Approche bayésienne pour la tomographie des temps de première arrivée. Jihane BELHADJ Thomas ROMARY Alexandrine GESRET Mark NOBLE

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Gaston St-Denis
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1 Approche bayésienne pour la tomographie des temps de première arrivée Jihane BELHADJ Thomas ROMARY Alexandrine GESRET Mark NOBLE

Tomographie sismique La tomographie des temps de première arrivée a pour objectif de cartographier le modèle de vitesse de propagation des ondes sismiques à partir des temps de première arrivée

2 Tomographie sismique La tomographie des temps de première arrivée a pour objectif de cartographier le modèle de vitesse de propagation des ondes sismiques à partir des temps de première arrivée mesurés Figure: Les problèmes direct et inverse en tomographie des temps de première arrivée relient un modèle de vitesse aux temps de première arrivée pointés (en ligne rouge) sur un sismogramme.

3 Etapes de la tomographie sismique Étapes de la résolution du problème inverse La paramétrisation du modèle de vitesse: Définir les inconnues du problème Le problème direct : Calculer les données à partir du modèle de vitesse L inversion: Trouver un ou des modèle(s) qui correspond(ent) aux données observées

4 Paramétrisation Détermination d un nombre minimal de paramètres (paramètres principaux) Modèle approximé par une combinaison linéaire m(x) d un nombre fini de fonctions de base " M(x) m(x) = ) mi i (x) i m i Paramètres du modèle

5 Problème direct Temps de trajet des ondes P et S => Équation Eikonal Dans le cadre asymptotique haute fréquence! t x % 2 +! t y % 2 +! t z % 2 = s²(x, y, z) t temps de trajet, s lenteur s(x, y, z) = 1 v(x, y, z) En général, il n existe pas de solution analytique à l équation Eikonal => recourir à des méthodes de résolution numérique Solveur numérique pour un modèle de vitesse [Noble et al., 2014] Figure Exemple de temps de trajet calculés

6 d obs R n L inversion : Vecteur des données observées Équation reliant les paramètres qui caractérisent un modèle de vitesse données observées d obs d obs = F(m) Opérateur F non- linéaire Problème inverse généralement mal posé (non unicité) Incertitude expérimentale m R N avec les ε: bruit d obs = F(m) + ε

7 L inversion classique Opérateur F non- linéaire Approches linéarisées cherchant à minimiser une fonction de coût C(m) représentative de d obs d cal Résolution du problème inverse de manière itérative en linéarisant le problème à chaque itération autour du modèle issu de l itération précédente Tiré de Taillandier et al., 2009 Algorithme facilement piégé dans un minimum local => Forte dépendance aux modèles initiaux

8 L inversion classique Opérateur F non- linéaire Approches linéarisées cherchant à minimiser une fonction de coût C(m) représentative de d obs d cal Résolution du problème inverse de manière itérative en linéarisant le problème à chaque itération autour du modèle issu de l itération précédente Tiré de Taillandier et al., 2009 Algorithme facilement piégé dans un minimum local => Forte dépendance aux modèles initiaux

9 L inversion classique Opérateur F non- linéaire Approches linéarisées cherchant à minimiser une fonction de coût C(m) représentative de d obs d cal Résolution du problème inverse de manière itérative en linéarisant le problème à chaque itération autour du modèle issu de l itération précédente Tiré de Taillandier et al., 2009 Algorithme facilement piégé dans un minimum local => Forte dépendance aux modèles initiaux

10 Tomographie sismique bayésienne Principe: Actualiser la connaissance a priori sur les paramètres du modèle de vitesse m via les observations En utilisant la formule de [Bayes,1763] La loi a posteriori : P(m d obs ) = P(dobs m) P(m) P(d obs ) Hypothèse de bruit gaussien centré de variance σ 2 d P m d &'( exp 1 2 d 012 d &'( σ 4 5 P(m)

