, St ) σt S d = dt + t 0 dw a(t, σ t ) ρ b(t, σ t ) 1 ρ b(t, σt ) t σ t Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
10 Les EDS Définition Une solution à l équation (E) est un processus vectoriel (X t ) t [0,T ] adapté à la filtration Brownienne tel que T 0 b(s, X s) + σ(s, X s ) 2 ds < p.s t [0, T ], t t X t = x + b(s, X s )ds + σ(s, X s )dws p.s 0 0 hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
11 Plan 1 Le schéma d Euler pour les EDO Le schéma d Euler pour les EDO 2 Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Résultat d existence Le schéma d Euler Le schéma d Euler Résultats de convergence 3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
12 Les EDS: Résultat d existence Proposition Sous l hypothèse K > 0, t [0, T ], (x, y) (R n ) 2 b(t, x) b(t, y) + σ(t, x) σ(t, y) K x y H 1 b(t, x) + σ(t, x) K (1 + x ) l équation (E) admet une unique solution (X t ) t [0,T ] vérifiant [ ] E sup Xs 2 s [0,T ] <. L hypothèse H 1 est suffisante mais pas nécéssaire cf avec (a, b, σ, r 0 ) R +. (CIR): dr t = a(b r t )dt + σ r t dw t hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
13 Plan 1 Le schéma d Euler pour les EDO Le schéma d Euler pour les EDO 2 Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Résultat d existence Le schéma d Euler Le schéma d Euler Résultats de convergence 3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
14 Les EDS D un point de vue pratique nous avons souvent à calculer des quantités du type où (X t ) t R+ est solution de (E). La méthode MC nous assure que Problèmes: E[f (X T )] E[f (X T )] 1 M La loi de (X t ) est souvent inconnue M f (XT i ). Impossible de simuler en temps continu Discrétisation i=1 Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
15 Plan 1 Le schéma d Euler pour les EDO Le schéma d Euler pour les EDO 2 Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Résultat d existence Le schéma d Euler Le schéma d Euler Résultats de convergence 3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
16 Le Schéma d Euler Définition Pour N N, On se donne une subdivision, ici, {t 0 = 0, t 1 = T N,..., t N = T }. On approxime la solution aux points de la subdivision par ˆX N (0) = x 0 ˆX N (t k ) = ˆX N (t k 1 ) + T N b(t k 1, ˆX N (t k 1 )) + σ(t k 1, ˆX N (t k 1 ))(W tk W tk 1 ). On approxime la solution sur [0, T ] par le processus linéaire par morceaux passant par les points (t k, ˆX N (t k )) 0 k N : t [t k, t k+1 ], ˆX N (t) = ˆX N (t k ) + (t t k )b(t k, ˆX N (t k )) + σ(t k, ˆX N (t k ))(W t W tk ). hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
17 Plan 1 Le schéma d Euler pour les EDO Le schéma d Euler pour les EDO 2 Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Résultat d existence Le schéma d Euler Le schéma d Euler Résultats de convergence 3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
18 Le Schéma d Euler La mise en oeuvre pratique est très simple. Il suffit de générer N vecteurs gaussiens indépéndents et considérer G i N (0, Id n n ) W ti W ti 1 = t i t i 1 G i. Dans le cas Black-Scholes le schéma est donné en chaque pas de la subdivision par ˆX N (t k ) = ˆX N (t k 1 )[1 + T b N + σ(w t k W tk 1 )]. Lorsque l on sait simuler de manière exacte une diffusion en temps discret le schéma d Euler est inutile. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
