Exercices du chapitre XI avec corrigé succinct

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1 Exercices du chapitre XI avec corrigé succinct Exercice XI. Soient : A, B et C x, y, y 2 et z 3. Calculer Ax et Bx, que remarque t-on par rapport à la multiplication usuelle dans R? 2. Calculer Cy et Cy. que remarque t-on par rapport à la multiplication usuelle dans R? 3. Calculer Cz.. On obtient : Ax Bx On remarque que Ax Bx bien que A et B soient distinctes et que x soit non nul, une telle situation dans le cas de la multiplication réelle n existe pas : dans R ax bx avec x implique a b Cy Cy On remarque que Cy Cy bien que C soit non nulle, cette situation ne survient pas dans R Cz On remarque que Cz est nul bien que ni C ni z ne soient nuls, cette situation ne survient pas avec la multiplication dans R. Exercice XI.2 Soient Λ une matrice diagonale d ordre n et x M n K : λ λ Λ et x λ n x x 2. x n,

2 montrer que Λx λ x λ 2 x 2. λ n x n Λx x Λ + x 2 Λ x n Λ n x λ. + x 2 λ 2. + x n. λ n λ x λ 2 x 2. λ n x n Exercice XI.3. Soient A, et B. Calculer AB et BA, que remarque t-on par rapport à la multiplication usuelle dans R? 2 2. Soient A, B. Calculer AB Soit : C Calculer C 2 C C et C 3 C C C que remarque t-on par rapport à la multiplication usuelle dans R?. AB + + Soit AB BA + + On peut remarquer que AB et BA sont distinctes et par ailleurs AB est nulle, bien que ni A ni B ne soient nulles, une telle situation ne survient pas avec la multiplication dans R AB

3 3. C 2 C C C 3 C C 2 C 2 C On remarque que bien que C soit non nulle, C C C est la matrice nulle, à nouveau ce type de situation ne survient pas avec la multiplication dans R. Exercice XI.4 On définit Montrer que Montrer que On note A obtient I donc A A. Même chose pour B. On calcule A A C A + B, B, B A + B A + B., on effectue le produit AA puis A A et on 2 2 2, E A + B 2 On effectue le produit CE ce produit n est pas égal à I, donc A + B A + B., Exercice XI.5 Si x H est solution de Ax H, si x P est solution de Ax P b, montrer que x x P + x H est solution de Ax b. Il suffit d effectuer le produit Ax P + x H Ax P + Ax H b + b

4 Exercice XI.6 Résoudre x + x 2 + x 3 x + 2x 2 x 3 x + 3x 3 3 2x + x 2 + 4x 3 2 x + x 2 + x 3 x + 2x 2 x 3 L 2 L 2 L x + 3x 3 3 L 3 L 3 L 2x + x 2 + 4x 3 2 L 3 L 4 2L x + x 2 + x 3 + x 2 2x 3 2 x 2 + 2x 3 2 L 3 L 3 + L 2 x 2 + 2x 3 L 3 L 4 + L 2 x + x 2 + x 3 + x 2 2x Et ce système n admet pas de solutions! S E. Exercice XI.7 Vérifier que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR. Soient x, y, z et x, y, z R 3 et λ R. Les lois sont donc : Addition : x, y, z + x, y, z x + x, y + y, z + z Multiplication : λx, y, z λx, λy, λz L élément neutre est R 3,, :,, + x, y, z x, y, z +,, x, y, z L opposé de x, y, z R 3 est x, y, z : x, y, z + x, y, z x, y, z + x, y, z,, Enfin les autres propriétés sont triviales à vérifier.

