Signaux - Systèmes et Automatique

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1 Module I3.5GE Signaux - Systèmes et Automatique Linéaire Yassine Ariba Dpt GEI - Icam, Toulouse. version 3.2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 1 / 1

2 Informations pratiques Contact Tel : yassine.ariba@icam.fr Forum : Moodle. Favorise le partage, l auto-formation, la capitalisation d informations... Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 2 / 1

3 Informations pratiques Contact Tel : yassine.ariba@icam.fr Forum : Moodle. Favorise le partage, l auto-formation, la capitalisation d informations... Organisation du cours Pré-requis : cours de l an dernier, mathématiques depuis le CP! 8h en amphi : cours + exercices. Présentation sur transparents. 2 4h de TP. utilisation de MATLAB R et Simulink R grille d évaluation. 1 examen final (1h). Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 2 / 1

4 Informations pratiques Contact Tel : yassine.ariba@icam.fr Forum : Moodle. Favorise le partage, l auto-formation, la capitalisation d informations... Organisation du cours Pré-requis : cours de l an dernier, mathématiques depuis le CP! 8h en amphi : cours + exercices. Présentation sur transparents. 2 4h de TP. utilisation de MATLAB R et Simulink R grille d évaluation. 1 examen final (1h). Sur Moodle Documents : transparent cours + support rédigé + exercices + sujets TP. Forum. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 2 / 1

5 Sommaire 1 Introduction Exemple introductif Généralités 2 Quelques rappels Modélisation Réponse temporelle Réponse fréquentielle Notion de stabilité Résumé Retour à notre exemple 3 Performances d un asservissement Précision Rapidité Marges de stabilité 4 Synthèse de correcteurs Introduction Synthèse directe : modèle imposé Action proportionnelle Action intégrale Action dérivée Combinaisons d actions Proportionnel-Intégral-Dérivé (PID) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 3 / 1

6 Introduction Exemple introductif Exemple introductif Nous souhaitons piloter la position angulaire d un bras manipulateur. Qu est-ce qu on fait? De quoi avons-nous besoin? Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 4 / 1

7 Introduction Exemple introductif Structure standard d un asservissement Le bras manipulateur est entrainé par un moteur. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 5 / 1

8 Introduction Exemple introductif Structure standard d un asservissement Le bras manipulateur est entrainé par un moteur. Un capteur permet de mesurer la position du bras et l électronique de puissance permet de générer la commande adaptée au moteur. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 5 / 1

9 Introduction Exemple introductif Structure standard d un asservissement Le bras manipulateur est entrainé par un moteur. Un capteur permet de mesurer la position du bras et l électronique de puissance permet de générer la commande adaptée au moteur. Un organe intelligent établit une stratégie de commande. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 5 / 1

10 Introduction Exemple introductif Structure standard d un asservissement Le bras manipulateur est entrainé par un moteur. Un capteur permet de mesurer la position du bras et l électronique de puissance permet de générer la commande adaptée au moteur. Un organe intelligent établit une stratégie de commande. Le système de commande peut être mise en oeuvre sur une carte électronique, un ordinateur, un calculateur... Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 5 / 1

11 Introduction Généralités Généralités : qu est-ce que l Automatique? Ensemble des disciplines scientifiques et techniques pour l étude et la conception de systèmes fonctionnant sans intervention humaine. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 6 / 1

12 Introduction Généralités Généralités : qu est-ce que l Automatique? Ensemble des disciplines scientifiques et techniques pour l étude et la conception de systèmes fonctionnant sans intervention humaine. Objectif : Concevoir une loi de commande pour asservir la sortie du système suivant la consigne. principe de contre-réaction Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 6 / 1

13 Introduction Généralités Structure de commande en boucle fermée classique Perturbations Consigne + - Erreur d'asservissement Contrôleur loi de commande Signal de Commande Système (physique) Sortie réelle Système de commande Sortie mesurée Capteur Objectif : asservir la sortie à la valeur spécifiée en consigne. Le contrôleur génère le signal de commande pour contrôler le système en fonction de l écart entre la consigne et la sortie mesurée. Des perturbations peuvent affecter le comportement du système. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 7 / 1

14 Introduction Généralités Application thermodynamique Régulation de température Entrée : alimentation résistance u(t). Sortie : température de l enceinte θ(t). Perturbations : échange calorifique avec le milieu ambiant θ air (t), introduction d objets. θair(t) θ(t) u(t) R Capteur de température Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 8 / 1

15 Introduction Généralités Application aéronautique Pilotage d un lanceur Entrée : angle de la tuyère β(t). Sortie : angle de déviation Ψ(t) par rapport à la trajectoire de référence. Perturbations : vent, charge carburant variable. xref(t) Ψ(t) x(t) W(t) G β(t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 9 / 1

16 Introduction Généralités Application robotique Suivi de trajectoire d un robot mobile Entrée : vitesse des moteurs des deux roues. Sortie : position et vitesse du robot. Perturbations : type de sol, obstacles. Base mobile Robotino R Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 1 / 1

17 Introduction Généralités Applications académiques Stabilisation d une balle sur une table et d un pendule inversé c Quanser Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 11 / 1

18 Sommaire Quelques rappels 1 Introduction Exemple introductif Généralités 2 Quelques rappels Modélisation Réponse temporelle Réponse fréquentielle Notion de stabilité Résumé Retour à notre exemple 3 Performances d un asservissement Précision Rapidité Marges de stabilité 4 Synthèse de correcteurs Introduction Synthèse directe : modèle imposé Action proportionnelle Action intégrale Action dérivée Combinaisons d actions Proportionnel-Intégral-Dérivé (PID) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 12 / 1

19 Quelques rappels Modélisation Modélisation L étude d un système dynamique nécessite un modèle. relation mathématique : u(t) y(t)? Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 13 / 1

20 Quelques rappels Modélisation Modélisation L étude d un système dynamique nécessite un modèle. relation mathématique : u(t) y(t)? Dans le cas des systèmes linéaires invariants, le modèle s écrit sous la forme d une équation différentielle linéaire à coefficients constants : a ny (n) a 1 ẏ + a y = b mu (m) b 1 u + b u Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 13 / 1

21 Quelques rappels Modélisation Transformée de Laplace La transformée de Laplace d une fonction f(t) est la fonction du nombre complexe s : ˆf(s) = e st f(t)dt On note : ˆf(s) { } = L f(t) et f(t) = L 1{ ˆf(s) }. Propriétés : { } Linéarité : L af(t) + bg(t) = a ˆf(s) + bĝ(s), a et b constants. { } d Dérivation : L dt f(t) = s ˆf(s) f(). { t } Intégration : L f(θ)dθ = 1 ˆf(s). s { } Retard : L f(t τ) = e sτ ˆf(s), τ > et f(t) = t <. Valeur finale : lim f(t) = lim s ˆf(s). t s Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 14 / 1