19 Plan 1 Le schéma d Euler pour les EDO Le schéma d Euler pour les EDO 2 Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Résultat d existence Le schéma d Euler Le schéma d Euler Résultats de convergence 3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
20 Convergence forte du schéma d Euler On considère l hypothèse suivante K > 0, α > 0, (t, s) [0, T ] 2, x R n H 2 b(t, x) b(s, x) + σ(t, x) σ(s, x) K (1 + x ) t s α. Remarque: Lorsque (E) est homogène H 2 est automatiquement vérifiée. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
21 Convergence forte du schéma d Euler Proposition Supposons (H 2 ) vérifiée. Pour β = min(α, 1 2 ), p 1, C p > 0, N N Ainsi, γ < β, E[ sup ˆX N (t) X t 2p ] C p t [0,T ] N 2βp. N γ sup ˆX N (t) X t 0 t [0,T ] N p.s. hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
22 Convergence forte du schéma d Euler Corollaire Lorsque l équation est homogène, p 1, C p > 0, N N Ainsi, γ < 1 2, E[ sup ˆX N (t) X t 2p ] C p t [0,T ] N p. N γ sup ˆX N (t) X t 0 t [0,T ] N p.s. hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
23 Convergence forte du schéma d Euler En remarquant que pour f : R n R Lipschitzienne, E[f (X T )] E[f ( ˆX N (t))] K E[ ˆX N (t) X t 2 ]. Corollaire Premier résultat (grossier) de convergence faible Sous (H 2 ), lorsque α > 1 2, E[f (X T )] E[f ( ˆX N (T ))] C. N 1 2 Lorsque l équation est homogène E[f (X T )] E[f ( ˆX N (T ))] C. N 1 2 Exemple: Call ou Put européen lorsque n = 1. Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
24 Convergence forte du schéma d Euler De la même manière si g : (R n ) d+1 R est Lipschitzienne et si 0 = t 0 t 1... t d = T, Corollaire Sous (H 2 ), lorsque α > 1 2, E[g(X t0,..., X td )] E[g( ˆX N (t 0 ),..., ˆX N (t d ))] C. N 1 2 Lorsque l équation est homogène E[g(X t0,..., X td )] E[g( ˆX N (t 0 ),..., ˆX N (t d ))] C. N 1 2 Exemple: Lorsque n = 1, options asiatiques ou lookback discrètes. hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
25 Convergence faible du schéma d Euler On etudie ici la vitesse de convergence de E[f (X T )] E[f ( ˆX N (T ))] Notations: C b ([0, T ] Rn ; R p ) est l ensemble des fonctions dans C ([0, T ] R n ; R p ) dont les dérivées de tout ordre 1 sont bornées. C pol (Rn ) est l ensemble des fonctions dans C (R n ; R) dont les dérivées de tout ordre sont à croissance polynomiale: a = (a 1,..., a n ) N n, p a N, C a > 0, x R n, (a a n) F x a (x) 1 an 1... x C a(1+ x pa ). n Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
26 Convergence faible du schéma d Euler Proposition (Talay-Tubaro 1990) On suppose que b C b ([0, T ] Rn ; R n ) et σ C b ([0, T ] Rn ; R nd ). Lorsque f C pol (Rn ) on a k N E[f (X T )] E[f ( ˆX N (T ))] = où les C i ne dépendent que de f. k i=1 ( ) C i 1 N i + O N k+1 Remarque: Ce résultat n est pas utilisable dans le cadre du Put ou du Call européens... hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
