Cours 4. La connexité

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1 Université de Provence Topologie 2 1 Espaces connexes Cours 4. La connexité Définition. Un espace topologique non vide X sera dit connexe si les seules parties de X à la fois ouvertes et fermées sont la partie vide et la partie pleine. Exemple 1. (Voir dessin: deux disques fermés dans la plan, situés de part et d autre de l axe vertical.) L ensemble Y n est pas connexe. En effet le disque A de gauche est bien une partie non vide et non pleine. Il est visiblement fermé dans le plan et donc dans Y (pour la topologie induite!). Par ailleurs son complémentaire B dans Y est aussi fermé dans le plan et dans Y donc A (qui n est pas ouvert dans le plan) sera ouvert dans Y (pour la topologie induite). Exemple 2. (Autre dessin: un seul disque fermé.) L ensemble X est connexe, nous verrons plus loin les outils qui permettent de le démontrer. Remarque. La notion d espace connexe sert à formaliser mathématiquement l idée d espace d un seul tenant. 2 Partitions Définition. Soit X un ensemble. Un ensemble P de parties non vides de X sera appelé une partition de X si tout élément de X appartient à un élément de P et un seul. Autrement dit une partition de X est un ensemble de parties de X non vides, disjointes et de réunion X tout entier. Exemple 1. Un ensemble à deux éléments {A, B} admet deux partitions: 1){A}, {B} 2){A, B} Exemple 2. Un ensemble à trois éléments {A, B, C} admet cinq partitions: 1){A}, {B}, {C} 2){A, B}, {C} 3){A, C}, {B} 1

2 4){B, C}, {A} 5){A, B, C} Exemple 3. Une partition de R: R, {0}, R +. On peut donner d autres définitions (équivalentes) de la connexité: Définition. Une espace topologique non vide X sera dit connexe s il n admet pas de partition en deux ouverts. Définition. Une espace topologique non vide X sera dit connexe s il n admet pas de partition en deux fermés. 3 Lien avec la notion de frontière Dans un espace topologique X, la frontière d une partie A est le complémentaire de int(a) dans adh(a). Fr(A) = adh(a)\int(a) = {x adh(a) x int(a)}. Notons B le complémentaire de A dans X. Alors, en se souvenant que les parties int(a) et adh(b) sont complémentaires l une de l autre, on peut écrire: Fr(A) = adh(a) adh(b) = Fr(B). Remarque. Un point de la frontière sera donc un point adhérent à la fois à A et à son complémentaire B. Exemple. Dans le plan euclidien, la frontière d un disque (ouvert ou fermé) sera le cercle de même centre et de même rayon. Remarque. Dans la suite d inclusion: int(a) A adh(a) la première inclusion sera une égalité si et seulement si A est un ouvert et la seconde si et seulement si A est un fermé. Donc A sera à la fois ouvert et fermé si et seulement si son intérieur est égal à son adhérence. Autrement dit, les parties à la fois ouvertes est fermées sont celles dont la frontière est vide. Dire d un espace topologique non vide X qu il est connexe revient donc à dire que dans X, toutes les parties ont une frontière non vide, sauf bien sûr la partie vide et la partie pleine. 2

3 4 Les intervalles Il est temps de donner des exemples d espaces connexes. Définition. Un intervalle est une partie I de R qui vérifie: a I b I x R (a < x < b) (x I) Proposition. Les intervalles non vides sont connexes (pour la topologie induite!). Démonstration. Soit I un intervalle non vide. Supposons par l absurde qu il existe une partition de I en deux ouverts non vides A et B. Choisissons deux points a A et b B. Sans perte de généralité, on peut les supposer dans l ordre (a < b). Posons: A =], a[ (A [a, b]) On va prouver que A est une partie de R à la fois ouverte, fermée, non vide et majorée. Elle est non vide car elle contient a et elle est majorée par b. Comme A est un ouvert de I (pour la topologie induite!), on peut choisir un ouvert O de R vérifiant A = I O. Alors: A A = ], a[ (A [a, b]) = ], a[ (A [a, b[) (car b n appartient pas à A) = ], a[ (I O [a, b[) = ], a[ (O [a, b[) (car [a, b[ est inclus dans I) = ], a[ (O ], b[). Cette dernière formulation permet de voir que A est bien ouvert dans R car ], a[, O et ], b[ le sont. Comme A est un fermé de I, on peut choisir un fermé F de R vérifiant A = I F. Alors: A = ], a[ (A [a, b]) = ], a] (A [a, b]) (car a appartient à A [a, b]) = ], a] (I F [a, b]) = ], a] (F [a, b]) (car [a, b] est inclus dans I). 3

