Table des matières. Préparé par Henri Yelle, ing, Marie Bernard, ing et Daniel Therriault, ing.

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1 able des matières CONENU DE COURS Révision des notions du cours MEC40 Principes de base Révision MEC40: statique Chargement uniaial Diagramme des efforts tranchants et des moments fléchissants Contraintes dans les poutres en fleion orsion des sections circulaires Superposition de contraintes Critères de défaillance des matériau (ductiles : resca et Von Mises; fragiles) Déformations Relation contraintes/déformations orsion des sections ouvertes et composées Section rectangulaire minces; Applications au profilés minces CHAPIRE DU LIVRE Voir MEC ; 6.; 6.3.; à 0.4 incl. 8 9.à 9.6 incl. 6.3, 6.4 et et 6., 6., 6.4.4; 6.6.; 6.6.3; fig Fleion gauche Efforts internes et analse des contraintes associés à la fleion gauche Contraintes dues à la fleion pure 7.4 à 7.6 incl Instabilité, flambement des colonnes, déversement de poutres, voilement Définition de stabilité Stabilité d une membrure rigide en compression Stabilité d une membrure élastique en compression Formule d Euler Colonne «rotule-rotule» soumise à une charge ecentrée Conception d une colonne Méthode de résolution appro. pour une poutre-colonne (chargement combiné) Déversement latéral des poutres Voilement des sections à parois minces et et Méthodes d analse basées sur l énergie de déformation (Méthodes énergétiques) Énergie de déformation Énergie de déformation : traction, fleion et torsion héorème de Mawell-Betti héorème de Castigliano héorème de Castigliano pour sstèmes isostatiques et hperstatiques Effets de l effort tranchant Concepts d analse limite et contraintes résiduelles Modèles du comportement des matériau Analse limite au chargement uniaial, en torsion, à la fleion Contraintes résiduelles Concentration de contrainte Valeur théorique du facteur de concentration de contrainte Comportement des matériau en présence de concentration de contrainte Fatigue Mécanismes de rupture par fatigue Méthode d essai normalisé Diagramme S-N Limite d endurance Chargement non complètement renversé Diagramme de Goodman Contraintes combinées normales et de cisaillement Dommage cumulatif Joints structurau Joints boulonnés (effets du cisaillement direct et du moment de torsion) Joints soudés soumis à une charge ecentrée 9.7. et et et , , notes de cours , 3, notes de cours Notes de cours Notes de cours

2 MEC40 MEC40 3 MEC40 MEC40 4

3 RDMII MEC40 MEC40 RDMII MEC40 6

4 RDMII MEC40 7 RDMII MEC30 8

5 9 0

6 Révision du cours RDMI et statique Notes de cours divisées en 4 parties. Notions de contrainte (chap -4, 6). Évaluation de la résistance (chap 7 et 0) 3. Déformations (chap 8 et 9) 4. orsion avancée (chap 6 et 6) Formulaire tpe à l eamen Chargement uniaial Fleion orsion Clindre à paroi mince sous pression Section rectangulaire clindre clindre tube tube (clindre)

7 Contenu de la partie Révision des chapitres -4 et 6 du manuel Résistance des matériau, 3e édition, Baergui et al. Études des contraintes pour les trois tpes de chargement simple d une membrure droite a P P L L Chargement aial Chargement en fleion Chargement en torsion raction-compression et réservoir sous pression Combinaisons des chargements 3 Conception de structures mécaniques Critères de conception. Résistance Révision RDM I, fleion gauche, analse limite, concentration de contrainte Révision RDM I, méthodes énergétiques. Rigidité Instabilité de membrures rigides, flambement de membrures élastiques 3. Instabilité Chargements ccliques 4. Fatigue Contenu pour le cours MEC40 Résistance Rigidité Instabilité Fatigue 4

8 Conception de structures mécaniques. Résistance Prédire les contraintes maimales et les comparer à un critère de défaillance Éviter les déformations plastiques. Rigidité Prédire les valeurs maimales des déformations ou des déplacements 3. Instabilité Éviter l effondrement de la structure suite à un phénomène d instabilité 4. Fatigue Prédire la durée de vie d une structure sous chargements ccliques Conception de structures mécaniques. Résistance Prédire les contraintes maimales et les comparer à un critère de défaillance. Rigidité E. critère sur le déplacement Éviter l effondrement de la structure suite à un phénomène d instabilité Formule d Euler, Code ACNOR C Famp / M Famp / M,0 Cr M r M r Loi de Goodman, Loi de Miner 4. Fatigue d dma Prédire les valeurs maimales déformations ou les déplacements 3. Instabilité Facteur de sécurité en résistance Contrainte permise FS Contrainte induite Durée de vie d une structure sous chargements ccliques n n Ni i,0 i 6