27 Convergence faible du schéma d Euler Proposition (Bally-Talay 1995) On suppose que l équation (E) est homogène et que b C b (Rn ; R n ) et σ C b (Rn ; R nd ). Si A > 0, ξ R n, x R n, ξ t σ(x)σ t (x)ξ A ξ 2, lorsque f est mesurable bornée, où C ne dépendent que de f. E[f (X T )] E[f ( ˆX N (T ))] = C N + O ( 1 N 2 ) Remarque: Ce résultat est utilisable dans le cadre du Put européen (donc du call). hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
28 Convergence faible du schéma d Euler Pour abaisser les conditions de régularité sur f on augmente celles sur la loi de la diffusion étudiée Les dévellopements précédents permettent d obtenir un ordre de convergence en 1 (Procédure d extrapolation de Romberg): N 2 ( ) E[f (X T )] E[2f ( ˆX 2N (T )) f ( ˆX 1 N (T ))] = O N 2. Cependant cette procédure a tendance a faire exploser la variance de l estimateur (Pagès 2006). Ne pas oublier que Erreur Pricing= Erreur discrétisation + Erreur Monte Carlo hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
29 Plan 1 Le schéma d Euler pour les EDO Le schéma d Euler pour les EDO 2 Chapitre 2: Le cas des EDS Les EDS Résultat d existence Résultat d existence Le schéma d Euler Le schéma d Euler Résultats de convergence 3 Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Chapitre 3: Un example, Les options asiatiques dans le Modèle de B&S Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
30 Les options asiatiques Soit n = 1 = d, on considère l équation homogène suivante X 0 = x 0 R + (H 1 ) dx t = b(x t )dt + σ(x t )dw t. On note A T = 1 T T 0 X sds et on s intéresse aux options asiatiques: Call asiatique à strike fixe ( 1 T T 0 X sds K ) + Put asiatique à strike fixe (K 1 T T 0 X sds) + Call asiatique à strike flottant ( 1 T T 0 X sds X T ) + Call asiatique à strike flottant (X T 1 T T 0 X sds) + Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
31 Les options asiatiques En notant A t = 1 T t 0 X sds, d [ Xt A t ] [ b(xt ) = X t T Le schéma d euler correspondant est ] dt + [ ] σ(xt ) dw 0 t ˆX N (t k ) = ˆX N (t k 1 ) + T N b( ˆX N (t k 1 )) + σ( ˆX N (t k 1 ))(W tk W tk 1 ) Ainsi  N (t k ) = 1 N ˆX N (t k ) + ÂN (t k 1 ).  N (T ) = 1 N N ˆX N (t k ). Rq: Il s agit ici de la méthode des rectangles pour le calcul de l intégrale approchée. k=0 Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
32 Les options asiatiques Les fonctions φ(x, y) = (x y) + et φ(x, y) = (x K ) + étant Lipschitziennes: E[(A T X T ) + ] E[(ÂN (T ) X N T ) + ] Ĉ E[(A T K ) + ] E[(ÂN (T ) K ) + ] Ĉ Rq: Ces résultats sont valides dans le cadre Black-Scholes. N 1 2 N Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
33 Les options asiatiques Mais dans le modèle de Black-Scholes on sait simuler exactement Pourquoi ne pas utiliser Proposition 1 T T 0 (X 0, X T,..., X T ). N X s ds 1 N N X tk = A N (T )? k=0 (Lapeyre Témam 2002) Dans Black-Scholes, E[(A T X T ) + ] E[(A N (T ) XT N ) + ] C, N 1 2 e où C = σ (σ2 +2r)T 1 12(σ 2 +2r). E[(A T K ) + ] E[(A N (T ) K ) + ] C N 1 2 Christophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
34 Les options asiatiques Comparaison des 2 methodes des rectangles pour un call asiatique (T=1,K=100,x0=100,sigma=0.02,r=0.01) exact(en noir) / Euler (en bleu) prix N hristophe Chorro (christophe.chorro@univ-paris1.fr) (ENSA AGADIR) Schéma d Euler pour les EDS Décembre / 34
Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2.
Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Techniques de correction pour les options barrières 25 janvier 2007 Exercice à rendre individuellement lors
MATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA
MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option
Probabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Les mathématiques de la finance Université d été de Sourdun Olivier Bardou olivier.bardou@gdfsuez.com 28 août 2012 De quoi allons nous parler? des principales hypothèses de modélisation des marchés, des
Finance, Navier-Stokes, et la calibration
Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance 1 1 www.crimere.com/blog Avril 2013 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck
TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d
Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe
Le modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Génération de scénarios économiques
Modélisation des taux d intérêt Pierre-E. Thérond ptherond@galea-associes.eu pierre@therond.fr Galea & Associés ISFA - Université Lyon 1 22 novembre 2013 Motivation La modélisation des taux d intérêt est
I. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Introduction au pricing d option en finance
Introduction au pricing d option en finance Olivier Pironneau Cours d informatique Scientifique 1 Modélisation du prix d un actif financier Les actions, obligations et autres produits financiers cotés
Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Calcul Stochastique pour la finance. Romuald ELIE
Calcul Stochastique pour la finance Romuald ELIE 2 Nota : Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis
PROJET MODELE DE TAUX
MASTER 272 INGENIERIE ECONOMIQUE ET FINANCIERE PROJET MODELE DE TAUX Pricing du taux d intérêt des caplets avec le modèle de taux G2++ Professeur : Christophe LUNVEN 29 Fevrier 2012 Taylan KUNAL - Dinh
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Surface de volatilité
Surface de volatilité Peter TANKOV Université Paris-Diderot(ParisVII) tankov@math.univ-paris-diderot.fr Dernière m.à.j. February 15, 15 Ce document est mis à disposition sous un contrat Creative Commons
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou
Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou alpha-stables Richard Eon sous la direction de Mihai Gradinaru Institut de Recherche Mathématique de Rennes Journées de probabilités 215,
Méthodes d approximation numérique pour le pricing des options vanilles et asiatiques dans le modèle de Heston de volatilité stochastique
Méthodes d approximation numérique pour le pricing des options vanilles et asiatiques dans le modèle de Heston de volatilité stochastique Najed Ksouri To cite this version: Najed Ksouri. Méthodes d approximation
L ÉVALUATION DES OPTIONS AVEC PRIME DE LIQUIDITÉ
L ÉVALUATION DES OPTIONS AVEC PRIME DE LIQUIDITÉ L ÉVALUATION DES OPTIONS AVEC PRIME DE LIQUIDITÉ Mondher Bellalah (Université du Maine) et Jean-Luc Prigent (Université de Cergy-Pontoise) 1 Résumé. Les
Propriétés des options sur actions
Propriétés des options sur actions Bornes supérieure et inférieure du premium / Parité call put 1 / 1 Taux d intérêt, capitalisation, actualisation Taux d intéret composés Du point de vue de l investisseur,
Manuel d Utilisateur - Logiciel ModAFi. Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO
Manuel d Utilisateur - Logiciel ModAFi Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO Grenoble, 12 juin 2012 Table des matières 1 Introduction 3 2 Modèles supportés 3 2.1 Les diérents modèles supportés pour
Calibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés
Calibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés Peter TANKOV Université Paris VII tankov@math.jussieu.fr Edition 28, dernière m.à.j. le 1 mars 28 La dernière version de ce document est disponible
TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE. Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines
Ensimag - 2éme année Mai 2010 TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Anne-Victoire AURIAULT 1/48 2/48 Cadre de l Étude Cette étude a été
Résumé des communications des Intervenants
Enseignements de la 1ere semaine (du 01 au 07 décembre 2014) I. Titre du cours : Introduction au calcul stochastique pour la finance Intervenante : Prof. M hamed EDDAHBI Dans le calcul différentiel dit
Value at Risk. CNAM GFN 206 Gestion d actifs et des risques. Grégory Taillard. 27 février & 13 mars 20061
Value at Risk 27 février & 13 mars 20061 CNAM Gréory Taillard CNAM Master Finance de marché et estion de capitaux 2 Value at Risk Biblioraphie Jorion, Philippe, «Value at Risk: The New Benchmark for Manain
Liste des notes techniques... xxi Liste des encadrés... xxiii Préface à l édition internationale... xxv Préface à l édition francophone...
Liste des notes techniques.................... xxi Liste des encadrés....................... xxiii Préface à l édition internationale.................. xxv Préface à l édition francophone..................
Prix et couverture d une option d achat
Chapitre 1 Prix et couverture d une option d achat Dans cette première leçon, on explique comment on peut calculer le prix d un contrat d option en évaluant celui d un portefeuille de couverture de cette
Mathématiques et finance
Mathématiques et finance Emmanuel Gobet (1) Gilles Pagès (2) Marc Yor (3) (1) Ensimag-INP Grenoble Laboratoire de Modélisation et Calcul UMR 5523. E-mail :emmanuel.gobet@imag.fr (2) Laboratoire de Probabilités
I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Théorie Financière 8 P. rod i u t its dé dérivés
Théorie Financière 8P 8. Produits dit dérivés déié Objectifsdelasession session 1. Définir les produits dérivés (forward, futures et options (calls et puts) 2. Analyser les flux financiers terminaux 3.