4 Cette dernière formulation permet de voir que A est fermé dans R, en effet ], a], F et [a, b] le sont. On a donc bien prouvé que A était une partie de R à la fois ouverte, fermée, non vide et majorée. C est contradictoire car on a vu en TD qu il n existait pas, dans R, de telles parties. Rappelons brièvement l argument vu en TD. Un telle partie A étant non vide et majoré, elle admettra une borne supérieure dans R. Comme A est fermée dans R, cette borne sera un maximum. Mais, par ailleurs, A est ouverte dans R et donc n atteint pas de maximum. Contradiction. Exemple. Notamment, R lui-même est connexe. Remarque. Dans la démonstration, on a utilisé la propriété essentielle de la droite réelle qui mérite d être rappelée: Proposition. Dans R, toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. On ne démontre pas cette proposition, elle découle directement de la construction des nombres réels (la construction de Dedekind). Proposition. Réciproquement, toute partie connexe de R est un intervalle (non vide par définition d un espace connexe). Démonstration. Soit P une partie de R qui n est pas un intervalle. Alors on peut choisir trois réels a < b < c de telle sorte que a et c soient des points de P mais pas b. Posons A = P ], b[ et B = P ]b, + [. Les parties A et B ne sont pas vides car l une contient le point a et l autre le point c. et: A B = P ], b[ ]b, + [= P = A B = P (], b[ ]b, + [) = P \{b} = P car P ne contient pas le point b. Ces parties A et B sont ouvertes dans P pour la topologie induite. Elles ne sont pas vides car l une contient le point a et l autre le point c. On a trouvé une partition de P en deux ouverts donc P n est pas connexe. Exemples. La partie R n est pas connexe. Il est facile d en donner une partition en deux ouverts: R + et R. La partie Z n est pas connexe non plus: toutes les parties de Z sont ouvertes et fermées! 4

5 5 Image continue d un espace connexe La connexité est une propriété qu on a définie en termes d ouverts et de fermés. C est donc une propriété topologique et on en déduit immédiatement une proposition évidente. Proposition. Un espace topologique homéomorphe à un espace connexe sera connexe lui aussi. Cette proposition est un cas particulier d une autre proposition que nous énonçons: Proposition. Soit f une application continue entre deux espaces topologiques X et Y. On suppose connexe l espace de départ X et on suppose f surjective. Alors l espace d arrivée Y sera connexe. Démonstration. Comme X est connexe, il est non vide (par convention) et contiendra un élément x et donc Y sera non vide puisqu il contiendra f(x). Par l absurde, supposons Y non connexe. Alors on peut choisir dans Y deux ouverts non vides A et B d intersection vide et de réunion Y. Leur images réciproques f 1 (A) et f 1 (B) seront ouvertes par continuité de f. Leur intersection sera vide et leur réunion pleine, en effet l image réciproque se comporte bien pour les opérations ensemblistes. Enfin comme A et B sont non vides et f surjective, les images réciproques f 1 (A) et f 1 (B) seront non vides. On a donc trouvé une partition de X en deux ouverts (non vides), ce qui contredit la connexité de X. Proposition. Soit f une application continue entre deux espaces topologiques X et Y. On suppose connexe l espace de départ X. Alors l image de f sera une partie connexe de Y. Démonstration. Posons: { X Im(f) f : x f(x) (C est f sauf qu on a réduit l espace d arrivée pour la rendre surjective.) Vérifions que l application f est continue. Soit U une partie de Im(f) ouverte dans Im(f). Alors il existe un ouvert O de Y qui vérifie: U = Im(f) O. Alors f 1 (U) est égal à f 1 (O) qui est ouvert par continuité de f. L application f est surjective par défintion et on a prouvé qu elle était continue donc son espace d arrivée Im(f) est connexe. 5

