MISE EN ŒUVRE DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS

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1 MISE EN ŒUVRE DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS R. HASSANI

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4 Table des matières Introduction... p 5 Partie A Partie B Partie C Rappels et généralités A.1 L approximation par éléments finis... p 7 A.1.1 Bases de polynômes... p 8 A.1.2 Élément réel, élément de référence et transformation géométrique... p 8 A.2 Le problèmes type : la conduction de la chaleur en régime stationnaire... p 11 A.3 Discrétisation par éléments finis... p 12 A.4 Exemple d un problème à inconnue vectorielle... p 13 Mise en œuvre de la M.E.F B.1 Organisation générale d un code d éléments finis... p 17 B.2 Le pré-traitement : le maillage et l organisation des données... p 18 B.2.1 Description du mailleur «meshdel»... p 18 B.2.2 Organisation des données... p 20 B.3 Une «petite librairie» d éléments... p 27 B.3.1 Deux éléments linéiques (1D)... p 27 B.3.2 Deux éléments triangulaires (2D)... p 28 B.3.3 Deux éléments quadrilatéraux (2D)... p 28 B.3.4 Un élément tétraédrique (3D)... p 29 B.3.5 Un élément hexaédrique (3D)... p 30 B.3.6 Calcul du jacobien et des dérivées cartésiennes... p 30 B.3.7 Organisation de la librairie... p 32 B.3.8 Tests à réaliser... p 33 B.4 L intégration numérique... p 35 B.4.1 Formule d intégration sur un segment... p 35 B.4.2 Formule d intégration sur un carré... p 35 B.4.3 Formule d intégration sur un triangle... p 36 B.4.4 Formule d intégration sur un cube... p 36 B.4.5 Formule d intégration sur un tétraèdre... p 36 B.4.6 Organisation des routines liées à l intégration... p 37 B.4.7 Tests à réaliser... p 38 B.5 Le stockage de matrices creuses et la résolution de systèmes linéaires... p 39 B.5.1 Structure des systèmes linéaires issus de la M.E.F.... p 39 B.5.2 Le stockage par ligne de ciel... p 40 B.5.3 Une routine de factorisation de matrices symétriques... p 41 B.5.4 Organisation du «solveur»... p 41 B.5.5 Tests à réaliser... p 44 B.6 La procédure d assemblage... p 45 B.6.1 Organisation du calcul des matrices et vecteurs élémentaires... p 46 B.6.2 Organisation de l assemblage des matrices élémentaires... p 47 B.6.3 Tests à réaliser... p 47 B.7 Organisation générale du calcul du vecteur et de la matrice du système... p 49 B.7.1 Calcul d une matrice et d un vecteur élémentaire... p 50 B.7.2 La prise en compte des conditions aux limites de type Dirichlet... p 51 B.7.3 Organisation générale... p 52 B.7.4 Remarques sur le calcul des charges surfaciques... p 54 B.7.5 Tests à réaliser... p 56 B.8 Le post-traitement : le calcul des grandeurs dérivées... p 57 B.8.1 Le calcul des flux et des contraintes... p 57 B.8.2 La visualisation des grandeurs tensorielles... p 58 Ensemble de tests à réaliser au cours du développement C.1 L interpolation sur un élément de référence... p 61 C.2 Le calcul des dérivées cartésiennes... p 63 C.3 L intégration numérique... p 64 C.4 Le stockage par ligne de ciel... p 65 C.5 La décomposition LDU et la résolution... p 66 C.6 L assemblage... p 66 C.7 Le calcul des forces nodales... p 67 C.8 Des exemples complets... p 68

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6 Introduction Ce cours se veut être un premier apprentissage de la mise en œuvre effective de la méthode des éléments finis (M.E.F.). Le but n est pas d exposer tous les aspects que recouvre cette méthode et toutes les particularités qu elle peut présenter dans les différents domaines de la Physique et des Sciences de l Ingénieur. Au contraire, on a choisi une initiation par l exemple en traitant un seul problème type : la conduction de la chaleur. Par une description détaillée des différentes étapes nécessaires à la programmation de cette méthode et par une série de " travaux pratiques», on construit progressivement un code d éléments finis. Chaque étape est accompagnée par une suite de tests à réaliser en vue de la valider. Moyennant quelques changements, le code final, on l espère, pourra être adapté aux traitements de problèmes différents de celui présenté ici. En particulier, certains aspects étudiés et programmés, comme :! l utilisation d un mailleur 2D, et la récupération des données liées aux maillages,! le développement d une librairie (plus ou moins riche) d éléments,! les techniques d intégration numérique,! l utilisation de méthodes de résolution de systèmes linéaires et de stockage de matrices creuses, seront directement réutilisables. Les aspects théoriques (convergence, espaces fonctionnels, formulations variationnelles, etc.) de la M.E.F. ne sont pas abordés. On renvoie aux différents cours théoriques du Master et aux ouvrages de référence (tels que R. Dautray et J.L. Lions, Analyse mathématique et calcul numérique pour les sciences et techniques, vol. 6, Masson ; P.A. Raviart et J.M. Thomas, Introduction à l analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Masson ; P.G. Ciarlet, The finite Element Method for Elliptic Problems, North Holland) Dans la première partie, on trouvera un rapide rappel de la méthode et la présentation du problème type. On y expose aussi à titre indicatif un problème à inconnue vectorielle : la déformation d un solide élastique, en montrant que les discrétisations des deux problèmes peuvent être mis sous une même forme standard. La deuxième partie est consacrée à la programmation des différentes étapes de la méthode. La troisième partie présente la liste des tests à effectuer au cours du développement. Références (disponibles à la B.U. ou sur internet) Pour une première lecture, on peut conseiller les documents suivants! G. Dhatt et G. Touzot : Une présentation de la méthode des éléments finis, Maloine, (ce polycopié en est largement inspiré)! B. Lucquin et O. Pironneau : Introduction au calcul scientifique, Masson, 1996.! J. Garrigues : La méthode des éléments finis, (petit cours disponible en différents formats sur internet : Les ouvrages suivants demandent une connaissance plus approfondie mais restent abordables! J.-L. Batoz et G. Dhatt : Modélisation des structures par éléments finis, Hermès, 1990.! K.-J. Bathe : Finite Element Procedures, Prentice-Hall, (Un grand classique. On y trouvera beaucoup de choses utiles à la mécanique des solides, des fluides à la thermique, etc.)