5 Exercice XI.8 Soit n un entier ; soit P n l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients réels, montrer que P n est un sous-espace vectoriel de l ensemble des polynômes à coeffcients réels. Les éléments de P n sont donc de la forme : a n x n + a n x n a x + a où les coefficients a n,..., a sont réels. L addition sur P n est définie de la façon usuelle de même que la multiplication par un réel. On voit facilement que la somme de deux éléments de P n est encore un élément de P n et que si on multiplie un élément de P n par un scalaire on obtient encore un élément de P n. Par ailleurs, l élément neutre de P n est le polynôme nul celui dont tous les coefficients sont nuls, et l opposé du polynôme a n x n + a n x n a x + a est tout simplement a n x n + a n x n a x + a Et il est alors trivial de vérifier les autres propriétés caractérisant un espace vectoriel. Exercice XI.9 Soit n un entier non nul, montrer que l ensemble E n des polynômes de degré exactement égal à n n n est pas un sous espace vectoriel de l ensemble des polynômes à coeffcients réels. Ceci est à rapprocher de l exercice précédent, E n est inclus dans P n! et est pourvu des mêmes lois. Cependant la somme de deux éléments de E n n est pas toujours un élément de E n, par exemple : x n + 3x n + x n + 2x n 5x n qui est seulement de degré n et pas de degré n, et E n n est donc pas un espace vectoriel. Exercice XI. Soit dans R 2 les vecteurs v 5, 2 et v 2 5, 3. Déterminer l équation de la droite vectorielle D engendrée par v. 2. Déterminer l équation de la droite vectorielle D 2 engendrée par v 2 3. Montrer que w R 2, il existe un unique couple w, w 2 D D 2 tel que w w + w 2 on dit alors que D et D 2 sont supplémentaires et on écrit : D D R 2.. D {λ v λ R} Soit donc u a, b un élément de R 2, u D si et seulement si, il existe λ R tel que : u λ v soit donc si et seulement si : { 5λ a 2λ b Soit donc l équation de D : a 5 b soit donc 2a 5b. 2

6 2. On utilise le même principe que dans la question précédente, et on obtient : 3a 5b. 3. Soit donc w a, b un élément quelconque de R 2, il s agit donc en fait de montrer qu il existe un unique couple de réels λ, λ 2 tels que w λ v + λ 2 v 2. On a donc un système de deux équations à deux inconnues et il est facile de voir que l unique solution est donnée par : λ 3a 5b 5 Soit donc w et λ 2 3a 5b 5 5b 2a. 5 5, 2 et w 2 5b 2a 5 5, 3. Exercice XI. On se place dans IR 2 et on définit les vecteurs : v,, v 2,, v 3 2, 2, v 4,, v 5 2, 3. Pour chacune des familles suivantes dire si elle est génératrice :. v, v 2 2. v, v 3 3. v, v 5 4. v, v 5. v, v 2, v 3 6. v, v 2, v 5. Si v α, β, on peut écrire : v α v + β α v 2 donc v, v 2 est génératrice. 2. v, v 3 n engendre que les vecteurs colinéaires à v puisque v 3 2 v ne "sert à rien" et donc v, v 3 n est pas génératrice. 3. Si v α, β, on peut écrire : v 3α 2β v + β α v 5 donc v, v 5 est génératrice. 4. v, v n est visiblement pas génératrice, puisque cette famille n engendre que les vecteurs colinéaires à v. 5. Si v α, β, on peut écrire : v α v + β α v 2 + v 3 donc v, v 2, v 3 est génératrice. En fait v, v 2 étant génératrice, il est immédiat que v, v 2, v 3 est génératrice. 6. Si v α, β, on peut écrire : v α v + β α v 2 + v 5 donc v, v 2, v 5 est génératrice. En fait v, v 2 étant génératrice, il est immédiat que v, v 2, v 5 est génératrice.

