Présentation Proséminaire : Construction d une famille de graphes à large maille G (SL 2 (q)), S q ).

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Présentation Proséminaire : Construction d une famille de graphes à large maille G (SL 2 (q)), S q )."

Transcription

1 Présentation Proséminaire : Construction d une famille de graphes à large maille G SL q)), S q ) Matthieu Karlen supervisé par Dr Ciobotaru Corina 0 décembre 016 Table des matières 1 Rappels 11 Definition 01 1 Definition Proposition Lemma Proposition Le groupe libre Préambule 3 1 Notation 3 Notation 3 3 Lemme A1 4 4 Proposition A 5 5 Lemme A3 6 6 Calcul préparatoire 7 7 Théorème 7 8 Preuve 7 9 Exercices 9 91 Exercice Enoncé Résolution 11 1

2 1 Rappels 11 Definition 01 Soit X m ) m 1 une famille de graphes finis, connexes et k-réguliers, avec V m quand m, où V m est l ensemble des sommets de X m On dit que cette famille a une large maille si pour une constante C > 0, on a que la maille gx m ) du graphe X m satisfait la condition gx m ) C + o1))log k 1 V m, où o1) est une quantité tendant vers 0 lorsque m 1 Definition 411 Soit G un groupe et S un sous-ensemble non vide, fini de G On suppose que S = S 1 est symétrique Le graphe de Cayley GG, S) est le graphe composé de l ensemble de sommets V = G et de l ensemble d arêtes E = {{x, y : x, y G, s S tel que y = xs 13 Proposition 311 Soit q un nombre premier impair Alors SL q) = qq 1) 14 Lemma 31 Pour tout corps K, le groupe SL K) est engendré par les sous-groupes suivants : { ) { ) 1 λ 1 0 : λ K et : µ K 0 1 µ 1 15 Proposition 41 Soit GG, S) un graphe de Cayley On pose k = S a) GG, S) est un graphe simple, k-regulier et sommet-transitif b) GG, S) n a pas de boucle si et seulement si 1 / S c) GG, S) est connexe si et seulement si S engendre G 16 Le groupe libre Le groupe libre L à deux générateurs engendré par S = {a, b) est l ensemble des mots réduits composés d éléments de S = {a, a 1, b, b 1, muni de la loi de

3 concaténation Un mot est dit réduit s il ne contient aucun des séquences suivantes : aa 1, a 1 a, bb 1, b 1 b Préambule Le but de cette présentation est de construire une famille de graphes 4-réguliers à large maille et de donner une borne inférieure explicite à la taille de la maille constante C dans la définition 01) Nous allons travailler avec des graphes de Cayley de SL q), où q est un nombre premier impair 1 Notation Nous dénoterons par : τ q : SL Z) SL q) la réduction modulo q Notation Nous considérerons les matrices suivantes : A = Notons encore : ) 1 SL 0 1 Z) et B = ) 1 0 SL 1 Z) A q = τ q A) = ) 1 SL 0 1 q) et B q = τ q B) = ) 1 0 SL 1 q) Comme ces matrices sont dans le groupe spécial linéaire, elle sont inversibles Nous pouvons donc créer un sous-ensemble non-vide, fini et symétrique de SL q) : S q = { A q, A 1 q, B q, B 1 On se rappelle que SL q), muni de la multiplication matricielle est un groupe On peut donc construire le graphe de Cayley suivant : q X q := GSL q), S q ) C est ce graphe qui nous intéressera lors de toute cette présentation 3

4 3 Lemme A1 Soit q un nombre premier impair et X q le graphe défini ci-dessus Alors X q est 4-regulier et connexe et il possède qq 1) sommets Preuve X q est 4-régulier car S q est formé de 4 matrices deux à deux différentes X q possède SL q) sommets par définition d un graphe de Cayley Par la proposition 311 b), on a le résultat Par la proposition 41 c), X q est connexe si et seulement si S q engendre SL q) Par le lemme 31, on sait que SL q) est engendré par les sous-groupes : { ) 1 λ 0 1 : λ F q et { ) 1 0 µ 1 : µ F q Montrons que A q génère ce premier ensemble : A l q = τ q A l ) l N car τ q est un morphisme de groupes Or : A l = ) 1 l 0 1 Comme q est premier impair, pour tout λ F q, il existe l N tel que λ = l mod q, et donc : { ) 1 λ 0 1 De manière similaire, on montre que : { ) 1 0 µ 1 : λ F q =< A q > : µ F q =< B q > Ainsi, S q génère SL q) et donc X q est connexe Comme dans les présentations précédentes, on doit avoir des informations sur le graphe GSL Z), S) où S = {A, B, A 1, B 1 afin de pouvoir calculer la maille de X q Soit H le sous-ensemble de SL Z) engendré par A et B 4

