CH 3-1er S Dérivation et application

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1 CH 3-1er S Dérivation et application Rédacteur : Yann BANC Le mot du prof : Ce chapitre nous permet d introduire un nouvel outil : la dérivée. La dérivée a une application principale : il existe un lien entre les variations d une fonction et le signe de sa fonction dérivée. Nous établirons la définition du taux accroissement et du nombre dérivé en un point. Pour cela, il nous faudra introduire la notion de limite. Nous verrons que le nombre dérivé en un point représente le coefficient directeur de la tangente. Après avoir travaillé sur la dérivée en un point précis, nous parlerons de la fonction dérivée en tant que fonction sur un intervalle et nous donnerons des formules générales pour calculer les dérivées des fonctions usuelles connues et même de certaines fonctions composées. Pour finir, nous utiliserons la dérivé dans différentes applications comme la réalisation d un tableau de variation ou encore l'identification d une fonction à partir de plusieurs contraintes. Sommaire 1 Le taux d accroissement Le nombre dérivé La fonction dérivée... 5

2 1 Le taux d accroissement 1.1 Un concept à envisager graphiquement Plaçons-nous sur la courbe de la fonction f, qui passe par les points A et B. Voir graphe ci-dessous. On appelle taux d'accroissement de la fonction entre les points A et B, la valeur telle que : = où traduit la variation selon Y entre A et B et la variation selon X entre A et B. Aidez vous du dessin ci-dessous pour comprendre ce que représente le taux d accroissement. Remarque : Le taux d accroissement est aussi le coefficient directeur de la droite d(ab)! d(ab) Y B B Y B - Y A Y A A X A X B Exercice : Soit = ² +2 X B - X A _- a ) Faire un tracé de f(x) sur [-3;3] b ) Déterminer le taux d accroissement de la fonction entre les points A et B d abscisses respectives -2 et 3. c )En déduire le coefficient directeur de la droite (AB). d ) Ajouter la droite (AB) sur votre graphique. Soit T(x), la fonction affine dont la représentation graphique est la droite AB. e ) Donner T(-2) et T(3) par lecture graphique. f ) En déduire une équation algébrique de T(x).

3 Vers le nombre dérivé On peut aussi dire que = (+h) () (+h) = (+h) () h où h représente l écart entre f(a+h) B f(a+h)-f(a) f(a) A a h a + h _ A présent nous allons faire évoluer le paramètre h vers 0. Ceci va rendre mobile le point B. Observez le schéma suivant, on constate que lorsque h tend vers 0, la droite qui passe par A et B se rapproche de la tangente à la courbe au point A : Rappel : La tangente à la courbe en a c est la droite qui épouse au mieux la courbe au point d abscisse a. Définition : Le nombre dérivé en a c est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en a.

4 2 Le nombre dérivé 2.1 Définition fondamentalee Soit f, une fonction définie et continue sur un intervalle D. Soit "a" un élément appartenant à D. Le nombre dérivé de f en "a" se note f (a) et on le calcul de la façon suivante : 2.2 Exemple de calcul d un nombre dérivé Soit ()=²+2+3,une fonctionn polynôme définie et continue sur. Déterminons ensemble f (3). Dans un premier temps déterminer le nombre dérivée en un x quelconque réel que l on appellera a. + ()= lim + +2(+h) = lim h ²+2h+2h ()= lim = lim h = lim h+2+2) h + = lim +2+2=2+2 =2+2 Cette fonction est la fonction dérivée de f nous verrons ce point plus bas La tangente à la courbe de admet une tangente de coefficient directeur 8 au point d'abscisse 3. On peut déterminer l équation de cette tangente, en effet on sait qu ellee a pour équation = 8 +? Or, au point d abscisse 3, on sait que la tangente touche la courbe donc 3 = 3 = 3²+2;3+3=18 On peut encore écrire que 18;3+? = 18, d où? = 6. Finalement = 8 6 Nous pouvons faire une vérification graphique : Ainsi : 3 =2;3+2=8 On constate que la droite dont nous avons trouvé l'expression est bien tangente à la courbe en 3.

5 Exercice : Soit ()= C +2 4 a. Déterminer l ensemble de définition de f. b. Soit a, un élément de l ensemble de Df. c. Développer et réduire le plus possible ab C en remarquant que ab C ab ;ab d. Calculer le nombre dérivée en a. e. Déterminer le nombre dérivéé en -2 et en 4. f. Donner l'équation de la tangente à la courbe de f en 4. g. Réalisez un tracé sur la calculette et vérifiez votre réponse à la question d. 3 La fonction dérivée Définition de la fonction dérivée Définition : Soit une fonction continue sur un intervalle [. La fonction dérivée de, est la fonction qui donne le nombre dérivéé de en tout point de l'ensemble [. Nous avons vu dans l exemple précédent, comment déterminer la fonction dérivée en tout point de l ensemble de définition de la fonction ²2 3, allez revoir l exemple si besoin. Ce travail étant fastidieux, on donne un tableau pour accélérer le calcul de la fonction dérivée Tableau des dérivées des fonctions usuelles Fonction KL MK Ensemble de définition Fonction dérivée K L M K Ensemble de dérivabilité N Où N 0? N Où N 2N Q Où R R Q^_ N ;S Où N N ;S 1 * 1 ² * * Exercice : Déterminer pour les fonctions suivantes : l ensemble de définition, l ensemble de dérivabilité et l expression de la fonction dérivée. a. KL ULV b. KL W c. KL X L d. KL X L e. KL YL²

6 3.3 Les fonction composées Une fonction usuelle réalise une unique évolution sur une variable. Exemple () = 2 ou encore S = + 3 Une fonction composée réalise plusieurs évolutions successives sur une variable. Exemple N() = one peut dire que N() = S( () ) on a le schéma de composition suivant : () = 2 S() = +3 > 2 = > N() = + 3 = a(l) = b( K(L) ) Pour faciliter la compréhension on pose le changement de variable 2 = Autre exemple () = 2 c() = ² > 2 = > d() = ² = (2)² = 4² e(l) = f( K(L) ) Tableau des dérivées des fonctions composées Dans ce tableau u et v sont des fonctions, la vérification sur le domaine de dérivabilité est en cohérence avec les potentielles valeurs interdites des fonctions et le tableau des dérivées usuelles. Fonction Fonction dérivée g +h g h g +h g h +gh N g N g g Q g g Q^_ Exercice : Déterminer pour les fonctions suivantes : l ensemble de définition, l ensemble de dérivabilité et l expression de la fonction dérivée. a. f(x) = x j +2x+10 b. f(x) = kl mjkmn k²^c c. f(x) = ox²+1 d. f(x) = x C x e. f(x) = (3x+4) C f. f(x) = p j km_ qj