7 Exercice XI.2 On se place dans IR 3 et on définit les vecteurs : v,,, v 2,,, v 3,,, v 4,,, v 5 2, 2,. Pour chacune des familles suivantes dire si elle est génératrice :. v, v 5 2. v 2, v 5 3. v 3, v 5 4. v 4, v 5 5. v, v 2, v 3 6. v, v 3, v 4 7. v 5, v 3, v 8. v, v 2, v 3, v 4. Si v α, β, γ est un élément quelconque de R 3, v λ v + λ 5 v 5 s écrit encore : λ + 2λ 5 α λ + 2λ 5 β λ γ et il est immédiat que si α β il n y a pas de solutions! donc v, v 5 n est pas génératrice. En fait - intuitivement - v et v 5 ne peuvent engendrer qu un plan dans R 3 et pas R 3 tout entier. On verra un peu plus loin dans le cours que dimr 3 3 et qu en conséquence les familles génératrices doivent avoir au minimum 3 éléments. 2. v 2, v 5 n est pas génératrice pour les mêmes raisons qu à la question. 3. v 3, v 5 n est pas génératrice pour les mêmes raisons qu à la question. 4. v 3, v 5 n est pas génératrice pour les mêmes raisons qu à la question, en fait ici c est pire puisque v 3 et v 5 sont colinéaires et n engendrent qu une droite vectorielle, pas même un plan! 5. Si v α, β, γ est un élément quelconque de R 3, v λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 s écrit encore : λ λ + λ 2 + λ 3 α γ λ λ + λ 3 β 3 β γ λ λ γ 2 α λ + λ 3 α β On peut donc toujours écrire v γ v + α β v 2 + β γ v 3 et on peut donc affirmer que v, v 2, v 3 est génératrice! 6. v, v 3, v 4 n est pas génératrice. En effet on remarque que v v 3 + v 4 et donc l espace engendré par cette famille est le même que celui engendré par : v 3, v 4 et cette famille ne comportant que deux vecteurs, ne peut être génératrice de R 3 comme on l a vu plus haut.

8 7. v 5, v 3, v n est pas génératrice, pour les mêmes raisons que dans la cas précédent : puisque v 5 2 v 3 et que v 3, v - famille de deux vecteurs - ne peut être génératrice de R v, v 2, v 3 étant déjà génératrice, a fortiori v, v 2, v 3, v 4 est génératrice. Exercice XI.3 On se place dans IR 2 et on définit les vecteurs v,, v 2,, v 3 2, 2, v 4,, v 5 2, 3. Pour chacune des familles citées dans l exercice XI. dire si elle est liée ou libre.. v, v 2 est une famille libre, il est en effet immédiat de voir que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. 2. v, v 3 est une famille liée puisque v 3 2 v. 3. v, v 5 est une famille libre, il est en effet immédiat de voir que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. 4. v, v est une famille liée puisque l on a deux fois le même vecteur et donc la relation v v. 5. v, v 2, v 3 est une famille liée, en effet on a 2 v v 3 IR 2. En fait comme il sera vu plus loin dans ce cours dim IR 2 2 et les familles libres de IR 2 ont au plus 2 éléments. 6. v, v 2, v 5 est une famille liée, il est facile de voir que l on a v 5 2 v + v 2 En fait comme il sera vu plus loin dans ce cours dim IR 2 2 et les familles libres de IR 2 ont au plus 2 éléments. Exercice XI.4 On se place dans IR 3.. La famille S v, v 2, v 3,,,,,, 2, 2, 2 est-elle liée? 2. La famille S v, v 2, v 3,,,, 2, 3, 2, 3, 2 est-elle liée? 3. La famille S v, v 2, v 3 {4,, 9,,, 2, 3,, 7} est-elle liée?. Cette famille liée en effet on a la relation v 3 2 v 2 2. Cette famille est liée en effet on a : v 3 v + v Cette fois ci on ne voit rien directement, si en effet il est facile de voir que deux vecteurs sont colinéaires - ou pas - sans calcul, il est par contre plus délicat de voir si trois vecteurs sont - ou non - coplanaires. Regardons s il existe des solutions non triviales c est à dire non nulles à λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 IR 3

9 On a donc le système : λ λ λ Soit donc : 4λ + λ 2 + 3λ 3 L L L 2 λ + λ 2 + λ 3 9λ + 2λ 2 + 7λ 3 L 3 L 3 2L 2 Soit : 5λ + 2λ 3 L 5L 2L 3 λ + λ 2 + λ 3 λ + 5λ 3 3λ λ + λ 2 + λ 3 λ + 5λ 3 λ λ 3 λ 2 La seule solution est donc la solution triviale : la famille est libre. Exercice XI.5 On se place dans IR 2 et on définit les vecteurs v,, v 2,, v 3 2, 2, v 4,, v 5 2, 3. Les familles de l exercice XI. sont-elles des bases de IR 2.. Oui la famille v, v 2 est libre d après l exercice XI.3 et elle est génératrice d après l exercice XI.. 2. Non car la famille v, v 3 n est pas libre voir exercice XI.3 ou encore elle n est pas génératrice d après XI. 3. Oui la famille v, v 5 est libre d après l exercice XI.3 et elle est génératrice d après l exercice XI.. 4. Non la famille v, v n est pas libre voir exercice XI.3 ou encore elle n est pas génératrice d après XI. 5. Non la famille v, v 2, v 3 n est pas libre voir exercice XI Non la famille v, v 2, v 5 n est pas libre voir exercice XI.3.

