Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique

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1 FORMULES ET THÉORÈMES Carré du nombre i On définit le nombre i de la façon suivante. i = 1 Forme algébrique d'un nombre complexe Tout nombre complexe z peut s'écrire sous une forme algébrique. z = a + ib Re(z) = a (partie réelle de z) Im(z) = b (partie imaginaire de z) Forme trigonométrique, module et argument d'un nombre complexe Tout nombre complexe z peut s'écrire sous une forme trigonométrique. z = r(cos(θ) + i sin(θ) r est le module de z. θ est un argument de z. Notation exponentielle Un nombre complexe z, de module r et d'argument θ a la forme exponentielle suivante : re iθ Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique Si z admet la forme trigonométrique z = r(cos(θ) + i sin(θ)), alors : Re(z) = r cos(θ) Im(z) = r sin(θ)

2 Définition du conjugué Soit z = a + ib, où a et b sont des réels. z On appelle le conjugué de z. z z z = a ib = a + b s du conjugué Soient z et z deux nombres complexes. z + z = z + z z z = z z z z ( =, si z 0 z ) z Définition du module Soit z = a + ib, où a et b sont des réels. On note z le module de z. z = a + b s du module Soient z et z deux nombres complexes, et n un entier naturel. z = n z z z = z zz = z z n z z =, si z n'est pas nul z z z + z z + z Argument d'un nombre complexe

3 u w v Soit z un nombre complexe non nul et M le point du plan dont il est l'affixe. arg(z) = ( u ; OM ). Argument et opérations Soient z et z deux nombres complexes, et n un entier naturel. arg(z ) = narg(z) n arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) z arg( ) = arg(z) arg(z ) z arg( z) = arg(z) + π arg( z ) = arg(z) Définition de l'affixe d'un point Soit M un point de coordonnées (x; y) dans le plan muni du repère orthonormé (O;, ). On note z M son affixe, définie comme suit. z M = x + iy Définition de l'affixe d'un vecteur Soit un vecteur du plan de coordonnées (x, y). On note z w son affixe, définie comme suit. z w = x + iy Calcul de la longueur d'un segment à l'aide des affixes Soient A et B deux points du plan. On note z A et z B leurs affixes AB = za zb respectives.

4 Calcul d'un angle orienté à l'aide des affixes Soient A, B, C et D des points distincts du plan. On note z, z, z et z leurs affixes respectives. A B C D ( AB, CD zd zc ) = arg( ) zb za Affixe d'un vecteur Soient A et B deux points du plan. A On note z et z leurs affixes respectives. B On note z AB l'affixe du vecteur, définie comme suit. AB z AB = zb za Résolution dans C d'une équation du second degré avec Δ < 0 Soit (E) : ax + bx + c = 0 une équation du second degré de discriminant Δ < 0. (E) admet solutions distinctes complexes x et x. 1 x 1 b i = Δ a x b + i = Δ a

5 Les nombres complexes 1 FORME ALGÉBRIQUE A Nombres complexes et forme algébrique Nombre i Il existe un nombre noté i vérifiant : i = 1 Ensemble des nombres complexes Il existe un ensemble de nombres, noté C, qui contient R et i. On l'appelle ensemble des nombres complexes.

6 3 Opérations sur les nombres complexes De même que pour les nombres réels, on peut additionner, multiplier, soustraire des nombres complexes, et diviser par un nombre complexe non nul. Les règles de calcul sont les mêmes que dans R (factorisation, développement, identités remarquables, etc.) Exemple (5 i + i) i = (5 + ) i i = 7 i = 7 Définition Forme algébrique, partie réelle et partie imaginaire Soit z un nombre complexe. Il existe un unique couple de réels (a, b) tel que z = a + ib. Cette écriture est appelée forme algébrique de z. a est la partie réelle de z, notée Re(z). b est la partie imaginaire de z, notée Im(z). Exemple Soit z = 5 + i. 3 Donc Re(z) = 5 et Im(z) =. Remarque Pour un nombre réel x, la forme algébrique de x est : x = x + 0 i ; donc