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8 PARTIE A Rappels et généralités A.1 L approximation par éléments finis Soit f une fonction définie sur un domaine! "! n (n = 1, 2 ou 3). Notons f k les valeurs qu elle prend en N points x k de! arbitraires. Si le calcul de f n est pas évident, on peut chercher une approximation de f consistant à trouver une fonction f plus facilement calculable et telle que les distances entre f et f aux points x k soient minimales en un certain sens. Les N points de contrôle x k sont appelés les nœuds de l approximation. Si l on choisit de minimiser le carré de la norme quadratique de l écart (! k ( f k " f k ) 2 ) on aboutit à la méthode des moindres carrés. Si l on impose la nullité des N écarts f k! f k on définit une approximation (une interpolation) nodale ; les N valeurs f k sont alors appelées les variables nodales de l approximation. Dans tous les cas il faut bien sûr s imposer la forme mathématique de la fonction f. Si l on choisit classiquement une fonction polynomiale, on introduit M paramètres : les coefficients du polynôme. Trouver la fonction approchée revient donc à déterminer ces M coefficients. Pour une approximation nodale on choisira M = N, c est à dire égalité entre le nombre d inconnues et le nombre de données. On conçoit alors que la construction de la fonction approchée soit lourde (et instable) si N est grand. Pour contourner cette difficulté on découpe le domaine! en sous-domaines! e contenant n e points de contrôle (n e < N) ce qui permet de définir sur chacun d eux une approximation nodale f e à un nombre restreint de paramètres (mais non forcément limité aux seuls n e variables attachées aux nœuds de! e ). On nomme ce type d approximation, approximation nodale par sous-domaines. L approximation par éléments finis est une approximation par sous-domaines, pour laquelle : " La partition en sous-domaines et un recouvrement de! sans recouvrement entre sous-domaines : # ", %! =!! e,! e "! e = ou un noeud, % & ou une arête, e ( e, " l approximation sur chaque! e ne fait intervenir que les variables nodales attachées aux n e nœuds que contient! e, " les fonctions approchées f e sont continues sur chaque! e, " les valeurs f e (x p ) et f e (x p ) en un nœud x p commun aux deux sous-domaines! e et! e sont égales (continuité de la fonction approchée). Les sous-domaines! e munis de leur interpolation sont appelés éléments. L union de ces éléments forme le maillage du domaine. Pour des raisons pratiques les sous-domaines ont des formes géométriques simples : triangles ou quadrilatères en 2D, tétraèdres, prismes ou hexaèdres en 3D. De plus, les interpolations utilisées dans les codes d E.F. sont presque toujours polynomiales. À l époque où le découpage du domaine se faisait quasiment à la main et lorsque la géométrie du domaine était complexe, il n était pas rare (moyennant quelques règles de conformité) d employer différentes formes d éléments dans le maillage. L automatisation de la procédure de maillage, par le développement de logiciels appropriés (les mailleurs), a raréfié cette habitude.

9 8 A.1.1 Bases de polynômes On rappelle que l espace P des polynômes de degré d est un espace vectoriel dont la dimension dépend du degré d et du nombre de variables n. Par exemple, l espace des polynômes d une variable x et du deuxième degré est un espace de dimension 3 dont la base canonique est constituée par les monômes 1, x, x 2. Degr é nbr. Dim(P) variables 1 2 1, x , x, y 3 4 1, x, y, z 1 3 1, x, x , x, y, xy, x 2, y , x, y, z, xy, yz, zx, x 2, y 2, z , x, x 2, x , x, y, xy, x 2, y 2, x 2 y, xy 2, x 3, y 3 base canonique , x, y, z, xy, yz, zx, x 2, y 2, z 2, xyz, x 2 y, xy 2, y 2 z, z 2 y, z 2 x, x 2 z, x 3, y 3, z 3 Si n e désigne le nombre de nœuds dans un élément! e, alors l interpolation polynomiale d une fonction f sur cet élément, s écrit : n e f (x) =! N i (x)f i, x!! n (n < n e ), i=1 où f i sont les valeurs de f prises aux nœuds et N i sont des polynômes formant une n e "base de polynômes et vérifiant : N i (x k ) =! ki, i,k!{ 1,...,n e }, les x k étant les coordonnées des nœuds de! e. La construction de ces fonctions d interpolation se fait à partir de la base canonique de l espace des polynômes de dimension n e et de la forme géométrique de l élément. On en donnera au B.3 les expressions pour les éléments les plus utilisés. Remarque : si dans un des espaces P on extrait une sous base de m polynômes, on engendre un sous espace de P de dimension m. Par exemple, de la base quadratique (1, x, y, xy, x 2, y 2 ) on peut extraire la sous base bilinéaire constituée des monômes (1, x, y, xy) engendrant un espace de dimension 4. On aura alors une interpolation plus pauvre que l interpolation quadratique mais plus riche que l interpolation linéaire. C est le cas, comme on le verra, des éléments quadrangulaires. A.1.2 Élément réel, élément de référence et transformation géométrique Les fonctions d interpolation N i sur un élément donné dépendent des coordonnées de ses nœuds. Leurs expressions analytiques peuvent donc être «lourdes» à écrire. Pour palier à cet inconvénient et faciliter le codage (mais aussi optimiser les temps de calcul), on introduit la notion d élément de référence qui n est rien d autre qu un élément dont la forme (de même nature que l élément réel) est donnée a priori. La forme des éléments de référence a été standardisée : " les éléments 1D ont pour élément de référence le segment {!;" 1 #! # 1}, " les éléments 2D ont pour élément de référence : " le triangle {(!,"); 1 #! # " 0,! 0, " 0} pour les domaines triangulaires, " le carré {(!,"); # 1 " 1, # 1! 1} } pour les domaines quadrilatères, " les éléments 3D ont pour élément de référence : " le tétraèdre {(!,",#); 1! " # % 0,! % 0, " % 0, # % 0} pour les domaines tétraédriques, " le cube {(!,",#); 1 %! % 1, 1 % " % 1, 1 % # % 1} pour les domaines hexaédriques.