10 Exercice XI.6 On se place dans IR 3 et on définit les vecteurs v,,, v 2,,, v 3,,, v 4,,, v 5 2, 2,. Les familles de l exercice XI.2 sont-elles des bases de IR 3.. NON la famille { v, v 5 } n est pas génératrice voir exercice XI NON la famille { v 2, v 5 } n est pas génératrice voir exercice XI NON la famille { v 3, v 5 } n est pas génératrice voir exercice XI NON la famille { v 4, v 5 } n est pas génératrice voir exercice XI Oui la famille { v, v 2, v 3 } est génératrice d après l exercice XI.2 et on montre facilement qu elle est libre. On peut aussi dire - d après le cours - que comme dim IR 3 3 et que cette famille de trois vecteurs est libre, elle est automatiquement génératrice. 6. NON la famille { v, v 3, v 4 } est liée ou n est pas génératrice voir exercice XI NON la famille { v 5, v 3, v } est liée : v 5 2 v NON la famille { v, v 2, v 3, v 4 } est liée : on peut exprimer le dernier vecteur en fonction des autres en fait il y trop d éléments : dim IR 3 3 : les bases de IR 3 ont toujours exactement trois éléments. Exercice XI.7 On se place dans IR 3 et on définit F { x α, β, γ IR 3 2α + β + 3γ }. Déterminer une base de F. x F { x α, β, γ IR 3 2α + β + 3γ x α, 2α 3γ, γ, α, γ IR x α, 2, + γ, 3,, α, γ IR x α v + γ v 2, α, γ IR Avec v, 2, et v 2, 3,. Il est alors immédiat que v et v 2 sont des éléments de F et en forment une famille génératrice puisque F est l ensemble des combinaisons linéaires de v et v 2 et on vérifie immédiatement qu ils forment une famille libre Ceci provenant du fait que l on a résolu "l équation" de F.

11 Exercice XI.8 Soient A. Déterminer le rang de A. 2. Déterminer le rang de B.. rga rg et B rg Il est en effet immédiat de voir que les trois lignes de cette dernière matrice sont linéairement indépendantes. Le vérifier au besoin en écrivant le "système" λ L + λ 2 L 2 + λ 3 L 3 et en s assurant que la seule solution est la solution triviale λ λ 2 λ 3 si l on n est pas convaincu! 2. rgb 3 Il est en effet immédiat de vérifier que les trois colonnes de B sont linéairement indépendantes. Le vérifier au besoin en écrivant le "système" λ C + λ 2 C 2 + λ 3 C 3 et en s assurant que la seule solution est la solution triviale λ λ 2 λ 3 si l on n est pas convaincu! Exercice XI.9 Vérifier rapidement que les applications suivantes sont linéaires. Calculer leur noyau et leur image.. φ : IR 3 IR, définie par où a, a 2, a 3 sont des réels donnés. 2. ψ : P n P n, définie par φx a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 ψp p, où P n désigne l ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n à coefficients réels et où p est la dérivée du polynôme p.. Soient x, x 2, x 3 et y, y 2, y 3 IR 3 et λ IR x y φ x 2 x 3 + y 2 y 3 φ x + y x 2 + y 2 x 3 + y 3

