35 COMPÉTITION JUNIOR DE MATHÉMATIQUE 4 Mai 2011

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1 L ASSOCIATION MATHÉMATIQUE DE CALGARY e 35 COMPÉTITION JUNIOR DE MATHÉMATIQUE 4 Mai 2011 NOM: SOLUTIONS SEXE: S.V.P. Imprimer M F ÉCOLE: NIVEAU: (7,8,9) Vous avez 90 minutes pour l examen. On y trouvera deux parties: la PARTIE A pour les réponses courtes; et la PARTIE B pour les réponses complètes. Cet examen comporte 9 pages, celle-ci incluse. Chaque réponse correcte de la PARTIE A vous donnera 5 points, mais vous devez inscrire la réponse dans l espace fourni. Aucune note partielle. Chacun des problèmes de la PARTIE B a une valeur de 9 points. Tous les détails doivent être inclus, et des points seront attribués pour la clarté de la solution. PARTIE A a une valeur totale possible de 45 points. PARTIE B a une valeur totale possible de 54 points. Il vous est permis d utiliser des feuilles de brouillon, mais les instruments géométriques ne sont pas nécessaires. Les tables mathématiques ou toute autre référence sont tout à fait interdites. Par contre, les calculatrices de poche non programmables et sans options graphiques sont permises. Prenez note que les diagrammes ne sont pas dessinés à l échelle; ils ne sont inclus que pour vous aider visuellement. Lorsque l enseignant vous fait signe de commencer, il est recommandé de lire tous les problèmes et de sélectionner ceux que vous semblent les plus abordables. Répondez bien sûr au plus de problèmes possibles, bien que vous n aurez peut-être pas le temps requis pour les compléter tous. A L USAGE DES CORRECTEURS SEULEMENT PARTIE A 5 B1 B2 B3 B4 B5 B6 TOTAL (max: 99) ASSUREZ VOUS QUE VOTRE NOM ET CELUI DE VOTRE ÉCOLE APPARAISSENT EN HAUT DE CETTE PAGE. CET EXAMEN COMPORTE 9 PAGES, Y COMPRIS CELLE-CI. S.V.P. retourner l examen complet à l enseignant en charge à la fin de la période de 90 minutes.

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4 4 / 9 PARTIE B: QUESTIONS À RÉPONSE LONGUE. B1 Ariel a acheté un certain nombre d abricots. 90% du poids total de chaque abricot est de l eau. Elle a séché les abricots jusqu à ce que le poids de chacun ne contienne qu un 60% d eau. 15 Kg d eau furent éliminés dans le processus de séchage. Quel était le poids original des abricots (en Kg)? Solution 1: Soit x le poids original des abricots (en Kg). Alors, 9x 10 Kg du poids des abricots originaux est de l eau. Puisque 15 Kg de l eau furent perdus pendant le processus de séchage des abricots, on a que 9x Kg de l eau restent encore et les abricots pèsent x 15 Kg. Puisque 60% du poids des abricots secs est de l eau, on a que 9x x 15 = = 3 5. Multipliant croisé les membres de cette équation, on obtient 5 ( 9x 10 15) = 3(x 15), c est à dire 9x 2 75 = 3x 45. Donc, 9x 2 3x = 30, ce qui entraîne 3x 2 = 30. Alors, 3x = 60. Si l on résout en x on aura que x = 20. Par conséquent, le poids original des abricots est 20 kg. Solution 2: Après séchage, l eau correspond à = 3 5 du poids des abricots. Pour cette raison, le rapport entre ce qui est de l eau et ce qui ne l est pas chez les abricots secs est égal à 3 : 2. Le rapport entre ce qui est de l eau et ce qui ne l est pas chez les abricots originaux est égal à 9 : 1 = 18 : 2. Le poids des composantes non-aqueuses ne change pas pendant le processus de séchage. Par conséquent, si 2x est le poids des composantes non-aqueuses, alors 18x sera le poids de l eau avant séchage et 3x est le poids de l eau après séchage. Puisque 15 Kg de l eau sont perdus, 18x 3x = 15, i.e. 15x = 15, ce qui entraîne x = 1. Le poids original des abricots est 18x+2x = 20x = 20. Par conséquent, le poids original des abricots est 20 kg.