11 Algorithme de Monte Carlo par Chaine de Markov (MCMC) Simulation d une famille aléatoire de modèles de vitesse m ayant comme distribution limite P(m d obs ) m 0 m 1 m 2 m n m n+1 Chaque état m n ne dépend que du précédent m n- 1

12 Algorithme Metropolis- Hastings Utilisation d une densité conditionnelle q L algorithme produit une chaîne de Markov fondée sur la transition suivante Algorithme Metropolis-Hasting (MH) Étant donnée une initialisation m (0) de la chaîne. À l itération (n + 1), 1. tirer m* q(m* m (n) ) prendre m (n+1) = m* avec une probabilité α(m (n), m*) définie par : 2.!! (!),! = min!!!!"#.!(!!! )!!!!!"#.!(!!! ), 1 " prendre! (!!!)! =!! (!) avec une probabilité 1!! (!),!

13 Problème: Méthodes MCMC Dans le cas de distributions multimodales ou de modèles complexes possédant un grand nombre de paramètres 1. Soit la chaîne évolue lentement (se mélange mal) : La convergence est difficilement atteinte en un temps de calcul raisonnable 2. Soit elle reste bloquée dans le voisinage d'un mode local: Ne visite pas entièrement l espace des états

14 Méthodes MCMC Figure: Densité en noir, et densités tempérées associées en bleu et rouge par ordre de températures croissantes. Solution: Un changement d échelle (température) pour parcourir plus rapidement l espace d état => empêcher la chaîne de rester bloquée dans un mode local

15 Distribution tempérée Énergie du modèle m E(m) = dobs )F(m) ) + log(p(m)) σ d Loi a posteriori : P(m d &'( ) e <=(>) Distribution tempérée P 2 m d &'( e <?(@) A B

16 Principe: Chaînes MCMC en interaction Générer plusieurs chaînes de Markov en parallèle à des températures distinctes [Geyer, 1991], [Hukushima & Nemoto, 1996] Permettre aux chaînes d échanger leur configuration i.e leurs états courants ou passés Plus la température augmente et plus l'échantillonneur associé explore facilement l'espace des paramètres =>Associer aux chaînes à haute température un échantillonneur global permettant une large exploration de l espace des paramètres. => Associer aux chaînes à basse température un échantillonneur local permettant une exploration précise des régions pertinentes.

17 Chaînes MCMC en interaction A chaque itération n de l'algorithme, un mouvement d'échange entre deux chaînes adjacentes i et i+1 est proposé suivant une certaine probabilité ɵ: Si la proposition d échange «swap» est refusée, une transition MH classique sera réalisée. Sinon, un état m (i+1),j avec j<n sera proposé parmi tous les états générés par la chaine i+1 dans le passé. L échange sera accepté avec une probabilité β.

Application synthétique Modèle «exact» composé de 23 couches V(m/s) Z(m) X(m) Z 1200 1000 800 600 400 200 0 0 100 200 300 400 500 600

18 Application synthétique Modèle «exact» composé de 23 couches V(m/s) Z(m) X(m) Z Récepteurs Sources Inversion avec un modèle à 10 couches horizontales X Modèle: m = (z 1, z 10,V 1,,V 10 ) Loi a priori uniforme pour tous les paramètres

19 Application synthétique Z1 Z2 Z V1 V2 V3 V V V V V Z Z Z V V Z Z Z9

20 Application synthétique Vert : vrai modèle. Rouge: Moyenne a posteriori. Bleu : Meilleur modèle. Noir : Intervalle de confiance à 95% Profondeur (m) Vitesse(m/s)

21 Conclusion La tomographie bayésienne permet de quantifier les incertitudes sur le champ de vitesse d améliorer la quantification de l erreur de localisation des hypocentres de séismes Algorithme des chaînes de Markov en interaction adapté à la multimodalité Approche bayésienne relativement coûteuse en temps de calcul une réflexion à la fois sur la paramétrisation du modèle de vitesse afin de réduire la dimension du problème et sur la définition de la loi a priori des paramètres

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