Nombres complexes-partie 1

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1 Nombres complexes-partie 1 Dimension historique : documents distribués en début de séquence 1) Forme algébrique d un nombre complexe a) Théorème : Il existe un ensemble de nombres noté contenant l ensemble des nombres réels dont un élément noté vérifie et que l on peut munir d une addition et d une multiplication dont les règles de calculs sont les mêmes que sur l ensemble des nombres réels, et dont tout élément peut s écrire où et b) exemples d éléments de : c) Exemples de calculs :,,,, d) Théorème : Si,, et désignent des réels, si = alors et. Démonstration = alors = = = la seule possibilité pour que la somme de deux réels positifs soit égale à deux termes soient nuls. c est que les et Fin du cours de mardi 15 octobre 1

2 e) Définitions : Tout nombre complexe s écrit de manière unique sous la forme où et. est appelé forme algébrique du nombre complexe. est appelé la partie réelle de. on note. est appelé la partie imaginaire de. on note. le nombre complexe est appelé le nombre conjugué de Attention la partie réelle de est,on note la partie imaginaire de z est 5, on note =5 le conjugué de z est ici f) Avec ce vocabulaire le théorème précédent peut se reformuler : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. g) Remarques : si, est appelé un nombre imaginaire pur si, est un nombre réel. le seul nombre complexe qui soit un réel et un imaginaire pur est. h) Formes algébriques et opérations : Supposons que et avec,,, des nombres réels. alors,, 2

3 2) Propriétés de l opération de conjugaison a) Définition : Si où et. le nombre complexe conjugué de est noté, il est égal à. b) Propriétés : c) Conjugaison et opérations Si et sont deux nombres complexes, (1) (2) () (4), (5) Démonstration : si désigne la partie réelle de et désigne la partie imaginaire de et si désigne la partie réelle de et désigne la partie imaginaire de et preuve de (1) preuve de (2) preuve de () on a démontré l amorce pour n et n Démontrons l hérédité :supposons que : ( HR)pour un entier, Démontrons que : :

4 d après la propriété preuve de (4) preuve de (5) d) Caractérisation des réels est un réel si et seulement si preuve est un réel si et seulement si Im(z)=0 e) caractérisation des imaginaires purs est un imaginaire pur si et seulement si preuve est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0 4

5 ) Equations du second degré à coefficients réels Si, désignent des nombres réels avec. l équation est appelée une équation du second degré à coefficients réels. Le nombre est appelé le discriminant de cette équation. Si l équation a deux racines réelles distinctes : et Si l équation a une solution réelle dite double : Si l équation a deux racines complexes conjuguées distinctes : et exemple l équation a deux solutions complexes conjuguées l unede l autre 5

6 Nombres complexes partie 2 1) Représentation géométrique Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct. Il est appelé le plan complexe. Dans toute cette partie et désignent des nombres réels. A tout point M de coordonnées, on associe le nombre complexe. le nombre complexe est appelé affixe de point M. A tout nombre complexe, on associe le point de coordonnées,. le point M est appelé image de A tout vecteur de coordonnées, on associe le nombre complexe. le nombre complexe est appelé affixe du vecteur. A tout nombre complexe, on associe le vecteur de coordonnées,. Propriétés le vecteur est appelé image de. é é à 6

7 2) Module d un nombre complexe Définition Si = est un nombre complexe avec et on appelle module de le nombre. on note le module de. On a exemple : Conséquences : Interprétation géométrique : si M est l image de, si est l image de, conséquence : est la longueur propriétés du module module et conjugaison module de l opposé module d une somme module d un produit module de l inverse : si module d un quotient: si module d une puissance : si est un entier démonstration de module et conjugaison ( exigible) démonstration de module et opposé : ( exigible) 7

8 module d une somme :on veut comparer : = = ( non exigible) = é il suffit de comparer : premier cas le nombre alors deuxième cas alors il suffit de comparer les carrés : or ( )² et ( )²= il reste à comparer : pour cela formons la différence : et 2( )² démonstration plus élégante : 8

9 il reste à comparer :. ce qui revient à comparer : ce qui est fait a dessus démonstration du module d un produit ( exigible) démonstration module de l inverse( exigible) : si démonstration du module d un quotient: ( exigible) si démonstration du module d une puissance : ( exigible) si est un entier é 9

10 ) Argument d un nombre complexe non nul Propriété : si est un nombre complexe non nul, le point image du nombre complexe est un point du cercle trigonométrique. si M est le point image de si est l image de Propriété Si est un nombre complexe non nul, il existe au moins un nombre réel tel que Donc le nombre complexe est appelé un argument de. on note arg 10

