Fonctions linéaires et fonctions affines.

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1 1. Fonctions linéaires. a) Proportionnalité : Fonctions linéaires et fonctions affines. Deu grandeurs G1 et G sont proportionnelles quand leur quotient est constant. Eemple 1 : Intensité en A. 0, 0,8 1 1, 1,8 Tension en V U/I Dans le tableau ci-dessus, les quotients Tension (U) sur Intensité (I) sont constants : La tension est proportionnelle à l intensité. En conséquence : Eemple : U I = 50 U = 50 I = 50I. 50 est le coefficient de proportionnalité. temps en h 0,4 1,,1 4,8 distance en km d/t Dans ce second cas, la distance est proportionnelle au temps, le coefficient de proportionnalité, la vitesse moyenne en km/h, est aussi égal à 50. d t = 50 d = 50 t = 50t Il eiste une infinité de situations de proportionnalité qui auraient toutes 50 comme coefficient de proportionnalité. Cette infinité de situation se modélise par une fonction mathématique : Celle qui a un antécédent noté lui associe son image qui vaut 50. Notons-là f f : 50.

2 b) Généralisation : fonction linéaire. Toute situation de proportionnalité de coefficient a ( a 0) se modélise par une fonction de la forme f : a. Une telle fonction est appelée «fonction linéaire». c) Courbe représentative d une fonction linéaire. Soit f : a, une fonction linéaire de coefficient a etc sa courbe représentative. Si un point ( y) ; appartient à la courbe C, alors y = f ( ) = a. Réciproquement : si les coordonnées d un point sont de la forme ( ; f ( )), alors est un point de la courbe. (C est-à-dire : si l ordonnée est l image de l abscisse.) La courbe représentative d une fonction linéaire est une droite passant par l origine. 1) Passage par l origine : f ( 0) = a 0 = 0 le point de coordonnées ( 0 ;0), l origine, est un point de la courbe. ) Alignement des points : B ; deu points de la courbe représentative d une fonction linéaire f : a. Soit A ( a; ya) et ( b yb) On a : y a a De même a a yb ab = = a a = = a. b b En ce plaçant dans les triangles rectangles «OB X b»et «OA X a», ces quotients correspondent à la tangente de l angle entre la droite ( AB) et l ae des abscisses.. Comme les tangents des angles sont égales, les angles sont égau et les points O, A et B sont donc alignés.

3 ) Pente d une droite et coefficient de la fonction : Soit f : a une fonction linéaire de coefficient a. L image de 1 vaut : ( ) En conséquence : le point ( 1; a) est un point de la courbe représentative. a) Coefficient positif. f 1 = a 1 = a b) Coefficient négatif. Eemples :

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5 Eemples :

6 c) Détermination graphique de la pente à l aide du quadrillage du repère dans le cas d un repère à graduation identique sur chaque ae. Etape n 1 : On repère un point à coordonnées entières de la droite. Etape N : on visualise un triangle rectangle Etape N : On détermine un quotient en comptant les carreau. Numérateur : déplacement le long de l ae des ordonnées compté positivement si vers le haut négativement si vers le bas. Ici = + 6 Dénominateur : déplacement parallèle à l ae des abscisses. Positivement si vers la droite. Négativement si vers la gauche Ici : + Quotient = pente = + 6 a = = + + Conclusion : la droite ( ) OC a pour équation y =.La fonction linéaire associée est f : REARQUE : yc 1) Ce travail correspond à calculer a = où le couple ( c ; yc ) est le couple des coordonnées de C. c ) Quel que soit le point entier : le résultat sera identique en raison de la proportionnalité associée au fonctions linéaires. ) On peut aussi procéder en visualisant un triangle rectangle dont l hypoténuse serait porté par la droite et dont une des etrémités n est pas nécessairement l origine. De F en G : 6 carreau vers le haut : Numérateur = + 6 De G en C : carreau vers la droite : Dénominateur = +. a = pente de la droite = coefficient de la fonction linéaire. + 6 a = =. + Retiens : y a = où : y et sont les variations d ordonnées et d abscisses entre les deu points etrémités de l hypoténuse, avec des variations positives si les nombres augmentent ou négatives s ils diminuent.