22 Quelques rappels Modélisation Table des transformées Rappelons que les fonctions temporelles f(t) ci-dessous ne sont définies que pour t. Fonction Dom. temporel f(t) Trans. de Laplace ˆf(s) impulsion de Dirac δ(t) 1 échelon 1 1 s rampe t 1 s 2 puissance n-ième t n n! 1 s n+1 exponentielle décroissante e at 1 s + a Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 15 / 1

23 Quelques rappels Modélisation Table des transformées Rappelons que les fonctions temporelles f(t) ci-dessous ne sont définies que pour t. Fonction Dom. temporel f(t) Trans. de Laplace ˆf(s) sinus cosinus sin ωt cos ωt ω s 2 + ω 2 s s 2 + ω 2 décroissance exponentielle d un sinus décroissance exponentielle d un cosinus e at sin(bt) e at cos(bt) b (s + a) 2 + b 2 s + a (s + a) 2 + b 2 décroissance exponentielle d une puissance n-ième t n n! e at 1 (s + a) n+1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 16 / 1

24 Quelques rappels Modélisation Fonctions de transfert La TL permet de déterminer la fonction de transfert d un système. 5y (3) (t) + 2ÿ(t) + ẏ(t) + 4y(t) = u(t) + 2u(t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 17 / 1

25 Quelques rappels Modélisation Fonctions de transfert La TL permet de déterminer la fonction de transfert d un système. 5y (3) (t) + 2ÿ(t) + ẏ(t) + 4y(t) = u(t) + 2u(t) 5s 3 ŷ(s) + 2s 2 ŷ(s) + sŷ(s) + 4ŷ(s) = sû(s) + 2û(s) G(s) = ŷ(s) û(s) = s + 2 5s 3 + 2s 2 + s + 4 L Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 17 / 1

26 Quelques rappels Modélisation Fonctions de transfert La TL permet de déterminer la fonction de transfert d un système. 5y (3) (t) + 2ÿ(t) + ẏ(t) + 4y(t) = u(t) + 2u(t) 5s 3 ŷ(s) + 2s 2 ŷ(s) + sŷ(s) + 4ŷ(s) = sû(s) + 2û(s) G(s) = ŷ(s) û(s) = s + 2 5s 3 + 2s 2 + s + 4 L Nouvelle relation entre la sortie et l entrée ŷ(s) = G(s)û(s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 17 / 1

27 Quelques rappels Modélisation Schéma-bloc Les fonctions de transfert sont pratiques pour analyser des systèmes plus complexes + + Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 18 / 1

28 Quelques rappels Modélisation Schéma-bloc Les fonctions de transfert sont pratiques pour analyser des systèmes plus complexes + + On a les relations : ŷ 1 (s) = G 1 (s)û(s) ŷ 2 (s) = G 2 (s)û(s) ( ) ŷ(s) = G 3 (s) ŷ 1 (s) + ŷ 2 (s) Transfert équivalent : ( ) ŷ(s) = G 3 (s) G 1 (s) + G 2 (s) û(s) } {{ } F (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 18 / 1

29 Quelques rappels Réponse temporelle Réponse temporelle Calcul explicite de la sortie y(t) à une entrée e(t) donnée. e(t) Système y(t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 19 / 1

30 Quelques rappels Réponse temporelle Réponse temporelle Calcul explicite de la sortie y(t) à une entrée e(t) donnée. e(t) Système y(t) Résolution avec les fonctions de transfert : 1 Exprimer la sortie ŷ(s) = G(s)ê(s). 2 Effectuer une décomposition en éléments simples de ŷ(s). 3 Appliquer la transformée de Laplace inverse (à l aide de la table) ŷ(s) L 1 y(t) pour obtenir le signal dans le domaine temporel. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 19 / 1

31 Quelques rappels Réponse temporelle Exemple : calculons la réponse à un échelon unité du système suivant Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 2 / 1

32 Quelques rappels Réponse temporelle Exemple : calculons la réponse à un échelon unité du système suivant Exprimons le signal de sortie ŷ(s) = 2s + 1 (s + 1)(s + 5) ê(s) = 2s (s + 1)(s + 5) s Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 2 / 1

33 Quelques rappels Réponse temporelle Exemple : calculons la réponse à un échelon unité du système suivant Exprimons le signal de sortie ŷ(s) = 2s + 1 (s + 1)(s + 5) ê(s) = 2s (s + 1)(s + 5) s La réponse se décompose en ŷ(s) = A s + B s C s + 5 Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 2 / 1

34 Quelques rappels Réponse temporelle Exemple : calculons la réponse à un échelon unité du système suivant Exprimons le signal de sortie ŷ(s) = 2s + 1 (s + 1)(s + 5) ê(s) = 2s (s + 1)(s + 5) s La réponse se décompose en ŷ(s) = A s + B s C s + 5 Le calcul des coefficients donne : A = sŷ(s) s= = 1 5 B = (s + 1)ŷ(s) s= 1 = 1 4 C = (s + 5)ŷ(s) s= 5 = 9 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 2 / 1

35 Quelques rappels Réponse temporelle A l aide de la table, nous obtenons la réponse temporelle y(t) = e t 9 2 e 5t 1.8 e(t) y(t) Amplitude Time (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 21 / 1

36 Quelques rappels Réponse temporelle Cas des systèmes du 1 er ordre modèle canonique : ŷ(s) = k τs + 1 ê(s) pour lequel on définit τ la constante de temps et k le gain statique. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 22 / 1

37 Quelques rappels Réponse temporelle Cas des systèmes du 1 er ordre modèle canonique : ŷ(s) = k τs + 1 ê(s) pour lequel on définit τ la constante de temps et k le gain statique. Réponse à un échelon d amplitude e : y(t) = e k (1 e τ 1 t) y(t) y( )= k e 95% y( ) 63% y( ) τ t r5%=3τ t Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 22 / 1

38 Quelques rappels Réponse temporelle Cas des systèmes du 2 nd ordre modèle canonique : Kωn 2 ŷ(s) = s 2 + 2ζω ns + ωn 2 ê(s) où l on définit ζ le coefficient d amortissement, ω n la pulsation propre et K le gain statique. 3 cas pour la réponse indicielle : Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 23 / 1