9 Évaluation de la résistance de pièces mécaniques, l ingénieur doit évaluer le facteur de sécurité (FS) : FS Contrainte permise Contrainte induite Résistance Contrainte Contrainte permise est évaluée à partir des propriétés du matériau de la pièce et des critères de défaillance (chap. 0) Contrainte induite est calculée à partir du chargement et de la géométrie de la pièce (chap. à 6 et 7) 7 Propriétés des matériau (essai normalisé) Critères de défaillance Statique Fatigue resca Von Mises Mohr Modifié Goodman Goodman modifié FS Chargements Contraintes Résistance Contrainte Uniaial (tension-compression) Normales ( ) Fleion orsion Effort tranchant (fleion) de Cisaillement ( ) 8

10 Rappel de certaines notions de MEC40 (/4) Diagramme de corps libéré (DCL) en 3D Addition vectorielle Calcul du moment causé par une force MEC40: Cours #6 p. 6 MEC40: Cours #6 p. 7 9 Rappel de certaines notions de MEC40 (/4) Propriétés de surface Position du centroïde MEC40: Cours #7 p. 4 MEC40: Cours #7 p. 0

11 Rappel de certaines notions de MEC40 (3/4) Propriétés de surface Second moments de surface (I, I) héorème des aes parallèles Raon de giration (k = (I/A)/) nous utiliserons r dans ce cours MEC40: Cours # p. MEC40: Cours # p. 9 Rappel de certaines notions de MEC40 (4/4) Propriétés de surface Moment produit d une surface (I) héorème de translation MEC40: Cours # complément p. MEC40: Cours # complément p.

12 Rappel: Contrainte et élément infinitésimal Dans un état de contrainte le plus complet, chaque cube (ou élément) infinitésimal d un solide est soumis à trois contraintes sur chacun de ses si plans Une contrainte normale i Deu contraintes de cisaillement ij orthogonales entre elles et qui reposent dans le plan 3 Chap -4, 6 Rappel: Contrainte et élément infinitésimal Contrainte Face et direction Normale (e. ) Face De cisaillement (e. ) Direction Logo des notes de cours (+) si face (+) et direction (+) ou (+) si face ( ) et direction (-) sinon (-) 4

13 Chap -4, 6 Sections les plus couramment rencontrées en ingénierie Pleine Creu Rectangulaire Arbres de transmission Ronde Profilé I C Plancher de maison L Chap -4, 6 Dans la grande majorité des cas, les équations que l ingénieur utilise pour calculer les contraintes se résument à : Chargement uniaial (Chap ) Chargement de fleion Chargement de torsion Chargement combiné: aial-fleion aial-torsion fleion-torsion fleion-aial-torsion P Uniaial N.B.: Comprend aussi les clindres à paroi mince sous pression 6

14 Chap -4, 6 Chargement uniaial, section rectangulaire P R P P R b P h Section pleine Section évidée P P A b h b t h t ; A b h A A 0 7 Chap -4, 6 r Chargement uniaial, barreau circulaire plein Vue plan P A r P P P A r Pour un barreau plein: A = r P A r 0 r r 0 8

15 Chap -4, 6 Clindre à paroi mince sous pression Cas particulier de chargement uniaial Important en génie mécanique Applications Vérins pneumatiques et hdrauliques, uauterie de distribution d eau, d air comprimé ou de vapeur Réservoirs sous pression tels que les chaudières thermiques, les échangeurs de chaleur, les réservoirs d air comprimé MEC300 - ransmission de chaleur MEC30 - Sstèmes de pompage, ventilation et compresseurs MEC330 - Sstèmes hdrauliques et pneumatiques 9 Chap -4, 6 Clindre à paroi mince sous pression Rapport: raon moen (rm) / épaisseur de la paroi (t) > 0 Distribution de la contrainte tangentielle ( ) est constante à travers la paroi pe: OUVER Contrainte dans la direction, = 0 ou FERMÉ Contrainte dans la direction, 0 r p r t 30

16 Chap -4, 6 Clindre fermé à paroi mince soumis à une pression interne p et à une force aiale F en tension r p ou 0 r F pr m t p rm F t rm t p r t b Partie de la contrainte due à la pression Partie de la contrainte due à la force etérieure F 3 Vérification des formules par éléments finis (Anss) Paroi mince (t = 4mm) Paroi épaisse (t = 0mm) r P = MPa rm = 80mm r= r= = θ= 9.8 = 9.9 Contrainte en MPa 9.96 θ=.4 0. Valeurs prises sur la surface intérieure 3

