Module #4 Torsion. (CIV Résistance des matériaux) Enseignant: J-A. Goulet

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1 Module #4 Torsion (CIV Résistance des matériaux) Enseignant: James-A. Goulet Département des génies civil, géologique et des mines Sections R. Craig (2011) Mechanics of Materials, 3rd Edition John Wiley & Sons. Sections P. Léger (2006) Notes de cours: Chapitre 4 Torsion. 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 1 / 52

2 Introduction à la torsion Introduction aux efforts et déformations de torsion 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 2 / 52

3 Exemples du génie civil Exemples du génie civil 1 [Zacek (1996), Davidovici (1999)] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 5 / 52

4 Exemples du génie civil Exemples du génie civil 2 [Collins & Mitchell, 1991] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 6 / 52

5 Exemples du génie civil Exemples du génie civil 3 [Hambly, 1991] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 7 / 52

6 Exemples du génie civil Exemples du génie civil 3 (cont.) (a) Isostatique flexion & torsion (b) Isostatique torsion, hyperstatique flexion (c) Isostatique flexion, hyperstatique torsion (d) Hyperstatique flexion & torsion [Hambly, 1991] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 52

7 Exemples du génie civil Exemples du génie civil 4 (cont.) [Hambly, 1991] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 9 / 52

8 Types de sections Exemples du génie civil Types de sections (a) Sections circulaires fermées (b) Sections non circulaires fermées (c) Sections ouvertes 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 10 / 52

9 Types de sections Torsion sections pleines 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 11 / 52

10 Nomenclature et convention de signes Nomenclature Déformation axiale Torsion Force axiale (F ) (T ) Couple / Torque Allongement (e) (φ) Angle de rotation [rad] Contrainte normale (σ) (τ) Contrainte de cisaillement Déformation axiale (ɛ) (γ) Déformation en cisaillement Module élastique (E) (G) Module de cisaillement 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 12 / 52

11 Nomenclature et convention de signes Convention de signes + Efforts & rotations internes : + si le pouce de la main droite pointe vers l extérieur de la surface normale Efforts externes et rotations des noeuds : + si le pouce de la main droite pointe dans la direction x+ 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 13 / 52

12 Hypothèses de base pour les barres circulaires Hypothèses de base pour les barres circulaires Matériau homogène, isotrope, linéaire élastique L axe longitudinal reste droit et ne s allonge pas Les sections restent planes et à l axe longitudinal (pas de gauchissement) Les lignes radiales restent droites et les sections tournent autour de l axe longitudinal [Beer et al., 2006] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 15 / 52

13 Déformation et rotation des barres circulaires Déformation et rotation des barres circulaires Changement d angle φ déformations γ et contraintes τ de cisaillement γ γ(x, ρ) = π 2 Q R S = S R S γ = dφ dx lim x 0 S S ρ φ R = lim S x 0 x = ρdφ dx : Taux de rotation [rad/mm] Équation déformation (γ) déplacement (φ) γ γ(x, ρ) = ρ dφ dx 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 16 / 52

14 Déformation et rotation des barres circulaires Distribution des déformations de torsion γ γ(x, ρ) = ρ dφ dx γ = 0 pour ρ = 0 (centre de la barre) γ ρ, i.e. varie linéairement avec ρ Relation valide pour les barres pleines et vides 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 17 / 52

15 Relation contraintes-déformations Relation contraintes-déformations 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 19 / 52

16 Relation contraintes-déformations Relation contraintes-déformations (cont.) Loi de Hooke Couple / torque T = ρdf S = A τ = Gγ = Gρ dφ dx A ρτda = Si G est indépendant de ρ T = G dφ ρ 2 da = G dφ dx dx I p I p : Inertie polaire; cercle: I p = πr 4 /2 A A ( ρ Gρ dφ ) da dx 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 20 / 52

17 Rigidité torsionelle et inertie polaire I p : Inertie polaire Section circulaire pleine I p = A ρ 2 da Section circulaire vide I p = ρ 2 da = A = π 2 (r 4 ext r 4 int) rext r int I p = πr 4 2 = πd 4 32 rext ρ 2 2πρdρ = 2π ρ 3 dρ = r int [ 2πρ 4 4 ] rext r int 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 21 / 52

18 Rigidité torsionelle et inertie polaire Cylindre v.s. barre Exemple A barre = πr 2 ext = π = 7.07 A cylindre = πr 2 ext πr 2 int = π( ) = 7.07 A barre = A cylindre Comparez I p,cylindre et I p,barre? I p,barre = πd4 32 = π = 7.95 I p,cylindre = π 2 (r 4 ext r 4 int ) = π 2 ( ) = 36.2 I p,cylindre > 5 I p,barre [Bazergui, 2000] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 22 / 52

19 Rigidité torsionelle et inertie polaire Rigidité torsionnelle T = GI p dφ dx Rigidité torsionnelle dφ dx = T GI p Angle de torsion φ = L 0 dφ TL dx = dx GI p Contrainte due à la torsion (G constant) τ = T ρ I p τ max = Tr I p 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 23 / 52