39 Quelques rappels Réponse temporelle Cas des systèmes du 2 nd ordre modèle canonique : Kωn 2 ŷ(s) = s 2 + 2ζω ns + ωn 2 ê(s) où l on définit ζ le coefficient d amortissement, ω n la pulsation propre et K le gain statique. 3 cas pour la réponse indicielle : cas ζ > 1 : régime apériodique y(t) = Ke [1 + p 2 p 1 p 2 e ζωnt + p 1 p 2 p 1 e ζωnt ] cas ζ = 1 : régime critique ( ] y(t) = Ke [1 1 p 1 t )e ζωnt cas < ζ < 1 : régime pseudo-périodique (ω p = ω n 1 ζ 2 ) y(t) = Ke [1 e ζωnt( cos(ω pt) + ζ ) ] sin(ωpt) 1 ζ 2 Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 23 / 1

40 Quelques rappels Réponse temporelle ζ = 1 Ke =1 Cas ζ ζ = 4 (ici : e = 1, K = 1 et ω n = 1) pas de dépassement quand ζ ou ω n, les temps de réponse et de montée Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 24 / 1

41 Quelques rappels Réponse temporelle ζ = 1 Ke =1 Cas ζ ζ = 4 (ici : e = 1, K = 1 et ω n = 1) pas de dépassement quand ζ ou ω n, les temps de réponse et de montée ζ=.1 Cas < ζ < ζ=.8 Ke =1 (ici : e = 1, K = 1 et ω n = 1) ζπ dépassement : D 1 = 1e 1 ζ dépassement à t = π ω p.4.2 ω n = temps de réponse : t r5% 3 ζω n Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 24 / 1

42 Quelques rappels Réponse fréquentielle Réponse fréquentielle Exemple introductif : circuit RC Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 25 / 1

43 Quelques rappels Réponse fréquentielle Réponse fréquentielle Exemple introductif : circuit RC Régime permanent sinusoïdal : e(t) = e m cos(ωt + φ e) v(t) = v m cos(ωt + φ v) e = e me jφe v = v me jφv Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 25 / 1

44 Quelques rappels Réponse fréquentielle Pour R = 1kΩ et C = 2µF, appliquons la tension e(t) = cos(8t). 1 e(t) v(t) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 26 / 1

45 Quelques rappels Réponse fréquentielle Loi d Ohm : u = Zi Z R = R and Z C = 1 jωc Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 27 / 1

46 Quelques rappels Réponse fréquentielle Loi d Ohm : u = Zi Z R = R and Z C = 1 jωc Appliquons la formule du pont diviseur de tension : v = Z C Z C + Z R e Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 27 / 1

47 Quelques rappels Réponse fréquentielle Loi d Ohm : u = Zi Z R = R and Z C = 1 jωc Appliquons la formule du pont diviseur de tension : v = Z C Z C + Z R e Ainsi, le transfert de e(t) vers v(t) est : T = 1 jωc 1 jωc + R = 1 jωrc + 1. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 27 / 1

48 Quelques rappels Réponse fréquentielle Diagramme de Bode de la fonction de transfert Magnitude (db) Bode Diagram Phase (deg) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 28 / 1

49 Quelques rappels Réponse fréquentielle Diagramme de Bode de la fonction de transfert Magnitude (db) Bode Diagram ω = 8 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 28 / 1

50 Quelques rappels Réponse du circuit pour ω = {.8, 4, 8, 4} Réponse fréquentielle 1 e(t) (ω=.8) v(t) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 29 / 1

51 Quelques rappels Réponse du circuit pour ω = {.8, 4, 8, 4} Réponse fréquentielle 1 e(t) (ω=.8) v(t) 1 e(t) (ω=4) v(t) temps (s) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 29 / 1

52 Quelques rappels Réponse du circuit pour ω = {.8, 4, 8, 4} Réponse fréquentielle 1 e(t) (ω=.8) v(t) 1 e(t) (ω=4) v(t) temps (s) temps (s) 1 e(t) (ω=8) v(t) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 29 / 1

53 Quelques rappels Réponse du circuit pour ω = {.8, 4, 8, 4} Réponse fréquentielle 1 e(t) (ω=.8) v(t) 1 e(t) (ω=4) v(t) temps (s) temps (s) 1 e(t) (ω=8) v(t) 1 e(t) (ω=4) v(t) temps (s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 29 / 1

54 Quelques rappels Réponse fréquentielle Magnitude (db) ω=.8 Bode Diagram ω=4 ω=8 Phase (deg) 45 ω= Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 3 / 1

55 Quelques rappels Réponse fréquentielle Cas général L analyse fréquentielle consiste à étudier la réponse d un système à des entrées sinusoïdales. U(s) u(t) = u sin(ωt) u(t) = u sin(ωt) F(s) Y(s) y(t) = y sin(ωt+φ) y(t) = y sin(ωt+φ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 31 / 1

56 Quelques rappels Réponse fréquentielle Cas général L analyse fréquentielle consiste à étudier la réponse d un système à des entrées sinusoïdales. U(s) u(t) = u sin(ωt) u(t) = u sin(ωt) F(s) Y(s) y(t) = y sin(ωt+φ) y(t) = y sin(ωt+φ) entrée.5.5 sortie Le signal de sortie est aussi sinusoïdale, de même pulsation, d amplitude différente et présente un déphasage. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 31 / 1

57 Quelques rappels Réponse fréquentielle Exemple : considérons le système F (s) =.5 s + 1 Observons sa réponse aux 3 entrées : u 1 = sin(.5 t) u 2 = sin(1.5 t) u 3 = sin(1 t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 32 / 1

58 Quelques rappels Réponse fréquentielle Exemple : considérons le système 1 u 1(t) F (s) =.5 s Observons sa réponse aux 3 entrées : u 1 = sin(.5 t) u 2 = sin(1.5 t).5 y 1 (t) u 3 = sin(1 t) u 2 (t) 1 u 3 (t).5.5 y 2(t) y 3(t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 32 / 1

59 Quelques rappels Un système peut être caractérisé par son amplification = F (jω) Réponse fréquentielle ( ) déphasage= arg F (jω) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 33 / 1

60 Quelques rappels Un système peut être caractérisé par son amplification = F (jω) Réponse fréquentielle ( ) déphasage= arg F (jω) La transmittance F (jω) est obtenue en remplaçant la variable s par jω. Le diagramme de Bode représente le gain et le déphasage en fonction de ω. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 33 / 1

61 Quelques rappels Un système peut être caractérisé par son amplification = F (jω) Réponse fréquentielle ( ) déphasage= arg F (jω) La transmittance F (jω) est obtenue en remplaçant la variable s par jω. Le diagramme de Bode représente le gain et le déphasage en fonction de ω. Exemple : Réponse fréquentielle de F (s) =.5 s + 1 Bode Diagram Magnitude (db) log(.277) ω=1.5 Phase (deg) deg Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 33 / 1

