Index des notations. Les chiffres de référence indiquent successivement le chapitre, le paragraphe et le numéro (ou, exceptionnellement, l'exercice).
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- Anne-Sophie Beaudet
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1 Index des notations Les chiffres de référence indiquent successivement le chapitre, le paragraphe et le numéro (ou, exceptionnellement, l'exercice). Chapitre 1 1, (E ensemble), U.V, UV (U, V sous-groupes additifs), a" (a idéal) : Conventions préliminaires du chap. 1. E:F : 1, 2, 10. Chapitre II A[.'-'], ah (A anneau, S partie de A, aea, s produit d'éléments de S) : II, 2, 1. ii : II, 2, 1. S'A, A, (S partie multiplicative, p idéal premier) : II, 2, 1. M[S-'1, mls, i& (M A-module, S partie de A, m E M, s produit d'éléments de S),: II, S-'M, M, (M A-module, S partie multiplicative de A, p idéal premier de A) : II, 2, 2. S-lu, u, (u homomorphisme de A-modules) : II, 2, 2. r (a) (a idéal) : II, 2, 6. V(M), VCf) (M partie de l'anneau A, fea) : II, 4, 3. Spec(A) : II, 4, 3. Xf Cf A, X = Spec(A)) : II, 4, 3. 3(Y) (Y partie de Spec(A)) : II, 4, 3. "h (h homomorphisme d'anneaux) : II, 4, 3. Supp(M) (M A-module) : II, 4, 4. AP MP uf (A anneau, M A-module, u A-homomorphisme, fea) : II, 5, 1. rg,(p) (P module projectif) : II, 5, 3. rg(p) (P module projectif) : II, 5, 3. l'(a), cl(m) (A anneau, M A-module projectif de rang 1) : II, 5, 4. K, O(A) : II, 5, 7. det(u), X, (u endomorphisme d'un module projectif de rang n) : II, 5, exerc. 9. Chapitre III A(dJ, M(d.kJ, M(d) (A anneau gradué, M A-module gradué) : III, 1, 3. A(,,, M(,)!A anneau gradué, p idéal premier gradué de A, M A-module gradue) : III, 1, 4. gr, (G), gr(g) (G groupe filtré) : III, 2, 3. gr(h) (h homomorphisme compatible avec les filtrations) : III, 2, 4. Zn (n entier > 1) : III, 2, : III, 2, 13. A{Xl,..., Xp} (A anneau linéairement topologisé) : III, 4, 2. Rbl,..., bp) (f série formelle restreinte) : III, 4, 2. f g, Mi, Mf(X), Jf, Jf(X), X, 1, (f, g systèmes de séries formelles, g saris terme constant) : III, 4, 4. f(x) (f système de séries formelles, x système d'éléments topologiquèment nilpotents) : III, 4, 5. mx" (m idéal) : III, 4, 5. Chapitre IV AssA(M), Ass(M) (M A-module) : IV, 1, 1. Assf(M) : IV, 1, exerc. 17.
2 Index terminologique Les chiffres de référence indiquent successivement le chapitre, le paragraphe et le numéro (ou, exceptionnellement, l'exercice). madique (filtration) : III, 2, 1. madique (topologie) : III, 2, 5. n-adiques (entiers) : III, 2, 12. Algèbre d'azumaya : II, 5, exerc. 14. Algèbre de type fini : III, 1, 1. Algébriquement dépendants, indépendants (éléments) : III, 1, 1. Algébriquement libre, liée (famille) : III, 1, 1. Anneau absolument plat : 1, 2, exerc. 17. Anneau cohérent (à gauche, à droite) : 1, 2, exerc. 