10 9 Ainsi par exemple, pour un élément triangulaire à 3 nœuds de coordonnées (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) et (x 3, y 3 ), la fonction d interpolation attachée au nœud (x 1, y 1 ) a pour expression (S désigne l aire du triangle) N 1 (x, y) = 1 { (y 2S 3! y 2 )(x 2! x)! (x 3! x 2 )(y 2! y) }. Les deux autres fonctions sont obtenues par permutation circulaire des indices. Si (!, ") désigne le correspondant de (x, y) sur l élément de référence, ces fonctions d interpolation ont pour expression : N 1 (!,") = 1 #! # ", N 2 (!,") =!, N 3 (!,") = ", où la transformation «élément réel # élément de référence» fait correspondre au nœud (x 1, y 1 ) le nœud (0,0), au nœud (x 2, y 2 ) le nœud (1,0) et au nœud (x 3, y 3 ) le nœud (0,1). On voit donc sur cet exemple que l expression des fonctions d interpolation est plus simple et ne dépend pas des coordonnées de l élément réel, avantage qui est amplement utilisé dans les codes de calcul sachant, qu en pratique, ces fonctions ne sont calculées qu en des points particuliers (les points d intégration) qui ont des positions x k fixées dans les éléments et ont donc le même correspondant k dans l élément de référence. Il s ensuit que le calcul des fonctions d interpolation n a besoin d être fait qu une seule fois et non autant de fois que d éléments. L interpolation polynomiale sur un élément donné! e s écrit alors (on note x = (x, y),! = (!,") ) : n e f (x) = " N i (!)f i, avec x =! e ("), où # e désigne la transformation géométrique élément de référence # élément réel. i=1 Chaque transformation # e n est évidemment pas unique, mais on lui impose : " d être bijective, " de mettre en correspondance les nœuds de l élément de référence et les nœuds de l élément réel, " de transformer la frontière de l élément de référence en la frontière de l élément réel. Comme la majorité des mailleurs génèrent des éléments à frontière polynomiale (la plupart du temps des segments de droite pour le 2D et des faces planes pour le 3D), on choisit une transformation géométrique à base de polynômes. Elle s écrit donc sous la même forme que l interpolation nodale : n e e x =! e (") = # N i (")x i,!x "# e. i=1 Les fonctions polynomiales N i sont les fonctions de forme de l élément. Si l on choisit les mêmes polynômes N i que ceux utilisés pour l interpolation nodale, on qualifie l élément d isoparamétrique. C est ce que l on supposera dans la suite, même si ce choix n est pas toujours justifié. Exemple : le triangle réel dont les sommets (non alignés) ont pour coordonnées x 1, x 2, x 3 est l image du triangle de référence par une application qui, si les côtés du triangle réel sont rectilignes, est une affinité. La transformation s écrit donc sous la forme : x = F! + c,

11 où F est une matrice 2%2 non dégénérée et c un vecteur constant. En imposant que x i = x(! i ), i = 1, 2, 3, où les! i sont les coordonnées des sommets de l élément de références (c-à-d : (0,0), (1,0), (0,1) ), il vient : # x 1 = F! 1 + c = c, x 2! x 1 = F (" 2! " 1 ) = F 1 & % 0 (, x3! x = F ("! " ) = F # 0 & % 1 (, ce qui montre que la première colonne de F est donnée par x 2! x 1 et la seconde par x 3! x 1. La transformation est donc : x = (x 2! x 1 ) " + (x 3! x 1 ) # + x 1 = (1! "! #) x 1 + " x 2 + # x 3 et on reconnaît bien les trois fonctions d interpolation vues plus haut pour le triangle à 3 nœuds. 10

12 11 A.2 Le problème type : la conduction de la chaleur en régime stationnaire On présente ici le problème qui nous servira d exemple pour illustrer une des façons possibles d aborder un problème issu de la Physique en utilisant la méthode des éléments finis. Après une description rapide des équations régissant le phénomène concerné (formulation forte), on présente de manière heuristique (voir les cours théoriques pour plus de rigueur mathématique!) le passage à une formulation variationnelle du problème (formulation faible). On aurait pu tout aussi bien y parvenir par des considérations énergétiques, mais cela supposerait le lecteur familier avec la physique du phénomène présenté. On cherche la répartition T(x) de la température ainsi que le flux de chaleur dans un domaine! "! n (où n est la dimension de l espace physique : n = 1, 2 ou 3). On note! = "# la frontière de ce domaine. Les équations et données du problème, en régime stationnaire, sont : a) L équation de conservation de la chaleur, traduisant l équilibre des flux : div(q) = r, où q!! n est le vecteur flux de chaleur (quantité de chaleur traversant une surface unité par unité de temps. L unité S.I. du flux de chaleur est le W m -2 ) et r est l apport de chaleur volumique (quantité de chaleur par unité de volume et par unité de temps (unité S.I. : W m -3 )), dû par exemple, à la désintégration d éléments radioactifs présents dans le milieu. b) La loi de Fourier, loi empirique donnant une relation entre flux de chaleur et température : q =!" #T, où est le tenseur de conductivité thermique (unité S.I. : W m -1 K -1 ) et exprime la capacité qu a le milieu à conduire la chaleur. Si le milieu est thermiquement isotrope alors = k I, où I est le tenseur identité et k est le coefficient de conductivité thermique. c) Les conditions aux limites : " condition sur la température : T(x) = T(x), pour tout x!" T (condition de Dirichlet), " condition sur le flux normal : q(x) T!n(x) = "q n, pour tout x # q (condition de Neumann), où! T "! q =! et n désignant la normale unitaire sortante à! q (on a donc n T!"#T = q n sur q ). Remarques : " Le problème en régime transitoire s obtient en rajoutant au second membre de l équation de conservation le terme %c& tt traduisant l inertie thermique du milieu (% : masse volumique, c : chaleur spécifique). " Si le milieu est isotrope ( = k I) et homogène (k indépendant de x) on obtient en injectant la loi de Fourier dans l équation d équilibre, l équation de Poisson : &T = r / k. Une formulation variationnelle du problème On prend comme inconnue principale le champ scalaire T (formulation en température). On désigne par U adm = { T :! "!; T(x) = T(x) sur # T } et par U 0 = { T :! "!; T(x) = 0 sur # T } (pour la régularité du problème on peut supposer que U adm et U o sont inclus dans H 1 (!) ).! Soit alors T une fonction quelconque de U 0 (fonction test, fonction de pondération,..). Multiplions l équation d équilibre par cette fonction et intégrons sur tout le domaine :! # T (divq! r) dv = 0. " En remarquant que div(! T q) =! T divq + q T! "! T et en utilisant la formule de la divergence, on a :! q T " T!!! dv + T q T n ds! T r dv = 0. # % En utilisant le fait que! T = 0 sur! T, la condition aux limites sur le flux normal et la loi de Fourier, le problème devient : ( trouver T!U adm telle que * )% " T! T #"T dv = * % + q! T q n ds + % #! T r dv, &! T!U o.