62 Quelques rappels Réponse fréquentielle Tracés élémentaires Terme constant : F (s) = k, (k > ) Fonction de transfert complexe : F (jω) = k F (jω) db = 2log(k) φ = Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 34 / 1

63 Quelques rappels Réponse fréquentielle Tracés élémentaires Terme constant : F (s) = k, (k > ) Fonction de transfert complexe : F (jω) = k F (jω) db = 2log(k) φ = F(jω) db φ 2log k ω +9-9 ω Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 34 / 1

64 Quelques rappels Réponse fréquentielle Tracés élémentaires Dérivateur : F (s) = s Fonction de transfert complexe : F (jω) = jω F (jω) db = 2log(ω) φ = +9 Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 35 / 1

65 Quelques rappels Réponse fréquentielle Tracés élémentaires Dérivateur : F (s) = s Fonction de transfert complexe : F (jω) = jω F (jω) db = 2log(ω) φ = +9 F(jω) db φ ω +9-9 ω Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 35 / 1

66 Quelques rappels Réponse fréquentielle Tracés élémentaires Intégrateur : F (s) = 1 s Fonction de transfert complexe : F (jω) = 1 jω F (jω) db = 2log(ω) φ = arg( j 1 ω ) = 9 Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 36 / 1

67 Quelques rappels Réponse fréquentielle Tracés élémentaires Intégrateur : F (s) = 1 s Fonction de transfert complexe : F (jω) = 1 jω F (jω) db = 2log(ω) φ = arg( j 1 ω ) = 9 F(jω) db φ ω +9-9 ω Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 36 / 1

68 Quelques rappels Réponse fréquentielle Fonction du premier ordre F (s) = τs Fonction de transfert complexe : F (jω) = jτω Module : F (jω) = jτω = τ 2 ω 2 Argument : arg ( F (jω) ) = arg ( 1 ) arg ( 1 + jτω ) = arctan τω 1 F (jω) db = 2log ( 1 + τ 2 ω 2) φ = arctan ( τω ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 37 / 1

69 Quelques rappels Réponse fréquentielle Fonction du premier ordre F (s) = τs -3 F(jω) db 1/τ ω -2db/decade φ 1/τ ω Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 38 / 1

70 Quelques rappels Réponse fréquentielle Fonction du premier ordre F (s) = 1 + τs Fonction de transfert complexe : F (jω) = 1 + jτω Module : F (jω) = 1 + jτω = 1 + τ 2 ω 2 Argument : arg ( F (jω) ) = arg ( 1 + jτω ) = arctan τω 1 F (jω) db = 2log ( 1 + τ 2 ω 2) φ = arctan ( τω ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 39 / 1

71 Quelques rappels Réponse fréquentielle Fonction du premier ordre F (s) = 1 + τs F(jω) db φ 9 3 1/τ 2db/decade ω 45 1/τ ω Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 4 / 1

72 Quelques rappels Réponse fréquentielle Exemple Diagramme de Bode de la fonction de transfert F (s) = 2(1s+1) (1s+1)(s+1) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 41 / 1

73 Quelques rappels Réponse fréquentielle Exemple Diagramme de Bode de la fonction de transfert F (s) = Fonction de transfert : 2 2(1s+1) (1s+1)(s+1) 27.5 Bode Diagram 27 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 41 / 1

74 Quelques rappels Réponse fréquentielle Exemple Diagramme de Bode de la fonction de transfert F (s) = 2(1s+1) (1s+1)(s+1) Fonction de transfert : 2 Fonction de transfert : 1 1s Bode Diagram Bode Diagram 27 Magnitude (db) Magnitude (db) ω= Phase (deg).5 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 41 / 1

75 Quelques rappels Réponse fréquentielle Exemple Diagramme de Bode de la fonction de transfert F (s) = 2(1s+1) (1s+1)(s+1) Fonction de transfert : 2 Fonction de transfert : 1 1s Bode Diagram Bode Diagram 27 Magnitude (db) Magnitude (db) ω= Phase (deg).5 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Fonction de transfert : 1s Bode Diagram Magnitude (db) ω=.1 9 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 41 / 1

76 Quelques rappels Réponse fréquentielle Exemple Diagramme de Bode de la fonction de transfert F (s) = 2(1s+1) (1s+1)(s+1) Fonction de transfert : 2 Fonction de transfert : 1 1s Bode Diagram Bode Diagram 27 Magnitude (db) Magnitude (db) ω= Phase (deg).5 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Fonction de transfert : 1s + 1 Fonction de transfert : 1 s+1 4 Bode Diagram Bode Diagram Magnitude (db) ω=.1 Magnitude (db) ω=1 9 4 Phase (deg) 45 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 41 / 1

77 Quelques rappels Réponse fréquentielle Exemple Diagramme de Bode de la fonction de transfert F (s) = 2(1s+1) (1s+1)(s+1) Somme des tracés 3 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 41 / 1

78 Quelques rappels Réponse fréquentielle Représentation de Nyquist Représentation graphique du transfert F (jω) dans le plan complexe. [ ] [ ] F (jω) = Re F (jω) + j Im F (jω) La courbe est paramétrée par la pulsation ω et doit être orientée suivant le sens des ω croissants. Im ω= Im[F(jω)] Re[F(jω)] ω= Re F(jω) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 42 / 1

79 Exemple : Quelques rappels Réponse fréquentielle F (s) =.5 s + 1 L allure peut être esquissée à partir du diagramme de Bode. Nyquist Diagram.5 Imaginary Axis ω = Real Axis Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 43 / 1

80 Quelques rappels Notion de stabilité Notion de stabilité Considérons le système de fonction de transfert ŷ(s) = 1 s + a û(s). Sa réponse temporelle à un échelon unité est y(t) = 1 ( 1 e at). a Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 44 / 1

81 Quelques rappels Notion de stabilité Notion de stabilité Considérons le système de fonction de transfert ŷ(s) = 1 s + a û(s). Sa réponse temporelle à un échelon unité est y(t) = 1 ( 1 e at). a cas a > cas a < Amplitude y(t) Amplitude y(t) Time (sec) Time (sec) le terme e at tend vers le terme e at tend vers + Propriété de stabilité Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 44 / 1

82 Définition Quelques rappels Notion de stabilité Un système est dit stable si pour toute entrée bornée la sortie est bornée. Théorème Un système de fonction de transfert F (s) est stable si et seulement si tous les pôles de F (s) sont à partie réelle négative, c est-à-dire qu ils appartiennent au demi-plan gauche du plan complexe. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 45 / 1

