Séminaire : Quaternions et autres nombres hypercomplexes

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1 Séminaire : Quaternions et autres nombres hypercomplexes Lacoste Cyril Pierron Théo ENS Ker Lann Mercredi 2 mai 2012

2 Sommaire Première approche Quaternions et rotations Applications

3 Première approche Première approche Découverte Premières propriétés Théorème de Frobénius Quaternions et rotations Applications

4 Découverte Ils ont été découverts en 1843 par William Hamilton, qui cherchait un équivalent des nombres complexes en dimension supérieure.

5 Découverte Ils ont été découverts en 1843 par William Hamilton, qui cherchait un équivalent des nombres complexes en dimension supérieure. Définition Il existe une algèbre H de dimension 4 sur R munie d une base (1, i, j, k) telle que : 1. 1 est élément neutre pour la multiplication 2. i 2 = j 2 = k 2 = 1, jk = kj = i, ki = ik = j, ij = ji = k On l appelle algèbre des quaternions. Ses éléments sont de la forme a + bi + cj + dk avec a, b, c, d R.

6 Il y a plusieurs moyens de construire H explicitement : 1. Prendre R 4 muni d une base (1, i, j, k) et définir les lois comme précédemment 2. Considérer l ensemble : {( ) } a b H =,(a, b) C 2 b a

7 Il y a plusieurs moyens de construire H explicitement : 1. Prendre R 4 muni d une base (1, i, j, k) et définir les lois comme précédemment 2. Considérer l ensemble : {( ) } a b H =,(a, b) C 2 b a Remarque ( La matrice associée ) au quaternion a + bi + cj + dk est a+ib c + id avec i l unité imaginaire habituelle. c + id a ib

8 Premières propriétés Propriété H n est pas commutatif et son centre est R.

9 Conjugaison Définition Comme dans C, on peut définir la conjugaison : a + bi + cj + dk a bi cj dk

10 Conjugaison Définition Comme dans C, on peut définir la conjugaison : a + bi + cj + dk a bi cj dk Propriétés de la conjugaison La conjugaison est involutive, R-linéaire et anti-multiplicative : q 1 q 2 = q 2 q 1. Comme dans C, q R q = q. On parle aussi de quaternions purs quand q = q.

11 Norme Définition On définit la norme d un quaternion q par N(q) = qq.

12 Norme Définition On définit la norme d un quaternion q par N(q) = qq. Propriétés 1. N est une forme quadratique définie positive. 2. On a de plus N(q 1 q 2 ) = N(q 1 )N(q 2 ). C est donc un morphisme de groupes de H R + surjectif. 3. Son noyau G peut être identifié à la sphère unité S H est un corps. L inverse de q 0 et q N(q).

13 Théorème de Frobénius Théorème Tout corps K contenant R dans son centre et de dimension finie sur R est isomorphe à R, C ou H.

14 Quaternions et rotations Première approche Quaternions et rotations SO 3 S 3 /{±1} SO 4 /{±1} SO 3 SO 3 SU 2 /{±1} SO 3 Applications

15 SO 3 S 3 /{±1} Définition On note P l ensemble des quaternions purs. On lui identifie R 3.

16 SO 3 S 3 /{±1} Définition On note P l ensemble des quaternions purs. On lui identifie R 3. Théorème L application : r : S 3 O 3 q r q : { P P u quq 1 est un morphisme d image SO 3 et de noyau {±1}.

17 SO 4 /{±1} SO 3 SO 3 Théorème L application ρ : S 3 S 3 SO 4 (R) { H H (p, q) ρ p,q : x pxq 1 est surjective de noyau {±(1, 1)}.

18 On a in fine le diagramme suivant : SO 4 S 3 S 3 /{±(1, 1)} π π SO 4 /{±1} S 3 S 3 /{(±1, ±1)} D où SO 4 /{±1} S 3 /{±1} S 3 /{±1} SO 3 SO 3.

