(n 7) 2 (n 6) 2) n N

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1 TES Suites arithmétiques et géométriques Soit u une suite arithmétique telle que u 5 = 7 et u =, déterminer sa raison r ainsi que son terme initial u 0 Calculer la somme 8 i=0 u i puis la somme 5 i=9 u i Soit w une suite géométrique telle que w 5 = 7 et w =, déterminer sa raison q ainsi que son terme initial w 0 Calculer la somme i=0 w i puis la somme 00 p=5 w p Pour chacune des suites suivantes : calculer les trois ou quatre premiers termes, déterminer si la suite est arithmétique ou géométrique Le cas échéant préciser la raison 7 5 n n +, 7 + 5n 7+n 5 n 8n 7 n 7n 8 n 7 n 6 n 9 7+n n 5 n n + π 7 8 n n 5 n n n+ Démontrer qu une suite qui est à la fois arithmétique et géométrique est nécessairement constante Soit U n une suite géométrique de raison q 0 On suppose que pour tout n entier, on a la relation U n+ = U n+ + U n 5a Quelles sont les valeurs que peut prendre q? 5b Sachant que, de plus, la suite U n n est pas monotone, quelle est la valeur de q? 5c Sachant que la suite converge vers 0, quelle est la valeur de q? On considère la suite U dont les premiers termes ont U 0 = et U = et qui satisfait la relation U n+ = U n+ U n pour tout n N On définit une seconde suite V en posant V n = U n+ U n pour tout n N 6a Calculez V 0, V et V 6b Montrez que la suite V est géométrique et exprimez V n en fonction de n 6c Déterminez alors l expression de U n en fonction de n 6d Quelle est la plus petite valeur de n pour laquelle u n < 0, 00?

2 Soient a n et b n les suites numériques définies par a 0 =, b 0 = et n N a n+ = 5 a n + b n b n+ = 5 a n + b n 7a Calculez a, b, a et b 7b On pose U n = a n + b n Donnez une relation entre U n+ et U n Que peut-on en déduire? Donnez alors l expression de U n en fonction de n 7c On pose V n = a n b n Donnez une relation entre V n+ et V n Que peut-on en déduire? Donnez alors l expression de V n en fonction de n puis précisez si cette suite converge 7d En utilisant les résultats précédents, donnez l expression de a n et de b n en fonction de n 8 Calculez les sommes suivantes I = 0 A = k, B = 0 E = k +, F = 50 k= 0 k= k, C = 9 k, G = 0 k= 0 k, D = 5 k, H = k= 5 5 k= k, k 5, k +, J = , K = Le but de cet exercice est d établir directement la formule de cours sur les suites arithmétiques donnant la somme des n premiers nombres entiers naturels k = nn + Pour cela, on pose P x = ax + bx + c où a, b et c sont des réels On cherche alors P tel que P n = n, n N E 9a Montrez que si P vérifie la relation E alors on doit avoir c = 0 9b On pose Qx = P x P x, pour x R Montrez que P vérifie la relation E si et seulement si pour tout n N, Qn = n { a = 9c Vérifiez alors que P vérifie E si et seulement si a b = 0 9d Retrouvez alors la formule vue en cours

3 Dans cet exercice, on veut établir une formule directe pour le calcul de k = n Pour cela, on cherche un polynôme P de degré trois de la forme P x = ax + bx + cx + d tel que P n = n, n N F 0a Montrez que si P vérifie la relation F alors on doit avoir d = 0 0b On pose alors pour x R, Qx = P x P x Montrez que P vérifie la relation F si et seulement si pour tout n N on a Qn = n 0c Vérifiez alors que P vérifie la relation F si et seulement si a, b, c est solution du système suivant: a = a + b = 0 a b + c = 0 0d Déterminez alors les valeurs de a, b et c puis vérifiez que P x = xx+x+ 6 0e Donnez alors l expression de n directement en fonction de n 0f Donnez la valeur exacte de a En vous inspirant de l exercice précédent, déterminez un polynôme P de degré quatre tel que P n = k = n, n N b Déterminer un polynôme R de troisième degré tel que Rx + Rx = x x En déduire une formule de sommation pour k k = n n p= Pour n N, on définit la suite U : g : x x de R vers R { U 0 = U n+ = U n +, n N ainsi que les fonctions f : x x + et a Calculer U, U, U et U b Tracer sur une même figure les courbes de f et de g et déterminer les coordonnées du point d inter

4 section A de ces deux courbes c On pose alors V n = U n 9 Calculer V 0, V, V et V Que peut-on remarquer? d Montrer que pour tout V n+ = V n, n N Quelle est la nature de la suite V n l expression de V n en fonction de n? Donner e Déterminer l expression de U n en fonction de n, puis étudier la convergence de la suite U n f On pose pour tout n N A n = U 0 + U + U + + U n = U k et S n = V 0 + V + V + + V n = g Montrer que pour tout n N on a A n = S n + 9 n + Déterminer l expression de S n en fonction de n Donner l expression de A n en fonction de n h Étudier la convergence des suites A n et An n+ i Pour les suites géométriques suivantes de raison q et de premier terme U 0, donner l expression de U n, de S n = U 0 + U + + U n et étudier la convergence de U n et de S n : premier cas : U 0 = et q =, deuxième cas : U 0 = et q =, troisième cas : U 0 = et q =, quatrième cas : U 0 = 0, et q = 0,, cinquième cas : U 0 = 0, et q = 0, V k Une suite réelle U n est définie par son premier terme U 0 strictement positif et par la relation de récurrence suivante: n N, U n+ U n = 0, 0U n a Exprimer U, U et U en fonction de U 0 b Démontrer que cette suite est géométrique et déterminer sa raison Préciser son sens de variation c Exprimer U n en fonction de U 0 et de n d Le er janvier 997, la population d une commune rurale était de 000 personnes On admet que cette population a diminué de % par an Quelle était la population de cette commune au er janvier 999? e Quelle sera la population au er janvier 000? f A partir de quelle année la population sera-t-elle inférieur ou égale à 000 personnes? On considère la suite géométrique U n de raison r = et telle que U 0 = On définit une seconde suite V n par la relation V n = lnu n, n N a Quelle est l expression de U n en fonction de n? b Calculez la somme S n = U 0 + U + U + + U n c Calculez les valeurs exactes de V 0, V et V d Montrez que la suite suite V n est arithmétique et donnez sa raison e Trouvez le plus petit entier naturel n tel que V n > 0

5 Soit a un réel strictement supérieur à On considère la fonction f définie sur R par fx = x a Déterminer F la primitive de f sur R qui prend la valeur ln a 5a Soit u n a la suite définie pour tout entier n N par u n a = n+ n t dt a pour x = 0 Montrer que u n a est géométrique de raison a 5b On pose Calculer et simplifier S N a S N a = 5c On considère la fonction g définie sur R par N u i a i=0 gx = + + x Calculer g x, établir le tableau de variation de g Préciser les limites Justifier que quelque soit le réel x 5d Soit la fonction h définie sur R par Justifier que quel que soit x [0, + [ puis montrer que hx = gx x = S N En déduire un encadrement de 00 0 hx dx gx x hx N+ 0 + x + x x hxdx S N On considère la suite V n définie par ln7 n V n = n n N 6a Soit n N, résolvez dans R l équation ln7 n x = n 6b Calculez V 0 6c Montrez que cette suite est géométrique et déterminez sa raison Admet-elle une limite? 6d Déterminez l ensemble des n N tels que V n > 00 5