5 4 Proposition A H est isomorphe au groupe libre L à deux générateurs Preuve H est l ensemble des mots réduits sur l alphabet {A, A 1, B, B 1 En effet, AA 1 = A 1 A = 1 SL Z) et BB 1 = B 1 B = 1 SL Z) Tout élément C H est d une des formes suivantes : Mot commençant et finissant par une puissance de A : C AA = A k 1 B l 1 A k B lr A k r+1 où k i, l i Z \ {0 i, j Mot commençant et finissant par une puissance de B : C BB = B k 1 A l 1 B k A lr B k r+1 où k i, l i Z \ {0 i, j Mot commençant par une puissance de A et finissant par une puissance de B : C AB = A k 1 B l 1 A k A kr B lr où k i, l i Z \ {0 i, j Mot commençant par une puissance de B et finissant par une puissance de A : C BA = B k 1 A l 1 B k B kr A lr où k i, l i Z \ {0 i, j Nous allons montrer que l application suivante est une bijection de H dans L : ψ : L H a A b B D après les remarques précédentes, il est évident que ψ est bien définie et est un morphisme de groupes Par construction, la surjectivité est vérifiée Pour vérifier l injectivité, il faut montrer que tout mot non vide est différent de l identité dans H, ainsi le noyau de ψ sera {1 L Pour ce faire, nous allons utiliser le lemme du ping-pong Laissons agir SL Z) sur R par la multiplication matrice-vecteur usuelle Définissons deux sous-ensembles de R de la façon suivante : E = {x, y) R : y > x F = {x, y) R : x > y 5

6 Pour k Z et x, y) R, on a que : A k z) = 1 k 0 1 ) x y ) ) x + ky = y ) ) 1 0 x B k z) = = k 1 y ) x y kx En séparant les différents cas, on voit que A k E) F et B k F ) E, k Z Prenons maintenant un mot du type C AA et appliquons le à E : A k r+1 E) B lr A k r+1 E) A kr B lr A k r+1 E) C AA E) = A k 1 B l 1 A k B lr A k r+1 E) F E F F Comme E F =, on a que C AA 1 SL Z) Pour traiter les mots du troisième type, C AB, utilisons une petite astuce Choisissons k Z, k k 1 Alors A k C AB A k est un mot du type C AA et n est donc pas la matrice identité Ceci implique directement que C AB n est pas non plus l identité Les cas restants sont similaires Ainsi, tout mot non vide de H n est pas égal à l élément neutre On a donc : Kerψ) = {1 L ψ est donc injectif On a ainsi montré que ψ est un isomorphisme entre H et L Définition Soit v la norme euclidienne sur R La norme d opérateur d une matrice T M R) est définie comme : { T v v T = sup : v R \ {0, 0) v 5 Lemme A3 ) a b Soit A = Notons A c d T sa transposée Alors 1 A = A T A = A T A 1 6

7 3 A max{ a, b, c, d 4 Si A est symétrique avec valeurs propres λ 1, λ R, alors A = max{ λ 1, λ Sans démonstration voir lemme A3 dans le livre) 6 Calcul préparatoire Afin de préparer le résultat du théorème suivant, calculons la norme d opérateur des matrices A et B définies en debut de présentation et de leur inverses A T A = ) ) = ) 1 5 Le polynôme caractéristique de A T A est donc 1 t)5 t) 4 = 1 6t + t, dont les racines sont 3 ± Comme A T A est symétrique, on a que A T A = 3 + par le lemme A34 Par le lemme A3, on a directement A = 3 + = ) = Théorème Les graphes X q, pour q premier impair, satisfont : lim inf q 8 Preuve gx q ) log 3 X q 1 3log ) = log3) 3log1 + ) = Soit q un nombre premier impair fixé Notons g = gx q ) Par sommet-transitivité prop 41 a)), X q possède un circuit sans retour en arrière de longueur g commençant et finissant en 1 SL q) Numérotons ce circuit : 1 SL q) = x 0, x 1,, x g 1, x g = 1 SL q) X q étant un graphe de Cayley, on sait qu il existe α i S q, i = 0, 1,, g 1 tels que : x i+1 = x i α i, i {0, 1,, g 1 7