83 Définition Quelques rappels Notion de stabilité Un système est dit stable si pour toute entrée bornée la sortie est bornée. Théorème Un système de fonction de transfert F (s) est stable si et seulement si tous les pôles de F (s) sont à partie réelle négative, c est-à-dire qu ils appartiennent au demi-plan gauche du plan complexe. Exemples 1 s 2 4 s (s + 1)(s + 3) 1 s(5s + 1) s 2 s 2 + 2s + 2 2s 1 (s + 1)(s + 2)(s 6) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 45 / 1

84 Définition Quelques rappels Notion de stabilité Un système est dit stable si pour toute entrée bornée la sortie est bornée. Théorème Un système de fonction de transfert F (s) est stable si et seulement si tous les pôles de F (s) sont à partie réelle négative, c est-à-dire qu ils appartiennent au demi-plan gauche du plan complexe. Exemples 1 s 2 Instable 4 s +.5 Stable 3 (s + 1)(s + 3) Stable 1 s(5s + 1) Instable s 2 s 2 + 2s + 2 Stable 2s 1 (s + 1)(s + 2)(s 6) Instab Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 45 / 1

85 Quelques rappels Notion de stabilité Critère de Routh Construction d un tableau à partir des coefficients du polynôme caractéristique D(s) = a ns n + + a 1s + a Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 46 / 1

86 Quelques rappels Notion de stabilité Critère de Routh Construction d un tableau à partir des coefficients du polynôme caractéristique D(s) = a ns n + + a 1s + a Procédure : 1 Condition nécessaire : tous les coeff. a i doivent être strictement de même signe. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 46 / 1

87 Quelques rappels Notion de stabilité Critère de Routh Construction d un tableau à partir des coefficients du polynôme caractéristique D(s) = a ns n + + a 1s + a Procédure : 1 Condition nécessaire : tous les coeff. a i doivent être strictement de même signe. 2 Construction du tableau p n a n a n 2 a n 4... p n 1 a n 1 a n 3 a n 5... p n 2 b 1 b 2 b 3... p n 3 c 1 c p. α.. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 46 / 1

88 Quelques rappels Notion de stabilité Critère de Routh Construction d un tableau à partir des coefficients du polynôme caractéristique D(s) = a ns n + + a 1s + a Procédure : 1 Condition nécessaire : tous les coeff. a i doivent être strictement de même signe. 2 Construction du tableau avec b 1 = 1 a n 1 p n a n a n 2 a n 4... p n 1 a n 1 a n 3 a n 5... p n 2 b 1 b 2 b 3... p n 3 c 1 c p an a n 1. α. a n 2 a b 2 = 1 n 3 a n 1 an a n 1. a n 4 a b 3 = 1 n 5 a n 1 an a n 1 a n 6 a n 7 c 1 = 1 b 1 a n 1 a n 3 b 1 b 2 c 2 = 1 b 1 a n 1 a n 5 b 1 b 3 Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 46 / 1

89 Quelques rappels Notion de stabilité Critère de Routh Construction d un tableau à partir des coefficients du polynôme caractéristique D(s) = a ns n + + a 1s + a Procédure : 1 Condition nécessaire : tous les coeff. a i doivent être strictement de même signe. 2 Construction du tableau avec b 1 = 1 a n 1 p n a n a n 2 a n 4... p n 1 a n 1 a n 3 a n 5... p n 2 b 1 b 2 b 3... p n 3 c 1 c p an a n 1. α. a n 2 a b 2 = 1 n 3 a n 1 an a n 1. a n 4 a b 3 = 1 n 5 a n 1 an a n 1 a n 6 a n 7 c 1 = 1 b 1 a n 1 a n 3 b 1 b 2 c 2 = 1 b 1 a n 1 a n 5 b 1 b 3 3 Le système est stable ssi tous les coefficients de la 1 ere colonne sont de même signe. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 46 / 1

90 Exemple 1 : Soit la fonction de transfert F (s) = Quelques rappels Notion de stabilité s + 4 s 4 + s 3 + 4s 2 + 2s + 1, stable? Exemple 2 : Soit la fonction de transfert F (s) = 7 3s 3 + s 2 + 2s + 4, stable? Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 47 / 1

91 Exemple 1 : Soit la fonction de transfert F (s) = Quelques rappels Notion de stabilité s + 4 s 4 + s 3 + 4s 2 + 2s + 1, stable? s s s s s 1 b 1 = 1 1 (2 4) = 2 b 2 = 1 1 ( 1) = 1 c 1 = 1 2 (1 4) = 3 2 c 2 = α = 2 3 ( 3 2 ) = 1 Système stable. Exemple 2 : Soit la fonction de transfert F (s) = 7 3s 3 + s 2 + 2s + 4, stable? s s s 1 1 s 4 b 1 = 1 1 (12 2) = 1 α = 1 1 ( + 4) = 4 Système instable. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 47 / 1

92 Quelques rappels Notion de stabilité Stabilité d un asservissement Comment analyser la stabilité d un système asservi? Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 48 / 1

93 Quelques rappels Notion de stabilité Stabilité d un asservissement Comment analyser la stabilité d un système asservi? Méthodes : Ecrire la fonction de transfert globale équivalente T (s) = C(s)G(s) 1 + C(s)G(s), Appliquer l une des deux méthodes vues précédemment. Critère du revers (critère graphique). Si le système en boucle ouverte est stable et à minimum de phase (pôles et zéros à partie réelle strictement négative) alors le système asservi est stable si et seulement si le point critique ( 1, ) est laissé à gauche quand on parcourt le lieu de transfert de la boucle ouverte dans le plan de Nyquist dans le sens des ω croissants. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 48 / 1

94 Quelques rappels Notion de stabilité Exemple 1 : Les fonctions de transfert du procédé et du correcteur sont de la forme G(s) = 1 1s s + 8 et C(s) = 4 s 2 + 3s + 2. Traçons le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)G(s). Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 49 / 1

95 Quelques rappels Notion de stabilité Exemple 1 : Les fonctions de transfert du procédé et du correcteur sont de la forme G(s) = 1 1s s + 8 et C(s) = 4 s 2 + 3s + 2. Traçons le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)G(s)..5 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 49 / 1

96 Quelques rappels Notion de stabilité Exemple 1 : Les fonctions de transfert du procédé et du correcteur sont de la forme G(s) = 1 1s s + 8 et C(s) = 4 s 2 + 3s + 2. Traçons le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)G(s)..5 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis le système en boucle fermée est stable. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 49 / 1