Options exotiques. April 18, 2000
Options exotiques Nicole El Karoui, Monique Jeanblanc April 18, 2000 1 Introduction Les options exotiques sont des produits complexes, qui constituent un marché d une réelle importance depuis les années
Processus aléatoires avec application en finance
Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et
MARTINGALES POUR LA FINANCE
MARTINGALES POUR LA FINANCE une introduction aux mathématiques financières Christophe Giraud Cours et Exercices corrigés. Table des matières I Le Cours 7 0 Introduction 8 0.1 Les produits dérivés...............................
Estimation du coût de l incessibilité des BSA
Estimation du coût de l incessibilité des BSA Jean-Michel Moinade Oddo Corporate Finance 22 Juin 2012 Incessibilité des BSA Pas de méthode académique reconnue Plusieurs méthodes «pratiques», dont une usuelle
Résumé... 9... 10... 10... 10
Bibliographie 1 Table des matières Table des matières.................................... 3 Résumé............................................ 9........................................ 10........................................
Petite introduction aux mathématiques des dérivés financiers (notes de cours, version provisoire)
Petite introduction aux mathématiques des dérivés financiers notes de cours, version provisoire Michel Miniconi Département de Mathématiques Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné Université de Nice Sophia-Antipolis
1 Introduction et modèle mathématique
Optimisation parallèle et mathématiques financières Optimisation parallèle et mathématiques financières Pierre Spiteri 1 IRIT ENSEEIHT, UMR CNRS 5505 2 rue Charles Camichel, B.P. 7122 F-31 071 Toulouse,
Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing
Introduction à l analyse numérique : exemple du cloud computing Tony FEVRIER Aujourd hui! Table des matières 1 Equations aux dérivées partielles et modélisation Equation différentielle et modélisation
ERRATA ET AJOUTS. ( t) 2 s2 dt (4.7) Chapitre 2, p. 64, l équation se lit comme suit : Taux effectif = 1+
ERRATA ET AJOUTS Chapitre, p. 64, l équation se lit comme suit : 008, Taux effectif = 1+ 0 0816 =, Chapitre 3, p. 84, l équation se lit comme suit : 0, 075 1 000 C = = 37, 50$ Chapitre 4, p. 108, note
Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
QUESTIONS D ENTRETIENS EN FINANCE DE MARCHE
QUESTIONS D ENTRETIENS EN FINANCE DE MARCHE Le présent document est un recueil de questions, la plupart techniques, posées à des candidats généralement jeunes diplômés, issus d école d ingénieurs, de commerce
Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA
Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Soutenance de doctorat, sous la direction de Pr. Bilodeau, M. et Pr. Ducharme, G. Université de Montréal et Université
Calculating Greeks by Monte Carlo simulation
Calculating Greeks by Monte Carlo simulation Filière mathématiques financières Projet de spécialité Basile Voisin, Xavier Milhaud Encadré par Mme Ying Jiao ENSIMAG - Mai-Juin 27 able des matières 1 Remerciements
Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Mathématiques pour la finance Définition, Evaluation et Couverture des Options vanilles Version 2012
Mathématiques pour la finance Définition, Evaluation et Couverture des Options vanilles Version 2012 Pierre Andreoletti pierre.andreoletti@univ-orleans.fr Bureau E15 1 / 20 Objectifs du cours Définition
DIPLOME D'ETUDES APPROFONDIES EN ECONOMIE ET FINANCE THEORIE DES MARCHES FINANCIERS. Semestre d hiver 2001-2002
Département d économie politique DIPLOME D'ETUDES APPROFONDIES EN ECONOMIE ET FINANCE THEORIE DES MARCHES FINANCIERS Semestre d hiver 2001-2002 Professeurs Marc Chesney et François Quittard-Pinon Séance
Hedging delta et gamma neutre d un option digitale
Hedging delta et gamma neutre d un option digitale Daniel Herlemont 1 Introduction L objectif de ce projet est d examiner la couverture delta-gamma neutre d un portefeuille d options digitales Asset-Or-Nothing
Calibration de modèles et couverture de produits dérivés
Calibration de modèles et couverture de produits dérivés Peter Tankov To cite this version: Peter Tankov. Calibration de modèles et couverture de produits dérivés. DEA. Calibration de modèles et couverture
Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
3ème séance de Mécanique des fluides. Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait. 2 Écoulements potentiels
3ème séance de Mécanique des fluides Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait 1 Généralités 1.1 Introduction 1.2 Équation d Euler 1.3 Premier théorème de Bernoulli 1.4
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.