6 Exemple 1. Le cercle unité est connexe, en effet c est l image du connexe R par l application continue: R x C exp(ix) Exemple 2. Plus généralement, soit f une application continue d un intervalle réel vers le plan R 2. Alors la courbe Im(f) sera une partie connexe du plan R 2. 6 Le théorème des valeurs intermédiaires Proposition. Soit f une fonction continue d espace de départ un intervalle réel et d espace d arrivée R. Alors Im(f) est un intervalle réel. Démonstration. L espace de départ étant un intervalle non vide, il sera connexe (on écarte le cas évident d un intervalle vide). Alors Im(f) sera l image continue d un espace connexe donc sera connexe, or on sait que les seules parties connexes de R sont les intervalles non vides donc Im(f) sera un intervalle. 7 Composantes connexes Définition. Soit X un espace topologique et a un point de X. On appelle composante connexe de a dans X la réunion de toutes les parties connexes de X qui contiennent a. Exemple. (Faire un dessin, toujours le même exemple). Dans Y, la composante connexe du point P sera le disque A qui contient P. Nous verrons plus loin les outils qui permettent de le démontrer. On peut déjà voir (exercice) que toute partie connexe de Y contenant le point P est nécessairement incluse dans A. Proposition. La composante connexe d un point a dans un espace topologique est connexe (pour la topologie induite) et contient le point a. Démonstration. Il existe au moins une partie connexe contenant le point a: le singleton {a}. Donc la composante connexe C a de a contient a. Supposons par l absurde que C a ne soit pas connexe. Alors on peut choisir une partition de C a en deux parties A et B ouvertes dans C a. Il existe des 6

7 parties A et B ouvertes dans l epace topologique X qui verifient A = C a A et B = C a B. Sans perte de généralité, on peut supposer que c est la partie A qui contient le point a et on choisit un point b dans la partie non vide B. Comme le point b appartient à C a, on sait qu il existera une partie connexe Y de X qui contiendra les points a et b. Les deux parties A = Y A et B = Y B sont bien sûr ouvertes dans Y (pour la topologie induite). Elles ne sont pas vides car l une contient a et l autre b. Calculons leur intersection et leur réunion. A B = Y A B = Y C a A B (car Y est incluse dans C a ) = Y A B = (par définition de A et de B ) (car A et B forment une partition de C a ) A B = Y (A B ) = Y C a (A B ) (car Y est incluse dans C a ) = Y (A B) (par définition de A et de B ) = Y C a (car A et B forment une partition de C a ) = Y (car Y est incluse dans C a ). Les parties A et B forment donc une partition de Y en deux ouverts ce qui contredit la connexité de Y. Remarque. On peut donc dire que la composante connexe de a dans X est la plus grande partie connexe de X qui contienne a ( plus grande au sens de l inclusion). Exemple. Dans R, la composante connexe du nombre 7 est R +. En effet on sait que les parties connexes de R sont les intervalles non vides et le plus 7