11 Définition : l écriture est appelée forme trigonométrique de Remarque Si est un argument de alors tout nombre de la forme avec entier relatif est un autre argument de Formule : Si avec et réels et Si est un argument de alors et l écriture est appelée forme trigonométrique de propriété si avec alors et est un argument de. exemples de passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique : exemple 1 calcul du module : calcul de Reconnaitre un nombre de la liste : conclusion :La forme trigonométrique de z est 11

12 liste des nombres complexes des points du cercle trigonométrique de référence : Ecriture algébrique de l affixe de ce point Ecriture trigonométrique de l affixe de ce point 12

13 Interprétation géométrique d un argument désigne un complexe non nul. si M est l image de, si est un argument de est une mesure en radians de l angle si est l image de, si est un argument de est une mesure en radians de l angle si A désigne un point d affixe et B désigne le point d affixe alors un argument de est une mesure de l angle, Arguments de nombres complexes particuliers tout réel strictement positif a un argument égal à 0 tout réel strictement négatif a un argument égal à tout imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement positive a un argument qui vaut tout imaginaire pur dont la partie imaginaire est strictement négative a un argument qui vaut Propriétés de la fonction en effet, f(0)= (0)+i ( 0)=1+i*0=1 1

14 Propriétés des arguments et désignent des complexes non nuls argument et conjugaison (1) arg arg argument de l opposé(2) arg arg argument d un produit () arg arg arg argument de l inverse (4): si arg argument d un quotient( 5) : si arg arg arg arg argument d une puissance (6): si est un entier arg arg démonstrations : démo de (1) : si z est un nombre complexe non nul et est un argument de alors or méthode pour pouvoir trouver un argument d un nombre complexe à partir d une écriture de la forme : il ya trois critères à vérifier R est strictement positif qu il y a un devant i qu il ya le même nombre entre les parenthèses du et du un argument du nombre complexe est alors le nombre à la place de entre les parenthèses. application : arg( +, avec k entier relatif arg arg démo de (2) : si z est un nombre complexe non nul et est un argument de alors or or arg(, avec k entier relatif arg arg 14

15 démo de () : si z est un nombre complexe non nul et est un argument de alors f o f est la fonction dé inie en page si z est un nombre complexe non nul et est un argument de alors f o f est la fonction dé inie en page f f f f f f f é é é é f arg demo de ( 4) si z désigne un complexe non nul, arg arg arg arg arg è arg arg è demo de (5) si z désigne un complexe non nul, et z z z z désigne un complexe non nul, arg z z arg z z arg z arg z arg d après z z arg z arg z arg z d après z demo de (6) pour n entier naturel, on note P(n) la propriété : 15

16 On veut démontrer que pour tout n entier naturel, D après le principe de la démonstration par récurrence, il suffit de prouver que : P(n) est vraie pour n =0 P(n) est héréditaire Amorce SI n, P n s écrit or et hérédité : supposons que soit vraie pour un entier n naturel c'est-à-dire que Démontrons que : or EXERCICE TYPE : Ecrire le nombre suivant sous forme trigonométrique : première étape : écrire le nombre 1+i sous forme trigonométrique soit Soit un argument de, on a :, deuxième étape : écrire le nombre sous forme trigonométrique : 16

17 Soit Soit un argument de, on a :, Troisième étape écrire sous forme trigonométrique : calcul du module en utilisant les propriétés du module : calcul d un argument en utilisant les propriétés des arguments : arg arg arg arg arg écriture trigonométrique de 17

18 quatrième étape : écriture trigonométrique de trigonométrique : calcul du module en utilisant les propriétés du module : sous forme calcul d un argument en utilisant les propriétés des arguments : arg arg arg or et arg, cinquième étape écrire sous forme algébrique calcul du module en utilisant les propriétés du module : 18

19 calcul d un argument en utilisant les propriétés des arguments : arg arg sixième étape : écriture trigonométrique de Z calcul du module en utilisant les propriétés du module : calcul d un argument en utilisant les propriétés des arguments conclusion : 19

20 Conséquence sur la mesure des angles : Si a est l affixe de A, b l affixe de B, c l affixe de C et d l affixe de D avec En particulier Raisonnements type à savoir refaire : Figure Caractérisation géométrique ABD est un triangle rectangle direct ABD est un triangle rectangle indirect ABD est un triangle rectangle Caractérisation complexe ABD est un triangle équilatéral direct ABD est un triangle équilatéral indirect A, B et D sont alignés dans cet ordre et deux à deux distincts B,A et D sont alignés dans cet ordre et deux à deux distincts A, B et D sont alignés dans et deux à deux distincts Et Et 20