12. Anneau de fractions défini par une partie d'un anneau : II, 2, 1. Anneau de Zanski : III, 3, 3. Anneau filtre : III, 2, 1. Anneau filtré associé à un anneau gradué : III, 2, 1. Anneau gradué associé à un anneau filtré : III, 2, 3. Anneau linéairement topologisé : III, 4, 2. Anneau local : II, 3, 1. Anneau local de A en p, anneau local de p ( p idéal premier) : II, 3, 1. Anneau réduit : II, 2, 6. Anneau semi-local : II, 3, 5. Anneau total des fractions : II, 2, 1. Application continue associée à un homomorphisme d'anneaux : II, 4, 3. Artin-Rees (lemme d') : III, 3, 1. Associé (anneau filtré) à un anneau gradué : III, 2, 1. Associé (anneau gradué) à un anneau filtré : III, 2, 3. Associé (idéal premier) à un module : IV, 1, 1. Associé (module filtré) à un module gradué : III, 2, 1. Associé (module gradué) à un module filtré : III, 2, 3. Associé (homomorphisme gradué) à un homomorphisme compatible avec les filtrations : III, 2, 4. Associée (application) à un homomorphisme d'anneaux : II, 4, 3. Associée (filtration) à une graduation : III, 2, 1. mbonne (filtration) : III, 3, 1. Commutatif (diagramme) : 1, 1, 2. Compatible (filtration) avec une structure d'anneau, de module : III, 2, 1. Compatible (homomorphisme) avec les filtrations : III, 2, 4. Composante irréductible d'un espace tooolorriaue. ". : II., 4., 1. conditions de Hensel : III, 4, 5:
3 INDEX TERMINOLOGIQUE Corps résiduel d'un anneau local : II, 3, 1. Couple d'anneaux ayant la propriété d'extension linéaire : 1, 3, 7. Croissante (filtration) : III, 2, 1. Décomposition primaire : IV, 2, 2 et exerc. 20. Décom~osition rima ire réduite : IV, 2, 3 et exerc. 20. ~écroigsante (fijtration) : III, 2, 1. Déduite (filtration de module) d'une filtration d'anneau : III, 2, 1. Déduite (topologie) d'une filtration : III, 2, 5. Définition (idéal de) : III, 3, 2. Déterminant d'un endomorphisme d'un module projectif : II, 5, exerc. 9. Diagramme commutatif : 1, 1, 2. Diagramme du serpent : 1, 1, 4. Discrète (filtration) : III, 2, 1. lé ment topologiquement nilpotent : III, 4, 3. Eléments algébriquement dépendants, indépendants : III, 1, 1. Éléments fortement étrangers : III, 4, 1. Endomorphisme presque nilpotent : IV, 1, 4. Engendrée par une partie (partie multiplicative) : II, 2, 1. Ensemble irréductible : II, 4, 1. Entiers n-adiques : III, 2, 12. Espace irréductible : II, 4, 1. Espace nœthérien : II, 4, 2. Essentiel (idéal gradué) : III, 1, 4. Etrangers (idéaux) : II, 1, 2. Exhaustive (filtration) : III, 2, 1. Faiblement associé (idéal premier) à un module : IV, 1, exerc. 17. Famille algébriquement libre, liée : III, 1, 1. Famille formellement libre : III, 2, 9. Fidèlement plat (module) : 1, 3, 1. Filtration croissante, décroissante, séparée, exhaustive : III, 2, 1. Filtration discrète : III, 2, 5. Filtration associée à une graduation : III, 2, 1. Filtration compatible avec une structure d'anneau, de module : III, 2, 1. Filtration de module déduite d'une filtration d'anneau : III, 2, 1. Filtration m-adique : III, 2, 1. Filtration mbonne : III, 3, 1. Filtration triviale : III, 2, 1. Filtration induite, produit, quotient : III, 2, 1. Filtré (groupe, anneau, module) : III, 2, 1. Finie (présentation) : 1, 2, 8. Fonction d'ordre : III, 2, 2. Formellement libre (famille) : III, 2, 9. Fortement étrangers (éléments) : III, 4, 1. Fortement laskérien (module) : IV, 2, exerc. 28. Fortement primaire (sous-module) : IV, 2, exerc. 27. Générateurs (système formel de) : III, 2, 9. Groupe des classes de modules inversibles : II, 5, 7. Groupe filtré : III, 2, 1.