97 Quelques rappels Notion de stabilité Exemple 2 : Les fonctions de transfert du procédé et du correcteur sont de la forme G(s) = 5 s 2 +.4s + 1 et C(s) = s + 3 1s + 1. Traçons le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)G(s). Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 5 / 1

98 Quelques rappels Notion de stabilité Exemple 2 : Les fonctions de transfert du procédé et du correcteur sont de la forme G(s) = 5 s 2 +.4s + 1 et C(s) = s + 3 1s + 1. Traçons le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)G(s). 2 Nyquist Diagram 1 1 Imaginary Axis Real Axis Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 5 / 1

99 Quelques rappels Notion de stabilité Exemple 2 : Les fonctions de transfert du procédé et du correcteur sont de la forme G(s) = 5 s 2 +.4s + 1 et C(s) = s + 3 1s + 1. Traçons le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte C(s)G(s). 2 Nyquist Diagram 1 1 Imaginary Axis Real Axis le système en boucle fermée est instable. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 5 / 1

100 Quelques rappels Résumé Résumé Modélisation = quel modèle mathématique représente bien le système? équation différentielle / fonction de transfert schéma-bloc Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 51 / 1

101 Quelques rappels Résumé Résumé Modélisation = quel modèle mathématique représente bien le système? équation différentielle / fonction de transfert schéma-bloc Réponse temporelle = Comment évolue la sortie pour une entrée donnée? résolution de l équation différentielle (via la table des transformées) formes canoniques des systèmes du 1 er et 2 nd ordre Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 51 / 1

102 Quelques rappels Résumé Résumé Modélisation = quel modèle mathématique représente bien le système? équation différentielle / fonction de transfert schéma-bloc Réponse temporelle = Comment évolue la sortie pour une entrée donnée? résolution de l équation différentielle (via la table des transformées) formes canoniques des systèmes du 1 er et 2 nd ordre Réponse fréquentielle = Comment répond mon système en fonction de la fréquence d excitation? atténuation / amplification, déphasage diagrammes de Bode / Nyquist Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 51 / 1

103 Quelques rappels Résumé Résumé Modélisation = quel modèle mathématique représente bien le système? équation différentielle / fonction de transfert schéma-bloc Réponse temporelle = Comment évolue la sortie pour une entrée donnée? résolution de l équation différentielle (via la table des transformées) formes canoniques des systèmes du 1 er et 2 nd ordre Réponse fréquentielle = Comment répond mon système en fonction de la fréquence d excitation? atténuation / amplification, déphasage diagrammes de Bode / Nyquist Stabilité = Est-ce que mon système converge ou diverge? pôles de la fonction de transfert / critère de Routh critère du revers pour un asservissement Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 51 / 1

104 Quelques rappels Retour à notre exemple Retour à notre exemple Reprenons l exemple d un bras manipulateur. Objectif : asservir la position angulaire du robot suivant l axe Z Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 52 / 1

105 Quelques rappels Retour à notre exemple Retour à notre exemple Reprenons l exemple d un bras manipulateur. Objectif : asservir la position angulaire du robot suivant l axe Z La tension de commande du moteur u(t) et la position θ(t) sont liées par la relation θ(t) + θ(t) = u(t) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 52 / 1

106 Sa fonction de transfert s écrit Quelques rappels Retour à notre exemple G(s) = ˆθ(s) û(s) = 1 (s + 1)s Elle possède 2 pôles : 1 et système instable Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 53 / 1

107 Sa fonction de transfert s écrit Quelques rappels Retour à notre exemple G(s) = ˆθ(s) û(s) = 1 (s + 1)s Elle possède 2 pôles : 1 et système instable Sa réponse indicielle diverge 2.5 Step Response 2 Amplitude Time (sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 53 / 1

108 Quelques rappels Retour à notre exemple Représentation asymptotique de la fonction de transfert dans le diagramme de Bode 2 Gain (db) Phase (degre) pulsation ω Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 54 / 1

109 Quelques rappels Retour à notre exemple Le système est maintenant asservi Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 55 / 1

110 Quelques rappels Retour à notre exemple Le système est maintenant asservi La fonction de transfert en boucle fermée s exprime F (s) = k s 2 + s + k à partir du critère de Routh : F (s) est stable k >. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 55 / 1

111 Quelques rappels Retour à notre exemple Réponse de la sortie θ(t) à un échelon de consigne θ c(t) = π Step Response 2 Amplitude k=1 k=2 k=5 k= Time (sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 56 / 1

112 Quelques rappels Retour à notre exemple Analyse rapide de l asservissement Expression de l erreur d asservissement : ε(t) = θ c(t) θ(t) ˆε(s) = s2 + s ˆθ c(s) s 2 + s + k L erreur statique est bien nulle : ε s = lim s s ˆε(s) = (avec ˆθ c(s) = 1 s ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 57 / 1

113 Quelques rappels Retour à notre exemple Analyse rapide de l asservissement Expression de l erreur d asservissement : ε(t) = θ c(t) θ(t) ˆε(s) = s2 + s ˆθ c(s) s 2 + s + k L erreur statique est bien nulle : ε s = lim s s ˆε(s) = (avec ˆθ c(s) = 1 s ) Mise sous la forme canonique des systèmes du 2 nd ordre : Kωn 2 F (s) = s 2 + 2ζω ns + ωn 2 K = 1, ω n = k ζ = 1/2 k on peut confirmer que quand k, l amortissement ζ et donc les oscillations ; le temps de réponse est d environ t 5% 3 ζω n = 6s. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 57 / 1

114 Sommaire Performances d un asservissement 1 Introduction Exemple introductif Généralités 2 Quelques rappels Modélisation Réponse temporelle Réponse fréquentielle Notion de stabilité Résumé Retour à notre exemple 3 Performances d un asservissement Précision Rapidité Marges de stabilité 4 Synthèse de correcteurs Introduction Synthèse directe : modèle imposé Action proportionnelle Action intégrale Action dérivée Combinaisons d actions Proportionnel-Intégral-Dérivé (PID) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 58 / 1

115 Performances d un asservissement Performance d un asservissement Il existe différents critères pour caractériser un asservissement. En plus de la stabilité, d autres propriétés peuvent être intéressantes : la précision. la rapidité. la marge de stabilité. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 59 / 1

116 Performances d un asservissement Précision Précision La précision est determinée par l erreur d asservissement en régime permanent : ε(t) = e(t) y(t) lorsque t Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 6 / 1