13 A.3 Discrétisation par la méthode des éléments finis 12 Après avoir choisi une formulation variationnelle, il faut choisir une approximation pour les fonctions inconnues, ici T et choisir les fonctions de pondération! T. En effet, si l on savait résoudre le problème approché «!! T» il s ensuivrait que cette approximation est la solution exacte! La méthode de Galerkin consiste à choisir les fonctions de pondération dans le même espace que la fonction approchée. L avantage pour le problème considéré ici est que l on aboutit à un système d équations symétrique. Soit donc un maillage constitué de nelem éléments possédant chacun nnode nœuds (on supposera pour simplifier que le nombre de nœuds est le même pour tous les éléments). On notera ndime la dimension de l espace physique (1, 2 ou 3). L interpolation E.F. de T (afin de ne pas alourdir les notations on l écrira encore T au lieu de la notation classique T h ) s écrit sur un élément! e : T(x) = nnode N e e! i (x)t i, pour tout x "# e, i=1 où les N e i sont les fonctions d interpolation de l élément! e ( N e i (x) = 0 si x!" e ) et les T e i, les valeurs de T aux nnode nœuds de l élément (T e i = T(x e i ), x e i étant les coordonnées des nœuds de ). On choisit pour! T le même type d approximation (méthode de Galerkin) :! T(x) = Les gradients de T et de T!, vecteurs de! ndime sont donc donnés par nnode!t(x) = " T e i!n e i (x),! T(x)! nnode! = " T e i!n e i (x). i=1 i=1 nnode N e i (x) T! e! i. La forme variationnelle discrète est alors : nelem nnode! + nnode / e - e T i & T j % (!N et i "#!N e j ) dv % N e i r dv N e - & &, % i q n ds0 = 0, 2 T! e i. e=1 i=1.- j=1 e e ( e )* q 1- La forme discrète s écrit donc sous la forme : nelem! # T T e! k e T e " f e = 0, T! e = ( T! e 1,..., T! e nnode ) T %" nnode, e=1 { } où k e est une matrice de dimension nnode % nnode, de composantes (k e ) ij = %!N et i "#!N e j dv, appelée matrice de rigidité (ou raideur) élémentaire et f e est un vecteur de dimension nnode, appelé vecteur charge élémentaire et de composantes ( f e ) i = " N e i r dv + " N e i q n ds.! e #! e % q On voit donc que la forme variationnelle discrète globale se construit par sommation des formes élémentaires. C est cette nature répétitive des opérations qui a contribué au succès de la M.E.F. La somme précédente peut se réorganiser sous la forme! T T!(K T " F ) = 0, #! T " nequa.! T, T et F sont des vecteurs de! nequa (nequa est le nombre total de degrés de liberté, c est-à-dire ici, le nombre de nœuds dans le maillage moins le nombre de nœuds formant la frontière T ) représentant, respectivement, le vecteur global des températures nodales virtuelles, le vecteur global des températures nodales, et le vecteur source global. K est la matrice de rigidité globale (de dimension nequa % nequa). Cette expression étant vraie pour tout! T, le problème à résoudre est donc K T = F e i=1 La procédure consistant à passer des termes élémentaires k e et f e aux termes globaux K et F s appelle l assemblage.

14 A.4 Exemple d un problème à inconnue vectorielle et généralisation des expressions de k e et f e On prend comme exemple le problème de l élasticité statique afin d illustrer un problème où l inconnue est de nature vectorielle (ici le vecteur déplacement). Ce qui suit n est donné qu à titre d exemple. Le reste du document, notamment l exposé des différentes procédures numériques, n étant consacré qu au problème précédent. On montre toutefois que la discrétisation de ce problème peut être mis sous une forme englobant aussi le problème thermique. Ainsi un code basé sur cette écriture peut-il être utilisé aussi bien pour un problème thermique que pour un problème d élasticité. On se place donc en petites déformations et on cherche le champ de déplacement ainsi que le champ de contrainte dans un domaine! "! n composé d un matériau ayant un comportement d élasticité linéaire. On note la frontière de ce domaine. Les équations et données du problème sont : a) L équation d équilibre : div(! ) + f = 0 dans! où ( désigne le tenseur des contraintes de Cauchy (unité S.I.: Pa) et f la densité de force volumique (unité S.I.: N/m 3 ). f peut représenter, par exemple, les forces de pesanteur : f = (g où ( est la masse volumique et g est le vecteur accélération de la pesanteur. b) La loi d élasticité linéaire :! = C" dans! où ) et le tenseur des déformations linéarisé et C est le tenseur (du quatrième ordre) d élasticité, indépendant de x si le milieu est homogène et dont les coefficients s expriment en fonction de 2 paramètres seulement si le milieu est isotrope (la loi d élasticité est alors la loi de Hooke). c) La relation déformations - déplacements en petites déformations :! = 1 2("u + "u T ). d) Les conditions aux limites : " sur le déplacement : u(x) = u(x), pour x!" u (condition de Dirichlet), " sur le vecteur contrainte :!(x)"n(x) = F s (x), pour x #! (condition de Neumann), où! u "! # =!, F s est une densité de force surfacique (unité S.I. : N/m 2 ) et n désigne la normale unitaire à dirigée vers l extérieur. Remarques : " L équation du mouvement dans le cas de la dynamique s obtient en rajoutant les forces d inertie %) t 2 u au second membre de l équation d équilibre (loi fondamentale de la dynamique). " Les conditions aux limites peuvent être «mixtes» sur une portion de la frontière, à condition d être cohérentes. Une formulation variationnelle du problème On prend comme inconnue principale le champ vectoriel u (formulation en déplacement). { } et par U 0 = { u :! "! n ; u(x) = 0 sur # u } On désigne par U adm = u :! "! n ; u(x) = u(x) sur # u régularité du problème on peut supposer que U adm et U 0 sont inclus dans ). Soit alors u!!u 0 un champ virtuel quelconque. On a alors :! u T!(div(") + f ) dv = 0. # En notant que div(! u)! = u! T div(! ) + " u! :! et en utilisant la formule de la divergence, on a :! " u!! : % dv + u T! &% n ds + u T & f dv = 0. # # 13 (pour la En utilisant la nullité de! u sur! u, la condition au limite sur le vecteur contrainte et la symétrie du tenseur de Cauchy, le problème devient (c est le principe des travaux virtuels) : où l on a noté!! :=!(! u) = 1 2("! u + "! u T ). ( trouver u!u adm tel que * )!! % " : # dv = % u T! F s ds + % u T f dv, u!!u o, * + & #