21 Notation exponentielle ( notation d Euler) texte de présentation ( les connaissances techniques du cadre ne sont pas exigibles) Léonard Euler, considéré comme le plus grand mathématicien du XVIII ème siècle, a introduit plusieurs notations fondamentales : - c est lui qui a choisi de noter,un nombre imaginaire vérifiant jusqu alors noté ) - il a nommé e le nombre limite de la suite convergente ( e, - il a prouvé que ce même nombre e est aussi limite de la suite définie par : - il a synthétisé les développements en série découverts quelques années plus tôt par Broo Taylor permettant d approcher par un nombre fini de multiplications,d additions, de divisions et de soustractions les calculs du inus, du us d un nombre Il a introduit la fonction exponentielle, qu il définissait par : Il a démontré que exp exp où e est le nombre du début du texte. La merveilleuse formule démontrée par Euler provient de la remarque que : Remarquant que : Il obtient :,,,,, exp Ainsi il obtient : Dans le cas particulier où Soit Soit 21

22 Formule reliant le nombre connu depuis l antiquité, le nombre, le nombre i connu depuis le XV et le nombre e introduit par lui-même! [On peut remarquer que au passage que si on a le droit de dériver terme à terme cette série, (vous verrez ultérieurement dans votre scolarité les conditions de dérivations terme à terme d une série on a : Donc ] Connaissances exigibles Pour tout réel, on note Ecriture des propriétés des arguments avec la notation exponentielle argument et conjugaison (1) argument d un produit (2) argument de l inverse () : argument d un quotient si (4) argument d une puissance : si est un entier(5) preuves exigibles : démo de (1) 22

23 (1) il s agit d une réécriture de la propriété sur argument et module du conjugué en utilisant la notation exponentielle : (2) il s agit d une réécriture de la propriété sur argument et module d un produit en utilisant la notation exponentielle : () il s agit d une réécriture de la propriété sur argument et module d un inverse en utilisant la notation exponentielle : (4) il s agit d une réécriture de la propriété sur argument et module d un quotient en utilisant la notation exponentielle : (5) il s agit d une réécriture de la propriété sur argument et module d un exposant en utilisant la notation exponentielle : 2

24 Liste des points remarquables du cercle trigonométrique et de leurs affixes : Ecriture algébrique de l affixe de ce point Ecriture trigonométrique de l affixe de ce point Ecriture exponentielle 24

25 reprise de l EXERCICE TYPE en utilisant la notation exponentielle: Ecrire le nombre suivant sous forme trigonométrique : première étape identique avec comme conclusion : deuxième étape identique avec comme conclusion : les étapes,, et peuvent s écrire : 25

26 4) Formule de trigonométrie et notation exponentielle pour retrouver cette formule, on peut mémoriser : en remplaçant : en développant le deuxième terme : i soit en identifiant partie réelle et partie imaginaire les deux formules De même pour les autres formules formules dites d Euler ( ou de de Moivre) preuve laissée en exercice! application à la linéarisation : exemple écrire à l aide, et 26

27 5) Analyse fréquentielle d un système en SI Exemple si on cherche une grandeur s (comme Sortie du système) qui évolue dans le temps et vérifie une équation différentielle du premier ordre ( c'est-à-dire que la fonction que l on cherche est solution d une équation reliant la fonction est la dérivée du type : e est la grandeur d' entrée qui est supposée connue et homogène à un temps et K un scalaire strictement positif. est alors une technique d étude du système consiste à associer à la fonction de la variable t une autre fonction notée S d une variable appelée p, cette fonction associée est appelée transformée de Laplace S de s et est définie par : exp On définit de même la transformée de Laplace E de e comme : exp On peut prouver que S vérifie l équation : ce qui signifie : Pour étudier comment la réponse du système à une entrée usoïdale, une façon de faire consiste à remplacer la variable par où i est le nombre imaginaire et est un réel appelée pulsation qui est proportionnelle à la fréquence du signal d entrée :. l égalité devient alors : en écrivant le nombre précédent sous forme exponentielle : on a : tan avec la touche tan de la calculatrice on obtient : 27

28 tan tan le module de est noté et il est appelé le gain : Diagrammes de Bode : Représentation du gain en décibels en fonction du logarithme décimale de la pulsation En si le choix est de représenter log, appelé le gain en décibels en fonction du logarithme en base 10 de de on déduit que log log log log log log log log et en posant : log et log avec Géogebra : log log représentation de la phase en fonction du logarithme de la pulsation La fonction est appelé la phase tan tan é tan 28