17 Eemple: Clindre avec deu conditions d appui F F p F F = 0 p OUVER p Appui à la base Appui en haut En équilibre F RA papiston F 0 RA pa RA F À compléter 33 Chap -4, 6 Contraintes Dans la plupart des cas, les équations que l ingénieur utilise pour calculer les contraintes se résument à : Chargement uni-aial Chargement de fleion (Chapitres 3 et 4, R de M) Chargement de torsion Chargement combiné: aial-fleion aial-torsion fleion-torsion fleion-aial-torsion M L a P L Fleion pure (moment fléchissant M seulement) et j Fleion ordinaire (moment fléchissant M et effort tranchant V) 34

18 Chap -4, 6 Fleion Pure Moment concentré (MB) sur une poutre rectangulaire pleine Moment interne (MAB) qui engendre la contrainte; ici MAB est égal à MB c = distance du plan neutre à la fibre etrême (ici, c = h/) MAB MB MB b c h L A B M AB L b h3 I b h S 6 Contraintes au fibres etrêmes M c M AB AB I S Chap -4, 6 Fleion Pure Moment concentré sur une poutre rectangulaire à paroi mince Augmentation linéaire de la contrainte normale en fonction de la distance par rapport au plan neutre b M AB h/ M AB I t h h/ Contraintes au fibres etrêmes M AB c I où c h Rappel: Comment calculer I? 36

19 Chap -4, 6 Fleion pure Rappel: Comment calculer I? b I I I 3 4 t 3 4 I 3 4 I ' A I h 3 t h3 I 3 4 b t t 3 h t b t t h ' 4 t h t I 3 t h b t t 3 3 h t b t t 6 b t 37 Chap -4, 6 Dans la plupart des cas, les équations que l ingénieur utilise pour calculer les contraintes se résument à : Chargement uni-aial Chargement de fleion ordinaire: avec moment fléchissant et effort tranchant Chargement de torsion Chargement combiné: aial-fleion aial-torsion fleion-torsion fleion-aial-torsion a P L et j Fleion ordinaire (moment fléchissant et effort tranchant) 38

20 Chap -4, 6 Fleion ordinaire Charge concentrée sur une poutre aant des appuis simples Après avoir calculer les réactions Ra et RB la procédure de solution est : - racer le diagramme des efforts tranchants M M AB - racer le diagramme des moments fléchissants (M) V 3- Calculer les contraintes RA et j P b c h a RA b RC L A B C 39 Chap -4, 6 - racer le diagramme des efforts tranchants Le diagramme des efforts tranchants varie d une quantité égale à - (la force concentrée) à l endroit où celle-ci est appliquée P b c h RA RC RA dv q d V q a b L RC V 0 P dm V d M V 40

21 Chap -4, 6 - racer le diagramme des moments fléchissants M V dm V d P b c h a RA b RC L V RA RC P 0 M ma RA a M 0 4 Chap -4, 6 3- Calculer la contrainte On fait une coupe de la pièce à une distance de l appui gauche M AB V M AB c I RA RB RA V P 0 M AB M AB RA M ma 0 4

22 Chap -4, 6 3- Calculer la contrainte au point critique R a A S MAB est maimum à = a, là où V = 0 P M AB V a RA RC RA R a A S V P 0 M ma RA a M 0 43 Chap -4, 6 Eemple : Fleion pure M L M AB M AB B A L V 0 dv q d V q V 0 M M 0 dm V d M V 44

23 Chap -4, 6 Eemple R R A a A w0 S RA w0, N / m RA w0 h Charge uniformément a l distribuée sur une partie de la poutre RB RA w0 -RA RA a RA R R A a A w0 S RB w0 RA a l dv q d dm V d V q M V RB l M q = -w0 Points importants à identifier 4 Représentation de σ par ÉM de l eemple a 300mm w0 0 N/mm Charge distribuée RA b = 0mm h = 30mm l 600mm RB Le calcul théorique donne une contrainte normale maimale de MPa 46

24 Chap -4, 6 Eemple 3 w0 Il faut bien calculer les réactions au appuis RA h P + V RB RB RA Ici, V passe par éro à deu sections de la pièce ; il faut alors calcule au deu endroits pour trouver les contraintes maimales M 47 Chap -4, 6 Contrainte de cisaillement due à l effort tranchant P RA V a b P Dans cette poutre, à une distance de l origine, isolons une section de longueur + h RB RB q -RA RA a M M M M M V V 48