7 Re(x) = x et Im(x) = 0. Remarque Soient a, a, b et b des réels. Si a + ib = a + ib, alors a = a et b = b. B Conjugué et module de nombres complexes Définition Conjugué d'un nombre complexe Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est z = a + ib, où a et b sont des réels. z = a ib est le nombre complexe conjugué de z. Exemple Soit z = 1 + 3i. Alors z = 1 3i

8 s de calcul des nombres conjugués Soit z un nombre complexe défini par z = a + ib avec a, b réels. z z = a + b Si b = 0, alors z est réel et z = z. Si a = 0, alors z est un imaginaire pur et z = z. Conjugué de somme, produit et quotient de nombres complexes Soient z et z deux nombres complexes. z + z = z + z z z = z z z z ( =, si z 0 z ) z Exemple i 1 1 = 3 + i = 3 i Définition

9 Module d'un nombre complexe Soit z un nombre complexe dont la forme algébrique est z = a + ib où a et b sont réels. On appelle z le module de z. z = z z = a + b Remarque Lorsque x est réel, son module est x = x ce qui correspond à sa valeur absolue, notée de la même manière. On peut donc considérer que le module généralise la notion de valeur absolue aux nombres complexes. Module et opérations Soit z et z deux nombres complexes. n z = z n zz = z z z z =, si z' n'est pas nul z z z + z z + z Exemple 3 + 4i = 3 + 4i = = =

10 u v u Les nombres complexes NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE A Plan complexe et affixe Définition Affixe d'un point On considère le plan muni du repère orthonormé (O;, ). Soit M un point de coordonnées (x, y). z M = x + iy est appelé l'affixe du point M. M est appelé l'image du nombre complexe z M. Définition Plan complexe Le plan muni du repère (O;, v ) est appelé le plan complexe. Définition

11 w w Affixe d'un vecteur Soit un vecteur du plan de coordonnées (x, y). z = x + iy est appelé l'affixe de. Remarque Ces définitions permettent d'interpréter tout nombre complexe comme un point du plan complexe : on passe à de la géométrie Module et longueur Si M est un point du plan, la longueur OM correspond au module de z, l'affixe de M : OM = z B Argument d'un nombre complexe

12 u u Définition Argument d'un nombre complexe Soit z un nombre complexe non nul. Soit M le point du plan dont il est l'affixe. On appelle argument de z une mesure en radian de l'angle ( ; OM). On le note arg(z) Exemple Le nombre complexe i est l'affixe du point M(0, 1). Un argument de z est donc arg(z) = π Argument défini à π près Soit z un nombre complexe, affixe d'un point M dans le plan complexe. L'argument de z est défini à π près. ( ; OM ) = arg(z) + kπ, où k est un entier relatif.

13 π Argument et opérations Soient z et z sont deux nombres complexes, avec z 0. arg( z) = arg(z) + π + kπ où k est un entier relatif. arg( z ) = arg(z) + kπ où k est un entier relatif. arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) + kπ où k est un entier relatif. z arg( ) = arg(z) arg(z ) + kπ où k est un entier relatif. z n arg(z ) = narg(z) Remarque Soit x un nombre réel : Si x est positif, son image M est située sur «la droite» de l'axe des abscisses, donc son argument est 0 + kπ. Si x est négatif, son image N est située sur «la gauche» de l'axe des abscisses, donc son argument est π + kπ. Si z est un imaginaire pur de la forme bi avec b un réel : C Forme trigonométrique Si b est positif, son image K est située sur «la partie haute» de l'axe des ordonnées, donc son argument est + kπ. Si b est négatif, son image L est située sur «la partie basse» de l'axe des ordonnées, donc son argument π

14 est π + kπ. Forme trigonométrique Soit z = x + iy un nombre complexe. On pose r = z, θ = arg(z). Alors z peut s'écrire sous la forme, dite trigonométrique : z = r(cos(θ) + i sin(θ)) Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique Si z admet la forme trigonométrique z = r(cos(θ) + i sin(θ)), alors Re(z) = r cos(θ) Im(z) = r sin(θ) Remarque Cette relation permet de calculer la forme trigonométrique d'un nombre complexe à partir de sa forme algébrique, et inversement.

