Introduction à la Théorie des Valeurs Extrêmes Applications en actuariat

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Marin St-Arnaud
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1 JJ Mois Année Introduction à la Théorie des Valeurs Extrêmes Applications en actuariat Armelle Guillou (Université de Strasbourg ) & Alexandre You (Société Générale Insurance)

2 1. Calibrage de la sinistralité dans un modèle DFA ou un modèle interne 2. Cotation d un traité de réassurance XS

3 1. Calibrage de la sinistralité dans un modèle DFA ou un modèle interne 2. Cotation d un traité de réassurance XS

4 Les modèles DFA Contrôle/optimisation Principe des modèles DFA Analyse/présentation Modélisation de la compagnie Générateur de scénarios Résultats Stratégies Facteurs de risques Modélisation de l activité d une compagnie d assurance basée sur des techniques de type Monte Carlo. Quelles utilisations? Calcul de capital économique/scr Allocation stratégique d actifs Optimisation de réassurance Planification stratégique Calibrage Cf. Blum & Dacorogna (2004)

assurance basée sur des techniques de type Monte Carlo. Quelles utilisations?

5 Les modèles DFA Modélisation de la sinistralité : Sinistres attritionnels («Small Claims») Sinistres exceptionnels («Large Claims») Sinistres catastrophes («CAT Claims») Calibrage de la sinistralité : = = = Sinistres individuels non susceptibles d impacter la réassurance non proportionnelle Sinistres individuels susceptibles d impacter la réassurance non proportionnelle Sinistres pouvant affecter simultanément un grand nombre de polices (via un seul fait générateur) R E A S S U RA N CE Risque de primes Risque de catastrophes Risque de réserves Risque de souscription non vie Sinistralité attritionnelle : statistique inférentielle usuelle Sinistralité exceptionnelle : EVT!

la réassurance non proportionnelle Sinistres pouvant affecter simultanément un grand nombre de polices (via un seul fait générateur) R E A S S U RA N CE Risque de primes

6 Calibrage de la sinistralité exceptionnelle Exemple : sinistres RC Automobile ( ) montants «as if»

7 Calibrage de la sinistralité exceptionnelle Diagnostics graphiques : Exponential quantile plot & Mean excess plot Comportement de type Pareto

8 Calibrage de la sinistralité exceptionnelle Mise en œuvre de l approche POT : estimation de (γ,σ γ,σ) et choix du seuil Excès au-delà du seuil u k,n = X n-k,n : Y 1,, Y k avec Y j := X ij u k,n 2 méthodes utilisées : Moments pondérés généralisés (GPWM) : Choix des fonctions de poids : fonctions puissance ω 1 (x) = x, ω 2 (x) = x 3/2 Moment pondéré : νω= 0 W G γ,σ x dx estimé par : ν ω = 0 W F n,uk,n x dx avec F n,uk,n x = 1 k k j=1 Ι Y j >x Estimateurs de (γ,σ) : γ = 4ν ω 25 4 ν 1 ω2 2ν σ = ω 5 2 ν 1 ω2 5 2 ν ω 1 ν ω 2 2ν ω ν ω2 Maximum de vraisemblance (MLE) : Résolution des équations de vraisemblance (pas d expression explicite des estimateurs).

x 3/2 Moment pondéré : νω= 0 W G γ,σ x dx estimé par : ν ω = 0 W F n,uk,n x dx avec F n,uk,n x = 1 k k j=1 Ι Y j >x Estimateurs de (γ,σ) : γ = 4ν ω 25 4 ν 1 ω2 2ν σ

9 Calibrage de la sinistralité exceptionnelle Mise en œuvre de l approche POT : estimation de (γ,σ γ,σ) et choix du seuil

10 Qualité de l ajustement («goodness-of-fit») Calibrage de la sinistralité exceptionnelle

11 Qualité de l ajustement («goodness-of-fit») Calibrage de la sinistralité exceptionnelle

12 Calcul de Capital Économique au 31/12/N : P = Primes acquises N+1 Exemple de modélisation DFA (élémentaire!) S = Sinistralité brute N+1 = S 1 + S 2 = Sinistralité attritionnelle + Sinistralité exceptionnelle F = Frais généraux & commissions N+1 P cédée = Primes de réassurance N+1 S cédée = Sinistralité cédée N+1 Résultat technique brut N+1 : Résultat technique net N+1 : R brut = P S F R net = P S F P cédée + S cédée L exigence marginale de fonds propres au titre du risque de primes est mesurée par le RaC (Risk adjusted Capital) : RaC = -quantile de niveau 0.5% de la distribution de R net S 1 : modélisation de la charge agrégée de type Wilson-Hilferty (cf. Daykin et al., 1993) S 2 : modélisation individuelle Poisson/GPD (estimateurs GPWM)