25 Chap -4, 6 M b M V V h V V Un élément de poutre de longueur est en équilibre: M 0 M M V F da 0 (4.3a) (4.) avec M I (4.a et 4.b) 49 Chap -4, 6 A' est mesurée sur la face sur laquelle agit V V + V b c ' F A' Si on isole un élément de cette section d aire A' dont le centroïde est situé à une distance ' de l ae neutre, il faut ajouter une force interne F pour que l élément soit en équilibre: F A da da F 0 (4.3) A C est cette force F qui cause une contrainte de cisaillement. 0

26 Chap -4, 6 Contrainte de cisaillement due à l effort tranchant + V V c ' b V Q I b V A ' ' I b A' b est mesuré à (surface glissante) I est le second moment de toute la section par rapport à Q est le premier moment de surface Chap -4, 6 Contrainte de cisaillement due à l effort tranchant La figure ci-dessous illustre la répartition en intensité des contraintes de cisaillement dues à l effort tranchant dans un profilé en I. On remarque : les contraintes de cisaillement sont nulles au fibres etrêmes de la poutre la contrainte de cisaillement est maimale à l ae neutre de la poutre la majeure partie de l effort tranchant est reprise dans l âme de la poutre les contraintes de cisaillement sont relativement constantes dans l âme

27 Chap -4, 6 Eemple : Calculer les contraintes de cisaillement dues à l effort tranchant V en A-A et en B-B : 0 0 B 0 60 B A A 6 I mm4 Dimensions en mm V Section A-A est dans l âme de la poutre, sous la semelle supérieure. Section B-B est dans la semelle supérieure, à 0 mm de l etrémité gauche. 3 Chap -4, 6 À la section d étude A-A : La contrainte de cisaillement se calcule : V Q I b où Q = le premier moment de l aire de la section de la poutre qui est au dessus de la section d étude par rapport à l ae neutre, soit Q A' ' 0 0 7, 03 mm3 et b 6 mm b A A 6 4

28 Chap -4, 6 À la section d étude B-B : 0 0 V Q B 0 I b 60 B 6 Q A ' ' mm3 et b 0mm, l'épaisseur de la semelle Résultats FEM Force de cisaillement V=4.4 kn 6

29 Chap -4, 6 Dans la grande majorité des cas, les équations que l ingénieur utilise pour calculer la sollicitation se résument à : Chargement uni-aial Chargement de fleion Chargement de torsion Chargement combiné: aial-fleion aial-torsion fleion-torsion fleion-aial-torsion j L orsion 7 Chap -4, 6 orsion Barreau circulaire plein Vue plan J r r4 J: second moment polaire (constante de torsion) Contrainte de cisaillement à la surface eterne r J r 0 r r 0 8

30 Chap -4, 6 orsion ube circulaire r J (re 4 ri 4 ) ri J = r3t où r est le raon moen Contrainte de cisaillement à la surface eterne r J r 0 r r 0 9 Chap -4, 6 est constant orsion dans l épaisseur ube rectangulaire à paroi mince M b A b t h t t A est la surface à h M l' intérieur du périmètre moen Contrainte de cisaillement moenne dans la paroi s M A t = n = s = 0 n = ns = 0 60

31 Chap -4, 6 Résumé P a P L 0 0 P A M S ou M L r J M b t h 0 (ou ) r 0 r r 0 s M A t M VQ I b = n = s = 0 n = ns = 0 6 Résumé Chap -4, 6 Eemples de section Nouveau en RDM II P Aial outes les sections constantes selon l ae Pression cl. à paroi mince a P Fleion section simple Changements de section Concentration de contrainte (chap. 0) Section sans plan de smétrie fleion gauche (chap. 7) L Révision partie 4 ou M orsion section circulaire (,r, ) orsion section ouverte mince orsion section fermée mince (,s,n) orsion section combinée L M b t h M 6

32 Chap -4, 6 Dans la grande majorité des cas, les équations que l ingénieur utilise pour calculer la sollicitation se résument à : Chargement uni-aial Chargement de fleion Chargement de torsion Chargement combiné: aial-fleion aial-torsion fleion-torsion fleion-aial-torsion M P L 63 Chap -4, 6 Chargement combiné Fleion-aial-torsion J r4 r4 I 4 P r P M M A r Contraintes au fibres eternes (r: raon eterne) r J M c P I A 64