5 5 / 9 B2 Un groupe de dix amis sont allés ensembles voir un film. Un autre groupe de neuf amis aussi sont allés ensembles voir le même film. Quatorze parmi ces 19 personnes achetèrent chacun un sac de popcorn régulier. Il s avère que le coût total du film, plus le prix du popcorn pour l un des deux groupes fut le même que pour l autre groupe. Le prix d un billet de cinéma est de $6. Trouver tous les coûts éventuels d un sac ordinaire de popcorn. Solution 1: Puisque plus de gens sont dans le premier groupe que dans le deuxième groupe et les coûts des deux groupes sont égaux, il doit y avoir plus de personnes qui ont ordonné du popcorn dans le deuxième groupe que dans le premier groupe. Puisqu un total de 14 personnes ont ordonné du popcorn, mais que seulement 9 personnes sont dans le deuxième groupe, il ya deux possibilités pour le nombre de personnes de chaque groupe qui ont ordonné du popcorn. Cas 1: Cinq personnes du premier groupe ont commandé du popcorn et toutes les autres neuf personnes du second groupe ont commandé du popcorn. Cas 2: Six personnes du premier groupe ont commandé du popcorn et huit des neuf personnes du second groupe ont commandé du popcorn. Dans le premier cas, le coût des quatre popcorns supplémentaires pour le second groupe doit être égal au coût d un billet supplémentaire de cinéma pour le premier groupe. Par conséquent, quatre popcorns doivent coûter $6, et donc un popcorn ordinaire doit coûter $ 1,50. Dans le second cas, le coût des deux popcorns supplémentaires pour le second groupe doit être égal au coût d un billet supplémentaire de cinéma pour le premier groupe. Par conséquent, deux popcorns doivent coûter $6, alors un popcorn ordinaire doit coûter $3. Par conséquent, les coûts eventuels possibles d un sac ordinaire de popcorn sont $1.50 et $3. Solution 2: Nous procédons selon les deux cas de la solution 1. Soit x le coût d un popcorn ordinaire. Dans le premier cas, le premier groupe paie x dollars et le deuxième groupe paie x. Par conséquent, x = x. Ainsi, x = x. Alors, 6 = 4x, ce qui donne x = 6 4 = 3 2. Par conséquent, un popcorn régulier coûte $ 1,50. Dans le second cas, le premier groupe a paie x dollars et le deuxième groupe paie x. Alors x = x. Ainsi, x = x. Donc 6 = 2x, ce qui donne x = 3. Par conséquent, un popcorn régulier coûte $ 3. En conséquence, les coûts eventuels possibles d un sac ordinaire de popcorn sont $1.50 et $3.

6 6 / 9 B3 Dans le diagramme, AB = 6 cm, AC = 6 cm et BAC est un angle droit. Deux arcs sont dessinés, un arc de cercle de centre A qui passe par B et C, et un demi-cercle de diamètre BC, tel qu indiqué par la figure. A 6 S 6 B T C U (a) (1 marque) Quelles est l aire de ABC? L ire de ce triangle est 1 2 AB AC = = 18 cm2. (b) (2 marques) Quelle est la longueur de BC? Par le Théorème de Pythagore, la longueur de BC est AB 2 + AC 2 = = 72 = 6 2. En conséquence, la longueur de BC est 72 cm, c est à dire, 6 2 cm. (c) (6 marques) Trouvez l aire entre les deux arcs, i.e. trouvez l aire de la region ombragée dans le diagramme. Solution: Soivent S, T, U les regions étiquetées dans le diagramme ci-dessus, i.e. S l aire du triangle, T l aire entre le côté BC et l arc centré en A qui passe par BC et U l aire entre les deux arcs. On trouve d abord l aire du demi-cercle de diamètre BC. Cette aire est l aire de T et U. Le rayon du cercle est la moitié de BC, laquelle est 3 2. Ainsi, l aire du demi-cercle est 1 2 (π(3 2) 2 ) = π = 9π cm2. En conséquence, l aire de T et U est 9π cm 2. Nous trouvons maintenant l aire de quart du cercle de centre A qui passe par B et C, i.e. l aire de S et T. L aire de S et T est 1 4 π 62 = 9π cm 2. Donc, l aire de S et T est 9π cm 2. Puisque l aire de T et U est aussi 9π cm 2, S et U ont la même aire. L aire de S est 18 cm 2 par (a), l aire de U est aussi 18 cm 2. Ainsi, l aire de la region ombragée est 18 cm 2.

7 B4 7 / 9 Étant donné un rectangle non carré, une coupure-carré est un découpage du rectangle en deux morceaux, un carré et un rectangle (lequel peut ou peut ne pas être un carré). Par exemple, une coupure-carrée d un rectangle de dimensions 2 7 produit un carré de dimensions 2 2 et un rectangle de dimensions 2 5, tel qu indiqué dans figure ci-dessous On vous donne d abord un rectangle de dimensions À chaque étape vous faites une coupure-carré sur la pièce non-carré. Vous répétez jusqu à ce que toutes les pièces sont des carrés. Combien de morceaux carrés sont là à la fin? Solution: Nous coupons d abord autant de carrés de côté 40 que nous le pouvons. La division de 2011 par 40 est à quotient 50 et reste 11. Par conséquent, nous aurons 50 carrés de côté égal à 40 et ce qui reste est un rectangle de dimensions Nous appliquons le même principe du paragraphe ci-dessus au rectangle de dimensions qui en reste. Le quotient de est 3 et le reste est 7. Donc, nous aurons 3 carrés dont le côté est égal à 11 et ce qui reste est un rectangle de dimensions Le quotient de 11 7 est 1 et le reste est 4. Alors nous aurons un carré de côté égal à 7 et ce qui reste est un rectangle 7 4. Le quotient de 7 4 est 1 et le reste est 3. Donc nous aurons un carré de côté égal à 4 et ce qui reste est un rectangle 4 3. Le quotient de 4 3 est 1 et le reste est 1. Donc nous aurons un carré de côté égal à 3 et ce qui reste est un rectangle 3 1. Le quotient de 3 1 est 3 et le reste est 0. Donc nous aurons trois carrés de côté égal à 1. Et là chaque pièce est un carré. Si l on compte tous les carrés que nous avons coupés, le nombre de carrés est égal à = 59. En conséquence, il y a 59 pièces carrés à la fin.