15 14 Cette écriture est valable pour toute loi de comportement. Si l on fait intervenir le comportement élastique on obtient finalement : ( trouver u!u adm tel que * )!! " : C " dv = u T F s ds + * + # % &! u T f dv, u!!u o. # Discrétisation On se place en 3D, puis on spécifiera les changements nécessaires pour le cas de l élasticité plane. L interpolation E.F. du champ de déplacement sur un élément! e est donnée par u(x) = (u x (x),u y (x),u z (x)) T = nnode N e e! i (x) u i, où u i e!! ndime (ndime = 3) est le vecteur déplacement au nœud i de l élément e. On peut la réécrire sous une forme condensée : u(x) = N e (x) u e, où N e désigne la matrice de dimension ndime % nnode N e =! N e 1 I N e e " 2 I... N nnode I I est la matrice unité (ndime % ndime). Soit en 3D :! # N e = # # # " N 1 e 0 N 1 e 0 0 N 2 e 0 0 N 1 e 0 0 N 2 e i=1 e N nnode 0 0 N 2 e #, e N nnode 0 0 e N nnode et u e est un vecteur de! ndime!nnode contenant les déplacements aux nœuds de l élément (on omet l indice e pour ne pas surcharger l écriture) : u e = (u e 1,u e e 2,...,u nnode ) T = (u x 1,u y 1,u z 1 ; u x 2,u y 2,u z x 2 ;...; u nnode y,u nnode 0 & & & & % z,u nnode ) T Noter que le gradient du champ de déplacement, tenseur du second ordre, s écrit!u = u e e # i i "!N i. Mais cette expression ne nous sera pas utile, car c est le tenseur des déformations qui apparaît dans la formulation variationnelle et qui lui est symétrique (donc 6 composantes indépendantes au lieu de 9). D autre part, comme il est plus commode de travailler avec des vecteurs qu avec des matrices, rangeons les 6 composantes de ) dans un vecteur : avec e := (! xx,! yy,! zz,2! xy,2! yz,2! zx ) T 2! kp = " k u p + " p u k, k, p #{ x, y, z}. Ce vecteur s écrit donc en fonction des déplacements nodaux : e = sont " e! x N i 0 0 % e 0! y N i 0 e B e 0 0! z N i i =. e e! y N i! x N i 0 e e 0! z N i! y N i e e #! z N i 0! x N i & nnode B e e! i u i, où les matrices B e i (6 % 3) On peut aussi employer une expression condensée : e(x) = B e (x) u e où u e a été défini plus haut et B e est la matrice (6 % 3nnode) B e =! " B 1 e B 2 e e... B nnode #. i=1

16 15 La loi de l élasticité linéaire sera aussi écrite sous forme «vectorielle» : s := (! xx,! yy,! zz,! xy,! yz,! zx ) T = D e, avec D une matrice (6 % 6) qui fait intervenir les constantes d élasticité et qui s écrit pour le cas isotrope (loi de Hooke) : " 2µ +!!! %! 2µ +!! 0 0 0!! 2µ +! D =, µ µ 0 # µ & où * et µ sont les coefficient de Lamé (*, µ > 0). En résumé, nous avons : " l interpolation élément finis du champ de déplacement : u(x) = N e (x) u e (valable aussi pour le champ! u si l on utilise la méthode de Galerkin), " la relation déformation - déplacement dans cette approximation : e(x) = B e (x) u e, " la relation contrainte - déformation (loi de comportement linéaire) : s(x) = D. e(x), " le produit contracté! : " =! xx." xx +! yy." yy +! zz." zz + 2! xy." xy + 2! yz." yz + 2! zx." zx qui intervient dans la formulation variationnelle, et qui s écrit simplement ici s T e. Injectons ces différents ingrédients dans la formulation variationnelle pour obtenir la forme discrète : avec k e = f e = nelem { }! # u T e! k e u e " f e = 0, u! e %" ndime&nnode, e=1 " B T e D B e dv : la matrice de rigidité élémentaire, de dimension 3nnode % 3nnode,! e " N T e f dv + " N T e F s ds : le vecteur charge élémentaire, de dimension 3nnode! e #! e % & L expression sous forme globale devient! U T!(K U " F ) = 0, # U! " nequa. Étant vraie pour tout! U, le système à résoudre est K U = F. Le cas de l élasticité plane Deux cas sont à étudier, celui des déformations planes et celui des contraintes planes. On supposera dans les deux cas que le domaine physique est dans le plan xoy. 1. Déformations planes :! xz =! yz =! zz = 0. Dans ce cas le tenseur des déformations se range dans un vecteur à 3 composantes indépendantes : e = (! xx,! yy,2! xy ) T.! L état de contrainte associé n est en général pas plan car! zz " 0, mais cette composante se déduit des deux autres composantes normales par la relation! zz = " (! xx +! yy ) où + est le coefficient de Poisson. On pourra donc, dans les calculs, ranger ( dans un vecteur du même type que e : s = (! xx,! yy,! xy ) T. Il ne faudra pas cependant oublier cette composante hors plan,! zz, dans le posttraitement (notamment dans la représentation d invariants de ().

17 La matrice D associée à la loi de Hooke est dans ce cas " 2µ +!! 0 % D =! 2µ +! 0. # 0 0 µ & 16 Quant aux matrices déformation déplacement, B i e (de dimension 3 % 2), elles s écrivent " e! x N i 0 B e i = e 0! y N i e e! y N i! x N # i La dimension de la matrice B e n est donc plus que de 3 % 2nnode 2. Contraintes planes :! xz =! yz =! zz = 0. ( et ) sont rangés comme précédemment dans des vecteurs à 3 composantes : %. & s = (! xx,! yy,! xy ) T, e = (! xx,! yy,2! xy ) T.! L état de déformation associé à un état de contrainte plan n est pas en générale plan car! zz " 0, mais cette composante se déduit des deux autres composantes normales par la relation! zz = "(# # + 2µ) (! xx +! yy ). La matrice D associée à la loi de Hooke s obtient en éliminant la composante hors plan ) zz. Elle s écrit :! # D = # # " A B 0 B A µ & & & % avec A = E 1! " 2 et B =! A, E et * désignant le module de Young et le coefficient de Poisson, respectivement. Remarque : uniformisation des expressions de k e et f e Les matrices et vecteurs élémentaires des deux problèmes discrétisés par éléments finis peuvent se mettre sous une forme unique : k e = " B T e D B e dv et f e = " N T e f dv + " N T e F s ds.! e! e #! e % & Seules changent, selon le problème, les définitions des matrices B e, D et N e. En effet, il est facile de voir que l on a pour le problème thermique : D =, Si l on désigne par " N e = (N e 1, N e e 2,..., N nnode ), B e = #! x N 1 e! y N 1 e! z N 1 e! x N 2 e! y N 2 e! z N 2 e e..! x N nnode e..! y N nnode e..! z N nnode " ndofn le nombre de degrés de liberté par nœud (1 en thermique, ndime en élasticité), " nevab le nombre de degrés de liberté par élément, c est à dire le produit ndofn %nnode, " nstri le nombre de composantes des grandeurs dérivées (ndime pour le flux thermique, 6 pour les contraintes en élasticité 3D, 3 en élasticité plane), les dimensions des divers vecteurs et matrices sont %. & " nevab % nevab pour k e, " nevab pour f e, " nstri % nevab pour B e, " nstri % nstri pour D, " ndofn % nevab pour N e, " ndofn pour F s et f.