8 La réduction modulo q restreinte à S τ q S : S S q est bijective Il existe donc une seule préimage de chacun des α i, i = 0, 1,, g 1 dans {A, A 1, B, B 1 Nommons ces éléments α i Alors α 0 α 1 α g α g 1 H est un mot réduit, car le circuit correspondant ne possède pas de retour en arrière D après la proposition A, on a donc : α 0 α 1 α g α g 1 1 SL Z) D autre part, nous avons que τ q α 0 α 1 α g α g 1 ) = α 0 α 1 α g α g 1 = 1 SL q) En d autre mots : α 0 α 1 α g α g 1 Kerτ q ) Ainsi tous les coefficients de la matrice α 0 α 1 α g α g 1 1 SL Z)) sont divisibles par q Comme cette matrice n est pas identiquement nulle, on en déduit qu au moins un des coefficients est plus grand ou égal à q Par le lemme A33 : α0 α 1 α g α g 1 1 SL Z) q Par inégalité triangulaire de la norme et sachant que 1SL Z) = 1 ), on a : α 0 α 1 α g α g 1 q 1 D autre part, par la sous-multiplicativité de la norme, on a : α 0 α 1 α g α g 1 α 0 {{ =1+ On obtient donc : q 1 α 1 α {{ g 1 = {{ =1+ = ) g Or, d après le lemme A1, X p = qq 1) = q 1) 3 q q+1) q 1) En prenant le logarithme en base 3, on obtient : log 3 X q ) = log ) 3 q 1) 3 + log 3 q + 1) q q 1) {{ <1 {{ < ) g

9 Ainsi : log 3 X q ) log ) 3 q 1) 3 3 log ) ) g 3 g log ) Et donc finalement : g log 3 X q ) 3 log ) 9 Exercices Exercice 1 Enoncé Pour T M R), montrer que T est finie Vérifier que T T est bien une norme sur M R) Résolution Pour contrôler que T T est bien une norme sur M R), il faut vérifier les points suivants : 1 homogénéité : A M R), λ R, on a λa = λ A définie positive : A M R) tel que A 0 M R), A > 0 R 3 sous-additivité inégalité triangulaire) : A, B M R), on a A + B A + B 4 compatibilité avec la norme vectorielle : Av v A v 5 sous-multiplicativité : A, B M R), on a A B A B Soient A, B M R), A, B 0 M R), v 0 R R et λ 0 R R, la norme d opérateur dans M R) et v la norme euclidienne dans R 1 { λ Av v λ A = sup : v R \ {0, 0) { v = sup λ Av v : v R \ {0, 0) { v Av v = λ sup : v R \ {0, 0) v = λ A 9

10 { Av v Soit A = 0 C est à dire sup : v R \ {0, 0) = 0 v Et donc v R, Av v = 0 R Par les propriétés de la norme Euclidienne, on a donc forcément Av = 0 R, v R v étant arbitraire, on obtient A = 0 M R) 3 { A+B)v v A + B = sup : v R \ {0, 0) { v Av+Bv v = sup : v R \ {0, 0) { v Av v + Bv sup v : v R \ {0, 0) { v Av v = sup + Bv v : v R \ {0, 0) v { v { Av v sup : v R Bv v \ {0, 0) + sup : v R \ {0, 0) v v = A + B 4 5 Av v v A par définition du suprémum { AB)v v AB = sup : v R \ {0, 0) { v A Bv v sup : v R \ {0, 0) { v A B v sup : v R \ {0, 0) v = sup { A B = A B Ainsi, l application A A est bien une norme sur M R) On remarque maintenant { Av v A = sup : v R \ {0, 0) = sup { Av v : v S 1 = { x R : x = 1 v S 1 est compact dans R et toute matrice A M R) peut être identifiée à une application linéaire, donc continue La norme euclidienne est également continue L image d un compact par une application continue est aussi un compact Ainsi, A M R), {Av : v S 1 est un compact L application v étant continue, elle y prend donc son maximum Notons ce maximum M Alors A = sup { Av v : v S 1 = M < Ayant choisi une matrice A M R) arbitraire, on conclut finalement que A est finie A M R) 10

11 91 Exercice 911 Enoncé Montrer que le théorème A4 peut être amélioré : lim inf q gx q ) log 3 X q 3log ) 91 Résolution Au lieu de travailler avec la matrice α ) 0 α g 1 1 SL Z)), on utilise la matrice α 0 α g 1 α g 1 1 α 1 g+1 Cela revient à faire la moitié du circuit dans un sens, et l autre moitié dans l autre sens Ainsi, par chacun des deux côtés, on arrive sur le même élément et cette matrice est identiquement nulle dans SL q) Par les mêmes considérations que dans la preuve du théorème, cette matrice n est pas nulle dans SL Z) Ainsi tous ses coefficients sont divisibles par q et au moins l un d entre eux est non nul dans Z Posons : ) ) a b α 0 α g 1 = et c d Comme au moins un coefficient de la matrice non nul et divisible par q, on a : Alors on a x q ou x q ) ) a α g 1 1 α 1 b g+1 = c d α 0 α g 1 α g 1 1 α 1 x x q, pour x {a, b, c, d Par le lemme A3, on en déduit que la norme d une des deux matrices est plus grande que q Sans restreindre la généralité, supposons que α 0 α g 1 q Dans le cas contraire, on considère le circuit dans le sens inverse, et on retombe sur ce résultat) Comme dans la preuve du théorème, on peut écrire : X q q ) 3 ) 3 α0 α 3 g En prenant le logarithme des deux côtés, on obtient : 11 ) 3 g+1 g+1 ) est