15 π π π Exemple Soit z le complexe de forme algébrique : z = i z = 3( + i) π Or = cos( 4) = sin( 4) π donc l'écriture trigonométrique de z est : 3(cos( 4) + i sin( 4)) et z = 3. D Notation exponentielle Définition Notation exponentielle d'un nombre Soit θ un réel. e iθ = cos(θ) + i sin(θ) Définition Notation exponentielle d'un nombre complexe Soit z un nombre complexe de module r et d'argument θ + kπ. z = re iθ Exemple i = e i π π 1 + i = (cos( 4) + i sin( 4)) = e i4π

16 Opérations sur les exponentielles Soit θ et θ deux nombres réels. e e = e 1 e iθ e iθ iθ iθ i(θ+θ ) e iθ = e iθ = e ) iθ n i(θ θ inθ (e ) = e pour tout entier n. Relation entre cosinus, sinus et notation exponentielle Soit θ un nombre réel. e iθ = cos(θ) i sin(θ) e cos(θ) = e sin(θ) = iθ iθ + e e i iθ iθ

17 Les nombres complexes 3 CAS D'APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES A Utilisation des nombres complexes dans le plan Calcul de longueur avec les modules Soient A et B deux points du plan. A On note z et z leurs affixes respectives. B AB = za zb = zb za Affixe d'un vecteur Soient A et B deux points du plan. On note z et z leurs affixes respectives. AB a pour affixe z AB = zb za A B

18 u Calcul d'angles orientés avec les arguments Soient A, B, C et D des points distincts du plan. On note z, z, z et z leurs affixes. ( AB, CD zd zc ) = arg( ) + kπ, avec k entier relatif. zb za A B C D Remarque (, AB zb za ) = arg( ) = arg(zb 1 z A) + kπ, avec k entier relatif. B Résolution d'une équation du second degré Résolution dans C d'une équation du second degré à coefficients réels Soit (E) : az + bz + c = 0 une équation du second degré de discriminant Δ, où z est une inconnue complexe. Si Δ 0, (E) se résout dans R de façon classique. Si Δ < 0, (E) admet deux solutions complexes conjuguées qui sont : b i Δ a b + i Δ a Remarque

19 Attention, si on demande de résoudre (E) dans R (et non dans C), il n'y a pas de solutions lorsque Δ < 0.

20 Les nombres complexes A SAVOIR REFAIRE Mettre un quotient sous forme algébrique Mets 4 + i 3i sous forme algébrique. TRADUIRE L'ÉNONCÉ 4 + i Mettre sous forme algébrique revient à trouver les réels a et b tels 1 3i 4 + i que 3i = a + ib. Il faut donc notamment ne plus avoir de i au dénominateur. MULTIPLIER LE NUMÉRATEUR ET LE DÉNOMINATEUR PAR LE CONJUGUÉ DU DÉNOMINATEUR 4 + i 3i On fait ainsi apparaître le module du dénominateur au carré : = Or le cours nous dit que z Donc ( 3i)( + 3i) = + 3 = i 3i Donc = (4 + i)( + 3i) ( 3i)( + 3i) (4 + i)( + 3i) 13 z = a + b lorsque z = a + ib. 3 DÉVELOPPER LE NUMÉRATEUR ET LE METTRE SOUS FORME ALGÉBRIQUE

21 3 4 + i 3i (4 + i)( + 3i) 4 + i + 4 3i + i 3i = 13 = 13 = i 13 4 CONCLURE 4 + i 5 14 On a donc obtenu la forme algébrique : 3i = 13 + i 13 Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou à la forme exponentielle Écris z = 1 + i 3 sous formes trigonométrique et exponentielle. TRADUIRE L'ÉNONCÉ 1 Écrire z sous forme algébrique revient à trouver le module r et l'argument θ de z tels que z = r(cos(θ) + i sin(θ)). CALCULER LE MODULE DE z z = 1 + ( 3) = 4 = CALCULER L'ARGUMENT À L'AIDE DES FORMULES DU COURS 3 D'après le cours : Re(z) Re(z) = r cos(θ) donc cos(θ) = r ; donc ici : cos(θ) = 1 Im(z)