18 PARTIE B Mise en œuvre de la M.E.F. B.1 Organisation générale d un code d éléments finis L organisation générale d un code d E.F. pour un problème stationnaire et linéaire se présente comme suit : Remarque : pour les problèmes transitoires et/ou non linéaires une (des) boucle(s) externe(s) aux bloc 3 et 4 sur les pas de temps et/ou sur les pas de linéarisation est (sont) à rajouter. La préparation des données se fait dans le bloc 1. Elle consiste en la définition du problème (lecture sur fichier) :! Propriétés matérielles et géométriques : nombre de sous-domaines à propriétés physiques déterminées, valeurs de ces propriétés (par exemple module de Young E et coefficient de Poisson! ) sur chaque sous-domaine (en général on les prend constantes par sous-domaine ou à répartition spatiale prédéfinie par des fonctions simples).! Conditions aux limites : valeurs imposées de l inconnue (Dirichlet) et de ses dérivées (Neumann).! Lecture d un maillage du domaine : type de maille, coordonnées des nœuds et définition de chaque élément ; liste des nœuds ou des arêtes (des faces en 3D) formant les parties de frontière où sont imposées des conditions aux limites. Cette étape sera étudiée au B.2.

19 Le bloc 2 consiste, à partir des données de maillage (connections entre nœuds), à définir l occupation mémoire optimale de la matrice de rigidité et à organiser son stockage. Ce bloc est placé dans la librairie d algèbre linéaire. Ce problème de stockage sera étudié au B.5. Le bloc 3 représente le «noyau» du code d E.F. Certaines de ces parties sont spécifiques au problème traité, mais son organisation est générale. Comme les matrices et les vecteurs élémentaires nécessitent le calcul d intégrales sur les éléments, il est agencé autour de l intégration numérique. On étudiera sa structure au B.7. Les schémas d intégration numérique associés à différents éléments de référence seront présentés au paragraphe B.4 et la procédure d assemblage au B.5. Le bloc 4, dont l organisation est sensiblement la même que le bloc 3, concerne le calcul, sur chaque élément, des grandeurs dérivées (flux de chaleur) une fois connue l inconnue principale (température). Le post-traitement et la représentation des résultats seront étudiés au B.8. La librairie d éléments finis consiste en une suite de routines adaptées aux différents éléments et où sont calculés :! les fonctions de forme en un point quelconque de l élément de référence,! les dérivées locales (c-à-d, sur l élément de référence) de ces fonctions,! les positions dans l élément de référence des points d intégration et les poids associés,! la matrice jacobienne du passage élément de référence " élément réel, son déterminant J, et les dérivées cartésiennes des fonctions de forme. Elle fait l objet des paragraphes B.3 et B.4. Enfin, dans la librairie d algèbre linéaire, on placera des routines nécessaires à la gestion du stockage de matrice, et des routines de factorisation et de résolution de systèmes linéaires. Organisation de l espace de travail Sur un répertoire camef, on créera les répertoires suivants : camef/source : On y placera tous les fichiers sources. Il sera d ailleurs préférable d organiser les sources en fichiers distincts. À titre indicatif, on pourra ranger toutes les routines de la librairie d éléments dans un fichier unique, libelem.f par exemple, celles d algèbre linéaire dans un fichier libalg.f, etc. camef/tests : On y développera des petits programmes ad hoc qui serviront à tester les différentes parties du code au cours du développement 18 B.2 Le pré-traitement : le maillage et l organisation des données B.2.1 Description du mailleur «meshdel» Ce logiciel est en fait composé de deux mailleurs bidimensionnels. L un est un mailleur topologique très rudimentaire permettant de découper en quadrilatères ou en triangles tout domaine topologiquement équivalent à un carré. Le domaine peut être composé de sous domaines à condition que chacun d eux soit eux mêmes topologiquement équivalent à un carré. Les maillages obtenus sont structurés mais peuvent avoir des mailles de taille variable. L autre, plus général, est basé sur la méthode de Delaunay et génère des maillages à base de triangles pour des domaines à frontières polygonales quelconques. Les maillages obtenus sont alors non structurés et permettent aussi une distribution variable de la taille de maille. Dans chaque cas, des courbures prédéfinies par des fonctions simples (arc de cercle, polynômes, arc d ellipse, arc de sinus) peuvent être imposées à des portions de frontières. Les éléments pouvant être générés par meshdel sont : le triangle à trois nœuds (T3), le triangle à six nœuds (T6), le triangle à sept nœuds (T7), le quadrangle à quatre nœuds (Q4), le quadrangle à huit nœuds (Q8) et le quadrangle à neuf nœuds (Q9). L utilisation de ce mailleur sera étudiée en TP à travers quelques exemples. Décrivons brièvement les données nécessaires à ce logiciel. Le fichier de données se présente ainsi :

