TRANSFERTS DE MASSE ET DE CHALEUR COUPLES

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1 TRANSFERTS DE MASSE ET DE CHALEUR COUPLES Définitions et phénoménologie Hervé Lemonnier DTN/SE2T, CEA/Grenoble, Grenoble Cedex 9 Tél , herve.lemonnier@cea.fr Phelma,

2 TRANSFERT DE MASSE Occurrence industrielle, origine moléculaire, grandeurs physiques, approche phénoménologique de la loi de Fick. Modélisation, le modèle à 1 fluide : bilans de masse, de matière, qdm et d énergie pour le mélange. Fermeture des équations locales : second principe et sources d entropie. Couplage énergie et matière. Conditions d équilibre thermodynamique, Effets Soret et Dufour Analogies transfert de quantité de mouvement, de chaleur et de masse Transfert de masse convectif. Coefficient de transfert de masse, les nombres sans dimension. Définitions et phénoménologie 1/23

3 OCCURRENCE INDUSTRIELLE Traitement des eaux, dépollution, décontamination Génie chimique, absorption, avec/sans réaction chimique Séparation isotopique Combustion : flamme prémélangée, flamme de diffusion Condensation de mélanges de vapeurs/gaz (ébullition, évaporation) Gaz - Liquide - Solide Définitions et phénoménologie 2/23

4 ORIGINE MOLÉCULAIRE DU TRANSFERT DE MASSE / H + JA F I? H EI I = J Distribution non uniforme Tend vers l uniformisation Repos en moyenne Agitation moléculaire Autant de déplacements vers le haut et le bas Transport net Rouge vers le bas Transport net Jaune vers le haut Transport opposé au gradient : J J C J Définitions et phénoménologie 3/23

5 PARAMÈTRES DE COMPOSITION Mécanique : masse (kg). Chimie : quantité de matière (mol). Définition : quantité de matière correspondant à N = 6, atomes/molécules. Masse et quantité de matière sont toujours proportionnelles. Paramètres massiques et molaires. On préfère les unités massiques en mécanique. Définitions et phénoménologie 4/23

6 UNITÉS MASSIQUES Concentration massique masse volumique de l espèce R, ρ R Masse(R) V Masse volumique, ρ = Fraction massique n ρ i (kg/m 3 ) i=1 8 ω R ρ R n i=1 = ρ R ρ ρ i n constituants. Propriété, n ω i = i=1 n ρ i i=1 ρ = 1 Définitions et phénoménologie 5/23

7 UNITÉS MOLAIRES c R = n R V = ρ R M R (mol/m 3 ) : Concentration molaire, M R masse molaire (kg/mol). 8 Pour un gaz parfait : c R = n R V p R : pression partielle (Pa), R = J/mol/K. c = n i=1 = p R RT c i : Concentration molaire totale, i=1 pour un gaz parfait c = RT p : pression thermodynamique ou celle de NS. n n i V = p Fraction molaire : x liquides et solides, y pour les gaz x R = c R c, y R = c R c Pour gaz parfait : y R = c R c n n Propriétés : x i = 1, y i = 1 i=1 i=1 = p R/RT p/rt = p R p Définitions et phénoménologie 6/23

8 EXEMPLE : COMPOSITION DE L AIR Composition molaire de l air simplifiée : y O2 = 0, 21, y N2 = 0, 79 Composition massique? Données : M O2 = 32 g/mol, M N2 = 28 g/mol Indice : considérer une mole de mélange, n = 1. Quantité d oxygène n O2 = 0, 21 mol Quantité d azote n N2 = 0, 79 mol Masse d oxygène n O2 M O2 = 0, = 6,72 g Masse d azote n N2 M N2 = 0, = 22,12 g Masse totale Fraction massique d oxygène ω O2 = 6,72 28,84 Fraction massique d azote ω N2 = 22,12 28,84 Masse molaire de l air = 0, 233 = 0, ,84 g 28,84 g/mol Définitions et phénoménologie 7/23

9 PARAMÈTRES DE VITESSE Vitesse moyenne massique, barycentrique, du centre de masse : v. v = n i ρ iv i n i ρ i = v ω i v i, ρv = n ρ i v i L 4 L 4 L i i L v : vitesse de convection de la masse L L Vitesse moyenne molaire, V ou v L V = n i c iv i n i c i = v x i v i, cv = n c i v i i i V : vitesse de convection de la matière Définitions et phénoménologie 8/23

10 VITESSE ET FLUX DE DIFFUSION Vitesse de diffusion de l espèce A v A v : vitesse de diffusion par rapport au centre de masse v A V : vitesse de diffusion par rapport à la vitesse moyenne molaire. Densité de flux de diffusion de l espèce A, flux densité de flux j A = ρ A (v A v) en unités de masse (kg/m 2 /s) J A = c A (v A V) en unités molaires (mol/m 2 /s) Loi de Fick (mélange binaire) j A = ρd AB ω a J A = cd AB x a Les deux relations sont strictement équivalentes D AB : Constante de diffusion de A dans B Définitions et phénoménologie 9/23