12 a x +y +a 2 x 2 +y 2 +a 3 x 3 +y 3 a x +a 2 x 2 +a 3 x 3 +a y +a 2 y 2 +a 3 y 3 Soit donc : φ λ x x 2 x 3 φ x x 2 x 3 φ φ est donc bien linéaire! + λx λx 2 λx 3 y y 2 y 3 φ x x 2 x 3 + φ y y 2 y 3 a λx + a 2 λx 2 + a 3 λx 3 λφ 2. C est immédiat en effet la dérivée d une somme est égale à la somme des dérivées, en particulier quels que soient p et p 2 éléments de P n : ψp + p 2 p + p 2 p + p 2 ψp + ψp 2 et de même quels que soient p, élément de P n et λ élément de R, on a : ψλp λp λp λψp. x x 2 x 3 Exercice XI.2 Soit f : R 2 R 2 x, x 2 x + x 2, x x 2. Montrer que f est une application linéaire. 2. Déterminer Ker f. 3. Déterminer Im f. 4. Calculer f f.. Soient u u, u 2 et v v, v 2 deux élements de R 2 et soit λ un réel alors : f u + v fu + v, u 2 + v 2 u + v + u 2 + v 2, u + v u 2 + v 2 f u + v u + u 2, u u 2 + v + v 2, v v 2 f u + f v De même, on a : fλ u fλu, λu 2 λu + λu 2, λu λu 2 λu + u 2, u u 2 λf u f est donc bien linéaire. 2. u u, u 2 Ker f si et seulement si fu, u 2, soit donc si et seulement si : { u + u 2 u u 2 Soit donc Ker f {α, α α R} {u u 2

13 3. a a, a 2 Ker f si et seulement si, il existe u u, u 2 tel que f u a, soit donc si et seulement si le système suivant admet au moins une solution : { { u + u 2 a u + u 2 a u u 2 a 2 a + a 2 Ce système admet au moins une solutions si et seulement si a + a 2 donc on a : Im f {a, a a R} On peut remarquer que dans ce cas trés particulier le noyau est égal à l image, cela explique donc le résultat que l on trouve à la question suivante f u, u 2 u + u 2, u u 2 f f u, u 2 f u + u 2, u u 2 u + u 2 + u u 2, u + u 2 u u 2, f f est l application nulle! Exercice XI.2 Soit B v, v 2, v 3 une base de R 3.. Soit f une application linéaire de R 3 dans lui même telle que f v 2 v, f v 2 v 3, f v 3 v 2 Déterminer la matrice M f de f relativement à la base B. M f Matf, B, B. 2. Soit g une application linéaire de R 3 dans lui même telle que g v a v, g v 2 b v 2, g v 3 c v 3 Déterminer la matrice M g de g relativement à la base M g Matg, B, B. 3. Soit h une application linéaire de R 3 dans lui même telle que si on note x, x 2, x 3 les composantes de x sur la base B, alors les composantes y, y 2, y 3 de h x sur la base B sont, y 2x +2x 2 +x 3 y 2 x 2 y 3 x +x 2 x 3 Déterminer la matrice M h de h relativement à la base M h Math, B, B.. Les coordonnées de f v, f v 2 et f v 3 sur B sont donc respectivement : 2, et Donc : M f 2

14 2. Les coordonnées de g v, g v 2 et g v 3 sur B sont donc respectivement : a, b et c Donc : M g 3. Les coordonnées de v sur B sont sont 2. Les coordonnées de v 2 sur B sont sont 2. Les coordonnées de v 3 sur B sont sont Donc :. M h a b c donc les coordonnées de h v sur B donc les coordonnées de h v 2 sur B donc les coordonnées de h v 3 sur B 2 2 On remarque que la matrice A se voyait facilement dans la definition de y, y 2, y 3 en colonnes. Exercice XI.22 Soient dans R 3 la base canonique notée B et la base soit P PassB, B, calculez P. B, 2, 3, 2,,,, 2, 2, 5,,

15 Il suffit de trouver les composantes des vecteurs de B dans la base B, on a : On obtient donc P PassB, B C Vous pouvez comparer avec le résultat trouvé dans l exemple XI.2.4. on avait déjà calculé l inverse de cette matrice. Exercice XI.23 Montrer que : A P AP A P A P. On peut multiplier, à gauche, les 2 termes de l égalité par P, on obtient : A P AP P A AP On peut multiplier, à droite, les 2 termes de la nouvelle égalité par P, on obtient : P A AP P A P A