33 Chap 7 et 0 Contenu de la partie : Chapitres 7 et 0 Objectifs Comprendre la définition d un état plan de contrainte Calculer les contraintes selon une orientation arbitraire Calculer les contraintes principales et leur orientation Représenter l état de contrainte à l aide du cercle de Mohr Calculer la valeur du cisaillement maimal Évaluer la résistance d un matériau ductile avec les critères d écoulement (resca et von Mises) 6 Formulaire tpe à l eamen Chapitre 7 Superpositions de contraintes (état plan de contrainte sur la surface ) cos sin sin cos tan, Chapitre 0 Critères de défaillance min SY ma ma resca Von Mises FS SY S Y ma min ma 3 3 SY S SY SY SSY 0,77SY 66

34 Chap 7 et 0 État plan de contrainte outes les contraintes agissant sur une des faces du cube unitaire sont nulles (ici, la face ) ainsi que toutes les contraintes agissant sur les autres faces, dans la direction. ( = 0 et = = = = 0) rès fréquent en ingénierie Simplification à un élément D 67 Chap 7 et 0 État plan de contrainte Contraintes en un point selon une orientation arbitraire ( - ) On calcule les contraintes, et suivant les directions et choisies On définit un nouveau sstème d aes et qui fait un angle avec le sstème,; l ae positif est l ae de référence θ En utilisant les équations d équilibre dans le sstème - ( F = 0; F =0; M=0), on établit les epressions pour le calcul des contraintes, et dans le nouveau sstème! Attention à la convention de signe de 68

35 Chap 7 et 0 Pour transformer, et en, et F ' 0 ' F ' 0 ' ' cos sin sin cos (7.4) (7.) θ 69 Chap 7 et 0 État plan de contrainte Contraintes principales, et 3 en un point ' cos sin d ' 0 ' ' d Contraintes principales en un point, (7.4) (7.8) et (7.9) (7.4) 3 0ou valeur connue Sur les plans où se trouvent les contraintes principales, les contraintes de cisaillement sont nulles. 70

36 Chap 7 et 0 État plan de contrainte Cercle de Mohr Pour tracer le cercle de Mohr d un état plan de contrainte dans le plan -, on procède de la façon suivante : Placer les points X (, ) et Y (, - ) dans un sstème d aes - Joindre les deu points par une droite et déterminer le point d intersection C avec l ae ( c = ( + ) /) Y (, ) Y ' ( ', ' ' ) C X ' ( ', ' ' ) X (, ) Le cercle de Mohr est le cercle dont le centre est C et qui passe par les points X et Y. L état de contrainte selon le sstème - est également représenté par le cercle 7 Chap 7 et 0 État plan de contrainte Cercle de Mohr Contraintes principales et L ae de la contrainte principale fait un angle avec l ae tg! Attention à la valeur calculée de Sur les plans des contraintes principales, les contraintes de cisaillement sont nulles. Y (, ) (,0) C (,0) X (, ) 7

37 Chap 7 et 0 État plan de contrainte Cercle de Mohr Cisaillement maimal ma En état plan de contrainte, la contrainte de cisaillement maimal se situe sur un plan dont la normale d est à 4 par rapport à l ae (sens trigonométrique négatif à partir de l ae ). e Y (, ) (,0) 4 C (,0) X (, ) d D( d, ma ) 73 Chap 7 et 0 Chap. 0 - Critères d écoulement: resca L écoulement d un matériau ductile se produit lorsque ma atteint une valeur critique. FS Pièce réelle Essai de traction SY 3 ma SY ma min,3 ma SY / 3 ma ma(,, 3 ) min(,, 3 ) Cisaillement ma maimal Cas général 3D 74

38 Chap 7 et 0 Chap. 0 - Critères d écoulement: von Mises L écoulement d un matériau ductile se produit lorsque l énergie de distorsion atteint une valeur critique. FS SY ( ) ( 3 ) ( 3 ) Contrainte équivalente de von Mises dans le sstème d aes Chap 8 et 9 Contenu de la partie 3: Chapitres 8 et 9 Chap. 8 Déformations Chap. 9 Relations contraintes-déformations Objectifs: Connaître la définition d un état plan de déformation Savoir définir les déformations à partir des déplacements Savoir calculer les déformations normales et de cisaillement selon une orientation quelconque; application des lectures de jauges Appliquer les relations contraintes-déformations (Loi de Hooke) Solutionner le cas particulier de la séance de laboratoire no. Étude des déformations dans un panneau de cisaillement 76