12 ) Xq log 3 log ) 3 g+1 ) log 3 X q ) 3log 3 ) 3 g + 1 log 3 X q ) 3 g + 1 En divisant pas le terme de gauche : 1 3 log ) log ) + 3log 3 ) g log 3 X q ) log ) log 3 X q ) log ) + 3log 3) log 3 X q ) {{ Ainsi en prenant la limite : lim inf q gx q ) log 3 X q ) 3 log ) ) O 1 q 1

13 Bibliographie 1 Giuliana Davidoff, Peter Sarnak and Alain Valette, Elementary Number Theory, Group Theory and Ramanujan Graphs, London Mathematical Society Student Texts, Appendix A 13

Université de Poitiers Année 2012-2013 L1 M2IPC Algèbre linéaire. Algèbre linéaire. rédigé par. Anne Moreau

Université de Poitiers Année 2012-2013 L1 M2IPC Algèbre linéaire. Algèbre linéaire. rédigé par. Anne Moreau Université de Poitiers Année 2012-2013 L1 M2IPC Algèbre linéaire Algèbre linéaire rédigé par Anne Moreau 1 2 Table des matières 1 Espaces Vectoriels 5 11 Structure d espace vectoriel 5 111 Espaces vectoriels

Plus en détail

ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS

ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS ESPACES PRÉHILBER TIENS RÉELS 1 Produit scalaire et norme 1.1 Produit scalaire Définition 1.1 Soit E un R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E toute forme bilinéaire symétrique définie positive

Plus en détail

Minimisation d une somme de distances, points de Fermat

Minimisation d une somme de distances, points de Fermat Minimisation d une somme de distances, points de Fermat Arnaud de Saint Julien 26 décembre 2004 Table des matières 1 Présentation du problème 2 1.1 Définitions et objectifs..................................

Plus en détail

Algèbre et géométrie. Algèbre et géométrie. Algèbre et géométrie. CAPES et Agrégation. CAPES et Agrégation

Algèbre et géométrie. Algèbre et géométrie. Algèbre et géométrie. CAPES et Agrégation. CAPES et Agrégation CV_AlgebreGeometrie:EP 31/07/14 16:58 Page 1 CAPES et Agrégation L ouvrage présente tout le nouveau programme d algèbre et de géométrie au CAPES externe et à l Agrégation interne de mathématiques avec

Plus en détail

Cours 1 : Points fixes de fonctions monotones

Cours 1 : Points fixes de fonctions monotones Université Bordeaux 1 INF569 Master d informatique Logique et Langages (2 - partie 2) Cours 1 : Points fixes de fonctions monotones Anne Dicky 7 novembre 2009 Table des matières 1 Exemples de points fixes

Plus en détail

Révision d algèbre et d analyse

Révision d algèbre et d analyse Révision d algèbre et d analyse Chapitre 7 : Intégrales doubles Équipe de Mathématiques Appliquées UTC (Juillet 215) suivant Chapitre 7 Intégrales doubles 7.1 Motivation, définition et calcul de l intégrale

Plus en détail

Université Aix Marseille. Licence de mathématiques. Cours d Analyse numérique

Université Aix Marseille. Licence de mathématiques. Cours d Analyse numérique Université Aix Marseille Licence de mathématiques Cours d Analyse numérique Raphaèle Herbin 22 mai 206 Table des matières Systèmes linéaires 4. Objectifs................................................

Plus en détail

Exercice 1 : «un gars, une fille» (3 points)

Exercice 1 : «un gars, une fille» (3 points) Exercice 1 : «un gars, une fille» (3 points) Simulation : On a simulé la situation sur un tableur. Le graphique ci-dessous indique l évolution de la fréquence de l évènement M «Avoir un garçon et une fille»

Plus en détail

BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR SYSTEMES ELECTRONIQUES

BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR SYSTEMES ELECTRONIQUES BREVET DE TECHNICIEN SUPERIEUR SYSTEMES ELECTRONIQUES EPREUVE E4 Etude d un Système Technique Unité U4.2 PHYSIQUE APPLIQUEE Durée : 4 heures coefficient : 4 Systèmes électroniques embarqués dans la C6

Plus en détail

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck. Action de groupes

Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck. Action de groupes Algèbre Année 2007-2008 ENS Cachan Vincent Beck Action de groupes L idée centrale de cette note est de mettre en évidence le fait fondamental suivant une action d un groupe G sur un ensemble X, «c est»

Plus en détail

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes.