20 19

21 20 Le résultat est le maillage suivant nbr d élément : nelem = 952 nbr de nœuds : npoin = 497 nbr de nœuds par élément: nnode = 3 nbr de sous domaines : nmats = 1 nbr de «nœuds Dirichlet» : npntd = 22 nbr de «nœuds Neumann» : npntn = 0 nbr de «facettes Neumann» : nfacn = 10 Noter que pour les conditions aux limites de type Dirichlet seul compte la connaissance des nœuds où les degrés de liberté seront imposés. Leur définition par face dans le fichier d entrée n est qu une commodité. D où le résultat, en terme de nœuds uniquement, affiché ci-dessus. Au contraire, pour les conditions de type Neumann, on distingue les charges distribuées (qu il faudra donc intégrées sur les surfaces où elles s appliquent) et les charges ponctuelles. Cette distinction a besoin d être connue par le code d éléments finis et est donc conservée par le mailleur. Les résultats sont présentés en terme de faces d éléments (ici 10) et de nœuds (ici 0). B.2.2 Organisation des données B Coordonnées et table de connectivité Un maillage est défini par les coordonnées de ses nœuds et la manière dont est défini chaque élément. Le mailleur présenté plus haut générant un maillage où qu un seul type d élément est utilisé (pas de mélange triangles - quadrangles ni mélange d interpolations différentes), tous les éléments ont le même nombre nnode de nœuds. Chaque élément est ainsi défini par la donnée de nnode numéros de nœud. On appellera table de connectivité (ou de topologie) d un élément la liste de ces numéros, notée lnods et de dimension nnode # nelem. Par convention, cette liste est donnée en parcourant les nœuds de l élément dans le sens trigonométrique. Les coordonnées des nœuds sont rangées dans un tableau coord de dimension ndime # npoin, où ndime est la dimension de l espace (1, 2 ou 3) et npoin le nombre de nœuds dans le maillage. Exemple : ndime = 2 nnode = 4 nelem = 2 npoin = 6 Table de connectivité : élément 1 : lnods(*,1) = ( ) élément 2 : lnods(*,2) = ( ) Table des coordonnées : coord(*,1) = (0,0) coord(*,2) = (2,0) coord(*,3) = (0,1) coord(*,4) = (2,1) coord(*,5) = (1,1) coord(*,6) = (1,0) Après utilisation de meshdel ces informations sont disponibles dans les fichiers xxxxxx.cnt de connectivité et xxxxxx.cxy des coordonnées, où xxxxxx est le nom générique (à 6 lettres) du cas étudié. Le premier travail de programmation est donc de lire ces deux fichiers et d initialiser certaines variables de dimensionnement. B Table des nœuds et des faces contraints Les numéros des nœuds à degrés de liberté fixés (conditions de Dirichlet) sont listés dans une table lpntd, leurs références dans une table lrefpd, toutes deux de dimension npntd. De même, les numéros des nœuds où des charges concentrées seront appliquées (conditions de Neumann) sont listés dans une table lpntn, leurs références dans une table lrefpn toutes deux de dimension npntn.

22 21 Les numéros des nœuds formant les facettes d éléments où des charges distribuées seront appliquées (conditions de Neumann) sont rangés dans une table lfacn de dimension noeuf # nfacn où noeuf désigne le nombre de nœuds sur les côtés des éléments (deux pour les éléments linéaires ou bilinéaires, trois pour les éléments quadratiques). Les références attribuées à ces faces sont listées dans une table lreffn de dimension nfacn. Exemple : Condition de Dirichlet Condition de Neumann npntd = 2 lpntd(1) = 2 lrefpd(1) = 1 lpntd(2) = 4 lrefpd(2) = 1 npntn = 1 lpntn(1) = 5 lrefpn(1) = 1 noeuf = 2 nfacn = 2 lfacn(*,1) = (1 6) lreffn(1) = 1 lfacn(*,2) = (6 2) lreffn(2) = 2 Ces informations sont disponibles dans le fichier xxxxxx.lim. B Structure des fichiers xxxxxx.cnt, xxxxxx.cxy et xxxxxx.lim Ci-dessous un aperçu de ces différents fichiers. 1) Fichier de connectivité xxxxxx.cnt CONNECTIVITE DU MAILLAGE nelem npoin ndime nsomt nnode npcon nface nmats npntd nfacn npntn No.Elem No.Mat. (LNODS(i),i=1,nnode) Notes :! nsomt désigne le nombre de nœuds sommets dans l élément (= nnode pour les éléments (bi ou tri) linéaires),! nmats est le nombre de sous domaines (nombre de matériaux),! npcon et nface ne seront pas utilisés. 2) Fichier de coordonnées xxxxxx.cxy COORDONNEES DES NŒUDS DU MAILLAGE No.Nœud X Y E E E E E E E E E E E E+00

23 22 3) Fichier des conditions aux limites xxxxxxx.lim CONDITIONS AUX LIMITES DE TYPE DIRICHLET Nnœud 22 Num_Nœud Référence CONDITIONS AUX LIMITES DE TYPE NEUMANN Nface Nnœud 10 0 Liste des faces élémentaires IP1 IP2 Ref liste des points source (aucun) B Organisation de la préparation et de la lecture des données On définira le problème à traiter (propriétés thermiques et conditions aux limites) ainsi que la discrétisation associée par l intermédiaire d un fichier de paramètres qui sera lu par le programme d éléments finis. Ce fichier de paramètres (xxxxxx.camef par exemple) pourra se présenter ainsi : Description : Nom générique des fichiers maillages (.cnt,.cxy,.lim) therm1 NrefD NrefNp NrefNf.... (nbr de conditions aux limites dans chaque type) Nipts..... (nbr de points d intégration à utiliser) 1 Propriétés thermiques de chaque matériaux (nmats lignes) Ref_mat K r E E-5 Conditions aux limites type Dirichlet (NrefD lignes) Ref Température imposée Conditions aux limites type Neumann par point (NrefNp lignes) Ref Source imposée 1 1E-2 Conditions aux limites type Neumann par face (NrefNf lignes) Ref Flux imposé 1 1E-3 2 1E-3 NrefD, NrefNp et NrefNf sont les nombres de références pour les conditions de Dirichlet, de Neumann ponctuelles et de Neumann réparties, respectivement. Nipts est le nombre de points d intégration à utiliser dans chaque élément pour calculer numériquement les intégrales associées aux matrices élémentaires et vecteurs élémentaires. Ce nombre pourra être défini implicitement dans le code connaissant le type d élément utilisé (information contenu dans le fichier.cnt). Pour plus de souplesse, on a laissé le soin à l utilisateur de le définir, mais cela peut être dangereux (sous-intégration).