L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Travail en collaboration avec F.Roueff M.S.Taqqu C.Tudor
Paramètre de longue mémoire d une série temporelle : le cas non linéaire Travail en collaboration avec F.Roueff M.S.Taqqu C.Tudor Notion de longue mémoire Les valeurs d une série temporelle X = (X l )
Health Monitoring pour la Maintenance Prévisionnelle, Modélisation de la Dégradation
Health Monitoring pour la Maintenance Prévisionnelle, Modélisation de la Dégradation Laurent Denis STATXPERT Journée technologique "Solutions de maintenance prévisionnelle adaptées à la production" FIGEAC,
Espérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Evaluation des options parlatransformée de Fourier
Evaluation des options parlatransformée de Fourier Bogdan Negrea Juin 00 y Abstract Le modèle de Black et Scholes a pour hypothèse la constance de la volatilité associée à la distribution risque-neutre.
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Circuits RL et RC. Chapitre 5. 5.1 Inductance
Chapitre 5 Circuits RL et RC Ce chapitre présente les deux autres éléments linéaires des circuits électriques : l inductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux éléments, et ensuite
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Introduction. aux équations différentielles. et aux dérivées partielles
Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr
INTRODUCTION INTRODUCTION
INTRODUCTION INTRODUCTION Les options sont des actifs financiers conditionnels qui donnent le droit mais pas l'obligation d'effectuer des transactions sur des actifs supports. Leur intérêt réside dans
Groupoïdes quantiques mesurés : axiomatique, étude, dualité, exemples
Groupoïdes quantiques mesurés : axiomatique, étude, dualité, exemples Franck LESIEUR Mathématiques et Applications, Physique Mathématique d Orléans UMR 6628 - BP 6759 45067 ORLEANS CEDEX 2 - FRANCE e-mail
Approximations comonotones pour le prix d une option d achat Européenne en présence de dividendes discrets
Approximations comonotones pour le prix d une option d achat Européenne en présence de dividendes discrets - Pierre-Alain PATARD (Université Lyon 1, Laboratoire SAF, CMCIC, Asset Management) - Jean Claude
0 h(s)ds et h [t = 1 [t, [ h, t IR +. Φ L 2 (IR + ) Φ sur U par
Probabilités) Calculus on Fock space and a non-adapted quantum Itô formula Nicolas Privault Abstract - The aim of this note is to introduce a calculus on Fock space with its probabilistic interpretations,
Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Mesure et gestion des risques d assurance
Mesure et gestion des risques d assurance Analyse critique des futurs référentiels prudentiel et d information financière Congrès annuel de l Institut des Actuaires 26 juin 2008 Pierre THEROND ptherond@winter-associes.fr
C algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.
Université Paul Verlaine - METZ LMAM 6 décembre 2011 1 2 3 4 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. G un groupe de Lie, Ĝ l ensemble
Cours de Calcul stochastique Master 2IF EVRY. Monique Jeanblanc
Cours de Calcul stochastique Master 2IF EVRY Monique Jeanblanc Septembre 26 2 Contents 1 Généralités 7 1.1 Tribu............................................... 7 1.1.1 Définition d une tribu.................................