8 8 / 9 B5 Cinq équipes A, B, C, D, E participent à un tournoi de hockey où chaque équipe joue contre chaque autre équipe une seule fois. Chaque match se termine soit par une victoire pour une équipe et une perte pour l autre, soit se termine par un match nul pour les deux équipes. Le tableau suivant montrait originellement tous les résultats du tournoi, mais quelques-unes des entrées de la table ont été effacées. Équipe Victoires Pertes s A 3 B 1 1 C 1 D 0 E 4 Le résultat de chaque match joué peut être uniquement déterminé. Pour chaque match du tableau ci-dessus, si le match s est terminé sur une victoire pour une des équipes, notez le vainqueur correspondant. Si le match s est terminé par un match nul, écrivez le mot nul. Solution: Équipe A vs Équipe B Équipe A vs Équipe C Équipe A vs Équipe D Équipe A vs Équipe E Équipe A Équipe A Équipe A Chaque équipe a disputé quatre matches. Par conséquent, l équipe, B a perdu 2 matches. En outre, l équipe E n a ni gagné ni perdue aucun match et l équipe E a fait match nul avec toutes les équipes. Puisque l équipe A a gagné 3 matches, et a fait match nul une fois, (avec l équipe E) et a remporté la victoire dans tous les autres matches, l équipe A a gagné contre les équipes B, C et D. Équipe B vs Équipe C Équipe B vs Équipe D Équipe B vs Équipe E Équipe C vs Équipe D Équipe C vs Équipe E Équipe D vs Équipe E Équipe C Équipe B Nous allons maintenant déterminer le résultat des matches des équipes B, C, D. Notez que le nombre total de victoires dans le tournoi est de 5. Par conséquent, cinq jeux se sont terminés dans une victoire / perte, ce qui implique que le cinq autres jeux se sont terminés par un match nul. Par conséquent, la somme du nombre des matches nuls pour les cinq équipes est de 5 2 = 10. Puisque tous les quatre matches impliquant l équipe E se sont terminés par un match nul, il y a un autre match nul dans un match joué entre A, B, C, D. Puisque chacune des équipes A, B a seulement un match nul (avec l équipe E), les équipes C et D ont fini leur jeu en match nul. Ainsi, le nombre de matches nuls de chacun des équipes C et D est égal à 2. Par conséquent, l équipe C a perdu 1 match et l équipe D a perdu 2 matches. Nous savons que l équipe C a perdu avec l équipe A et que, au même temps, a une victoire. Par conséquent, l équipe C a gagné contre l équipe B. Enfin, l équipe B a une victoire. Par conséquent, l équipe B a gagné contre l équipe D. Cela complète le tableau.

9 9 / 9 B6 Les côtés d un triangle ABC mesurent AB = 5, AC = 7, BC = 8. Le point D, sur le côté AC, est tel que AB = CD. Nous prolongeons le côté BA au-delà de A jusqu au point E tel que AC = BE. Soit F le point d intersection de la ligne ED avec le côté BC. E A D B G F C (a) (2 marques) Trouvez les longueurs de AD et AE. Puisque DC = 5, AD = AC DC = 7 5 = 2. Puisque BE = AC = 7, AE = BE AB = 7 5 = 2. Therefore, AD has length 2 and AE has length 2. (b) (7 marques) Trouvez les longueurs de BF et F C. On trace une ligne passant par A et parallèle à la ligne EF, tel qu indiqué dans la figure. Soit G le point d intersection de cette ligne avec le côté BC. Alors par équivalence des triangles et lignes parallèles, on a BG GF = BA AE = 5 2, and Ainsi, BG : GF : F C = 5 : 2 : 5. En conséquence, BF F C = 7 5. GF F C = AD DC = 2 5. Puisque BC = 8, BF = 7 12 BC = = Donc F C = 8 BF = = Ainsi, la longueur de BF est 14 3 et la longueur de F C est 10 3.