24 On développera deux routines de lecture. La première fera la lecture et l initialisation des paramètres entiers qui serviront aux dimensionnement des différents tableaux dont on aura besoin. Elle lira donc en premier le nom générique des fichiers maillage et procédera à leur ouverture. Puis fera la lecture : - dans le fichier xxxxxx.cnt, de : nelem, npoin, ndime, nnode, nmats, npntd, nfacn, npntn, - dans le fichier de paramètres, de : nrefd, nrefnp, nrefnf, nipts. On initialisera dans cette routine les variables entières non lues suivantes : noeuf : le nombre de nœuds par arêtes (en 2D). Ce nombre dépend du type d élément donc de ndime et de nnode. ntotg : le nombre total de points d intégration : ntotg = nipts # nelem Une fois connues ces variables, différents tableaux pourront être alloués (allocation dynamique) dans le programme principal. La deuxième routine procédera à la lecture de la connectivité, des coordonnées, des conditions aux limites et des propriétés de chaque matériaux, initialisera des tableaux utiles pour la suite et calculera le nombre d inconnues du problème. La liste de ces arguments avec leurs dimensions est donnée cidessous Tableaux à lire lnods (nnode,nelem) : table de connectivité (lue dans xxxxxx.cnt) matno (nelem) : numéros de matériau de chaque élément (lue dans xxxxxx.cnt) coord (ndime,npoin) : table des coordonnées des nœuds (lue dans xxxxxx.cxy) lpntd ( npntd) : liste des nœuds de Dirichlet (lue dans xxxxxx.lim) lrefpd( npntd) : liste des références attribuées à ces nœuds (lue dans xxxxxx.lim) lpntn ( npntn) : liste des nœuds de Neumann (lue dans xxxxxx.lim) lrefpn( npntn) : liste des références attribuées à ces nœuds (lue dans xxxxxx.lim) lfacn (noeuf,nfacn) : liste des nœuds formant chacune des faces de Neumann (lue dans xxxxxx.lim) lreffn( nfacn) : liste des références attribuées à ces faces (lue dans xxxxxx.lim) props (2,nmats) : table contenant les valeurs des propriétés thermiques de chaque matériaux (deux par matériau isotrope : K et r, lues dans le fichier de paramètres) Tableaux à construire Ces différents tableaux dont la construction va être détaillée sont les suivants : Tfixe(npoin) : table contenant les éventuelles valeurs connues de T en chaque nœud du maillage (construite à partir des informations lues dans le fichier de paramètres, de lpntd et de lrefpd). iffix(npoin) : table contenant les numéros assignés à chaque inconnue nodale (construite à partir des informations lues dans le fichier de paramètres, de lpntd et de lrefpd). forcc(npntn) : table contenant les valeurs des forces concentrées en chacun des nœuds de Neumann (construite à partir des informations lues dans le fichier de paramètres, de lpntn et de lrefpn). charg(nfacn) : table contenant les valeurs des charges réparties sur chacune des faces de Neumann (construite à partir des informations lues dans le fichier de paramètre, de lfacn et de lreffn). Variable à calculer nequa : le nombre total d équations (d inconnues) 23 1) Description de la construction des tableaux iffix et Tfixe: iffix est un tableau très important pour l organisation du calcul éléments finis. Seuls sont numérotés les d.d.l. non fixés. Ainsi si aucune condition de type Dirichlet n est imposée, le nombre d inconnues est nequa = npoin et le d.d.l. associé au i-ème nœud du maillage reçoit le numéro d inconnue i. S il y a npntd nœuds à T fixée, le nombre d inconnues est nequa = npoin - npntd et les npntd d.d.l. fixés ne doivent pas être numérotés.

25 24 On procédera ainsi : Lire sur xxxxxx.lim : lpntd et lrefpd Initialiser Tfixe et iffix à zéro boucle de i = 1 à nrefd (pour chacune des références définie par Lire sur le fichier de paramètre : l utilisateur, lire le n de cette référence, iref, T et la valeur fixée de T) boucle de j = 1 à npntd jref = lrefpd(j) (parcourir les nœuds de Dirichlet jusquà si (iref = jref) alors trouver ceux portant la référence iref) inœud = lpntd(j) (numéro du nœud) Tfixe(inœud) = T (stocker la valeur imposée à ce nœud) iffix(inœud) = iffix(inœud) + 1 (mettre une valeur non nulle dans iffix) fin_si fin_boucle_j fin_boucle_i À la suite de ces opérations les d.d.l. fixés correspondent à des valeurs non nulles dans iffix. Suggestion : il conviendrait de rajouter un test permettant d envoyer un message d erreur si une référence donnée par l utilisateur dans le fichier de paramètre n est pas trouvée dans la liste lrefpd (incompatibilité entre le fichier de paramètres et les fichiers maillage). Remarque sur le calcul de Tfixe : Si un nœud se trouve à l intersection de deux faces référencées, il apparaît deux fois dans le fichier.lim. C est le cas du nœud de coordonnées (0,0) du maillage en triangles précédent. Ce nœud apparaît avec la référence 1 et avec la référence 2 (c est pourquoi npntd = 22 et non 21). Lorsqu une telle situation se présente, l utilisateur doit en être averti. À ce niveau, la valeur contenue dans iffix en ce d.d.l. peut servir de test pour afficher un message et pour proposer une procédure : faut-il faire la moyenne des deux valeurs imposées? Faut-il en attribuer qu une des deux? La procédure décrite ne garde qu une des deux valeurs. L attribution des numéros d inconnue à chaque d.d.l. et le calcul du nombre effectif d inconnues se fait alors très simplement dans ce deuxième bloc : nequa = 0 (initialisation à zéro du nbr d inconnues) boucle de inœud = 1 à npoin (on parcourt tous les nœuds du maillage) si(iffix(inœud) = 0) alors (si c est un nœud libre : nequa = nequa + 1 on a une inconnue de plus iffix(inœud) = nequa on lui donne ce numéro) sinon (si c est un nœud fixé : iffix(inœud) = 0 on ne lui attribue pas de numéro d incconue) fin_si fin_boucle_inœud Ainsi, par convention, une valeur nulle est attribuée aux nœuds à d.d.l. fixés ; ce qui sera, par la suite, un moyen très simple de savoir si un nœud correspond à une inconnue ou à une donnée. Alternative : un moyen plus économique consiste à placer dans iffix non pas une valeur nulle en cas de d.d.l. fixé mais une valeur négative dont la valeur absolue correspond à la référence attribuée à ce d.d.l. La taille nécessaire du tableau Tfixe n est alors plus que de nrefd au lieu de npoin. 2) Description de la construction des tableaux forcc et charg La procédure est très similaire à la procédure de construction de Tfixe : Initialiser forcc et charg à zéro construction de forcc : boucle de i = 1 à nrefnp (boucle sur les références définies par l utilisateur) lire dans le fichier de paramètres : iref, F (n de référence et valeur imposée) boucle de j = 1 à npntn (boucle sur les npntn nœuds de Neumann) jref = lrefnp(j) (référence du nœud) si (iref = jref) alors (si sa référence correspond à celle lue : forcc(j) = F stocker la valeur imposée) fin_si fin_boucle_j fin_boucle_i

26 25 construction de charg : boucle de i = 1 à nrefnf lire dans le fichier de paramètres : iref, F boucle de j = 1 à nfacn jref = lrfnf(j) si (iref = jref) alors charg(j) = charg(j) + F fin_si fin_boucle_j fin_boucle_i Suggestion : ici aussi on suggère de placer des tests de compatibilité entre références définies dans le fichier de paramètres et références existantes dans les fichiers issus du mailleur.