Géométrie chez les Babyloniens
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- Clotilde Grenier
- il y a 6 ans
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1 Lycée Marcel Pagnol Jean-Louis Maltret IREM Aix-Marseille 1 20 février jean-louis.maltret@irem.univ-mrs.fr
2 Les babyloniens
3 Les babyloniens
4 Des tablettes d argile Ge ome trie chez les Babyloniens
5 Des problèmes à résoudre arpentage, terrassements héritage, constructions, exercices scolaires
6 Géométrie et calcul Numération sexagésimale Unités Dizaines Numération positionnelle relative 30 interprété comme 1/2 : [ ;30]=0.5 D = [1,20]=80 D = [1,,4]=3604 D
7 Tablette YBC7289
8 Interprétation Longueurs des côtés = = = 1, = = 0, /2 = 0,
9 Calcul par dichotomie La valeur cherchée est entre 1 et 2. A chaque itération on calcule le milieu et on choisit le milieu ou une extrémité selon qu on obtient le carré au-dessus ou au-dessous de 2.
10 Calcul par dichotomie La valeur cherchée est entre 1 et 2. A chaque itération on calcule le milieu et on choisit le milieu ou une extrémité selon qu on obtient le carré au-dessus ou au-dessous de 2. Itération Valeur décimale Carré Valeur sexagésimale ;29,59, ;14,59, ;22,29, ;26,14, ;24,22, ;24,51, ;24,51, ;24,51, ;24,51, ;24,51,10
11 Calcul de volumes
12 Calcul de volumes
13 Pyramide tronquée Tu as une pyramide tronquée de hauteur 6 4 la base, 2 le haut Tu élèves 4 au carré, résultat 16 Tu élèves 2 au carré, résultat 4 Tu doubles 4, résultat 8 Tu ajoutes 16 et 8 et 4, résultat 28 Tu prends 1/3 de 6, résultat 2 Tu doubles 28, résultat 56
14 Pyramide tronquée Tu as une pyramide tronquée de hauteur 6 4 la base, 2 le haut Tu élèves 4 au carré, résultat 16 Tu élèves 2 au carré, résultat 4 Tu doubles 4, résultat 8 Tu ajoutes 16 et 8 et 4, résultat 28 Tu prends 1/3 de 6, résultat 2 Tu doubles 28, résultat 56 V = 1 3 6( ) V = h 3 (a2 + ab + b 2 )
15 Héritages Partage d un trapèze Ils sont deux. Chacun a 9 enfants. Partage en neuf la bande supérieure. En outre partage en neuf la bande inférieure. montre à chaque soldat son piquet. bases [1,45]=105 [15]=15 solution [1,15]=75 7x15 1x15 5x = 2 5 2
16 Problème géométrique c + a 2 H h = b a x h = c a b + c (x h) = (H x) 2 (c + a)(ax ah) = (b + c)(ah ax) (c + a)(ch ah) = (b + c)(bh ch) c 2 a 2 = b 2 c 2 2c 2 = a 2 + b 2 Triplet babylonien
17 La solution des babyloniens? Invariance de l aire par glissement
18 La solution des babyloniens? Invariance de l aire par glissement Rectangles concentriques
19 La solution des babyloniens? Invariance de l aire par glissement Rectangles concentriques Carrés concentriques c 2 = (a 2 + b 2 )/2
20 Des problèmes, des solutions Un recueil de 24 solutions d équations du second degré
21 Un texte compliqué J ai additionné la surface et le côté de mon carré, et c était 0 ;45. Tu poseras 1, la projection. Tu détacheras la moitié de 1. Tu croiseras 0 ;30 et 0 ;30. Tu ajouteras 0 ;15 à 0 ;45. 1 est le carré de 1. Tu enlèveras 0 ;30, que tu as croisé, de 1. Le côté du carré est 0 ;30.
22 Un texte compliqué J ai additionné la surface et le côté de mon carré, et c était 0 ;45. Tu poseras 1, la projection. Tu détacheras la moitié de 1. Tu croiseras 0 ;30 et 0 ;30. Tu ajouteras 0 ;15 à 0 ;45. 1 est le carré de 1. Tu enlèveras 0 ;30, que tu as croisé, de 1. Le côté du carré est 0 ;30. s 2 + s = 3 4 s 2 + s 1 = 3 4 s 2 + s/2 + s/2 = 3 4 s s/2 + 1/4 = 1 (s + 1/2) 2 = 1 2 s + 1/2 = 1 s = 1/2
23 Interprétation géométrique s 2 + s 1 = 3 4 s 2 + s 2 + s 2 = 3 4 s s = 1 (s )2 = 1 2 s = 1 s = 1 2
24 Des constructions
25 Construire avec des angles droits Equerres = = 13 2
26 Triplets pythagoriciens : Plimpton322
27 Liste des triplets a,b,c
28 Solutions entières de Pythagore b = p 2 q 2 a = p 2 + q 2 c = 2pq
29 Une tablette remarquable : IM55357 Ge ome trie chez les Babyloniens
30 Le problème posé AC=[1,]=60 AB=[45]=45 BC=[1,15]=75 aire(abc)=[22,30]=1350 Les aires des triangles tracés ABD=[8,6]=486 EAD=[5,11 ;2,24]= = FDE=[3,19 ;3,59,9,36]= FEC=[5,53 ;53,39,50,24]= Les questions : les inconnues sont BD, AD, AE, ED.
31 La solution Les triangles ABC, DAB, EAD ont mêmes rapports de longueurs ils sont semblables Calcul de BD Les babyloniens réalisaient les divisions en multipliant par l inverse : 1 [1, ] = [; 1] 1 = 0.1 D 10 D AB AC = AB 1 AC = [45] 1 [1, ] Rapports des longueurs et aire du triangle DBA : AB AC = BD AD BD AD aire(dba) = 2 BD = AB AC 2 aire(dba) BD 2 = [45] [; 1] 2 [8, 6] = [12, 9] = 729 BD = [12, 9] = 27
32 Calcul de AD : BD=[27] est divisé par 2, ce qui donne [13 ;30], dont l inverse est multiplié par l aire [8,6], ce qui donne AD = 36 Calcul de DC : par soustraction DC = BC BD, soit [1,15]-[27]=48 Calcul de AE : suivant la même procédure que pour BD AE ED = AD DC AE DE EAD = 2 AD/DC est calculé en multipliant 36 par l inverse de 48 AD 2 = [36] 1 2 [5, 11; 2, 24] = [7, 46; 33, 36] = d où AE = [21; 36] = 21.6
33 Le théorème de Pythagore? Deux triangles semblables au triangle initial : l une des démonstrations algébriques du théorème de Pythagore
34 Le théorème de Pythagore? Deux triangles semblables au triangle initial : l une des démonstrations algébriques du théorème de Pythagore a 1 et a 2 segments découpés par la hauteur sur l hypoténuse Proportionnalités entre les longueurs : a 1 b = b a b 2 = a 1 a a 2 c = c a c 2 = a 2 a d où par addition b 2 + c 2 = (a 1 + a 2 )a = a 2
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