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Groupes et Actions de groupes On présente ici des notions de base de théorie des groupes pour l agrégation interne. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Un groupe (G, ), ou plus simplement G, est

Plus en détail

Cours de calcul différentiel Licence de mathématiques, 3ème année. Raphaël Danchin

Cours de calcul différentiel Licence de mathématiques, 3ème année. Raphaël Danchin Cours de calcul différentiel Licence de mathématiques, 3ème année Raphaël Danchin 23 novembre 2010 2 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 5 1.1 Quelques notations...................................

Plus en détail

x 2 ii < 0]. Cette constatation est générale ; f L = b q L q x i

x 2 ii < 0]. Cette constatation est générale ; f L = b q L q x i La théorie de la production La production d une entreprise, d une branche ou d une nation est souvent exprimée par une fonction de production S il y a un seul output on peut écrire: q = f(x, x,, x r )

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

MINISTERE DE L EDUCATION Direction des Enseignements Secondaires POLYNESIE FRANCAISE SESSION 2011 S U J E T DNB C11-22 SÉRIE COLLÈGE

MINISTERE DE L EDUCATION Direction des Enseignements Secondaires POLYNESIE FRANCAISE SESSION 2011 S U J E T DNB C11-22 SÉRIE COLLÈGE MINISTERE DE L EDUCATION Direction des Enseignements Secondaires POLYNESIE FRANCAISE SESSION 2011 S U J E T DNB C11-22 SÉRIE COLLÈGE EXAMEN ÉPREUVE DURÉE : : : 2 heures COEFFICIENT : 2 NB DE PAGE(S) :

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Enseignement secondaire

Enseignement secondaire Enseignement secondaire Classe de IVe Mathématiques 4e classique Nombre de leçons: 4.0 Nombre minimal de devoirs: 3/3/3 Langue véhiculaire: Français I. Compétences à développer au cours de mathématiques

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

Mathématiques3 e. Laurent Ploy Professeur au Collège Vincent Auriol à Revel (31) Roger Brault Professeur au Lycée Maréchal Soult à Mazamet (81)

Mathématiques3 e. Laurent Ploy Professeur au Collège Vincent Auriol à Revel (31) Roger Brault Professeur au Lycée Maréchal Soult à Mazamet (81) PHRE Collection Mathématiques e Laurent Ploy Professeur au Collège Vincent uriol à Revel () Roger Brault Professeur au Lycée Maréchal Soult à Mazamet (8) Ludovic Requis Professeur au Lycée de Touscayrats

Plus en détail

EUGÈNE OKASSA. W = R m.

EUGÈNE OKASSA. W = R m. IMHOTEP, VOL. 7, N O 1 (2007), 1-14 VERSION ALGÉBRIQUE DU FIBRÉ TANGENT Abstract. On définit une algèbre qui joue le rôle de l algèbre des fonctions numériques de classe C sur le fibré tangent d une variété

Plus en détail

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire

Cours de Mathématiques II Chapitre 1. Algèbre linéaire Université de Paris X Nanterre UFR Segmi Année 7-8 Licence Economie-Gestion première année Cours de Mathématiques II Chapitre Algèbre linéaire Table des matières Espaces vectoriels Espaces et sous-espaces

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

TP HF Manipulation 1 INTRODUCTION AUX FIBRES OPTIQUES

TP HF Manipulation 1 INTRODUCTION AUX FIBRES OPTIQUES TP HF Manipulation 1 INTRODUCTION AUX FIBRES OPTIQUES I. Introduction La fibre optique est un guide de lumière, régi par la loi de Snell-Descartes, constituée d un cœur dans lequel se propage l onde lumineuse

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

POSITIONING AND CONTROL OF MOBILE ROBOTS

POSITIONING AND CONTROL OF MOBILE ROBOTS Laboratoire d Automatique POSITIONING AND CONTROL OF MOBILE ROBOTS Projet de Semestre / Eté Année académique 2004 / 2005 Jean Martial Miamo Nguekam Etudiant en 4 ième année Electricité Dr. Denis Gillet

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR AÉRONAUTIQUE ÉPREUVE DE SCIENCES PHYSIQUES ET CHIMIQUES APPLIQUÉES

BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR AÉRONAUTIQUE ÉPREUVE DE SCIENCES PHYSIQUES ET CHIMIQUES APPLIQUÉES BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR AÉRONAUTIQUE ÉPREUVE DE SCIENCES PHYSIQUES ET CHIMIQUES APPLIQUÉES SESSION 2011 Durée : 2 heures Coefficient : 2 Matériel autorisé : - Toutes les calculatrices de poche y

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

Relations binaires sur un ensemble.