19 SU 2 /{±1} SO 3 Toute matrice de SU 2 s écrit : ( ) λ µ µ λ avec (λ, µ) C 2 tel que λ 2 + µ 2 = 1.

20 SU 2 /{±1} SO 3 Toute matrice de SU 2 s écrit : ( ) λ µ µ λ avec (λ, µ) C 2 tel que λ 2 + µ 2 = 1. Réciproquement, on a vu que tout quaternion de norme 1 pouvait s écrire de la même manière. D où SU 2 G S 3 et SU 2 /{±1} SO 3.

21 Applications Première approche Quaternions et rotations Applications Théorème des 4 carrés Infographie Ensemble de Mandelbrot Octonions et sédénions

22 Théorème des 4 carrés Théorème Tout entier peut s écrire comme somme de 4 carrés.

23 Théorème des 4 carrés Théorème Tout entier peut s écrire comme somme de 4 carrés. Quel est le rapport avec les quaternions?

24 Réduction Si n et p sont somme de 4 carrés, np aussi En effet, être égal à une somme de 4 carrés revient à être égal à la norme d un quaternion de N 4. Donc si n = N(q n ) et p = N(q p ), on a np = N(q n )N(q p ) = N(q n q p ) Il suffit donc de prouver le théorème pour les nombres premiers.

25 Infographie Comment gère-t-on les rotations (et les orientations des objets) en infographie? Première solution On utilise les matrices orthogonales 3 3. Solution alternative On utilise les quaternions de norme 1.

26 Quaternions On a vu que l ensemble des quaternions de norme 1 quotienté par {±1} était isomorphe à SO 3. Concrètement, la rotation d angle α autour de Vect{u} avec u = (u x, u y, u z ) un vecteur de norme 1 est associée au quaternion de norme 1 : ( ) ( ) α α cos + sin (u x i + u y j + u z k) 2 2

27 Méthodes et efficacité 1. Composition de rotations : Quaternions : Multiplication dans H Matrices : Multiplication dans SO 3 2. Rotation d un vecteur : Quaternions : Composition par un quaternion Matrices : Multiplication du vecteur par une matrice

28 Méthodes et efficacité 1. Composition de rotations : Quaternions : Multiplication dans H Matrices : Multiplication dans SO 3 2. Rotation d un vecteur : Quaternions : Composition par un quaternion Matrices : Multiplication du vecteur par une matrice D où, en nombre d opérations : Quaternions Matrices Occupation mémoire 4 9 Composition Rotation d un vecteur 39 15

29 Interpolation et stabilité numérique Stabilité Les quaternions sont plus stables numériquement que les matrices orthogonales : soit M orthogonale, q H et ε > 0. Alors q + ε reste un quaternion mais M + ε n est plus forcément orthogonale. De plus, il est coûteux de récupérer l orthogonalité.

30 Interpolation et stabilité numérique Stabilité Les quaternions sont plus stables numériquement que les matrices orthogonales : soit M orthogonale, q H et ε > 0. Alors q + ε reste un quaternion mais M + ε n est plus forcément orthogonale. De plus, il est coûteux de récupérer l orthogonalité. Interpolation Quaternions géodésique sur S 3. Matrices plus difficile, moins fluide.

31 Angles d Euler On peut décrire l orientation d un objet par rapport à un référentiel via 3 angles, appelés angles d Euler. Z Y X Figure: Angles d Euler

32 Angles d Euler On peut décrire l orientation d un objet par rapport à un référentiel via 3 angles, appelés angles d Euler. Z α Y Y X X Figure: Angles d Euler

33 Angles d Euler On peut décrire l orientation d un objet par rapport à un référentiel via 3 angles, appelés angles d Euler. Z Z αβ Y Y Y X X Figure: Angles d Euler

34 Angles d Euler On peut décrire l orientation d un objet par rapport à un référentiel via 3 angles, appelés angles d Euler. Z Z Y αβ Y Y γ Y X X X Figure: Angles d Euler

35 Stockage On stocke ces trois angles sous la forme d une matrice de rotation : R = R γ,z R β,x R α,z

36 Blocage de cardan Présentation Le blocage de cardan survient quand on perd un degré de liberté en effectuant certaines rotations.