4 358 INDEX TERMINOLOGIQUE Hensel (théorème de) : III, 4, 3. Hensel (conditions de) : III, 4, 5. Hensélien (anneau) : III, 4, cxcrc. 3. Homomorphisme compatible avec les filtrations : III, 2, 4. Homomorphisme gradué associé à un homomorphisme compatible avec les filtrations : III, 2, 4. Homomorphisme local : II, 3, 1. Idéal fractionnaire inversible : II, 5, 7. Idéal gradué essentiel : III, 1, 4. Idéal premier: II, 1, 1. Idéal premier associé à un module : IV, 1, 1. Idéal premier immergé : IV, 2, 3. Idéal premier minimal : II, 2, 6. Idéal primaire, p-primaire : IV, 2, 1 et exerc. 20. Idéalement séparé (module) : III, 5, 1. Idéaux étrangers : II, 1, 2. Immergé (idéal premier) : IV, 2, 3. Induite (filtration) : III, 2, 1. Inversible (idéal fractionnaire) : II, 5, 7. Inversible (sous-module) : II, 5, 6. Irréductible (composante) : II, 4, 1. Irréductible (ensemble) : II, 4, 1. Irréductible (espace) : II, 4, 1. Krull (théorème de) : III, 3, 2. Laskérien (module) : IV, 2, exerc. 23. Lemme d'artin-rees : III, 3, 1. Linéairement topologisé (anneau) : III, 4, 2. Local (anneau) : II, 3, 1. Local (homomorphisme) : II, 3, 1. Minimal (idéal premier) : II, 2, 6. Module cohérent : 1, 2, exerc. 11. Module de fractions défini par une partie d'un anneau : II, 2, 2. Module de présentation finie : 1, 2, 8. Module fidèlement plat : 1, 3, 1. Module filtré : III, 2, 1. Module filtré associé à un module gradué : III, 2, 1. Module gradué associé à un module filtré : III, 2, 3. Module idéalement séparé : III, 5, 1. Module plat pour M, - M-plat : 1, 2, 2. Module plat : 1, 2, 3. Module projectif de rang n : II, 5, 3. Module pseudo-cohérent : 1, 2, exerc. 11. Multiplicative (partie) : II, 2, 1. Nilradical d'un anneau : II, 2, 6. Nœthérien (espace) : II, 4, 2. Non dégénéré (sous-module) : II, 5, 5.
5 INDEX TERMINOLOGIQUE Partie multiplicative d'un anneau : II, 2, 1. Partie multiplicative engendrée par une partie : II, 2, 1. Partie multiplicative saturée : II, 2, exerc. 1. Plat (module) : 1, 2, 3. Plat pour M, M-plat (module) : 1, 2, 2. Point générique d'un espace irréductible : II, 4, exerc. 2. Premier (idéal) : II, 1, 1. Premier (spectre) : II, 4, 3. Présentation d'un module, - finie : 1, 2, 8. n-présentation : 1, 2, exerc. 6. Présentation finie (module de) : 1, 2, 8. Presque nilpotent (endomorphisme) : IV, 1, 4. Primaire (décomposition) : IV, 2, 2 et exerc. 20. Primaire, p-primaire (idéal, sous-module) : IV, 2, 1 et exerc. 20. Principe de récurrence nœthérienne : II, 4, 2. Produit (filtration) : III, 2, 1. Quotient (filtration) : III, 2, 1. Racine d'un idéal : II, 2, 6. Rang en p d'un module projectif : II, 5, 3. Rang d'un module projectif : II, 5, 3. Récurrence nœthérienne (principe de) : II, 4, 2. Réduit (anneau) : II, 2, 6. Réduite (décomposition primaire) : IV, 2, 3. Résiduel (corps) : II, 3, 1. Restreinte (série formelle) : III, 4, 2. Saturé d'un sous-module pour une partie multiplicative ( premier) : II, 2, 4. Semi-local (anneau) : II, 3, 5. Série formelle restreinte : III, 4, 2. Sous-module inversible : II, 5, 6. Sous-module non dégénéré : II, 5, 5. Sous-module primaire, p -primaire : IV, 2, 1. Spectrale (topologie) : II, 4, 3. Spectre premier d'un anneau : II, 4, 3. Support d'un module : II, 4, 4. Système formel de générateurs : III, 2, 9. pour un idéal Théorème de Hensel : III, 4, 3. Théorème de Krull : III, 3, 1. Topologie déduite d'une filtration : III, 2, 5. Topologie de Zai-iski : II, 4, 3. Topologie spectrale : II, 4, 3. Topologiquement nilpotent (élément) : III, 4, 3. Transporteur : 1, 2, 10. Triviale (filtration) : III, 2, 1. Type fini (algèbre de) : III, 1, 1. Zariski (anneau de) : III, 3, 3. Zariski (topologie de) : II, 4, 3.