Relations binaires sur un ensemble. Math122 Relations binaires sur un ensemble. TABLE DES MATIÈRES Relations binaires sur un ensemble. Relations d équivalence, relation d ordre. Table des matières 0.1 Définition et exemples...................................

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

On peut distinguer les chromatographies en phase liquide et celles en phase gazeuse.

On peut distinguer les chromatographies en phase liquide et celles en phase gazeuse. Page 1 sur 10 1. Définition. C est une méthode de séparation, non destructrice en son principe, basée sur le fait que le coefficient de partage d un soluté entre deux phases dépend de la nature du soluté,

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. b) On suppose rga + rgb n. Montrer qu il existe U, V GL n (K) tels que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. b) On suppose rga + rgb n. Montrer qu il existe U, V GL n (K) tels que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juillet 204 Enoncés Rang d une matrice Exercice [ 0070 ] [correction] Soit A M n K une matrice carrée de rang. a Etablir l existence de colonnes X, Y M n, K vérifiant

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Quelle masse un ballon solaire peut-il soulever?

Quelle masse un ballon solaire peut-il soulever? Axel TALON 623 Etienne LALIQUE 623 Thème : L Homme et la Nature Quelle masse un ballon solaire peut-il soulever? Lycée Jacques de Vaucanson 2007-2008 Sommaire Introduction p.2 A. Quelle masse théorique

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

TUTORIEL «REDIMENSIONNER UNE IMAGE»

TUTORIEL «REDIMENSIONNER UNE IMAGE» Mise à jour du 20 mai 2010 TUTORIEL «REDIMENSIONNER UNE IMAGE» Guide incluant la procédure de téléchargement d un logiciel gratuit Ce tutoriel est un pas-à-pas très détaillé. Cette prise de parti explique

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

L incertain. Plan. Agir dans l incertitude. Agir dans l incertain; Probabilités; Distributions de probabilités jointes; Indépendance.

L incertain. Plan. Agir dans l incertitude. Agir dans l incertain; Probabilités; Distributions de probabilités jointes; Indépendance. L incertain 1 Plan Agir dans l incertain; Probabilités; Distributions de probabilités jointes; Indépendance. 2 Agir dans l incertitude Les approches logiques que l on a vues aux chapitres précédents permettent

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez Espaces vectoriels par Pierre Veuillez 1 Objectifs : Disposer d un lieu où les opérations + et se comportent bien. Déterminer des bases (utilisation de la dimension) Représenter les vecteurs grace à leurs

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Mathématiques autour de la cryptographie.

Mathématiques autour de la cryptographie. Mathématiques autour de la cryptographie. Index Codage par division Codage série Code cyclique Code dual Code linéaire Corps de Galois Elément primitif m séquence Matrice génératrice Matrice de contrôle

Plus en détail

Algorithmes pour le Traitement Numérique du Signal. Olivier VENARD ST4-SIG2

Algorithmes pour le Traitement Numérique du Signal. Olivier VENARD ST4-SIG2 Algorithmes pour le Traitement Numérique du Signal Olivier VENARD ST4-SIG2 Année scolaire : 2009-2010 Table des matières I Introduction 7 1 Implantation logicielle et/ou matérielle........................................

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Pré-traitement des images couleur

Pré-traitement des images couleur Pré-traitement des images couleur P. Lambert 1 P. Montesinos 2 1 Laboratoire d'informatique, Systèmes, Traitement de l Information et de la Connaissance LISTIC - Université de Savoie - P 806- F.74016 ANNECY

Plus en détail

1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure?

1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure? Chapitre Applications linéaires Testez vos connaissances Pourquoi s intéresse-t-on au applications linéaires en économie? Qu est-ce qu un noyau, un rang et une image d une application linéaire? Donner

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

2008-2009 LA ROUTE SOLAIRE. GOUZIEN Elie, ADDI Cyril, DE BATZ Florian, FERFOURI Sabrina, Lycée Hoche, Versailles

2008-2009 LA ROUTE SOLAIRE. GOUZIEN Elie, ADDI Cyril, DE BATZ Florian, FERFOURI Sabrina, Lycée Hoche, Versailles 2008-2009 LA ROUTE SOLAIRE GOUZIEN Elie, ADDI Cyril, DE BATZ Florian, FERFOURI Sabrina, Lycée Hoche, Versailles 0 Introduction Nous sommes quatre élèves de terminale S au lycée Hoche de Versailles : Cyril

