Traitement Numérique du Signal

Transcription

1 Chapitre 8 Traitement Numérique du Signal 8.1 De la T.F. à la T.F.D. Le but de ces deux exercices est d étudier dans deux cas particuliers de signaux la relation entre la Transformée de Fourier définie par : Z X(f) = x(t)e i2πft dt et la Transformée de Fourier Discrète calculée par : R N 1 kn X k =0,...,N 1 X D (k) = x (n) e i2π N Pour cela, l étude sera menée en plusieurs étapes : problème du support fini du signal observé : effet de la troncature sur la Transformée de Fourier étudié par le passage de la Transformée de Fourier à la Transformée de Fourier Tronquée : X L (f) = Z +L 0 n=0 x(t)e j2πft dt problème de l échantillonnage du signal : passage de la Transformée de Fourier Tronquée à la Transformée de Fourier Numérique : N 1 X X N (f) = x (nt E ) e i2πfnt E n=0 43

2 44 Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal et enfin, pour le deuxième exercice seulement, problème du calcul numérique de la Transformée de Fourier Numérique qui ne peut être calculée sur une échelle continue en fréquence mais dont le résultat sera forcément discrétisé en fréquence : passage à la Transformée de Fourier Discrète. EXERCICE 1 Etude de la TFD d un signal à spectre continu Onconsidèrelesignal avec a>0. x (t) = e at pour t 0 =0pour t<0 1. Montrer que la transformée de Fourier tronquée s écrit X L (f) = Z L 0 x(t)e j2πft dt X L (f) =X(f)G(f,L) où X(f) est la transformée de Fourier de x(t). Le terme G(f,L) représentant l erreur commise en utilisant la Transformée de Fourier Tronquée à la place de la véritable Transformée de Fourier, déterminer le module et la phase de cette erreur multiplicative. Donner un encadrement de G(f,L) 2 que l on chiffrera pour L = 4 a. Pour L>> 1, donner une valeur approchée de la phase de a G(f,L). 2. Dans un deuxième temps, le signal est échantillonnée à la fréquence d échantillonnage F E =1/T E et on remplace la Transformée de Fourier Tronquée de x(t) par la Transformée de Fourier Numérique (TFN) : N 1 X X N (f) = x (nt E ) e i2πfnt E n=0 (a) Comment faut-il choisir la fréquence d échantillonnage F E et le nombre de points N?Onseraamenéàdéfinir

3 8.1. De la T.F. à la T.F.D. 45 une largeur de bande spectrale f du signal en considérant par exemple que : X ( f) =0.01 X (0) (b) Etablir la relation entre la TFN et la TF tronquée de la question 1 en utilisant les hypothèses suivantes : le spectre du signal considéré est basse fréquence et que les fréquences d intérêt sont telles que f F E /2 etlà1/a. Retrouver la périodicité de la TFN. EXERCICE 2 Etude de la TFD d un signal à spectre de raies On considère le signal x(t) =Ae i(2πf 0t+φ) t R 1. Comparer la Transformée de Fourier de ce signal avec sa Transformée de Fourier Tronquée, définie dans l exercice précédent. 2. Comparer la Transformée de Fourier Tronquée avec sa Transformée de Fourier Numérique, définie dans l exercice précédent. 3. En déduire la Transformée de Fourier Numérique dans le cas où x(t) =A cos (2πf 0 t) 4. Pour calculer la Transformée de Fourier Numérique, il est nécessaire de discrétiser l échelle des fréquences et, pour des raisons algorithmiques, on décide de calculer cette transforméedefourierauxfréquencesdelaforme: k =0,..., N 1 f k = k N F E On obtient alors la Transformée de Fourier Discrète : N 1 kn X k =0,..., N 1 X D (k) = x (n) e i2π N n=0 Calculer la TFD de x(t) =A cos (2πf 0 t) dans deux cas :

4 46 Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal (a) la fréquence f 0 est commensurable avec F E c est-à-dire : k 0 {0,..., N 1} tel que f 0 = k 0 N F E (b) la fréquence f 0 n est pas commensurable avec F E f 0 = k 0 + ε N F E 0 <ε<1 5. Intérêt du zero-padding : montrer que si on calcule la TFD sur un signal x(n) quelconque paddé par des zéros, c est-à-dire,sioncalculelatfdsury(n) tel que : y(n) = x(n) pour n =0,..., N 1 = 0 pour n = N,..., NM 1 M N on calcule M points intermédiaires entre deux points de la TFD de x(n).

5 8.1. De la T.F. à la T.F.D. 47 Exemple de calcul de la TFD dans le cas d une fréquence de composante sinusoïdale commensurable avec la fréquence d échantillonnage. 1/N 1/N Exemple de calcul de la TFD dans le cas d une fréquence de composante sinusoïdale non commensurable.

6 48 Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal 4 16 points de signal,16 points de TF 8 16 points de signal,32 points de TF points de signal,64 points de TF 16 points de signal,1024 points de TF Illustration de l intérêt du zero-padding : on voit apparaître le sinus cardinal et on reconnaît alors la présence d une raie. 8.2 Filtrage Numérique EXERCICE 3 Etude de la cellule du second ordre : cellule purement récursive. Soit un système défini par l équation aux différences : y(n) =x(n) a 1 y(n 1) a 2 y(n 2) 1. Exprimer sa fonction de transfert en Z. Dans le cas où a 2 1 < 4a 2, représeneter ses pôles en coordonnées polaires (r, θ) ;en déduire une expression de H(z) en fonction de r et de θ. Dans le plan des coefficients (a 1 en abscisse, a 2 en ordonnée), tracer le domaine de stabilité du filtre. A.N. a 1 = a 2 =0.64.