7 Ainsi : On peut trouver le même résultat en suivant le déplacement : De C en G : l ordonnée diminue de 1 unités. y = 1 De G en F : l abscisse diminue de 6 unités. = 6 Pente de la droite = coefficient de la fonction linéaire associée : y 1 a = = = + 6 4) Eercices : a) Déterminer graphiquement une fonction linéaire à partir de leur droite représentative. Droite ( OB ) : Coordonnées de B : ( ;5 ) yb 5 : a = = b Ecriture de la fonction linéaire : Pente de la droite ( OB) 5 5 f1 : ou f1 : Droite ( OA ) : Coordonnées de A : ( 4; ) yb 1 Pente de la droite ( OA) : a = = = b 4 Ecriture de la fonction linéaire : 1 f : ou : f Droite ( OC ) Coordonnées de C : ( 7; 1) yb 1 1 : a = = = b Ecriture de la fonction linéaire : f : 7 ou : f 7 Pente de la droite ( OC) Un travail identique donne pour les droites passant par l origine et les points E,D,F et G respectivement les fonctions linéaires : 1 f4 : f5 : f6 : f :

8 b) Soit la fonction g :,8 Calculer g (,7) : ( ) g, 7 =,8, 7 = 10,6 Soit( d ) la droite représentative de la fonction g :,8 Le point (,5;7 ) est-il un point ( ) d? Cours : ( ; y ) ( d ) si y g ( ) =. Calculons g ( ) = g (,5) =,8 (,5) = 7 = y (,5; 7) ( d ) Quel est l antécédent dans la fonction g de 14? Soit l antécédent de 14 : est tel que g ( ) = 14. Une telle question revient à résoudre l équation ( ) = 14 g,8 = = = 5,8 Conclusion : l antécédent de 14 dans la fonction g est 5 c) Soit les deu points A( 8;10) et B (,5;). La droite ( AB) est-elle la droite représentative d une fonction linéaire? Si oui, préciser laquelle. Si la droite ( AB) est-elle la droite représentative d une fonction linéaire, les points ( 0;0) A( 8;10) et B (,5;) sont alignés. Les droites ( OA) et ( OB) sont donc confondues et ont donc la même pente. Soit a1 la pente de ( OA) et a celle de ( OB ) O, ya 10 5 y 1 1, 5 B 6 a = = = = a = = = = 1, 8 4,5 5 A Conclusion : comme a 1 a courbe représentative d aucune fonction linéaire. B, les points O, A et B ne sont pas alignés la droite ( ) AB n est la

9 d) Reconnaître une écriture de fonction linéaire : Quelle que soit la fonction linéaire : Comme f : a quotient fonction f ( ) = a, valeur qui ne dépend pas de, c'est-à-dire que ( ) f = a, alors le e) La formule donnant le volume d un cône est-elle une application concrète d une fonction linéaire? π r h La formule est : v = : cette formule fait intervenir variables! En aucun cas elle n est une application concrète d une fonction linéaire. f) Et celle donnant le périmètre d un cercle en fonction de son rayon? La formule est : P = π r. Elle est bien l application d une fonction linéaire, celle que l on peut noter P et de variable r qui se définit par : P : r π r : son coefficient est égal à π. Remarque : on retrouve en physique toute une série de lois qui se traduisent mathématiquement par des fonctions linéaires. La loi d Ohm qui donne la tension U au bornes d un dipôle passif de résistance R traversé par un courant électrique d une certaine intensité I U Oui : valeur du coefficient a = RI : la tension U est une fonction de la variable I pour une résistance donnée R On peut noter : U = f ( I) avec f : I RI. Le coefficient de proportionnalité vaut la résistance, eprimée en Ohm. La loi donnant le poids P d une masse m située en un lieu de l espace où le champ de gravité vaut g : P = mg. Le poids est une fonction de la masse : P f ( m) linéaire f : + f (0) = 0 + = 0 g : π a = π h : l : + ² a =. Il suffit de réduire p : 4 p ( ) 8 z : 8 a = = avec f : m mg Non et argument h( ) = = qui dépend de = = = qui dépend de

10 G0 Pour les curieu des sciences : ce coefficient de gravité se calcule ainsi : g =, où : d est la masse créant ce champ de gravité, en kg. d est la distance entre les centres de gravités des masses m et, en mètre. Go est la constante universelle de gravité. G 0 6, = unité. Ainsi sur Terre : G Terre , ,97 10 = 9,8 unités Et sur la Lune : G Lune 11 6, ,5 10 = 1,6 unité