Correction du devoir de mathématiques n o 4

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1 Correction du devoir de mathématiques n o 4 Exercice 1 : (QCM) Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe C représentative d une fonction f deux fois dérivable sur [ 5 ; 4] ainsi que ses tangentes en certains points. C O f est convexe sur l intervalle [ 3 ; 1,5] : éponse B 2. La courbe C admet deux points d inflexion : éponse B (en x = 1,5 et x = 2) 3. Sur l intervalle [ 5 ; 1,5], la fonction f est croissante : éponse A car f est convexe sur cet intervalle. 4. Pour tout x [ 3 ; 2],f (x) 0 : éponse A car f est croissante sur cet intervalle. 5. f (x) 0 pour tout x de l intervalle [ 1,5 ; 2] : éponse C car f est concave sur cet intervalle.. Une équation de la tangente à C en 1,5 est y = 2x+ : éponse C. Exercice 2 : Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Sur la figure ci-dessous sont représentées les courbes de f, la fonction définie et deux fois dérivable sur, de sa dérivée f et de sa dérivée seconde f. Associons chaque courbe à sa fonction en justifiant à l aide d arguments graphiques. C 1 C 3 O C 2 1/5 22 décembre 2015

2 On remarque que la fonction associée à la courbe C 2 est négative sur [ 0,5 ; ] alors que la fonction associée à la courbe C 1 est décroissante et que la fonction associée à la courbe C 3 est concave sur cet intervalle. De plus, la fonction associée à la courbe C 2 est positive sur [ ; 13] alors que la fonction associée à la courbe C 1 est croissante et que la fonction associée à la courbe C 3 est convexe sur cet intervalle. I étant un intervalle, on a les équivalences : f est convexe sur I f est croissante sur I f est positive sur I; f est concave sur I f est décroissante sur I f est négative sur I. De tout cela, on déduit que la courbe C 3 représente la fonction f, la courbe C 1 représente la fonction f, et la courbe C 2 représente la fonction f. Exercice 3 : On considère la fonction f définie sur [0 ; 10] par f(x) = x 3 18x 2 +81x 55. Partie A : Étude mathématique 1. f est dérivable sur [0 ; 10], f (x) = 3x 2 3x+81, x [0 ; 10] Étude du signe de 3x 2 3x+81 sur [0 ; 10] : 3x 2 3x+81 = 0 Il s agit d une équation du second degré : = b 2 4ac = ( 3) = 324 > 0, donc il existe deux solutions réelles distinctes. x 1 = b 2a x 2 = b+ 2a = ( 3) = ( 3) = 3 18 = 3+18 = 18 = 3 = 54 = 9 x x 2 3x+81 a=3> f est croissante sur [0 ; 3], décroissante sur [3 ; 9], puis croissante sur [9 ; 10]. D où le tableau de variation de f sur [0 ; 10] : x 0 α 3 β 9 10 f (x) f(x) a) f est continue et strictement croissante sur l intervalle [0 ; 3]. L image de [0 ; 3] par f est [ 55 ; 53]. Or 0 [ 55 ; 53]. D après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur l intervalle [0 ; 3]. b) Par balayage sur la calculatrice, { f(0,82) 0,1318 < 0 f(0,83) 0,401 > 0 d où 0,82 < α < 0,83. On admettra pour la suite que f(x) = 0 admet, sur l intervalle [3 ; 10], une autre solution β telle que β [5,9 ; 5,97]. 3. Par lecture du tableau de variation de f sur [0 ; 10], f(x) < 0 sur [0 ; α[ ]β ; 10], f(x) > 0 sur ]α ; β[, et f s annule en α et β /5 22 décembre 2015