8 grand intervalle contenant 7 inclus dans R est R +. Définition. On dira de deux points a et b d un espace topologique X qu ils sont connectés dans X s il existe une partie connexe de X qui les contienne tous les deux. Proposition. Sur un espace topologique, la relation être connecté à est une relation d équivalence. Démonstration. Reflexivité. Soit a un point. On a déjà remarqué qu il y a au moins une partie connexe qui contient a: le singleton {a}. Donc a est bien connecté à lui-même. Symétrie. Cette relation a visiblement été définie de façon symétrique. Transitivité. Soient trois points a, b et c. On suppose a et b connectés et on suppose b et c connectés. Alors a et c appartiennent à la composante connexe de b, or on a vu que cette composante connexe était connexe, donc a et c sont bien connectés. Proposition. La classe d équivalence d un point pour de la relation être connecté à est sa composante connexe. Cette proposition découle directement de la définition d une composante connexe. Remarque 1. On sait qu en général, les classes d équivalence d une relation d équivalence sur un ensemble forment une partition de cet ensemble. En particulier les composantes connexes d un espace topologique forment une partition de cet espace. Remarque 2. Un espace topologique non vide sera connexe si et seulement s il n admet qu une seule composante connexe. 8 Connexité par arcs Définition. On dira de deux points a et b d un espace topologique X qu ils sont reliés dans X par un arc s il existe une application continue γ du segment [0, 1] vers X qui vérifie γ(0) = a et γ(1) = b. Proposition. Deux points reliés par un arcs appartiendront à la même composante connexe. Démonstration. Soient x et y deux tels points et γ un arc qui les relie. L image de γ est connexe puisque c est l image continue du connexe [0, 1]. On a donc trouvé une partie connexe qui contient les points x et y. Définition. Un espace topologique non vide X sera dit connexe par arcs 8

9 si tous points a et b de X sont reliés par un arcs. On peut énoncer une proposition qui découle directement de la proposition précédente. Proposition. Tout espace connexe par arcs est connexe. Remarque. La réciproque est fausse. Il existe des espaces topologiques (assez compliqués) qui sont connexes mais pas connexes par arcs. Par exemple on démontre que le graphe de la fonction f de R vers R définie par f(x) = sin ( 1 x) pour x non nul et complétée par f(0) = 0 est connexe mais pas connexe par arcs. (Dessin du graphe). Nous l admettrons. 9 Convexité et connexité Définition. Une partie de P d un espace vectoriel sera dite convexe si pour tous points a et b de P, le segment [a, b] (c est-à-dire l ensemble {(1 t)a + tb t [0, 1]}) est inclus dans P. Autrement dit dans une partie convexe, deux points seront reliés par un segment. On en déduit la proposition suivante. Proposition. Toute partie de R n convexe et non vide sera connexe par arcs (et donc notamment connexe). Remarque. Cette proposition restera vraie si on remplace R n par un espace vectoriel normé. En effet, une application du type t (1 t)a + tb est continue dans n importe quel espace vectoriel normé. Exemples. L espace R n est convexe donc la proposition implique qu il est connexe. Idem pour les boules ouvertes et fermées. Idem, les droites seront connexes dans R 2. Dans R 3, les droites et les plans seront connexes et plus généralement dans R n, les sous-espaces vectoriels ou affines seront connexes (on appelle sous-espace affine d un espace vectoriel tout translaté d un sousespace vectoriel). Proposition. La surface plane R 2 \{(0, 0)} est connexe. Démonstration. Les quatre demi-plans ouverts H 1, H 2, H 3 et H 4 d inéquations x > 0, x < 0, y > 0 et y < 0 sont convexes et donc connexes. Chacun de ces quatre demi-plans H 1, H 2, H 3 et H 4 est donc contenu dans une composante connexe C 1, C 2, C 3 ou C 4 de R 2 \{(0, 0)}. On veut démontrer que ces quatre composantes connexes sont une même composante connexe C. Alors cette composante C contiendra R 2 \{(0, 0)} tout entier et donc R 2 \{(0, 0)} sera connexe. 9