37 Blocage de cardan Présentation Le blocage de cardan survient quand on perd un degré de liberté en effectuant certaines rotations. Figure: Blocage de cardan

38 Explication Avec les mains Ceci survient quand on utilise les angles d Euler, quand par exemple β = 0. On a alors : cos(α+γ) sin(α+γ) 0 R = sin(α+γ) cos(α+γ) Donc, changer α ou γ revient au même et on ne peut plus tourner qu autour du même axe (Re 3 dans ce cas).

39 Plus rigoureusement L application qui à trois angles associe la rotation est différentiable. On constate que pour certaines valeurs des angles, la différentielle n est plus surjective, mais de rang 1 ou 2, ce qui correspond au blocage : on ne peut plus atteindre toutes les positions.

40 Plus rigoureusement L application qui à trois angles associe la rotation est différentiable. On constate que pour certaines valeurs des angles, la différentielle n est plus surjective, mais de rang 1 ou 2, ce qui correspond au blocage : on ne peut plus atteindre toutes les positions. Remarque On n a pas ce problème avec les quaternions car, ici, la différentielle sera toujours surjective.

41 Ensemble de Mandelbrot Définition L ensemble de Mandelbrot est : M = {c C, lim n + z n,c + } n, z n+1,c = zn,c 2 avec (z n,c ) n la suite définie par + c z 0,c = 0.

42 Ensemble de Mandelbrot Définition L ensemble de Mandelbrot est : M = {c C, lim n + z n,c + } n, z n+1,c = zn,c 2 avec (z n,c ) n la suite définie par + c z 0,c = 0. Théorème M est un connexe compact symétrique par rapport à R. La dimension de Hausdorff de sa frontière est 2.

43 Représentation via C++ Figure: Ensemble de Mandelbrot en 2D

44 En 4D! Vu qu on a une structure multiplicative sur H, on peut regarder M comme un ensemble de quaternions. On obtient alors un ensemble en 4D. En fixant la composante sur k et en faisant varier celle sur j, on obtient une animation de coupes planes de cet objet, ie un objet en 3D. On peut aussi utiliser la symétrie de révolution (cf animation).

45 Octonions et sédénions Définition On définit l algèbre des octonions notée O comme l ensemble H 2 (considéré comme R-ev). On ajoute la loi : (q 1, q 2 )(q 1, q 2 ) = (q 1q 1 q 2q 2, q 2 q 1 + q 2 q 1)

46 Octonions et sédénions Définition On définit l algèbre des octonions notée O comme l ensemble H 2 (considéré comme R-ev). On ajoute la loi : (q 1, q 2 )(q 1, q 2 ) = (q 1q 1 q 2q 2, q 2 q 1 + q 2 q 1) Théorème La multiplication n est ni associative ni commutative. En revanche, elle est alternative : pour tout a, b, a(bb) = (ab)b et (aa)b = a(ab)

47 Définition On peut encore définir (q 1, q 2 ) = (q 1, q 2 ) et N(q 1, q 2 ) = N(q 1 )+N(q 2 ).

48 Définition On peut encore définir (q 1, q 2 ) = (q 1, q 2 ) et N(q 1, q 2 ) = N(q 1 )+N(q 2 ). Propriétés La norme est multiplicative et vérifie encore N(r) = 0 r = 0. Donc tout octonion non nul est inversible.

49 Le théorème d Hurwitz Définition Une algèbre A unitaire est dite algèbre à division ssi a A, b 0 A,!x, y A, a = bx = yb Elle est dite algèbre de composition s il existe une forme quadratique N non dégénérée vérifiant N(xy) = N(x)N(y) pour tous (x, y). Théorème d Hurwitz Les seules R-algèbres à division de composition sont R, C, H et O à isomorphisme près.

50 Sédénions et autres On peut par ce même procédé construire des algèbres de dimension 2 n. On appelle algèbre des sédénions celle de dimension 16. Ici, on perd l alternativité et la multiplicativité de la norme. De plus, il y a des diviseurs de 0.