39 Chap 8 et 9 Déformation Les forces etérieures sur un solide causent : un déplacement de l ensemble des points constituant le solide un mouvement relatif entre les points du solide déformation du solide Comme pour le cas des contraintes, l étude des déformations dans un solide est réalisée pour un état plan. Ici, c est l état plan de déformation, qui est différent de l état plan de contraintes. Les côtés CAB d un élément unitaire de longueurs et avant l application d une force etérieure se retrouvent en C A B après chargement. C C' u Ce faisant, le point A s est déplacé de la distance u selon l ae et de v selon l ae. A A' v B B' v u u v 77 Chap 8 et 9 Déformations Les déformations normales et et de cisaillement sont définies de la façon suivante : A' B' AB u AB A' C ' AC v AC BAC B' A' C ' C C' u v u A A' v B B' v u u v Déformations: c est ce qui eiste phsiquement. Contraintes: c est un concept commode pour faire des calculs 78

40 Chap 8 et 9 Déformations La méthode epérimentale la plus répandue et la plus utile en ingénierie pour l analse des contraintes est basée sur la mesure des déformations à l aide des jauges de déformation Connaissant les déformations, les contraintes peuvent être calculées à l aide de la loi de Hooke (Chap. 9) Ce sont les contraintes qui permettent d évaluer le facteur de sécurité (FS) d une pièce soumise à des forces etérieures connues Une jauge mesure une déformation normale et elle est toujours dans un état plan de contrainte parce qu elle est collée sur une surface libre. Donc, 3 = Chap 8 et 9 Jauges de déformation Fil dont la résistance électrique R varie avec son allongement. Elle mesure une déformation eclusivement dans l ae de son fil. On colle solidement la jauge sur la surface de la pièce. Lorsqu une force agit sur la pièce, celle-ci se déforme. La jauge subit alors la même déformation et sa résistance électrique varie en conséquence: R k R On enregistre le changement de résistance. Après une calibration adéquate, on déduit la déformation. Échantillon «disque» instrumentée de 3 rosettes Il n eiste aucune méthode simple qui permette de mesurer une déformation de cisaillement. 80

41 Chap 8 et 9 On sait que : FS,, 3 où 3 en général est connue On sait aussi que :,,, (pour état plan de contrainte en ) et que :,,,, (loi de Hooke) Une jauge ne mesure qu une déformation normale( ) Elle ne peut pas mesurer une déformation de cisaillement ( ) 8 Chap 8 et 9 À partir de trois valeurs de déformation normale ( a, b, c) mesurées suivant des orientations quelconques mais connues, ( a, b, c ) on peut déterminer, et de la façon suivante : a cos a b c b sin a b cos b sin b c cos c sin c c a a Ceci constitue un sstème de trois équations à trois inconnues,, Dans ce sstème, l ae est l ae de référence. Les angles i sont mesurés à partir de cet ae ; ils sont positifs dans le sens anti-horaire.! Attention à la convention de signe de Ensemble de jauges: une rosette 8

42 Chap 8 et 9 Chap. 9 Relations contraintes-déformations (Loi de Hooke) Aes, et Aes, et 3 3 E 3 E 3 3 E E E E G ; G ; G 83 Chap 8 et 9 Rappel: Propriétés mécaniques Module d Young (E) E Module de cisaillement (G) G E ( v) G Coefficient de Poisson (v) Direction transversale F v L F Direction longitudinale 84

43 Chap 8 et 9 Étude des déformations dans un panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. ) F Questions : Que vaut ma (,, 3)? Quelle est l orientation de ma? Quel est l effort tranchant qui passe dans le panneau? Panneau Cadre F 8 Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. ) F F / F / a 30 0 c Fa b b b F / a F / F / Fa b F / Efforts internes dans le cadre V F / F / 86

44 Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. ) F C V V panneau Vcornières F / F / C V panneau A On suppose la contrainte uniforme sur la surface A F / A Coupe C-C 87 Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. ) F 0 Contraintes selon le sstème d aes - 0 Y (0, ) F / F / 3 X (0, ) Contraintes principales et orientation 88

45 Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. ) F F c b a F / a 60 b c 60 0 F / F / F / Étude ici Laboratoire 89 Relations pour une rosette à 0o ± 60o / 3/ cos( 60) sin( 60) 0 sin(0) b cos(0) 3/ / sin( 60) c cos( 60) d'où on tire a b a c b 3 3 a 60 0 b c 60 0 a c 3 Formules pour rosette à 60 90