117 Performances d un asservissement Précision Précision La précision est determinée par l erreur d asservissement en régime permanent : On définit : erreur statique ε s ε(t) = e(t) y(t) lorsque t e(t) y(t) Lorsque l entrée est un échelon e(t) = e, t e ε s t Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 6 / 1

118 Performances d un asservissement Précision Précision La précision est determinée par l erreur d asservissement en régime permanent : On définit : erreur statique ε s ε(t) = e(t) y(t) lorsque t e(t) y(t) Lorsque l entrée est un échelon e(t) = e, t e ε s t erreur de trainage ɛ t Lorsque l entrée est une rampe e(t) = e t, t e(t) y(t) ε t Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 6 / 1 t

119 Performances d un asservissement Précision L erreur en régime permanent s exprime par lim e(t) y(t). t Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 61 / 1

120 Performances d un asservissement Précision L erreur en régime permanent s exprime par lim e(t) y(t). t Selon le théorème de la valeur finale lim ε(t) = lim s ˆε(s). t s Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 61 / 1

121 Performances d un asservissement Précision L erreur en régime permanent s exprime par lim e(t) y(t). t Selon le théorème de la valeur finale lim ε(t) = lim s ˆε(s). t s En pratique, on utilise la transformée de Laplace : ( ) ˆε(s) = ê(s) ŷ(s) = 1 F (s) ê(s) où F (s) = G(s) est la fonction de transfert en boucle fermée. 1 + G(s) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 61 / 1

122 Performances d un asservissement Exemple 1 : G(s) = 1 s + 2 Quelques calculs donnent : F (s) = 1 s + 3 Précision et ˆε(s) = s + 2 s + 3 ê(s). Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 62 / 1

123 Performances d un asservissement Exemple 1 : G(s) = 1 s + 2 Quelques calculs donnent : F (s) = 1 s + 3 On en déduit : Précision erreur statique ε s = lim s s s + 2 s + 3 et ˆε(s) = s + 2 s + 3 ê(s). e s = 2 3 e, erreur de trainage ɛ t = lim s s s + 2 s + 3 e s 2 = +. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 62 / 1

124 Performances d un asservissement Exemple 1 : G(s) = 1 s + 2 Quelques calculs donnent : F (s) = 1 s + 3 On en déduit : Précision erreur statique ε s = lim s s s + 2 s + 3 et ˆε(s) = s + 2 s + 3 ê(s). e s = 2 3 e, erreur de trainage ɛ t = lim s s s + 2 s + 3 e s 2 = +. Kω 2 n Exemple 2 : G(s) = s 2 + 2ζω ns + ωn 2 Quelques calculs donnent : Kω 2 n s 2 + 2ζω ns + ω 2 n F (s) = p 2 + 2ζω np + ωn 2 (K + 1) et ˆε(s) = ê(s). s 2 + 2ζω ns + ωn 2 (K + 1) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 62 / 1

125 Performances d un asservissement Exemple 1 : G(s) = 1 s + 2 Quelques calculs donnent : F (s) = 1 s + 3 On en déduit : Précision erreur statique ε s = lim s s s + 2 s + 3 et ˆε(s) = s + 2 s + 3 ê(s). e s = 2 3 e, erreur de trainage ɛ t = lim s s s + 2 s + 3 e s 2 = +. Kω 2 n Exemple 2 : G(s) = s 2 + 2ζω ns + ωn 2 Quelques calculs donnent : Kω 2 n s 2 + 2ζω ns + ω 2 n F (s) = p 2 + 2ζω np + ωn 2 (K + 1) et ˆε(s) = ê(s). s 2 + 2ζω ns + ωn 2 (K + 1) On en déduit : ( ) e erreur statique ε s = lim s 1 F (s) s s = 1 K + 1 e, ( ) e erreur de trainage ε t = lim s 1 F (s) s s 2 = +. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 62 / 1

126 Performances d un asservissement Précision Régles générales : Un gain statique élevé en boucle ouverte permet d obtenir une erreur de position (en asservissement) plus faible. Loi des intégrateurs : l erreur en régime permanent, pour une entrée ê(s), est nulle si la boucle ouverte comprend au moins autant d intégrateurs que le signal ê(s). - S il n y a pas d intégrateur pur dans la FTBO, l erreur de position est finie et l erreur de trainage est infinie. - S il y a un intégrateur pur dans la FTBO, l erreur de position est nulle et l erreur de trainage est finie. - S il y a deux intégrateur pur dans la FTBO, l erreur de position est nulle et l erreur de trainage est nulle. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 63 / 1

127 Performances d un asservissement Précision Exemple 3 : 1 Quelques calculs donnent : F (s) = 1 + s(2 + s) et ˆε(s) = s(2 + s) 1 + s(2 + s) ê(s). erreur statique ε s = lim s s s(2 + s) 1 + s(2 + s) e s =, erreur de trainage ε t = lim s s s(2 + s) 1 + s(2 + s) e s 2 = 2e. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 64 / 1

128 Performances d un asservissement Rapidité Rapidité La performance en rapidité d un asservissement est caractérisée par le temps de réponse et le temps de monté. y(t) Le temps de réponse est le temps mis par le signal de sortie pour atteindre sa valeur finale à n% prés (souvent 5%) sans ressortir de cet intervalle. y( ) ±5% y( ) t r5% t y(t) Le temps de montée correspond à l intervalle de temps dans lequel la sortie passe de 1% à 9% de la valeur finale. y( ) 9% y( ) 1% y( ) Y. Ariba - Icam, Toulouse. t m GE-SSAL 65 / 1 t

129 Performances d un asservissement Marges de stabilité Marges de stabilité Soit le système à commander : G(s) = Stabilité du système asservi F (s) = k s(s + 1)(s + 2). k s(s + 1)(s + 2) + k? Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 66 / 1

130 Performances d un asservissement Marges de stabilité Marges de stabilité Soit le système à commander : G(s) = Stabilité du système asservi F (s) = k s(s + 1)(s + 2). k s(s + 1)(s + 2) + k? s s 2 3 k s 1 6 k 3 s k système stable si < k < 6. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 66 / 1

131 Performances d un asservissement Marges de stabilité Marges de stabilité Soit le système à commander : G(s) = Stabilité du système asservi F (s) = k s(s + 1)(s + 2). k s(s + 1)(s + 2) + k? Nyquist Diagram 2 s s 2 3 k s 1 6 k 3 s k Imaginary Axis k=4 k=1 système stable si < k < Real Axis Notion de marges de stabilité : quantifient l éloignement par rapport au seuil critique d instabilité. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 66 / 1