Sinistralité cédée N+1 Résultat technique brut N+1 : Résultat technique net N+1 : R brut = P S F R net = P S F P cédée + S cédée L exigence marginale de fonds propres au titre du risque

13 Exemple de modélisation DFA (élémentaire!) Exemple : P = 40 Me, S/P = 71%, F = 28%, traité XS priorité 1 Me, P cédée = 3% simulations

14 1. Calibrage de la sinistralité dans un modèle DFA ou un modèle interne 2. Cotation d un traité de réassurance XS

15 Modèle collectif (cf. Daykin et al., 1993) : X i coût du i-ème sinistre, N nombre de sinistres Réassurance en excédent de sinistre : Priorité d (et portée illimitée) Pour l assureur (cédante) : Pour le réassureur : Problématique : cotation du traité N S = X i i=1 N S net = min X i,d i=1 Estimation de la prime pure Π(d) = Ε S cédée N S cédée = X i d + i=1 Réassurance XS

sinistre : Priorité d (et portée illimitée) Pour l assureur (cédante) : Pour le réassureur :

16 Méthodes usuelles de cotation en réassurance Méthode historique : le «Burning Cost» Approche empirique : Π d = Ε N N d n Ε kd,n avec Ε kd,n = 1 n X N i Ι Xi >d d i=1 n N d = Ι i=1 Xi >d d Adaptée pour les tranches dites travaillantes ou «working layers» (nombre de sinistres traversant la tranche suffisant pour que la loi des grands nombres s applique), à l inverse inefficace pour les tranches peu ou non travaillantes. Méthode moderne : les modèles DFA Approche simulatoire basée sur les techniques de Monte Carlo (cf. application précédente).

sinistres traversant la tranche suffisant pour que la loi des grands nombres s applique), à l inverse inefficace pour les tranches peu

17 Méthode de cotation «EVT» Prime pure du traité XS 1 : Fonction d excès moyen : Approximation POT (GPD) : Estimateur de Π d : Π(d) = Ε S cédée = E N Ε X d + = E N F d e d e d = E X d X > d = F d x dx F d Π d Ε N F u 1+ γ σ x u Π d Ε N F u d σ 1 γ 1 γ dx 1+ γ 1 1 γ σ x u Π d Ε N k n σ 1 γ 1 + γ σ x X n k,n 1 1 γ 1 : sous réserve d existence (γ < 1) Cf. Beirlant et al. (1996, 2004)

= F d x dx F d Π d Ε N F u 1+ γ σ x u Π d Ε N F u d σ 1 γ 1 γ dx 1+ γ 1 1 γ σ x u Π d Ε N k n σ

18 Cas pratique : RC Auto

19 Cas pratique : RC Auto

20 Cas pratique : RC Auto

21 Résultats k = 50 GPWM : 770 Ke MLE : 902 Ke BC : Ke DFA : Ke

22 Résultats k = 50 GPWM : 427 Ke MLE : 544 Ke BC : Ke DFA : 496 Ke

23 Résultats k = 50 GPWM : 175 Ke MLE : 257 Ke DFA : 194 Ke Rmq : pas d estimation pour la méthode «Burning Cost» (tranche non travaillante)

24 Autres métriques L approche précédente peut être étendue à d autres métriques : Variance Var S net = E N F d s Var N E N e d F d 2 avec Value-at-Risk (VaR) s d = Ε X d 2 X > d VaR S net, p = F 1 S net p = inf x R, F Snet x > p Tail Value-at-Risk (TVaR) TVaR S net, p = Ε S net S net > VaR S net, p

25 Bibliographie : Beirlant J., Teugels J.L., Vynckier P. (1996). Practical Analysis of Extreme Values, Leuven University Press. Beirlant J., Goegebeur Y., Segers J., Teugels J.L. (2004). Statistics of Extremes, John Wiley & Sons. Blum P., Dacorogna M. (2004). DFA Dynamic financial analysis, in Encyclopedia of Actuarial Science, John Wiley & Sons. Daykin C.D., Pentikaïnen T., Pesonen M. (1993). Practical Risk Theory for Actuaries, Chapman & Hall. Embrechts P., Klüppelberg C., Mikosch T. (1997). Modelling Extremal Events, Springer-Verlag. McNeil A.J., Frey R., Embrechts P. (2005). Quantitative Risk Management, Princeton University Press.

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