11 CAS PARTICULIERS ET PLUS GÉNÉRAUX Pour un système isotherme et isobare, c=cste, ρ=cste j A = ρd AB ω a = D AB ρ A J A = cd AB x a = D AD c A La loi de Fick s énonce, plus généralement avec le potentiel chimique. Dans un système isobare et isotherme l équilibre les potentiels chimiques sont égaux ( ) G µ i = n i p,t,n j,j i J A = c AD AB RT µ A Pour une solution idéale : µ A = µ 0 + RT ln c A Thermodiffusion, effet Soret : J A = + D T (séparation des isotopes) Diffusion par effet d un gradient de pression (centrifugeuses) Définitions et phénoménologie 10/23

12 FLUX DE MASSE TOTAL Flux de masse de l espèce A : n A ρ A v A j A = ρ A (v A v) n A = ρ A v A = ρ A v + j A = ρ A v ρd AB ω A or ρv = ρ A v A + ρ B v B, ou ρv = n A + n B, donc v = 1 ρ (n A + n B ) n A = ω A (n A + n B ) ρd AB ω A n A : Débit masse par unité d aire de l espèce A, 2 contributions cd AB ω A : contribution du gradient de concentration ω A (n A + n B ) = ρ A v : contribution du mouvement moyen Définitions et phénoménologie 11/23

13 FLUX MOLAIRE TOTAL Flux molaire de l espèce A : N A c A v A J A = c A (v A V) N A = c A v A = c A V + J A = c A V cd AB x A or cv = c A v A + c B v B, ou cv = N A + N B, donc V = 1 c (N A + N B ) N A = x A (N A + N B ) cd AB x A N A : Débit molaire par unité d aire de l espèce A, 2 contributions cd AB x A : contribution du gradient de concentration x A (N A + N B ) = c A V : contribution du mouvement moyen Définitions et phénoménologie 12/23

14 EXEMPLE : COLONNE D ARNOLD Mesure de la constante de diffusion (1D) A : vapeur du liquide, B: air Vapeur crée à l interface immobile p et T uniformes, gaz parfait c = cste N A =cste, N B = 0 air stagnant, N = N e z N A = y A (N A + N B ) cd AB y A O ) O ) dy A N A = y A N A cd AB dz, L 0 N A dz = cd AB 0 N A = cd AB L N A = cd AB dy A 1 y A dz dy A y A0 1 y A ( ) ln 1 1 y A0 Équilibre thermodynamique interface : p p A = p sat (T L ), y A0 = p A p Définitions et phénoménologie 13/23

15 CONSTANTE DE DIFFUSION Dimension : [L 2 T 1 ], m 2 /s j A = D AB ρ A, [D AB ] = [ML 2 T 1 ] [ML 4 ] = [L 2 T 1 ] Propriété de transport analogue à (ν) et (α) Nombres sans dimension Prandtl : Pr = ν α Schmidt : Sc = Lewis : Le = ν D AB = µ ρd AB α k D AB = ρc P D AB Ordres de grandeur (m 2 /s), liés à la mobilité des éléments : Gaz : à 10 5, Sc=0,2 à 5, Pr = O(1), peu dépendant de la composition Liquide : à 10 9, eau : ν 10 6, Pr = 7 à 20 o C, Sc = O( 10 3 ), (max ), dépend de la composition Solides : à Définitions et phénoménologie 14/23

16 CONSTANTE DE DIFFUSION POUR LES GAZ Théorie cinétique des gaz : auto-diffusion D AA = 2 3π 3/2 d 2 p ( κ 3 T 3 m ) 1 2 T 3 2 p d : diamètre moléculaire, m : masse moléculaire; κ cste de Boltzmann. Corrélation de Slattery et Bird, théorie cinétique et états correspondants : ( ) b pd AB (p ca p cb ) 1/3 (T ca T cb ) 5/12 (1/M A + 1/M B ) = a T 1/2 TcA T cb a = 2, , b = 1, 823, paires de gaz non polaires sauf He et H 2 a = 3, , b = 2, 334, H 2 0 et un gaz non polaire D AB en cm 2 /s, p en atm, T en K. p c, T c pression et températures critiques, M en g. Définitions et phénoménologie 15/23

17 EXEMPLE : Diffusion de quelques paires de gaz : voir Welty et al. (2001, tableau J.1) Corrélation de Slattery et Bird : voir Bird et al. (2007, tableau E.1) pour l eau : P c = 220,55 bar, T c =374 o C Calculer D AB pour le système C0-CO 2 à 296,1 K et 1 atm. Composant Nom M (g) T c (K) p C (atm) A CO 28,01 132,9 34,5 B CO 2 44,01 304,2 72,8 Il faut trouver D AB =0,152 cm 2 /s Définitions et phénoménologie 16/23