7 8.2. Filtrage Numérique Donner l expression de la réponse en fréquence en fonction de a 1 et de a 2. À quelle condition existe-t-il une fréquence de résonance et quelle est sa valeur? Démontrer que l amplitude à la résonance est inversement proportionnelle à la distance du pôle au cercle unité. Tracer la courbe en fréquence pour a 1 = et a 2 = Donner l expression de la réponse impulsionnelle h(n) et la tracer en fonction de n (paramètres r et θ). EXERCICE 4 Etude de la cellule du second ordre générale. On considère une équation plus générale : y(n) =x(n)+b 1 x(n 1)+x(n 2) a 1 y(n 1) a 2 y(n 2) avec b 2 < 2 Démontrer que cette cellule du second ordre peut être considérée comme la mise en cascade de la cellule purement récursive précédente et d un filtre RIF à phase linéaire et à minimum de phase. EXERCICE 5 Etude de la cellule du second ordre : filtre passe-tout. Considérons le filtre suivant : y(n) =a 2 x(n)+a 1 x(n 1) + x(n 2) a 1 y(n 1) a 2 y(n 2) Exprimer la fonction de transfert en Z du système ; représenter sespôlesetseszérospoura 1 = et a 2 =0.64. Démontrer que ce filtre est un déphaseur pur. EXERCICE 6 Etude de la cellule du second ordre : filtre à encoche. Un cas particulier important de la cellule du second ordre est le "filtre à encoche", utilisé comme un réjecteur de fréquence. Sa fonction de transfert s écrit : H(z) = 1+a 1 z 1 + z 2 1+a 1 (1 ε) z 1 +(1 ε) 2 z 2 a 1 < 2, ε petit

8 50 Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal 1. Représenter ses pôles et ses zéros en coordonnées polaires. 2. Montrer que la bande rejetée à -3dB est égale à B = 2ε π. 8.3 Eléments de correction Ces éléments de correction concernent le premier exercice de l étude de la cellule du second ordre : la cellule purement récursive. La réponse fréquentielle (question 2) s obtient : avec H(eω) 2 = H(z)H(z 1 ) z=e j eω H(z)H(z 1 ) = = z 2 z 2 z 2 + a 1 z + a 2 z 2 + a 1 z 1 + a a a a 1 (1 + a 2 )(z + z 1 )+a 2 (z 2 + z 2 ) En prenant z sur le cercle unité H(eω) 2 = 1 1+a a a 1 (1 + a 2 )cos(eω)+2a 2 cos(2eω) Il existe une fréquence de résonance f 0 (non égale à 0 et à 0.5) siledénominateur passe par un minimum. La dérivée du dénominateur s écrit : Cette dérivée s annulle pour D 0 = 2(a 1 (1 + a 2 )+4a 2 cos (eω)) sin (eω) eω =0ou eω = π (bornesduspectresenfréquencesnormalisées) ou pour Pour cela, il faut que a 1 (1 + a 2 )+4a 2 cos (eω) =0 a 1 (1 + a 2 ) 4a 2 1

9 8.3. Eléments de correction 51 La même condition en (r, θ) donne cos θ < 2r 1+r 2 La fréquence de résonance vaut alors cos (fω 0 )= a 1 (1 + a 2 ) = (1 + r2 ) cos θ (A.N. : f 0 =0.12) 4a 2 2r D où la valeur de la réponse fréquentielle à la résonance : H(fω 0 ) 2 = 4a 2 (1 a 2 ) 2 (4a 2 a 2 1 ) = 1 (1 r) 2 (1 + r) 2 (1 cos 2 θ) Il est important de noter que cette valeur est inversement proportionnelle à (1 r) 2. Pour calculer la réponse impulsionnelle (question 3), il existe plusieurs façons de la calculer à partir de H(z). Une des façons est de passer par le calcul des résidus : h(n) = X pôles de H(z) Res z n 1 H(z) = X µ z n+1 Res (z z z 1,z 1 )(z z 2 ) 2 = zn z 1 z 2 zn+1 2 z 2 z 1 n sin ((n +1)θ) = r sin θ avec z 1,2 = re ±jθ Une illustration des réponses fréquentielles et impulsionnelles est donnée ci-après.

10 52 Chapitre 8. Traitement Numérique du Signal R éponse fréquentie le de la ce lule du second ordre générale 3.5 M odule 2.5 de la fonction de 2 transfert 4 3 Partie récursive (RII) C e lule générale avec parties RIF etrii Partie RIF a 1 = a 2 = 0.64 b 1 = Fréquences norm alisées Réponses fréquentielles de la cellule du second ordre générale : partie RIF, partie RII et cellule complète. Réponse im pulsionne le de la ce lule du second ordre purem entrécursive a 1 = a 2 = Réponse impulsionnelle de la cellule du second ordre purement récursive.

11 Les TDs font référence au polycopié N7 «Exercices de traitement numérique du signal» de C.Mailhes et F. Castanié. Ces textes ne sont que des «scans» de TDs qui se faisaient sur le cours. La partie TNS1 se rapporte au TNS1 cours de base. Tous les TDs ne sont pas détaillés. Seuls les TDs sur la TFD et sur la cellule du second ordre sont donnés (les plus importants). La partie TNS2 fait référence au cours avancé de TNS dans lequel en particulier sont abordés les problèmes de quantification des coefficients, d optimisation de filtres et de filtres QMF. Là encore, toutes les solutions des textes du polycopié ne sont pas données (les autres ne sont pas rédigées). Les corrections correspondent aux points jugés les plus importants. TD sur la TFD, page 1. 1

12 2

13 3

14 4

15 5

16 6

17 7

18 8

19 9

20 TD sur la cellule du second ordre, page 5 du polycopié 10

21 11

22 12

23

24

25 fréquence de résonancre

26

27

28

29

30

31