6 TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE 1.. Modules plats Diagrammes et suites exactes Diagrammes Diagrammes commutatifs Suites exactes Le diagramme du serpent Modules plats Rappel sur les produits tensoriels Modules M-plats Modules plats Exemples de modules plats Platitude des modules quotients Propriétés d'intersection Produits tensoriels de modules plats Modules de présentation finie Extension des scalaires dans les modules d'homomorphismes Extension des scalaires : cas des anneaux commutatifs Interprétation de la platitude en termes de relations Modules fidèlement plats Définition des modules fidèlement plats Produit tensoriel de modules fidèlement plats Changement d'anneau Restriction des scalaires Anneaux fidèlement plats Anneaux fidèlement plats et conditions de finitude Equations linéaires sur un anneau fidèlement plat... f 4. Modules plats et foncteurs «Tor O... Exercices du Exercices du 2... Exercices du Exercices du 4... CHAPITRE II. Localisation Idéaux premiers Définition des idéaux premiers Idéaux étrangers... f 2. Anneaux et modules de fractions Définition des anneaux de fractions Modules de fractions Changement de partie multiplicative Propriétés des modules de fractions Idéaux dans un anneau de fractions Nilradical et idéaux premiers minimaux Modules de fractions de produits tensoriels et de modules d'homomorphismes...
7 TABLE DES MATIGRES 8 Application aux algèbres Modules de fractions de modules gradués Anneaux locaux. Passage du local au global Anneaux locaux... 2 Modules sur un anneau local... 3 Passage du local au global... 4 Localisation de la platitude Anneaux semi-locaux Spectres d'anneaux et supports de modules... 1 Espaces irréductibles... 2 Espaces topologiques nœthériens... 3 Le spectre premier d'un anneau Support d'un module Modules projectifs de type fini. Idéaux fractionnaires inversibles 1 Localisation par rapport à un élément... 2 Caractérisation locale des modules projectifs de type fini. 3 Rangs des modules projectifs... 4 Modules projectifs de rang Sous-modules non dégénérés Sous-modules inversibles Le groupe des classes de modules inversibles... Exercices du Exercices du Exercices du Exercices du Exercices du Graduations. filtrations et topologies Systèmes de générateurs d'une algèbre commutative... 2 Critères de finitude pour les anneaux gradués... 3 Propriétés de l'anneau A ('" Idéaux premiers gradués... CHAPITRE III 5 1 Algèbres graduées de type fini Généralités sur les anneaux et modules filtrés Anneaux et modules filtrés Fonction d'ordre Module gradué associé à un module filtré Homomorphismes compatibles avec les filtrations Topologie définie par une filtration Modules filtrés complets Propriétés de compacité linéaire des modules filtrés complets 8. Relèvement d'homomorphismes de modules gradués associés Relèvement de familles d'éléments d'un module gradué associé Application : exemples d'anneaux nœthériens Anneaux m-adiques complets et limites projectives Séparé complété d'un module filtré Séparé complété d'un anneau semi-local To~oiorries m-adiuues sur les anneaux nœthériens... & " 1. Bonnes filtrations
8 TABLE DES MATIERES 2. Topologies m-adiques sur les anneaux nœthériens Anneaux de Zariski Séparé complété d'un anneau nœthérien Complété d'un anneau de Zariski... Q 4. Relèvement dans les anneaux complets Polynômes fortement étrangers Séries formelles restreintes Le lemme de Hensel Composition des systèmes de séries formelles Systèmes d'équations dans les anneaux complets Application aux décompositions d'anneaux... Q 5. Propriétés de platitude des modules filtrés Modules idéalement séparés Enoncé du critère de platitude Démonstration du critère de platitude Applications... Exercices du Exercices du Exercices du Exercices du Exercices du CHAPITRE IV.. Idéaux premiers associés et décomposition primaire Q 1. Idéaux premiers associés à un module Définition des idéaux premiers associés Localisation des idéaux premiers associés Relations avec le support Cas des modules de type fini sur un anneau nœthérien... Q 2. Décomposition primaire Sous-modules primaires Existenee d'une décomposition primaire Propriétés d'unicité dans la décomposition primaire Localisation d'une décomposition primaire Anneaux et modules de longueur finie Décomposition primaire et extension des scalaires Décomposition primaire dans les modules gradués Idéaux premiers associés à un module gradué Sous-modules primaires +correspondant aux idéaux premiers gradués Décomposition primaire dans les modules gradués... Exercices du Exercices du Exercices du Index des notations... Index terminologique...
9 MASSON, Éditeur 120, boulevard Saint-Germain Paris Cedex 06 Dépôt légal : Décembre 1984 I JOUVE 18, rue Saint-Denis Paris No d'impression : Dépôt légal : Novembre 1984
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