Plus en détail

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques

Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.

est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. Diagonalisation des matrices http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/mc2/node2.html Sous-sections Matrices diagonales Valeurs propres et vecteurs propres Polynôme caractéristique Exemples Illustration

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

10. Convertisseur Sigma-Delta 10.1 MODULATION DELTA. CHAPITRE 10 : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page 10-1

10. Convertisseur Sigma-Delta 10.1 MODULATION DELTA. CHAPITRE 10 : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page 10-1 CHAPITRE : CONVERTISSEUR SIGMA-DELTA Page -. Convertisseur Sigma-Delta. MODULATION DELTA.. Principe Considérons la structure de la modulation Delta pour le processus de conversion A/N. La Figure - montre

Plus en détail

*029776* OBJECTIF DAEU B. Test autocorrectif de physique 1-5667-TC-PA-01-12 300

*029776* OBJECTIF DAEU B. Test autocorrectif de physique 1-5667-TC-PA-01-12 300 MNSTÈ D L ÉDUCTON NTONL MNSTÈ D L NSGNMNT SUÉU T D L CHCH T OBJCTF DU B Test autocorrectif de physique *029776* 1-5667-TC--01-12 300 xercice 1 : Cinématique On considère le déplacement d'un mobile suivant

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

Essai en vibration sécurisé avec le logiciel VibControl de m+p international

Essai en vibration sécurisé avec le logiciel VibControl de m+p international Essai en vibration sécurisé avec le logiciel VibControl de m+p international L essai en vibration, quand il est réalisé correctement, est un outil précieux pour chaque laboratoire ou pour chaque ligne

Plus en détail

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent

Plus en détail

DM n o 2 Dynamique Newtonienne

DM n o 2 Dynamique Newtonienne Eercices de Mécanique 008-009 DM n o Dynamique Newtonienne Point lissant à l intérieur et à l etérieur d une sphère Dans ce qui suit, on admet qu un point matériel mobile sans frottement sur la surface

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

LIRE ET COMPRENDRE L HISTOGRAMME D UNE PHOTO

LIRE ET COMPRENDRE L HISTOGRAMME D UNE PHOTO Nous allons apprendre, à travers ce dossier, à lire un histogramme et à s'en servir lors des prises de vue. Nous verrons quelle est son utilité et comment l'interpréter pour améliorer ses images. En photographie

Plus en détail

TRAVAIL D OBSTACLES CHEZ LES JEUNES DEMI FONDEURS

TRAVAIL D OBSTACLES CHEZ LES JEUNES DEMI FONDEURS TRAVAIL D OBSTACLES CHEZ LES JEUNES DEMI FONDEURS Le jeune demi-fondeur reste avant tout un athlète complet et doit être formé en ce sens. Il doit pouvoir exprimer pleinement son potentiel en développant

Plus en détail

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient

Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 2: Morphisme, sous-groupe distingué, quotient Exercice 1 Soient G, G deux groupes et f un homomorphisme de G dans G. Montrer que si A G, alors f( A )

Plus en détail

FICHE 1a Fiche à destination des enseignants

FICHE 1a Fiche à destination des enseignants FICHE 1a Fiche à destination des enseignants TS 25 Les défis de l'aéronautique au XXIème siècle Type d'activité Activité documentaire ; utilisation de TIC en classe. Notions et contenus du programme de

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

ÉNERGÉTIQUE. Vers une réduction de la facture énergétique GUIDE PRATIQUE DANS LES COPROPRIÉTÉS EN HAUTE-NORMANDIE

ÉNERGÉTIQUE. Vers une réduction de la facture énergétique GUIDE PRATIQUE DANS LES COPROPRIÉTÉS EN HAUTE-NORMANDIE GUIDE PRATIQUE L AUDIT ÉNERGÉTIQUE DANS LES COPROPRIÉTÉS EN HAUTE-NORMANDIE Vers une réduction de la facture énergétique Réaliser un audit énergétique est devenu obligatoire pour un grand nombre de copropriétés.

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Exercice 1 On considère sur R la loi de composition définie par x y = x + y xy. Cette loi est-elle associative, commutative?