20 Calcul de la contrainte de cisaillement (max) Exemple Torsion barre Exemple (MDS 4.1) + I p = πd4 32 = π 15mm4 32 = mm 4 d = 15 mm G = 75 GPa T = 50 N m τ max =? φ =? τ max = Tr I p φ = TL GI p = = n mm 7.5mm 4 970mm 4 = MPa n mm 1 000mm MPa 4 970mm 4 = rad 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 24 / 52

21 Contraintes de cisaillement v.s. contraintes normales maximales Relation entre τ et σ L élément A est soumis à un cisaillement pur } σ n = τ sin(2θ) voir dérivation, p.250, Craig τ nt = τ cos(2θ) σ n,max = τ : θ = 45 o τ nt,min = τ : θ = 0 o 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 26 / 52

22 Contraintes de cisaillement v.s. contraintes normales maximales Relation entre τ et σ (cont.) σ n = τ sin(2θ) τ nt = τ cos(2θ) θ = 0 o : σ n = σ n,min = 0, τ nt = τ nt,min = τ θ = +45 o : σ n = σ n,max = τ, τ nt = 0 θ = 45 o : σ n = σ n,max = τ, τ nt = 0 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 27 / 52

23 Orientation des déformations maximales Distribution des déformations Rappel module #2 ɛ x = 1 E (σ x νσ y ), G = Déformations normales E 2(1 + ν) ɛ 45 o = 1 E [ τ ν τ] = τ E (1 + ν) ɛ 45 o = 1 E [τ (ν τ)] = τ E (1 + ν) ɛ 45 o = ɛ max.comp. = τ 2G ɛ 45 o = ɛ max.tens. = τ 2G 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 28 / 52

24 Rupture ductile v.s. fragile Rupture ductile v.s. fragile a) Rupture ductile: acier & aluminium b) Rupture fragile: béton, & Matériau fragile résistance à la traction < résistance au cisaillement Matériau ductile résistance à la traction > résistance au cisaillement [colorado.edu] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 29 / 52

25 Calcul de la contrainte de traction (max) Exemple Torsion tube Exemple (MDS 4.5) + I p = π 32 (d ext 4 dint 4 32 ( ) = in 4 d int = in d ext = 0.75 in φ = 0.1 rad G = ksi T =? σ n,max =? ɛ n,max =? φ = TL GI p T = GIpφ L σ n,max = τ n,max = Tr I p = 8.59 ksi = = 0.245kips in ksi 0.011in4 0.1rad 48in = 0.245kips in 0.75in in 4 ɛ n,max = τn,max 2G = 8.59ksi ksi = (Tension) 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 30 / 52

26 Coefficients de flexibilité et de rigidité des barres en torsion Relation torsion angle de rotation ( ) TL φ i = GI p i Coefficient de flexibilité: Angle de rotation φ i produit par un couple unitaire T i = 1 ( ) L φ i = f ti T i, où f ti = GI p Coefficient de rigidité: Couple T i produit par une rotation unitaire φ i = 1 ( ) GIp T i = k ti φ i, où k ti = L i i 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 32 / 52

27 Coefficients de flexibilité et de rigidité des barres en torsion Assemblages convention de signes Efforts & rotations internes : + si le pouce de la main droite pointe vers l extérieur de la surface normale Efforts externes et rotation des noeuds : + si le pouce de la main droite pointe dans la direction x+ 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 33 / 52

28 Assemblages isostatiques Exemple Assemblage isostatique Exemple (MDS 4.7) + d AC,int = 35 mm, d AC,ext = 45 mm d CD = 30 mm G = MPa τ max =?, φ B =?, φ C =?, φ D =? Plan: τ max = Tr I p, φ = TL GI p 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 34 / 52

29 Méthode des forces Assemblages hyperstatiques Stratégie pour résoudre les problèmes hyperstatiques Méthode des forces (Même qu au chapitre 3) 1. Équations d équilibre 2. Écrire les éq. couple-rotation pour chaque élément φ i = f ti T i, où f ti = L i G i I p,i (Coefficient de flexibilité) 3. Écrire les éq. de compatibilité des rotations 4. Substituer les φ i (étape 2) dans les éq. de compatibilité (étape 3) 5. Substituer le résultat (étape 4) dans les équations d équilibre (étape 1) pour calculer les couples inconnues 6. Calculer les rotations en substituant les couples (étape 5) dans les éq. couple-rotation (étape 2) 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 35 / 52

30 Méthode des forces Exemple Assemblage hyperstatique Exemple (MDS 4.8) + d AB = 40 mm d BC,ext = 65 mm, d BC,int = 50 mm G AB = MPa G BC = MPa τ max =?, φ B =? Plan: τ max = Tr I p, φ i = T il i G i I p,i 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 36 / 52

31 Hypothèses de base Hypothèses de base tubes à parois minces Section est constante le long de l axe longitudinal Section fermée Les épaisseurs des parois sont minces par rapport aux dimensions de la section Les extrémités sont libres de se déformer hors du plan (gauchissement permis) Les couples sont appliqués aux extrémités La contrainte de cisaillement τ est constante sur l épaisseur La contrainte est parallèle à la courbe médiane qui définit la section [Bazergui, 2000] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 38 / 52