3 D où le tableau de signe de f sur [0 ;10] : x 0 α β 10 f(x) Pour déterminer la convexité de f, établissons le signe de la dérivée seconde de f sur [0 ;10]. f est dérivable sur [0 ;10] et f (x) = x 3, x [0 ;10]. Etudions le signe de f sur [0 ;10]. x 3 = 0 x = 3 = x f (x) a=> Du signe de f sur [0 ;10], on déduit que f est concave sur [0 ; ] et convexe sur [ ;10]. Puisque f s annule en, en changeant de signe, le point de la courbe représentative de f d abscisse est un point d inflexion (c est le seul point d inflexion). Partie B : Contexte économique Une entreprise produit entre 0 et 1000 kg (c est-à-dire 1 tonne) d une poudre et réalise un bénéfice donné, en milliers d euros, par la fonction f(x) = x 3 18x 2 +81x 55 où x est la quantité produite, exprimée en centaines de kilogrammes. 1. L entreprise est rentable si le bénéfice est strictement positif, c est-à-dire si f(x) > 0. D après le tableau de signe de f sur [0 ; 10] (question 3.), l entreprise est rentable si x ]α ; β[. Sachant que x est donné en centaines de kilogrammes et en utilisant les encadrements de α et β, l entreprise est rentable si la production est comprise entre 83kg et 59kg. 2. D après le tableau de variation de f sur [0 ; 10], le bénéfice est maximum pour x = 3. x étant en centaines de kilogrammes et f(x) en centaines d euros, le bénéfice maximum est 53000e atteint pour une quantité produite de 300 kg. 3. f est concave sur [0 ; ] donc la croissance du bénéfice est ralentie sur cet intervalle. Par contre, f est convexe sur [ ; 10] donc la croissance du bénéfice est accélérée sur cet intervalle. Au point d inflexion (d abscisse soit 00 kg de production), la croissance du bénéfice est minimale. Exercice 4 : Une enquête a été réalisée auprès des élèves inscrits à la demi-pension d un lycée. Les résultats révèlent que : 95% des élèves déclarent manger régulièrement à la cantine et parmi ceux-ci 70% sont satisfaits de la qualité des repas; 20% des élèves qui ne mangent pas régulièrement à la cantine sont satisfaits de la qualité des repas. On choisit un élève au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension. On note les évènements : : «l élève mange régulièrement à la cantine»; S : «l élève est satisfait». On notera et S les évènements contraires de et S. 1. 0,95 0,7 0,3 S S 0,2 S 0,05 0,8 S La probabilité d un chemin est égale au produit des poids situés sur les branches de ce chemin. 3/5 22 décembre 2015

4 2. Laprobabilitéquel élèvemangerégulièrement àlacantineetsoitsatisfaitdelaqualitédesrepasestp( S). P( S) = P (S)P() = 0,70,95 = 0,5 La probabilité que l élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des repas est 0,5. 3. Les évènements et forment une partition de l univers. D après la formule des probabilités totales, P(S) = P( S)+P( S) = 0,5+P (S)P() = 0,5+0,20,05 = 0,75 Ainsi, la probabilité de l évènement S est égale à 0, Sachant que l élève n est pas satisfait de la qualité des repas, la probabilité qu il mange régulièrement à la cantine est P S (). P( S) P S () = = P (S)P() = 0,30,95 P(S) 1 P(S) 1 0,75 0,877 Sachant que l élève n est pas satisfait de la qualité des repas, la probabilité qu il mange régulièrement à la cantine est 0,877 à 10 3 près. Exercice 5 : La Fédération e-commerce et Vente à Distance (FEVAD) a effectué en octobre 2010 une enquète auprès de 719 à distance âgés de 18 ans et plus. Sur le questionnaire proposé, ces personnes ont été interrogées sur le nombre de familles de produits (vêtements, informatique, loisirs,...) achetés à distance au cours des 12 derniers mois. L étude statistique a permis d obtenir les informations suivantes : 25% 44% de 5 familles de produits ou plus de 1 à 2 familles de produits de 3 à 4 familles de produits Parmi les de 1 à 2 familles de produits, 45 % sont retraités. Parmi les de 3 à 4 familles de produits, 25 % sont retraités. 31% Le responsable des ventes tire un questionnaire au hasard, chacun ayant la même probabilité d être tiré. On note : A l évènement : «Le questionnaire tiré est celui d un acheteur de 1 à 2 familles de produits.» B l évènement : «Le questionnaire tiré est celui d un acheteur de 3 à 4 familles de produits.» C l évènement : «Le questionnaire tiré est celui d un acheteur de 5 familles de produits ou plus.» l évènement : «Le questionnaire tiré est celui d un retraité.» 4/5 22 décembre 2015

5 1. 0,45 A 0,25 0,55 0,25 0,31 B 0,75 0,44? C La probabilité d un chemin est égale au produit des poids situés sur les branches de ce chemin. 2. a) P(A ) = P A ()P(A) = 0,450,25 = 0,1125 = P(A ) = 0,1125 b) La probabilité de l évènement : «Le questionnaire tiré est celui d un retraité acheteur de 3 à 4 familles de produits» est P(B ). P(B ) = P B ()P(B) = 0,250,31 = 0,0775 = P(B ) = 0,0775 c) On sait de plus que 21,7% des interrogés sont des retraités. Donc P() = 0,217. Les évènements A, B et C forment une partition de l univers. D après la formule des probabilités totales, P() = P(A )+P(B )+P(C ) 0,217 = 0,1125+0,0775+P(C ) 0,217 0,1125 0,0775 = P(C ) P(C ) = 0, Le responsable des ventes décide de lancer une campagne publicitaire dès lors que le pourcentage de retraités parmi les de 5 familles de produits ou plus est inférieur à 8%. Autrementdit,leresponsabledesventesdécidedelancerunecampagnepublicitairedèslorsqueP C () < 0,08. Calculons P C () : P(C ) P C () = = 0,027 P(C) 0,44 0,0 Ainsi, le responsable des ventes décide de lancer une campagne publicitaire.? 5/5 22 décembre 2015