18 CONSTANTE DE DIFFUSION POUR LES GAZ Théorie cinétique des gaz Hirschfeleder, Bird et Spotz, potentiels de Lennard- Jones (utilisé aussi pour la viscosité et la conductivité). D AB = 0, T 3 2 ( pσ 2 AB Ω D ) 1 1 M A M B D AB en cm 2 /s, M masse molaire en g, p pression en atm, σ AB diamètre de collision de Lennard-Jones en A ( m), Ω D (κt/ɛ) intégrale de collision pour la diffusion, (Bird et al., 2007, tableau E.2, eq. E.2.2), ɛ AB energie d interaction entre A et B, κ cste de Boltzmann : ergs/k. Pour les gaz non polaires règles d association : σ AB = σ A + σ B 2, ɛ AB = ɛ A ɛ B Pour des gaz polaires voir références de Welty et al. (2001, p. 433). Définitions et phénoménologie 17/23

19 EXEMPLE : Calculer D AB pour l air et le gaz carbonique à 20 o C et 1 atm. Composant Nom σ (A) ɛ/κ (K) A CO 2 3, B Air 3, Il faut trouver : D AB = 0, 147 cm 2 /s. Le modèle de Hirschfelder pour extrapoler des données en T et p: D AB (T 2, p 2 ) = D AB (T 1, p 1 ) ( p1 p 2 ) ( T2 T 1 ) 3 2 Ω D (T 1 ) Ω D (T 2 ) Pour le même couple, voir Welty et al. (2001, tableau J.1). En extrapolant il faut trouver D AB = 0, 155 cm 2 /s. Définitions et phénoménologie 18/23

20 MÉLANGES DE PLUSIEURS GAZ Modèle simplifié de Wilke pour n constituants : D 1 m = 1 y 2 D y 3 D y n D 1 n avec la fraction molaire des composants du mélange (sans le premier) y 2 = y 2 y 2 + y y n Calculer D pour le CO, y 1 = 0, 10, dans un mélange O 2, y 2 = 0, 20 et N 2, y 3 = 0, 70 à 298 K et 2 atm. Extrapoler les données du tableau J.1 de Welty et al. (2001). CO-O 2 : 0,105 cm 2 /s, CO-N 2 : 0,101 cm 2 /s. Il faut trouver 0,102 cm 2 /s. Définitions et phénoménologie 19/23

21 CONSTANTE DE DIFFUSION POUR LES LIQUIDES Quelques paires, voir tableau J.2 de Welty et al. (2001). Modèle de Wilke et Chang, solutions diluées, non électrolytiques. D AB µ B T = (ψ B M B ) 1 2 V 0,6 A D AB du soluté A diffusant dans le solvant B en cm 2 /s, µ B viscosité du solvant en cp (eau à 20 o C 1 cp), M B masse molaire du solvant en g, V A, volume molaire du soluté au point d ébullition à 1 atm en cm 3 /g, et ψ B un paramètre d association du solvant (2,26 pour l eau). Voir tableau 24.4 de Welty et al. (2001) pour V A Exemple ethanol à 0,05 mol/l (C 2 H 5 OH) à 10 o C, µ B =1,45 cp, V A = 59, 2 cm 3 /mol, Φ B =2,26, M B = 18 g, il faut trouver D AB = 7, cm 2 /s. (8, m 2 /s tableau J.2) Définitions et phénoménologie 20/23

22 CONSTANTES DE DIFFUSION POUR LES SOLIDES Voir le tableau J.3 de Welty et al. (2001). Voir aussi les modèles de diffusion dans les pores. Diffusion de Fick pour les pores de grande taille Diffusion de Knudsen quand d p < λ. Voir aussi les tables (gaz), (liquides) Perry & Green (1984). Définitions et phénoménologie 21/23

23 TRANSFERT DE MASSE CONVECTIF La convection augmente notablement les transferts : exemple sucre dans le café! Pour le transfert de chaleur : q = h T, T = T i/p T h : coefficient de transfert de chaleur, [W/m 2 /K] Pour le transfert de masse : N A = k c c A, c A = c Ai/p c A k c : coefficient de transfert de masse convectif, [m/s] Définitions et phénoménologie 22/23

24 REFERENCES Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N Transport phenomena. Revised second edition edn. John Wiley & Sons. Perry, R. H., & Green, D. W. (eds) Perry s chemical engineers handbook. 6th edn. McGraw-Hill. Welty, J. R., Wicks, C. E., Wilson, R. E., & Rorrer, G. L Fundamental of momentum, heat and mass transfer. Fourth edn. John Wiley & Sons. Définitions et phénoménologie 23/23