32 Flux de cisaillement Flux de cisaillement q q = τt [N/m, lb/in] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 39 / 52

33 Flux de cisaillement Couple résultant Force de cisaillement df S = q ds Le moment de torsion autour d un point O dt = ρ df S = q ρ ds T : intégrale de dt le long de la courbe médiane C m T = q ρds C m L intégrale de contour est obtenue selon C m ρds = 2A m T = q 2A m 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 40 / 52

34 Calcul des contraintes Contrainte et angle de torsion La contrainte dans un tube à parois minces est calculée selon τ = q t = T 2tA m L angle de rotation est calculé avec les méthodes énergétiques (chapitre 11) φ = TL ds 4A 2 mg C m t(s) = TL GJ où GJ est la rigidité en torsion d une section J = 4A2 m C m ds t(s) cte. de torsion, voir tables pour sections courantes 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 41 / 52

35 Tube à parois mince Exemple Comparaison tubes et parois minces Exemple + Utiliser (1) la théorie de la torsion des tubes et (2) des sections à parois minces pour: a) Calculer la contrainte de cisaillement τ O b) Calculer l angle de rotation φ O 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 42 / 52

36 Intro Angle (φ) Contraintes (τ ) τ σ Assemblages iso. & hyp. Tubes # n&< Re sume Tube a parois mince Exemple Comparaison tubes et parois minces re sume La rotation due a un moment de torsion T est : Ip, Moment polaire TL φ = ou J = 2 GJ : H 4Amds, Constante de torsion Cm t(s) La contrainte de cisaillement est : Tr tube e pais J, τ= : 2ATm t, tube mince 4 Torsion V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 43 / 52

37 Gauchissement des sections Gauchissement Gauchissement: déformation hors plan des sections non circulaires [Frey, 1998] 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 45 / 52

38 Analyse des barres prismatiques Contraintes et rotation Dans les sections prismatiques, les contraintes sont nulles aux coins Les équations décrivant les contraintes et déformations sont obtenues à partir de la théorie de l élasticité τ max = T, où d/t 1 αdt2 φ = TL, où J = βdt3 GJ 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 46 / 52

39 Analyse des barres prismatiques Torsion des sections ouvertes à parois minces On considère les sections ouvertes à paroi minces comme des sections rectangulaires élancées d = 4a t = a/4 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 47 / 52

40 Analyse des barres prismatiques Section ouvertes v.s. fermées Exemple (Craig. 4.15) Calculer T a et T b nécessaires afin de produire une rotation φ Plan: T = GJ φ, où J = βdt3 L 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 48 / 52

41 Analyse des barres prismatiques Section ouvertes v.s. fermées Exemple (Craig. 4.15) a) d/t = 2a a/2 = 4 β = b) d/t = 4a a/4 = 16 β = T = GJ φ, où J = βdt3 L T 4:1rect T 16:1angle = J a J b = 0.281(2a)(a/2) (4a)(a/4) 3 = 3.48 Les membrures ouvertes ont une faible rigidité torsionnelle 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 49 / 52

42 Intro Angle (φ) Contraintes (τ ) τ σ Assemblages iso. & hyp. Tubes # n&< Re sume Analyse des sections ouvertes (parois minces) Sections ouvertes versus sections ferme es 4 Torsion V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 50 / 52

43 Résumé Module #4 Définitions : (T ) couple, (φ) angle de rotation, (τ) contrainte de cisaillement, (γ) déformation en cisaillement, (G) module de cisaillement Hypothèses (sections circulaires) : axe longitudinal et lignes radiales restent droits & sections restent planes Déformation en cisaillement : γ = ρ dφ dx Loi de Hooke :φ = TL GI p Contraintes : τ = Gγ = T ρ I p Assemblages hyperstatiques : méthode des forces Sections ouvertes : mauvais choix pour la torsion Sections minces et rectangulaires : méthode approximative 4 Torsion V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 51 / 52

44 Intro Angle (φ) Contraintes (τ ) τ σ Assemblages iso. & hyp. Tubes # n&< Re sume Organisation de la matie re 1 Statique 2 Mate riau Chargements - E quilibre des forces et moments - Diagrammes de corps libres - 5 Diagramme des efforts, N(x), V (x), M(x) - Contraintes & de formations - Loi de Hooke, Poisson & St-Venant - 3 Efforts axiaux - 4 Torsion - 6a Flexion - 6b Cisaillement - 7 De flexion - 9 Pression & chargements combine s - 7 De flexion - 8 Contraintes 2D-3D - 10 Lois constitutives & crite res de rupture Introduction Mohr 2D (\ ) Mohr 3D (\ ) \ Mohr (\ ) Mesures de Re sume Construction du cercle de Mohr E tats limites 4 Torsion V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux + Cercle de Mohr + Y : y, xy = 90o C R ( n avg. ) 2 tan 2 p1 = 2 X : x, xy =0 2 + nt = R2 xy x y avg. = x+ y 2 x y 2 2 (Automne 2015) 8 Contraintes dans les poutres CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 8 / 51 Polytechnique Montre al 52 / 52