Exercices de mathématiques des oraux de^ l'ecole polytechnique et des Écoles normales supérieures

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1 SERGE FRANCINOU HERVÉ GIANELLA SERGE NICOLAS Exercices de mathématiques des oraux de^ l'ecole polytechnique et des Écoles normales supérieures Analyse. Tome II CASSINI

2 Table des matières Introduction 1 Chapitre 1. Intégration Un calcul (1) Un calcul (2) Une inégalité (1) Une inégalité (2) Inégalité de Young Cas d'égalité dans le théorème de majoration Une inégalité (3) Inégalité de Van der Corput Encadrement impossible Majoration de l'erreur dans la méthode des trapèzes Méthode des trapèzes pour une fonction convexe Recherche d'un minimum Utilisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (1) Utilisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (2) Utilisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz (3) Etude de u n+ i/u n avec u n = gf n Inégalité de Wirtinger Fonctions dont les deux premiers moments sont nuls Fonctions dont les n premiers moments sont nuls Recherche d'orthogonal Méthode de Gauss Une somme de Riemann Étude asymptotique des sommes de Riemann Découpage en morceaux de même aire Estimation d'une suite de coefficients binomiaux Lemme de Riemann-Lebesgue Deuxième formule de la moyenne Suites équiréparties : généralités Suites équiréparties : critère de Weyl Suites équiréparties : un exemple Calcul de Tin ( b - cosx ) àx 52 io V a cos x ) 347

3 348 TABLE DES MATIÈRES Mesure du domaine d'annulation d'une fonction Limite de ( / /" J en 0 et en Équivalent d'une primitive de x 1 > e x Recherche de limite Équivalent des intégrales de Wallis Recherche d'un équivalent (1) Recherche d'un équivalent (2) Recherche d'un équivalent (3) Développement asymptotique (1) Développement asymptotique (2) Méthode de Laplace (1) Méthode de Laplace (2) Développement en série entière de x H-> (arcsin x) Lemme de Gronwall (1) Lemme de Gronwall (2) Moyenne spatiale Une équation intégrale (1) Une équation intégrale (2) Une équation intégrale (3) Une équation intégrale (4) Indice d'un lacet Une preuve du théorème de d'alembert-gauss 89 Chapitre 2. Suites et séries de fonctions 2.1. Majoration sur une demi-droite Une décomposition en série de la valeur absolue Fonctions continues presque additives Contrôle uniforme de séries alternées gg 2.5. Étude de continuité Convergence uniforme des séries de Dirichlet Convergence de ^b n sinnt Suite ne convergeant uniformément sur aucun ouvert... 10g 2.9. Continuité et convergence de fonctions Série normalement convergente de somme non dérivable Régularité d'une série trigonométrique Série de primitives successives Équivalent d'une série de fonctions Courbe de Bolzano Interversion série-intégrale Sur le théorème d'intégration d'une série de fonctions Polynômes de Bernstein Théorème de Chudnovsky 12g g3

4 TABLE DES MATIÈRES Algèbre des fonctions presque périodiques Théorème de Korovkin (1953) Approximation de Laguerre 137 / _\ n Convergence de la suite de fonctions zi > ( 1 -\ ) Développement eulérien de la cotangente Produits infinis (1) Produits infinis (2) Développement eulérien du sinus sur C Théorème de Dini Un théorème de point fixe Suite de fonctions lipschitziennes sur un compact Convergence uniforme de suites de fonctions convexes Théorème d'ascoli Théorème de sélection de Helly Critère de convergence uniforme 165 Chapitre 3. Séries entières Rayon de convergence (1) Rayon de convergence (2) Rayon de convergence (3) Rayon de convergence (4) Étude d'une série entière sur le cercle de convergence Le théorème d'abel-dirichlet Calcul de la somme d'une série entière Calcul de la somme de séries de fonctions Expression de Yl a n P +k z np+k en fonction de J2 a nz n 180 n=0 n=0 +00, Calcul de V -^- 182 n=o (5n)! Calculs de sommes de séries alternées Développement en série entière des fractions rationnelles Développement en série entière de 2 T ax + ax x Séries génératrices de deux suites récurrentes Partitions d'un entier en parts fixées Série génératrice du nombre de partitions de n Signe des dérivées successives de ln(a x) \u(x + a) Développement en série entière (1) Développement en série entière (2) Développement en série entière (3) Recherche d'un équivalent.. ' Comparaison de sommes de séries quand \im a n /b n = l.. 207

5 350 TABLE DES MATIERES Un théorème de Gauss Série de Lambert Théorèmes taubériens Condition suffisante d'injectivité d'une fonction définie par une série entière Théorème de Bieberbach dans le cas réel Série de Laurent telle que F(p) Z, pour p entier assez grand Caractérisation des fonctions réelles analytiques Un théorème de Bernstein Principe des zéros isolés Nullité sur un arc du cercle de convergence Série entière à coefficients entiers, bornée sur son disque de convergence Fonctions entières de partie réelle bornée Fonction entière vérifiant \f{z)\ ^ e Kl ' 2 ' Relation entre Â/ a n et z Principe du maximum pour une fraction rationnelle Principe du maximum Critère de convergence simple d'une suite de séries entières Complétude de l'espace des fonctions continues sur D, développables en série entière sur D Un théorème de Fejér Fonction entière telle que /(2 n ) = (-l) n 255 Chapitre 4. Séries de Fourier Calcul d'intégrales Majoration de la norme de la dérivation Inégalité de Bernstein (1912) Fonction 27r-périodique orthogonale aux polynômes trigonométriques de degré < n Une inégalité Inégalité de Hilbert (1) Inégalité de Hilbert (2) Calcul de sommes de séries Développement eulérien de la fonction cotangente Développement en série de Fourier (1) Calcul d'intégrales par développement en série de Fourier Développement en série de Fourier (2) Calcul de la somme d'une série trigonométrique Recherche d'équivalent Formule sommatoire de Poisson Un cas particulier de la formule sommatoire de Poisson.. 294

6 TABLE DES MATIERES Série génératrice des nombres de Bernoulli Série de Fourier d'une primitive Inégalité de Wirtinger Solutions périodiques de x' = F(x) Résolution d'une équation différentielle Étude de convergence uniforme Condition suffisante d'analycité Le phénomène de Gibbs Théorème de Weierstrass trigonométrique Théorème de Jackson (1911) Un théorème de Bernstein (1912) Noyau de Poisson Théorème de Fejér (1904) Complétude pour la norme quadratique Fonctions dont la série des coefficients de Fourier converge absolument Convergence de la série de Fourier d'une fonction a- hôldérienne Opérateurs de convolution 342 Index 353