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Fonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Décomposition de Föllmer-Schweizer. explicite d un passif d assurance vie. au moyen du calcul de Malliavin
Décomposition de Föllmer-Schweizer explicite d un passif d assurance vie au moyen du calcul de Malliavin Mémoire présenté par Sébastien de Valeriola en vue de l obtention du master en sciences actuarielles
Compression Compression par dictionnaires
Compression Compression par dictionnaires E. Jeandel Emmanuel.Jeandel at lif.univ-mrs.fr E. Jeandel, Lif CompressionCompression par dictionnaires 1/25 Compression par dictionnaire Principe : Avoir une
Couverture des risques dans les marchés financiers
énéral2.6.137 1 2 Couverture des risques dans les marchés financiers Nicole El Karoui Ecole Polytechnique,CMAP, 91128 Palaiseau Cedex email : elkaroui@cmapx.polytechnique.fr Année 23-24 2 Table des matières
Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Optimisation et programmation mathématique. Professeur Michel de Mathelin. Cours intégré : 20 h
Télécom Physique Strasbourg Master IRIV Optimisation et programmation mathématique Professeur Michel de Mathelin Cours intégré : 20 h Programme du cours d optimisation Introduction Chapitre I: Rappels
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Produits de crédit en portefeuille
Chapitre 6 Produits de crédit en portefeuille et défauts corrélés Dans ce chapitre, on étudie des produits financiers de crédit en portfeuille, notamment k th -to-default swap et CDOs (voir 1.2 pour une
H Soumaré : Rapport de stage Page 1
H Soumaré : Rapport de stage Page 1 Contents 1. Introduction :... 3 Remerciements :... 3 Présentation de l entreprise :... 5 2. Valorisation de l option asiatique... 9 2.1 Démarche :... 11 2.2 Complexité
Equations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Une application de méthodes inverses en astrophysique : l'analyse de l'histoire de la formation d'étoiles dans les galaxies
Une application de méthodes inverses en astrophysique : l'analyse de l'histoire de la formation d'étoiles dans les galaxies Ariane Lançon (Observatoire de Strasbourg) en collaboration avec: Jean-Luc Vergely,
Modèle GARCH Application à la prévision de la volatilité
Modèle GARCH Application à la prévision de la volatilité Olivier Roustant Ecole des Mines de St-Etienne 3A - Finance Quantitative Décembre 2007 1 Objectifs Améliorer la modélisation de Black et Scholes
(Risque de migration) J.Janssen,Solvay Business School, Brussels R.Manca,La Sapienza, Roma
(Risque de migration) J.Janssen,Solvay Business School, Brussels R.Manca,La Sapienza, Roma Giuseppe Di Biase, Università G. D Annunzio di Chieti, Chieti Guglielmo D Amico, Università G. D Annunzio di Chieti,
Polynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Simulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Méthodes numériques et éléments de programmation
Travaux Pratiques du cours Méthodes numériques et éléments de programmation Guy Munhoven Année académique 2014-2015 Version 1.0.2 (16/09/2012) Chapitre 1 Calcul des intérêts d un prêt. Tableau d amortissement.
Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1
Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs
Valorisation d es des options Novembre 2007
Valorisation des options Novembre 2007 Plan Rappels Relations de prix Le modèle binomial Le modèle de Black-Scholes Les grecques Page 2 Rappels (1) Définition Une option est un contrat financier qui confère
UNIVERSITE DES ANTILLES et DE LA GUYANE Campus de Fouillole BP250-97157 Pointe-à-Pitre Cedex CONTRAT 2010-2013 LE MASTER NOM DU DOMAINE STS
UNIVERSITE DES ANTILLES et DE LA GUYANE Campus de Fouillole BP20-9717 Pointe-à-Pitre Cedex CONTRAT 2010-201 LE MASTER NOM DU DOMAINE STS Mention : Mathématiques Implantation : Guadeloupe FICHES DESCRIPTIVES
1. Prolongements de la théorie des options i. Rappel de la théorie de la valorisation des actifs contingents
1 Plan du cours de Théorie financière III 1. Prolongements de la théorie des options i. Rappel de la théorie de la valorisation des actifs contingents ii. Modèles de structure par terme des taux d intérêt