22 1 π Im(z) De même, Im(z) = r sin(θ) donc sin(θ) = r ; donc ici : sin(θ) = 3 RECONNAÎTRE DES VALEURS REMARQUABLES DE cos ET sin On reconnaît des valeurs particulières de cos et sin. 4 π cos( 3) = sin( π 3 3) = Donc θ = π 3 + kπ où k est un entier relatif. CONCLURE 5 r = et θ = π 3 + kπ. π La forme trigonométrique de z est : z = (cos( 3) + i sin( 3)) La notation exponentielle de z est : z = e i 3π Déterminer un ensemble de points du plan dont les affixes vérifient une équation donnée Détermine la nature de l'ensemble des points du plan dont les affixes z vérifient z 1 z i = 1. INTERPRÉTER GÉOMÉTRIQUEMENT LES COMPOSANTES DE L'ÉQUATION

23 Dans l'équation, z 1 est la longueur entre le point d'affixe z et le point A d'affixe 1. De même, z i est la longueur entre le point d'affixe z et le point B d'affixe i. 1 TRADUIRE GÉOMÉTRIQUEMENT L'ÉQUATION En remplaçant, on doit donc trouver les points M vérifiant : AM = BM. Ce sont donc l'ensemble des points équidistants de A et B. AM BM Ces points forment une droite, il s'agit de la médiatrice de [AB]. = 1 soit

24 Déterminer par le calcul un ensemble de points du plan dont les affixes vérifient une équation donnée z 1 Détermine la nature de l'ensemble des points d'affixe z vérifiant Re( z i) = 0. ÉCRIRE Z SOUS SA FORME ALGÉBRIQUE 1 On pose z = x + iy, où x et y sont réels. x + iy 1 On cherche donc à résoudre Re( x + iy i) = 0. METTRE L'ÉQUATION SOUS FORME ALGÉBRIQUE x + iy 1 x 1 + iy (x 1 + iy)(x i(y 1)) Or x + iy i = x + i(y 1) = (x + i(y 1))(x i(y 1)) x + iy 1 x(x 1) + y(y 1) + i(yx (x 1)(y 1))

25 x + iy 1 x(x 1) + y(y 1) + i(yx (x 1)(y 1)) x + iy i = x + (y 1) z 1 x(x 1) + y(y 1) On en déduit ainsi : Re( z i) = x + (y 1) FAIRE APPARAÎTRE L'ÉQUATION D'UNE FORME GÉOMÉTRIQUE SIMPLE (DROITE, CERCLE) D'après ce qui précède : z 1 x(x 1) + y(y 1) Re( z i) = 0 si et seulement si = 0. x + (y 1) Or x + (y 1) > 0 z 1 Donc Re( z i) = 0 si et seulement si x(x 1) + y(y 1) = 0. En développant cette expression, on obtient : x(x 1) + y(y 1) = x x + y y 3 On se rend compte qu'on retombe presque les identités remarquables 1 (x 1 1 ) = x x + et (y 4 ) = y y + 4. On obtient donc : 1 x x + y y = (x 1 1 ) 4 + (y ) 4 1 D'où x(x 1) + y(y 1) = (x 1 ) + (y ) z 1 1 D'où Re( ) = 0 si et seulement si (x 1 z i ) + (y ) = 0 z 1 1 Donc Re( ) = 0 si et seulement si (x 1 z i ) + (y ) =. CONCLURE 1 1 1

26 1 On note alors S le point de coordonnées (, 1 1 ) et R =. Soit M un point vérifiant la condition de l'énoncé Alors d'après le cours SM = (x ) + (y ) = = R Les points M solutions vérifient donc : SM = R 4 L'équation décrit donc un cercle de centre S et de rayon R. Résoudre une équation du second degré dans C Résous dans C l'équation z + z + 3 = 0. CALCULER LE DISCRIMINANT 1 Le discriminant vaut : Δ = 4 3 = 8 < 0 L'équation possède deux solutions complexes conjuguées. CALCULER LES SOLUTIONS i 8 D'après le cours, les solutions sont donc : et + i 8

27 En simplifiant, les solutions sont 1 + i et 1 + i.