46 Panneau de cisaillement (séance de laboratoire no. ) Les déformations étant mesurées suivant trois directions a, b et c connues, on peut calculer les déformations suivant les directions, et. À ce stade, on peut : calculer les déformations principales,, 3 puis les contraintes principales,, 3 ou calculer les valeurs de, et puis les contraintes principales,, 3 9 On connait a, b, c on mesure a, b, c,, a, b, c, on veut : où 0 E E E G ma ma,, 3 min,, 3 3 où E 3 E 3 3 E 3 0, FS SY ma ; 3 0 ma,, 3 min,, 3 ma 9

47 À partir de, et on solutionne pour obtenir les déformations principales :, (8.) Loi de Hooke: ( ) 0 E E ma ma,, 3 min,, c 0 b a 0 Cercle de Mohr: Contraintes c 60 0 Cercle de Mohr: Déformations Y (, / ) X (0, ) 0 a 60 b Y (0, ) c 3 0 a 0 o 3 0 o

48 Formulaire tpe à l eamen Chapitre 8 Déformations cos sin Chapitre 9 Relations contraintes / déformations / température v E v E v E sin cos G G G Énergie de déformation U dv V 9 Chap 6 et 6 Révision partie 4: Chapitres 6 et 6 Objectifs Dessiner la propagation du flu de cisaillement sur la section d une structure en torsion Savoir calculer la contrainte de cisaillement et la constante de torsion (J) pour une section ouverte (mince et épaisse) fermée Identifier la contrainte de cisaillement maimale dans une section composée (en utilisant la compatibilité géométrique) 96

49 Chap 6 et 6 Sections fermées Sections ouvertes s At r J J Formule générale Section circulaire 4A J ds t J bt 3 3 t J Section composée r 4 (re4 ri 4 ) J r 3t 3 L GJ 97 Chap 6 et 6 Chapitre 6, LA ORSION Chapitre 6, ORSION AVANCÉE 6. Introduction 6. Introduction 6. Sections circulaires 6. Méthode de Saint-Venant 6.3 ube à parois minces 6.3 Fonction de contraintes 6.4 Sections ouvertes minces (méthode de calcul) 6.4 Quelques solutions particulières Section rectangulaire mince 6.4. Application au profilés minces... Compatibilité géométrique Raon moen Procédure 6.4. Barreau elliptique Barreau triangulaire Résolution pour une section rectangulaire... 98

50 Chap 6 et 6 Section fermée q, le flu de cisaillement ( une définition), est une force / unité de longueur de paroi, N / m. Sur une section fermée, q est constant autour de la section même si l épaisseur t varie t n q s t/ q s dn s t est constant t / dans l épaisseur n s n ns 0 Donc, n 3 0 (contrainte principale ) 99 Chap 6 et 6 Section fermée ds t/ Avec q s dn s t q = constant suivant la direction s q t / M et h s q ds 0 h s d s A Équation d équilibre s h(s) n da A = aire du périmètre moen t On obtient : q A et : s A tmin s constant sur l'épaisseur t 00

51 Chap 6 et 6 Section fermée Contrainte de cisaillement maimale n t s s A tmin A s est maimum pour tmin Puisque q est constant selon s, si t augmente, s diminue est l aire à l intérieur du périmètre moen de la section A 0 Chap 6 et 6 Déformation observée en torsion r Dans un barreau circulaire s Dans un barreau prismatique et ou 0

52 Chap 6 et 6 Déformations de cisaillement pour section prismatique t b 03 Chap 6 et 6 Déformations de cisaillement pour section prismatique Changement de l angle droit : dans le plan -, donc et dans le plan -, donc et 04

53 Simulation par ÉF = 00 kn.m Rectangle mince: 60080mm Rectangle épais: mm 0 Simulation par ÉF: rectangle mince en torsion 06

54 Simulation par ÉF: rectangle épais en torsion 07 Contraintes de cisaillement pour les épaisseurs Rectangle mince Rectangle épais τ τ La déformation a été amplifiée d un facteur 00 08

55 Contrainte normale σ pour les épaisseurs Rectangle mince Rectangle épais La déformation a été amplifiée d un facteur Chap 6 et 6 Résolution pour une section rectangulaire Si b/t > 0, k = k =,0 k C est le cas que nous étudierons k Constante de torsion Section du volume 0

56 Chap 6 et 6 Section ouverte (barreau rectangulaire) Contrairement à une section fermée, le flu q, pour circuler, doit passer deu fois (aller retour) sur l épaisseur t. t Ceci fait que le cisaillement change de sens sur l épaisseur t et la section est beaucoup moins efficace pour transmettre de la torsion L Contraintes et constante de torsion J bt 3 3 t J 0 et 0 b varie linéairement selon Donc 3 0 ( contrainte principale) Chap 6 et 6 Section ouverte (barreau rectangulaire) Sections en I, en C ou en L (eemples de sections ouvertes) Inefficaces pour transmettre un couple de torsion. b b t t b3 t3 b3 t3 b t t t b b t b