Plus en détail

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS

ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE. - Notes de cours et de travaux dirigés - PHILIPPE MALBOS UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON Licence Sciences, Technologies, Santé Enseignement de mathématiques des parcours Informatique ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE - Notes de cours et de travaux

Plus en détail

Cours élémentaire d arithmétique. Valentin Vinoles

Cours élémentaire d arithmétique. Valentin Vinoles Cours élémentaire d arithmétique Valentin Vinoles décembre 2009 Introduction «Wir müssen wissen. Wir werden wissen.» (Nous devons savoir. Nous saurons.) David Hilbert Voici un document présentant les principales

Plus en détail

SERIES TEMPORELLES LINEAIRES

SERIES TEMPORELLES LINEAIRES Deuxième année 2004-2005 SERIES TEMPORELLES LINEAIRES Polycopié librement inspiré du cours de Madame Doz La rédaction a été commencée par la cuisine expérimentale pour les chapitres, 2 et 3 puis complétée

Plus en détail

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE

BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE Série : Sciences et Technologies de Laboratoire Spécialité : Sciences Physiques et Chimiques en Laboratoire SESSION 2014 Sous-épreuve écrite de sciences physiques et chimiques

Plus en détail

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Algèbre Linéaire. Bachelor 1ère année 2008-2009. Sections : Matériaux et Microtechnique

ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE. Algèbre Linéaire. Bachelor 1ère année 2008-2009. Sections : Matériaux et Microtechnique ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Algèbre Linéaire Bachelor ère année 28-29 Sections : Matériaux et Microtechnique Support du cours de Dr Lara Thomas Polycopié élaboré par : Prof Eva Bayer Fluckiger

Plus en détail

Contrôle de mathématiques

Contrôle de mathématiques Contrôle de mathématiques Correction du Lundi 18 octobre 2010 Exercice 1 Diviseurs (5 points) 1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810. D 810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90;

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

C algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.

C algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent. Université Paul Verlaine - METZ LMAM 6 décembre 2011 1 2 3 4 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. G un groupe de Lie, Ĝ l ensemble

Plus en détail

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries

Chapitre 4. Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries Chapitre 4 Adjoints Opérateurs auto-adjoints et isométries I. Adjoint : Cas général d une forme { bilinéaire symétrique sesquilinéaire hermitienne On suppose dans tout I que E est un espace vectoriel de

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire

Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Formulaire de maths Algèbre linéaire et multilinéaire Nom Formule Espaces vectoriels Famille libre On dit que la famille est libre si Famille liée On dit que la famille est liée si Théorème de la base

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

1 Espaces vectoriels normés

1 Espaces vectoriels normés Université Paris 7 Denis Diderot Année 2005/2006 Licence 2 MIAS MI4 1 Espaces vectoriels normés 1.1 Définitions Soit E un espace vectoriel sur R. Topologie des espaces vectoriels de dimension finie Définition

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1 Cours et Exercices corrigés 1

THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1 Cours et Exercices corrigés 1 THEORIE DES CORPS Cours de mathématiques pour Licence L3 et Master M1 Cours et Exercices corrigés 1 Michel Goze, Elisabeth Remm 1. Edité par Ramm Algebra Center 2 Introduction Ce cours s adresse aux étudiants

Plus en détail

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html

Arithmétique Algorithmique. http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Arithmétique Algorithmique http://www.math.univ-lyon1.fr/~roblot/ens.html Partie III Algorithmes classiques 1 Coût de la multiplication et de la division 2 Exponentiation rapide 3 Algorithme d Euclide

Plus en détail

OBSERVATOIRE DES DPE MODE D EMPLOI

OBSERVATOIRE DES DPE MODE D EMPLOI OBSERVATOIRE DES DPE MODE D EMPLOI La présente application informatique a été élaborée par l Ademe (Agence de l Environnement et de la Maitrise de l Energie www.ademe.fr ) pour répondre à la mission confiée

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

Introduction au traitement d images

Introduction au traitement d images Introduction au traitement d Traitements de base Nicholas Journet 12 janvier 2011 Plan Semaine 1 : Introduction Traitements de base en image Semaine 2 : Amélioration d et détection de contours Semaine

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE POITIERS

UNIVERSITÉ DE POITIERS UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des

Plus en détail

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence

L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence L essentiel du cours 2014/2015 Terminale S Spécialité Maths, Lycée Français de Valence Sommaire 1. Arithmétique 2 1.1. Division euclidienne......................... 2 1.2. Congruences.............................

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Calcul matriciel. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Calcul matriciel. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Calcul matriciel Bernard Ycart Ce chapitre est essentiellement technique et ne requiert pas d autre connaissance théorique que celle des espaces vectoriels

Plus en détail

LE DISJONCTEUR (Ref. STI GE : 2.2.3.3)

LE DISJONCTEUR (Ref. STI GE : 2.2.3.3) Sommaire 1/ Fonctions a/ Protection contre les surcharges et les courts-circuits...2 b/ Pouvoir de coupure..2 c/ temps de coupure..3 2/ Constitution..3 3/ Caractéristiques des disjoncteurs.4 4/ Etude des

Plus en détail