132 Performances d un asservissement Marges de stabilité Marge de gain La marge de gain se définit comme le gain qu il faut apporter au système en boucle ouverte pour déstabiliser le système asservi (en boucle fermée). Mesure : La marge de gain d un système asservi est donnée par la formule : G = 2 log G(jω π) où ω π est la pulsation pour laquelle la FTBO G(jω) est déphasé de Nyquist Diagram.5 C A Imaginary Axis Real Axis Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 67 / 1

133 Performances d un asservissement Marges de stabilité Marge de phase La marge de phase se définit comme le déphasage qu il faut apporter au système en boucle ouverte pour déstabiliser le système asservi (en boucle fermée). Mesure : La marge de phase d un système asservi est donnée par la formule : φ = π + argg(jω db ) où ω db est la pulsation pour laquelle la FTBO G(jω) a un gain unitaire ( en décibel). 1 Nyquist Diagram.5 C Imaginary Axis A Real Axis Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 68 / 1

134 Performances d un asservissement Marges de stabilité Exemple : Soit l asservissement suivant avec G(s) = 5 s s 2. L asservissement est-il stable? + 3.5s + 1 Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 69 / 1

135 Performances d un asservissement Marges de stabilité Exemple : Soit l asservissement suivant avec G(s) = 5 s s 2. L asservissement est-il stable? + 3.5s Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 69 / 1

136 Performances d un asservissement Marges de stabilité Exemple : Soit l asservissement suivant avec G(s) = 5 s s 2. L asservissement est-il stable? + 3.5s Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Par application du critère du revers : stable Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 69 / 1

137 Performances d un asservissement Marges de stabilité Quelle est sa marge de stabilité? Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 7 / 1

138 Performances d un asservissement Marges de stabilité Quelle est sa marge de stabilité? Des mesures sur le lieu de G(s) dans Bode ou Nyquist donnent G(jω) = 1 pour la pulsation ω = 1.24 rad/s, ( ) arg G(jω) = 18 pour la pulsation ω = 1.87 rad/s. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 7 / 1

139 Performances d un asservissement Marges de stabilité Quelle est sa marge de stabilité? Des mesures sur le lieu de G(s) dans Bode ou Nyquist donnent G(jω) = 1 pour la pulsation ω = 1.24 rad/s, ( ) arg G(jω) = 18 pour la pulsation ω = 1.87 rad/s. Calculs des marges marge de gain : G = 2 log marge de phase : = 7.4 db φ = π + arg 5 (jw) (jw) 2, avec ω = (jw) (jw) (jw) 2, avec ω = (jw) + 1 =.51 rad (29.2 deg) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 7 / 1

140 Performances d un asservissement Marges de stabilité Celles-ci peuvent aussi être directement mesurées sur le lieu de Nyquist de G(s) 1 Nyquist Diagram.5 a Imaginary Axis Real Axis Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 71 / 1

141 Performances d un asservissement Marges de stabilité Celles-ci peuvent aussi être directement mesurées sur le lieu de Nyquist de G(s) 1 Nyquist Diagram.5 a Imaginary Axis Real Axis distance a.44 : marge de gain G = 2 log(a) 7.5 db. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 71 / 1

142 Performances d un asservissement Marges de stabilité Celles-ci peuvent aussi être directement mesurées sur le lieu de Nyquist de G(s) 1 Nyquist Diagram.5 Imaginary Axis Real Axis distance a.44 : marge de gain G = 2 log(a) 7.5 db. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 71 / 1

143 Performances d un asservissement Marges de stabilité Celles-ci peuvent aussi être directement mesurées sur le lieu de Nyquist de G(s) 1 Nyquist Diagram.5 Imaginary Axis.5 1 b Real Axis distance a.44 : marge de gain G = 2 log(a) 7.5 db. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 71 / 1

144 Performances d un asservissement Marges de stabilité Celles-ci peuvent aussi être directement mesurées sur le lieu de Nyquist de G(s) 1 Nyquist Diagram.5 Imaginary Axis.5 1 b Real Axis distance a.44 : marge de gain G = 2 log(a) 7.5 db. angle b 29 : marge de gain φ = b 29 deg. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 71 / 1

145 Performances d un asservissement Marges de stabilité Celles-ci peuvent aussi être directement mesurées sur le lieu de Nyquist de G(s) 1 Nyquist Diagram.5 a Imaginary Axis.5 1 b Real Axis distance a.44 : marge de gain G = 2 log(a) 7.5 db. angle b 29 : marge de gain φ = b 29 deg. Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 71 / 1

146 Performances d un asservissement Marges de stabilité Ou encore, sur le diagramme de Bode de G(s) 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 72 / 1

147 Performances d un asservissement Marges de stabilité Ou encore, sur le diagramme de Bode de G(s) 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 72 / 1

148 Performances d un asservissement Marges de stabilité Ou encore, sur le diagramme de Bode de G(s) 2 Bode Diagram Magnitude (db) G 3 Phase (deg) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 72 / 1

149 Performances d un asservissement Marges de stabilité Ou encore, sur le diagramme de Bode de G(s) 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 72 / 1

150 Performances d un asservissement Marges de stabilité Ou encore, sur le diagramme de Bode de G(s) 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) 9 18 φ Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 72 / 1

151 Performances d un asservissement Marges de stabilité Ou encore, sur le diagramme de Bode de G(s) 2 Bode Diagram Magnitude (db) G 3 Phase (deg) 9 18 φ Frequency (rad/sec) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 72 / 1

152 Sommaire Synthèse de correcteurs 1 Introduction Exemple introductif Généralités 2 Quelques rappels Modélisation Réponse temporelle Réponse fréquentielle Notion de stabilité Résumé Retour à notre exemple 3 Performances d un asservissement Précision Rapidité Marges de stabilité 4 Synthèse de correcteurs Introduction Synthèse directe : modèle imposé Action proportionnelle Action intégrale Action dérivée Combinaisons d actions Proportionnel-Intégral-Dérivé (PID) Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 73 / 1

153 Synthèse de correcteurs Introduction Introduction Phase de modélisation : Chercher un modèle représentant le comportement du système. relation entrée-sortie? équation différentielle, fonction de transfert, schéma-bloc... Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 74 / 1

154 Synthèse de correcteurs Introduction Introduction Phase de modélisation : Chercher un modèle représentant le comportement du système. relation entrée-sortie? équation différentielle, fonction de transfert, schéma-bloc... Phase d analyse : Analyse des propriétés du modèle et ses performances (en bo ou bf). réponses temporelles et fréquentielles stabilité analyse d un asservissement pour un correcteur donné Y. Ariba - Icam, Toulouse. GE-SSAL 74 / 1