10 On sait que les composantes connexes d un espace topologique sont disjointes, autrement dit si deux composantes connexes ont une intersection non vide, elles seront confondues. L intersection C 1 C 3 contient le quart de plan d inéquations x > 0 et y > 0 donc elle n est pas vide et les composantes C 1 et C 3 seront confondues. De même on prouve les identités C 1 = C 4 et C 2 = C 3. Remarque. Plus généralement, l espace R n \{(0,...,0)} sera connexe pour tout n 2 (on a vu que c était faux pour n = 1). La démonstration utilisera 2n demi-espaces. 10 L ensemble de Cantor Définition. L ensemble triadique de Cantor est l ensemble K des nombres réels positifs qui admettent en base 3 une écriture qui commence par 0, et dont les chiffres après la virgule ne valent pas 1 (ils peuvent valoir 0 ou 2). (faire un dessin) Remarque. En base 10, les décimaux strictement positifs admettent deux écriture décimales, l une où les chiffres après la virgules valent 9 à partir d un certain rang, l autre où les chiffres après la virgules valent 0 à partir d un certain rang. Par exemple 7 = 6,99... = 7,00... Les nombres strictement positifs autres que les décimaux n admettent qu une écriture décimale (qui ne se termine ni par une suite de 9, ni par une suite de 0). De même en base 3, certains nombres strictement positifs admetront deux écriture triadiques, l une où les chiffres après la virgules valent 2 à partir d un certain rang, l autre où les chiffres après la virgules valent 0 à partir d un certain rang. Les autres nombres strictement positifs n admetront qu une écriture (qui ne se terminera ni par une suite de 2, ni par une suite de 0). Proposition. Soit x un élément de l ensemble de Cantor K. Sa composante connexe dans K sera réduite au singleton {x}. Démonstration. Soit a et b deux éléments de K distincts. Prouvons que a et b ne sont pas connectés. Après la virgule, a et b ont un certain nombre de chiffre communs puis un premier chiffre différent. Par exemple si a = 0, et b = 0, , les trois premiers chiffres sont communs (les deux nombres commencent par 0,020) mais le quatrième ne l est pas. On intercale entre a et b un nombre x n appartenant pas à K dont l écriture est obtenu en gardant les premiers 10

11 chiffres communs et en remplaçant par des 1 tous les chiffres à partir du premier chiffre différent. (Dans l exemple, on pose x = 0, ) Supposons par l absurde que les points a et b soient contenus dans une partie connexe I de K. Comme toute partie connexe de R, cette partie I sera un intervalle. Cette partie I contient les points a et b mais, étant incluse dans K, elle ne contient pas x. Ca contredit la définition d un intervalle. 11 Le produit de deux espaces topologiques Soient X et Y deux espaces topologiques. On décrète qu une partie O de X Y sera ouverte pour la topologie produit si pour tout (x,y) appartenant à O il existe une ouvert U de X et un ouvert V de Y tels que le produit U V contienne le point (x,y) et soit inclus dans O. On définit bien une topologie sur le produit X Y. Exercice. Vérifier les quatre axiomes. Remarque. Dans le cas métrique, nous admettrons le fait suivant. Quand les topologies sur X et Y sont associées à des distances d X et d Y, la topologie produit est la topologie associée à la distance d max définie par: d max ((x,y), (x,y )) = max{d X (x,x ), d Y (y,y )} Proposition. Le produit de deux espaces connexes est connexe (pour la topologie produit). Démonstration. (Faire un dessin.) Soient dans X Y deux points (x,y) et (x,y ). On se souvient que la relation être connecté à est une relation d équivalence. Pour prouver que les points (x,y) et (x,y ) sont connectés entre eux, il suffit donc de les connecter tous les deux au point (x,y). Or (x,y) et (x,y) sont connectés car ils appartiennent tous les deux à X {y} qui est homéomorphe à X et donc connexe. De même (x,y) et (x,y ) sont connectés car ils appartiennent tous les deux à {x } Y qui est homéomorphe à Y et donc connexe. Exercice. Dans la démonstration, on a affirmé que X {y} (muni de la topologie induite par la topologie produit!) était homéomorphe à X. Sauriezvous justifier ce fait? Exemple. Dans R 2, on sait que le cercle d équation x 2 +y 2 = 1 est connexe et par ailleurs le segment [0, 1] est connexe donc dans R 3, leur produit sera connexe (ce produit est le cylindre défini par x 2 + y 2 = 1 et 0 z 1). 11

12 12 Petite remarque pour conclure Si la connexité servait uniquement à distinguer les espaces connexes des espaces non connexes cette notion serait banale. Mais elle permet aussi parfois de distinguer deux espaces connexes. Par exemple, nous verrons en TD comment utiliser la connexité pour prouver qu un segment n est pas homéomorphe à un cercle, qu un cercle n est pas homéomorphe à une sphère etc. 12