57 Chap 6 et 6 Section composée Pour améliorer une section ouverte telle qu un profilé en I, on peut souder une plaque sur toute la longueur de la poutre. 3 Pour l analse en torsion, on décompose la poutre combinée en deu sections ouvertes, et, et une section fermée, 3. 3 Simulation ÉF de la section composée avec 3 tpes de soudure Vue de dessus encastrement 0 mm Au etrémités Multipoints Continue 4

58 Section composée connectée par des soudures au etrémités Concentration de contraintes au niveau des soudures Section composée connectée par des soudures multiples 6

59 Section composée connectée par des soudures continues 7 Chap 6 et 6 Section composée Deu plaques parallèles réunies par un seul cordon de soudure constituent deu sections ouvertes. Par contre, les deu mêmes plaques réunies par deu cordons de soudure sur toute leur longueur deviennent une section fermée 8

60 Chap 6 et 6 Section composée Eemple: Deu cordons de soudure sur toute la longueur du profilé Section ouverte Section fermée Illustration de la circulation du flu de cisaillement 9 Chap 6 et 6 Section composée Eemple: O On veut connaître O permis pour une valeur de SY connue. b t L L L L3 L b t 3 O 0

61 Chap 6 et 6 Procédure de solution : - Établir la répartition de tot dans, et 3 (équilibre) - Assurer la compatibilité de déformation comme un corps solide 3- Calculer les relations - 4- Calculer les contraintes - Calculer O permis O b t L t b 3 L L L3 L O Chap 6 et 6 O b b t t L b L t 3 b 3 t 3 L L L3 Li O 3 O 3

62 Chap 6 et 6 Solution : - Équilibre : b t L O 3, et 3 sont les parties du couple total O reprises respectivement par les sections, et 3. b 3 t 3 L L L3 Li 3 3 Chap 6 et 6 - Compatibilité : Les sections, et 3 sont solidaires. Elles se déforment comme un corps solide sous l action du couple O. Donc, 3 i Si on appelle = /L, on a : 3 i i L 3 4

63 Chap 6 et 6 - Compatibilité : 3 i b i t L L 3- Relations - : i i L J i Gi i i J i Gi b 3 t ou que 3 3 J G J G J 3 G 3 L L L3 Li 3 Chap 6 et 6 - Compatibilité : 3 i i Li 3- Relations - : i i L J i Gi i i J i Gi Rappel: Formule trigonométrique a c e a c e b d f b d f Si les valeurs de Gi sont identiques : 3 3 O J G J G J 3 G ( J J J 3 ) G J O G Lorsque même matériau dans sections, et 3 6

64 Chap 6 et 6 3- Relations - : 3 3 O J J J 3 ( J J J 3 ) JO t L J et J : constantes de torsion pour une section ouverte J J b t3 b t 3 3 b b 3 t 3 J3 : constante de torsion pour une section fermée circulaire: L L L3 Li A 3 4A 4A 4A J3 r 3 t 3 ds périmètre r t3 t3 t3 r t3 7 Chap 6 et 6 4- Calcul de : a) sections ouvertes () t ( s ) J O J J J O t t ( s ) O J JO b t L b 3 t 3 L L L3 Li 3 ( s ) t O t J JO Même approche pour section () 8

65 Chap 6 et 6 4- Calcul de : a) sections ouvertes ( et ) b t L t ( s ) O J O t ( s ) O J O 3 t b 3 ( s ma ) ouvert O tma deet J O L L L3 Li 3 Utiliser la plus grande épaisseur pour calculer la contrainte maimale des sections ouvertes 9 Chap 6 et 6 4- Calcul de : b) section fermée (3) O b ( s )3 3 A t A t3 t L 3 O J 3 J O 3 J ( s )3 3 O 3 A t3 J O A t3 b t 3 O ( s )3 O J 3 J O A t3 3 30

66 Chap 6 et 6 - Calcul de O permis: O b O permis est le plus petit des deu valeurs calculées. (O ) ouvert L SY J O FS tma deet J O S Y A t3 FS J 3 (O ) fermé t t b 3 O 3 Chap 6 et 6 Calcul de FS lorsque la valeur de est connue: a) sections ouvertes ( et ) FS FS b SY s ma ouvert t L S Y J O O t ma deet b) Section fermée (3) FS FS O b t 3 SY s 3 O S Y J O A t3 O J 3 3

67 33 34

68 3 36